Текст книги "Исследование психологии процесса изобретения в области математики"
Автор книги: Жак Адамар
сообщить о нарушении
Текущая страница: 10 (всего у книги 10 страниц)
70
Dwelshauvers, «Les Mécanismes Subconscients».
71
R. S. Woodworth, «Psychology» (4-е издание), стр. 33. Однако Вудвортс говорит здесь о случае, когда задаётся трудный вопрос, что, скорее, соответствует нашей третьей категории концентрированной мысли, чем мысли просто контролируемой.
72
«Etude Expérimentale de l'Intelligence», p. 108.
73
Вполне возможно, и даже весьма вероятно, что слова присутствуют в краевом сознании. Во всяком случае, я думаю, что так бывает со мной, когда я занимаюсь математикой. Но я сомневаюсь, что так же обстоит дело и для процессов мышления в других отраслях науки, так как тогда бы я сумел найти подтверждение этому. Происходит очевидная путаница по существу вопроса, когда, приведя высказывание Уильяма Гамильтона, который замечает, что «знание формируется раньше, чем мы его можем выразить с помощью символов», так что идея должна обязательно предшествовать словам, Макс Мюллер заявляет, что в этом он с ним согласен (sic), так как из этого заявления Уильяма Гамильтона можно сделать вывод, что мысль и её обозначение «почти совпадают» по времени. Хотя я являюсь случайным человеком в психологии, я её знаю достаточно для того, чтобы понять, что умственные процессы часто протекают очень быстро, и было бы абсурдным изучать их, не различая явлений «почти совпадающих» и одновременных. Более того, Уильям Гамильтон очень ярко выразил свой взгляд на вопрос, прибавив: «Таким образом, речь является для мысли не матерью, а крёстной».
74
Автор здесь имеет в виду рассуждения Эйлера в «Письмах к немецкой (не шведской!) принцессе». – Прим. ред.
75
У меня очень плохая память на лица и я часто не узнаю людей или ошибаюсь, узнавая их. К звучанию названий, напротив, я очень чувствителен, и повидать такие реки как Мохок (Mohowk) и Маттавамкег (Mattawamkeag) мне хочется гораздо больше, чем этого заслуживает их красота, так как одни их названия рождают в моём воображении представление о лесах и жизни индейцев. Я меньше, чем другие люди, замечаю сходство в лицах, и более чувствителен к сходству голосов.
Многочисленные ошибки при машинальных записях происходят из-за слухового воображения (см. гл. II, стр. 25). Примеры такого рода являются классическими. Лично со мной это случается часто: в моём сознании возникает слово, которое я бессознательно пишу вместо другого, если они похожи по звучанию. Так, когда я писал эту книгу на английском языке, я часто писал: "simple" вместо "same place" и "will she" вместо "we shall". Я думаю, что ошибки такого типа случаются чаще, когда я пишу по-английски, чем когда я пишу по-французски, что вполне естественно.
76
Бутру не даёт, однако, точной ссылки.
77
Watt, «Archiv f. die Ges. Psych.», tome 4 (1904); см. также G. Dumas «Traité de Psychologie», tome 1, ch. 4.
78
Уильям Гамильтон использует интересное сравнение: строительство тоннеля в песчаной почве. «При этом нельзя добиться успеха, если не укреплять каждый метр, нет, каждый сантиметр каменной кладкой, прежде чем продолжать дальнейшую выемку. И речь в процессе мышления является тем же, чем каменная кладка при строительстве тоннеля. Умение думать и умение копать не зависят от слов в первом случае и от каменной кладки – во втором, но без этих вспомогательных процессов мы остались бы на стадии примитивных попыток».
Вообще говоря, только что описанная зависимость демонстрирует то, что было названо результатом-эстафетой. В процессе изобретения они не обязательно включают в себя слова.
79
Полный текст письма см. в «Эйнштейновском сборнике», М., 1967. – Прим. ред.
