Текст книги "Николай Александрович Васильев (1880—1940)"

Автор книги: Валентин Бажанов

сообщить о нарушении

Текущая страница: 9 (всего у книги 11 страниц)

Глава 11
«Жизнь великих людей начинается с момента их смерти»^{1}.
Судьба логических работ Н. А. Васильева

Логика всегда занимала в науке особое место. Особое положение логики задается ее двойственной функцией по отношению к другим научным дисциплинам. Во-первых, в логике в явном виде фиксируются и изучаются способы рассуждений, которые неявно приняты, которые невидимо «работают» во всех областях научного знания. Во-вторых, в недрах логики складываются принципиально новые типы, принципиально новые способы рассуждений и доказательств, со временем перенимаемые иными науками и приобретающие характер своего рода общенаучных норм построения и развертывания знания.

Общенаучное значение современной логики поднялось на новую ступень потому, что процесс математизации в XX в. является отличительной чертой научного познания, а современная логика, по сути дела, есть логика математическая ^{2}. В той мере, в какой справедливо утверждение английского физика и историка науки Д. Уизема, что «математика – не что иное, как высшее развитие символической логики» (цит. по: [72, с. 202]), благодаря математизации современного научного знания сократилось и продолжает сокращаться «расстояние» между логикой и наукой (точнее, наукой за вычетом логики). Всеобщая компьютеризация – следствие и, пожалуй, наиболее общезначимый пример этого процесса.

Современная наука характеризуется еще одной особенностью, которая, впрочем, также тесно связана с математизацией научного знания, – интенсивным возникновением теоретических систем, которые обычно именуются неклассическими. Рождение неклассической науки восходит, по-видимому, к рождению неевклидовой геометрии. В настоящее время неклассическая наука в сфере математики и математического естествознания обогатилась неканторовой теорией множеств, неархимедовым (нестандартным) анализом, не говоря о неклассической – квантовой – физике, термодинамике и статистической физике неравновесных процессов, нелокальной теории поля и т. д. Теории и концепции неклассического содержания бурно возникали и в логике, причем логика вслед за геометрией оказалась одной из первых наук, которой коснулись неклассические тенденции. Это выразилось в создании неклассических логических систем, которые базируются либо на иных, нежели классические, принципах, либо обладают языками с более богатыми выразительными возможностями, либо покрываются другими семантиками, либо им присущи все или часть указанных свойств [55].

Неклассические логики могут строиться с целью расширить дедуктивные и выразительные возможности классической логики. Модальные логики, языки которых оснащены специальными операторами для выражения категорий возможности, необходимости, долженствования, запрещения, временного порядка и т. д., дополняют классическую логику. Неклассические логики также строятся как альтернативные системы к классическим – системы, например, свободные от тех или иных основополагающих принципов и (или) норм доказательности, которые присущи классическим системам и в справедливости которых ученые могли усомниться в процессе своей исследовательской практики. Альтернативные логики по замыслу их сторонников призваны превзойти в тех или иных отношениях классические или даже заменить их. Такого рода логиками являются интуиционистские, релевантные и паранепротиворечивые логики [55, с. 115].

Релевантные логики совершенствуют классическое понятие логического следования, главная особенность которого состоит в требовании истинности заключения при данных истинных посылках. Релевантное понятие логического следования прибавляет к этому требованию еще требование связи посылок и заключения по содержанию. Поэтому в релевантных логиках удается избежать парадокса материальной импликации (подробнее о релевантных логиках см.: [85]).

Интуиционистская (а также близкородственная ей конструктивистская) логика строится путем отказа от ряда важнейших положений классической логики – закона исключенного третьего и снятия двойного отрицания. Отвергая ряд коренных абстракций классической математики и логики, интуиционистская логика ориентирована на проведение алгоритмических процедур, свойственных точному конструктивному рассуждению" [52].

Паранепротиворечивые логики, пожалуй, самый необычный, даже можно с уверенностью сказать – революционный, класс логик. Революционный потому, что в них отвергается стержневой принцип классической логики, математики и классической науки в целом – принцип непротиворечивости теоретических систем, закрепленный в законе противоречия, прерогатива формулировки которого принадлежит аристотелевой логике (см.: [44]). Недопустимость двух утверждений в рамках одной системы, одно из которых является отрицанием другого, – даже не идеал, а норма любой, включая прежде всего, конечно, логику и математику, классической системы знания (и, строго говоря, некоторых относимых к неклассическим, например интуиционистских, теорий). Если система противоречива, to она тривиальна, т. е. в ней всякая формула является теоремой, в ней выводимо «все что угодно» – вот логико-методологическая установка классической науки, положение аристотелевой логики, которое образно можно назвать хребтом (основой) ее сложного организма. Действительно, для классических систем свойства противоречивости и тривиальности совпадают и, стало быть, противоречивые системы автоматически выталкиваются за пределы классической науки, чтобы быть при необходимости переформулированными в непротиворечивом виде. Так, противоречивой была (наивная) теория множеств Г. Кантора, но известные аксиоматики теории множеств (Цермело-Френкеля, Геделя и т. д.) уже, надо думать, непротиворечивы^{3}.