80
Как видно, мыслительные процессы профессора Эйнштейна в общем аналогичны процессам, описанным в гл. VI, но естественно, что некоторые детали носят специфический характер. Наиболее существенное и замечательное различие связано с последним вопросом, оно касается роли краевого и полного сознания. Профессор Эйнштейн ссылается на «узость сознания»: тема, которую мы обсудили бы в гл. II, если бы не боялись зайти слишком далеко; этот вопрос исследуется в «Психологии» Уильяма Джеймса (гл. XIII, стр. 217 и следующие).
Было бы интересно сравнить идеи Макса Вертгеймера (связанного со школой гештальт-психологии) не только со сказанным в гл. VI, но и с первой частью гл. VII.
81
Аналогичным описанному является случай профессора Шевалле.
82
«Psychological Review», vol. 4, p. 71 (1891). Стенли (Stanley) говорит там в основном о поэтическом творчестве, где роль слов очевидно больше, чем в любом другом изобретательском процессе.
83
Один из профессоров Колумбийского университета написал мне, что у него математические раздумья сопровождаются обычно визуальными изображениями и почти никогда никакими словами, кроме тех, которые выражают удивление, раздражение, экзальтацию и т. д.
84
Th. Ribot, «Evolution des Idées générales», p. 143.
85
Pierre Boutroux, «L'Imagination et les Mathématiques selon Descartes», tome 10, p. 11, 18 (1900).
86
Как замечает Клейн, тот факт, что мы рассуждаем об угле в одну миллионную секунды, в то время как мы совершенно неспособны различить две стороны такого угла, является уже парадоксальным; и обсуждение этого парадокса Винтёром (Winter, «Revue de Métaphysique et de Morale», 1908, p. 323), одним из философов, которые лучше других разбираются в научных вопросах, показывает аналогию между этим обстоятельством и наблюдениями, которые мы приводим здесь.
87
Другой пример, который мы увидим в гл. VII на стр. 98, проиллюстрирует это ещё ярче и более убедительно. При разборе этого примера из гл. VII не возникает никакого сомнения (по крайней мере у меня) по поводу способа, которым производится разделение работы.
88
Julius Bahle, «Der Musikalische Schaffensprozess», Hirzel, Leipzig, 1936. Цитируется по книге: Henri Delacróix, «L'Invention et la Génie», p. 520.
89
Один художник мне говорил, что на первой стадии работы его визуальные представления являются произвольно расплывчатыми.
90
Аристид Бриан, по словам одного из его ближайших сотрудников, часто имевшего возможность видеть его за работой, думал словами, когда готовил свои речи. Слова появлялись в тот момент, когда их надо было произносить.
Конечно, стоило бы узнать мнение крупных представителей таких профессий, которым при работе приходится следить за всем ансамблем и за каждой деталью одновременно, например мнение крупных дирижёров.
91
Это также случай профессора Романа Якобсона (см. стр. 92).
92
«L'Evolution des Idées Générales», p. 143. У Жана Перрена, по словам его сына, возникали обрывочные изображения типографского типа. Франсис Перрен думает обычно без слов, но время от времени какое-то слово у него появляется. У Сидгвика идеи возникали в типографском представлении, когда он думал не над экономическими, а над математическими или логическими вопросами.
93
Макс Мюллер соглашается, что «при некотором усилии» он может представить себе ход мысли такого явного противника, как Беркли, и понять некий «вид философской галлюцинации», говоря его словами. Но он не может понять того мнения, что большинство, а не все наши мысли выражаются в словах, или что большинство, а не все люди думают словами. Тот факт, что некоторые из великих авторов говорят об этом не из-за «отсутствия смелости», а потому что так оно и есть, явно выше его понимания.
94
Сколь парадоксальным это ни является, есть два примера такого же типа из области математики. За несколько лет до первой мировой войны один математический вопрос, связанный с метафизикой, вызвал в нашей среде оживлённые споры, особенно между мной и одним из моих лучших и наиболее уважаемым друзей, крупным учёным Лебегом. Мы вынуждены были констатировать, что по-разному понимаем очевидность – эту отправную точку уверенности в мышлении всякого рода. Но, естественно, мы не стали презирать друг друга только из-за того, что мы поняли невозможность взаимопонимания.
Второй пример касается теории множеств. Когда в 1879–1884 гг. Георг Кантор опубликовал свои результаты по этой теории (являющейся теперь одной из основ современной науки), один из этих результатов казался настолько парадоксальным и меняющим наши основные понятия, что он вызвал решительную недоброжелательность Кронекера, одного из ведущих математиков того времени. В связи с этим Кронекер даже помешал Кантору получить новый пост в немецких университетах, и ни одно из его произведений не появлялось в немецкой периодике. Нужно ли говорить, что доказательство этого результата является столь ясным и строгим, как и всякое другое математическое доказательство, и не даёт никаких оснований оспаривать его.
95
Ибо, где не хватает понятий, там вовремя словечко вставят. См. «Фауст», ч. 1, пер. Б. Л. Пастернака, где эти строки переданы так:
Бессодержательную речь
Всегда легко в слова облечь.
– Прим. ред.
96
Th. Ribot, «Psychologic de l'Attention», p. 85. Рибо описывает одновременно развитие этой функции слова. Он пишет: «Обучение счёту детей или, ещё лучше, дикарей показывает, как слово, связанное первоначально с предметами, а затем с понятиями, отделяется постепенно от них и становится независимым».
97
«The Science of Thought», vol. 1, p. 97.
98
William James, «A Pluralistic Universe», p. 272.
99
См. H. Delacróix, «Le Langage et la Pensée», p. 381 и далее, и сравнить с замечаниями на стр. 406.
100
См. также Titchener, «Experimental Psychology of the Thought Processes», в особенности лекцию 1 и соответствующие замечания.
101
Тот же вопрос занимает большое место в некоторых психологических исследованиях Варендонка. См. Varendoncq, «Psychology of Day Dreams», особенно ch. II, p.75–86.
102
«Experimental Psychology of the Thought Processes», p. 7 и далее.
103
Вопросы, которых мы здесь слегка коснулись, связаны больше с арифметизацией, чем с теми идеями Гильберта, о которых мы упоминали в главе IV.
104
Тут можно сделать то же заключение, что и по поводу «Основ геометрии» Гильберта. Я дал упрощённое доказательство первой части теоремы Жордана; моё доказательство может быть, естественно, вполне арифметизовано, иначе оно не считалось бы доказательством, но, разыскивая его, я всё время думал о фигуре (всегда представляя её себе в виде весьма извилистой кривой), и так повторяется всегда, когда я думаю об этом доказательстве. Я даже не могу утверждать, что я строго проверил это доказательство или для каждого его звена я проверял возможность его арифметизации (другими словами, арифметизованное доказательство не возникало в моём сознании). Однако ни для меня, ни для какого-либо другого математика, который будет читать доказательство, нет сомнения в том, что каждое его звено может быть арифметизовано; я могу мгновенно дать это доказательство в арифметизованном виде, и это доказывает, что в такой форме доказательство имеется в моём краевом сознании.
105
«Science et Méthode», p. 104.
106
H. Poincaré, «Valeur de la Science», p. 11.
107
F. Klein, «The Evanston Colloquium», p. 46.
108
«Revue des Deux Mondes», январь – февраль, 1915, p. 657.
109
Из-за таких взглядов на вещи Клейн считал необходимым изменить доказательство одной знаменитой теоремы Эрмита; в одном месте он даже заявляет, что «доказательство не является ещё достаточно простым, в нём видны ещё следы идей Эрмита»; и это привело его к новому изменению. На самом же деле эти «упрощения» являются поверхностными и после них, как и раньше, всё – абсолютно всё существенное – базируется на основной идее Эрмита.
110
Сам Пуанкаре, несмотря на явление озарения, о котором мы говорили, никогда не производил на меня такого впечатления. Когда я читал одну из его крупных работ, у меня складывалось впечатление, что, как она ни замечательна, её уже давно должны были бы сделать (что, очевидно, является заблуждением); в то время как работы Эрмита, вроде той, о которой я говорил, вызывали у меня следующую мысль: «Какие замечательные результаты! Как он мог додуматься до такой вещи!».