В 1950—1960 гг. выяснилось, что вполне возможно создание противоречивых, но в то же время нетривиальных систем, таких систем, в которых допустимы противоречивые теоремы, выраженные в форме закона противоречия. Они были названы паранепротиворечивыми (1976 г.).

Эти системы, крайне необычные с точки зрения общепринятой в течение многих столетий нормы непротиворечивости знания, требуют радикальной модификации методов логического и математического рассуждений. Исследование паранепротиворечивых логических и математических систем только начинается, но уже сейчас достаточно уверенно можно сказать, что они окажут значительно большее воздействие на всю архитектуру математики и применяемые в ней методы, а впоследствии, вероятно, и на все математическое естествознание, нежели то, которое можно было бы ожидать со стороны пусть качественно новой логики, но исходящей из того же самого (что и другие формальные системы) концептуального требования непротиворечивости. Уже в настоящее время, например, ясно, что в области паранепротиворечивых логик – логик, толерантных к противоречию, – должны быть пересмотрены стандартные методы доказательства таких фундаментальных результатов, как теоремы Геделя о неполноте и о непротиворечивости (непременным условием которых является непротиворечивость формальной системы), и не исключено, что должен быть пересмотрен даже смысл этих теорем (см.: [107, с. 161).

Н. А. Васильев стоял у истоков едва ли не большинства разделов современной неклассической математической логики (см. также: [43, 92]). Приоритет Н. А. Васильева в выдвижении новых логических концепций признан в мировом масштабе, однако это признание пришло спустя десятилетия после смерти ученого. Мысль П. Валери о том, что великие люди рождаются дважды: первый раз – просто как все люди, другой – как люди великие, оказалась и в данном случае провидческой. Действительно, Н. А. Васильев заслуженно считается основоположником паранепротиворечивой логики. Именно в паранепротиворечивой логике – логике, свободной от закона противоречия, – на формальном уровне воплощен лейтмотив воображаемой, в прямом значении неаристотелевой логики. Идеи, связанные с критикой еще в 1910 г. закона исключенного третьего, делают Н. А. Васильева тем, кто предвосхитил рождение еще одной альтернативной классической логики – интуиционистской. Кроме того, он является и родоначальником логики, дополнительной к классической, – многозначной.

Вплоть до 1960 г. работы Н. А. Васильева почти не замечались. Не замечались в силу ряда причин – из-за того, что они намного опережали свое время (первая логическая система, толерантная к противоречию, была построена независимо от работ Васильева Ст. Яськовским в 1948 г.; затем исследования подобных систем возобновились Н. Да Коста и Д. Нельсоном только десятилетие спустя), что они были практически недоступны ведущим зарубежным логикам и т. д. Между тем отдельные современники Васильева в какой-то мере понимали глубину замыслов ученого.

На фоне продолжительного забвения работ Н. А. Васильева знаменателен «Отзыв на работы по математической логике Н. А. Васильева», который был дан в начале 1927 г. выдающимся советским математиком, одним из основателей московской математической школы академиком (а в момент написания отзыва еще членом-корреспондентом) Н. Н. Лузиным (полный текст отзыва с краткими замечаниями и пояснениями помещен в приложении; см. также: [42]). Н. Н. Лузин, в частности, писал, что «работы Н. А. Васильева по логике имеют большое значение в отношении исследования принципов мышления вообще, но. . . в последнее время идеи Н. А. Васильева получили самую высокую важность вследствие новых течений в математике (имеются в виду интуиционизм и эффективизм; программу последнего успешно развивал сам Н. Н. Лузин. – В. Б.). Идеи Н. А. Васильева удивительным образом совпадают с новейшими усилиями, к которым должны теперь прибегнуть математики силою вещей» ^{4}.

Формулировка Н. А. Васильевым идей, к которым впоследствии математики должны были прибегнуть «силою вещей», вовсе не случайность, а закономерный итог теоретико-познавательных и методологических установок ученого, подготовленный упорным преследованием стратегической цели его программы «выработки цельного и полного философского мировоззрения» – программы, которая, как уже отмечалось, оставила глубокий след на духе и содержании всех последующих, и в первую очередь логических, исследований ученого. Это итог буквально виртуозного владения Н. А. Васильевым аппаратом традиционной логики и его особой исследовательской позиции относительно критики центральных пунктов аристотелевой логики.