Ясно, что такое суждение является в некоторой степени субъективным: вывод, который мне кажется логическим, т. е. соответствующий моему мышлению, и который для меня естественен, может показаться другому интуитивным. Почти все математики должны казаться самим себе логиками. Например, меня спросили, как я мог догадаться использовать для интегрирования уравнений в частных производных приём «главной части расходящегося интеграла»; конечно, если этот приём рассматривать сам по себе, то он может показаться типичным примером «мышления около». Но в действительности мой рассудок долгое время противился такой идее, до тех пор, пока я не был вынужден этого сделать; я пришёл к ней шаг за шагом и читатель-математик легко проверит это, если возьмёт на себя труд посмотреть мои исследования по этому вопросу, особенно мои «Исследования о фундаментальных решениях и по интегрированию линейных уравнений в частных производных», 2-й мемуар, в частности, начиная со стр. 121 (Annales Scientifiques de l'Ecole Normale Supérieure, tome XXII, 1905). Я не мог избежать этого метода, как заключённый в поэме Эдгара По «Маятник и колодец» не мог избежать колодца в центре своей камеры.
111
Ошибка, которую, однако, не надо ставить в упрёк Пуанкаре (см. следующее замечание).
112
Неизвестно, сам ли Вейерштрасс начертил эту фигуру или он только описал её словесно, так как он излагал этот метод лишь в своих устных курсах и в течение многих лет метод оставался неизвестным для всех, кроме его учеников.
113
Вообще говоря, как замечают некоторые авторы (см. Meyerson, «Du cheminement de la Pensée», tome 1, цитируется по Henri Delacróix, «L'Invention et la Génie», p. 480), часто существует большая разница между открытием какой-нибудь идеи и её выражением в словах.
114
По форме, но не по существу, фраза в тексте несколько отличается от записи, сделанной Ферма. – Прим. ред.
115
К настоящему времени известно, что соотношение xm + ym = zm неразрешимо в целых числах для m ≤ 2521. – Прим. ред. [Это было в 1970 году. Через 25 лет появилась работа Эндрю Уайлса, а ещё через пару лет – книга Саймона Сингха. – E.G.A.]
116
Такого рода подход в течение двух последних веков использовался наиболее знаменитыми математиками, начиная с Абеля. Все важные результаты, которые можно получить в этом направлении, видимо, получены; эти результаты весьма ограниченны. Академия Наук ежегодно получает несколько работ на эту тему, большинство из которых являются абсурдными, а в некоторых воспроизводятся уже известные результаты, полученные Абелем и другими.
117
Эти примеры Ферма и Римана относятся к арифметике. Арифметика, хотя с неё начинают преподавание в младших классах школы, оказывается одной из самых трудных (если не самой трудной) из математических наук, когда пытаются в неё углубиться. Существенные результаты в арифметике получают обычно тогда, когда арифметические вопросы сводят к высшей алгебре и к анализу бесконечно малых. (Арифметика у французских и немецких авторов часто применяется как синоним теории чисел. – Прим. ред.).
118
Заметим, что на примере этого открытия Римана вновь можно наблюдать разницу между двумя видами интуиции, которые Пуанкаре считал идентичными. Вообще говоря, Риман обладал интуицией в высшей степени геометрического характера, как это отмечал Пуанкаре, однако в работе о простых числах, где интуиция Римана достигает вершин глубины и таинственности, геометрические элементы не играют существенной роли.
119
Есть основания полагать, что дуэль, на которой был убит Галуа, была подстроена полицией. – Прим. ред.
120
Случай покажется ещё более странным, если заметить, что на той же 216 странице третьего тома, всего несколькими строками выше, Пуанкаре пишет: «Это исследование связано с трудным вопросом о второй вариации».
Однако в теории Вейерштрасса, т. е. в нашем современном вариационном исчислении, нет вопроса о второй вариации – она совершенно не используется.
Таким образом, на этой странице «Новых методов» получилось любопытное противоречие. Упоминание о «второй вариации» сделано человеком, который представления не имеет о новой теории. С другой стороны, Пуанкаре, показал, что он её вполне себе представлял, когда формулировал своё условие (А) (такую форму он придал условию Вейерштрасса). Однако до появления новой теории никто не думал о вещах такого рода: знали лишь классическое, но не столь адекватное «условие Лежандра».
Следует ли сделать заключение, что Пуанкаре испытал своего рода раздвоение личности?
121
Renan, «L'Avenir de la Science», p. 115. (см. рус. перевод: Эрнест Ренан, «Будущее науки», т.1–2, Киев, 1902, изд. К. Б. Фукс).
122
Для специалистов: это была «теорема композиции».
123
Это та самая теория, мимо которой я прошёл, «не заметив её», как я рассказывал об этом в гл. IV. Утешением для моего самолюбия было лишь то, что я дал звено, оказавшееся необходимым для выводов Фредгольма.
124
Небольшая неточность автора: задача о брахистохроне была поставлена и решена Иоганном Бернулли (а также Лейбницем, Ньютоном, Яковом Бернулли и Лопиталем) в конце XVII века. – Прим. ред.
125
Рассматривая один из вопросов аналлагматической геометрии (см. гл. IV), я недооценил его красоты и не уделил ему в достаточной мере внимания.
126
«The Art of Thought», стр. 206–210. Уоллас указывает на тот факт, что очень крупные учёные не стремятся к оригинальности, им это не нужно. Он говорит, что для них «в моменты работы устанавливается гармония между интенсивной деятельностью всей высшей и низшей нервной системы, с одной стороны, и сознательным волевым усилием, с другой».
127
Точка зрения, аналогичная той, которая высказывается нам в этой работе, изложена в недавно выпущенной брошюре Харди (Г. Г. Харди «Апология математика»). Хотя он и не даёт полного определения красоты (или «серьёзности», как он это называет) математического вопроса или результата, – определения, которое, естественно, должно учитывать и эстетическую сторону дела, – но Харди очень тонко и глубоко анализирует вопрос об условиях, которые должны быть соблюдены при таком определении.
Он рассматривает также вопрос о том, что влияет на исследователя. Он указывает три важных мотива и первым из них является, естественно, желание узнать истину. По причинам, о которых я говорил, я больше чем он отстаиваю положение, что именно этот мотив преобладает и даже необходим.
128
Случайно ли сходство эволюции идей у греческих философов и у мыслителей нашей эры по вопросу о словах и о мышлении без слов, и не проявляется ли в этом какой-то общий закон эволюция мышления? Естественно, этого нельзя утверждать, основываясь лишь на двух приведённых примерах. Но если бы это было доказано, такой факт был бы многозначителен. Возможно, что большой интерес представляет изучение этой проблемы в азиатской, или в арабской философии (особенно испанского периода).
129
Примерно соответствует сдаче кандидатского минимума по специальности. – Прим. ред.
130
Лишь несколько математиков ответили на вопросы 31.а) и 31.б), в частности в связи с топологическими аргументами типа доказательства теоремы Жордана (см. гл. VII, стр. 98). У всех без исключения геометрический аспект рассуждения является вполне сознательным. Один или двое из них чувствуют сразу же возможность выразить в аналитической форме любое звено этого рассуждения и даже способны немедленно найти этот перевод на аналитический язык (так что аналитическая форма доказательства должна находиться в краевом сознании); другим нужно приложить для этого большее или меньшее усилие.
131
Добавлено в настоящем издании. – Прим. ред.
132
Оценки на этих экзаменах весьма дифференцированны, даются по стобалльной системе по двадцати предметам. Адамар набрал около 1900 баллов.
comments
Комментарии
1
Примечание редактора: Для читателя будет небезынтересно познакомиться с этими высказываниями Гельмгольца. В своей речи при получении медали имени знаменитого окулиста Грефе Гельмгольц сказал следующее:
«Я могу сравнить себя с путником, который предпринял восхождение на гору, не зная дороги; долго и с трудом взбирается он, часто вынужден возвращаться назад, ибо дальше нет прохода. То размышление, то случай открывают ему новые тропинки, они ведут его несколько далее, и, наконец, когда цель достигнута, он, к своему стыду, находит широкую дорогу, по которой мог бы подняться, если бы умел верно отыскать начало. В своих статьях я, конечно, не занимал читателя рассказом о таких блужданиях, описывая только тот проторённый путь, по которому он может теперь без труда взойти на вершину… Признаюсь, как предмет работы, мне всегда были приятнее те области, где не имеешь надобности рассчитывать на помощь случая или счастливой мысли.
Но, попадая довольно часто в такое неприятное положение, когда приходится ждать таких проблесков, я приобрёл некоторый опыт насчёт того, когда и где они мне являлись, – опыт, который может пригодиться другим.
Эти счастливые наития нередко вторгаются в голову так тихо, что не сразу заметишь их значение, иной раз только случайность укажет впоследствии, когда и при каких обстоятельствах они проходили: появляется мысль в голове, а откуда она – не знаешь сам.
Но в других случаях мысль осеняет нас внезапно, без усилия, как вдохновение.
Насколько могу судить по личному опыту, она никогда не рождается в усталом мозгу и никогда за письменным столом. Каждый раз мне приходилось сперва всячески переворачивать мою задачу на все лады, так, что все её изгибы и сплетения залегли прочно в голове и могли быть снова пройдены наизусть, без помощи письма.
Дойти до этого обычно невозможно без долгой продолжительной работы. Затем, когда прошло наступившее утомление, требовался часок полной телесной свежести и чувства спокойного благосостояния – и только тогда приходили хорошие идеи. Часто… они являлись утром, при пробуждении, как замечал и Гаусс.
Особенно охотно приходили они… в часы неторопливого подъёма по лесистым горам, в солнечный день. Малейшее количество спиртного напитка как бы отпугивало их прочь».
Цит. по книге: А. В. Лебединский, У. И. Франкфурт, А. М. Франк, Гельмгольц, М., Наука, 1966, стр.131–132).
2
Примечание редактора: Исследования по теории автоморфных функций, о которых здесь говорит Пуанкаре, он вёл в творческом соревновании с крупным немецким математиком Феликсом Клейном. Позже, чем Пуанкаре, в 1915 или 1916 гг., читая курс лекций по истории математики XIX века, Клейн тоже рассказал о ходе своих работ, и этот рассказ имеет немало, общего с описанием Пуанкаре. Приведём здесь соответствующий отрывок, вошедший в книгу Клейна «Развитие математики в XIX веке».
См. там 3-ю часть: «Теория функций с 1850 по 1900 годы». Читателя и здесь не должны смущать специальные термины).
«Осень 1881 г. я провёл для лечения у Северного моря… Следуя тогдашним рекомендациям врачей, я решил в пасхальные каникулы 1882 г. снова отправиться к Северному морю, в Нордерней. Я хотел там, в спокойной обстановке, написать вторую часть своей работы, связанной с идеями Римана… Но я выдержал только 8 дней, так как существовать было трудно: мощные штормы не давали выходить из дому, и у меня началась сильная астма. Я решил поскорее уехать на родину, в Дюссельдорф. В последнюю ночь, с 22 на 23 марта, которую я из-за астмы проводил сидя на диване, внезапно в полтретьего передо мною возникла основная теорема такой, какой я её уже собственно раньше представлял себе с помощью чертежа 14-угольника в XIV томе журнала «Mathematische Annalen». На следующее утро в почтовой карете, в которой тогда надо было ехать из Нордена в Эмден, я ещё раз во всех деталях продумал то, что нашёл. Теперь я знал, что имею большую теорему. Приехав в Дюссельдорф, я всё сразу записал [напечатано в «Mathematische Annalen», т. 20 (1882), стр. 49–51], датировал 27 марта, послал это издателю, а корректуры распорядился направить Пуанкаре и Шварцу…»