К любой области исследований – будь то логика, психология, этика или история – Н. А. Васильев подходил с точки зрения ученого-философа, для которого на первом месте стоит идейная сторона дела, а не технические (хотя, быть может, и очень важные) детали. Это ярко проявилось в его логических изысканиях. К логике он подходил не как некоторые логики– профессионалы, для которых прежде всего существенны те или иные доказательные процедуры и приемы, так сказать, тактического и технического порядка, для которых особую привлекательность представляют механизмы формальных преобразований, «ближний прицел» логического мышления. К логике Н. А. Васильев подходил с позиций стратега, остро ощущающего пульс логической науки, находящейся на перепутье. Сам ученый подчеркивал, что его главной задачей является не столько «дать системы воображаемой логики», сколько «показать самый принцип, на котором она построена» [12, с. 231]. Поэтому, с точки зрения тех, кто находится под влиянием традиций классического математического образования, кто тяготеет к формальноматематическому стилю мышления, для кого особую прелесть представляют именно формальные выкладки, а не общие концептуальные соображения, кто, другими словами, не может не подходить к логике с позиций специалиста-тактика, склонного рассматривать развитие этой науки вне исключительно важного здесь исторического контекста, логические исследования Н. А. Васильева могут показаться содержащими «много общих рассуждений и мало результатов» [74, с. 321]. К такой оценке подталкивает и непривычный для современного ученого стиль мышления Н. А. Васильева, архитектура его работ, использованная в них аргументация и образ изложения (сказанное, впрочем, имеет силу для оценки чуть ли не всех работ, ныне считающихся классическими, но которые давно слагают фонд, принадлежащий лишь истории науки).

Фрагмент «Отзыва» Н. Н. Лузина о работах Н. А. Васильева

Однако как раз «общие рассуждения» и оказались способными впервые обнаружить дискуссионные пункты в аристотелевой логике, нащупать ее «болевые точки» и расчистить путь к построению формальной неаристотелевой логики, а также к расширению возможностей «старой» логики. Это и побудило крупнейшего советского алгебраиста и логика академика А. И. Мальцева с высоты прошедших лет оценить логические исследования Н. А. Васильева как «замечательные» события того далекого времени [74, с. 321].

В истории науки совсем не исключительны ситуации, когда какая-либо идея или концепция, в силу своего новаторского характера не находящие должного резонанса в среде ученых-современников, забывается, а через некоторый – иногда длительный – промежуток времени открывается заново, и именно с этого момента начинается отсчет работы в науке теории, в основу которой положена эта идея. Затем, зачастую случайно, бывает, обнаруживается, что данная идея уже некогда в той или иной форме высказывалась» кто-то предвосхитил ее контуры, ранее сформулировал ту «изюминку», благодаря которой теперь идея вошла в арсенал науки. Тогда точка отсчета рождения теории или ее стержневой идеи смещается вглубь по^шкале истории науки. Так произошло, например, с математической логикой.

Математическая логика как активно работающая в науке концептуальная единица, как дисциплина, развиваемая достаточно многочисленным научным сообществом, по-видимому, существует с деятельности Дж. Пеано и его школы. Труды же тех, кто раньше Пеано развивал математическую логику, скажем Г. Фреге или Ч. Пирса, оставались почти неизвестными вплоть до начала XX в. Более того, публикация ряда рукописей Лейбница отодвинула момент закладки фундамента математической логики в XVII в., и уже Лейбниц получает всеобщее признание как основоположник современной математической логики (см.: [62, с. 212]).

Однажды Андрей Белый заметил, что есть имена ученых, слава которых далеко опережает их труды, ибо квазинаучное обоснование общей мысли, разделяемой всеми, нравится более, чем строго научное обоснование новой и оригинальной, и если эти мысли облечены в скромную, незатейливую форму, а не ослепляющие парадоксы, то порой получается, что этого ученого надолго постигает забвение; новая, нужная, быть может, революционная мысль долго таится под спудом, покрывается пылью обыденности, в возможном интересе нескольких специалистов к частностям исследования растворяется руководящая мысль. Но с тем большим восторгом, считал Андрей Белый, последующая эпоха видит в обычном и забытом необычное, глубоко оригинальное, искристый свет начинает пробиваться сквозь пыль архивов.

История возрождения идей воображаемой логики Н. А. Васильева где-то напоминает нарисованную картину: несмотря на то что работы Н. А. Васильева вошли в знаменитую библиографию по символической логике А. Черча, помещенную в ведущем логико-математическом журнале в 1936—1938 гг.^{5}, идеи и концепция Васильева в целом стали приобретать признание с появления статьи В. А. Смирнова [88], ее реферата в крупнейшем международном логическом журнале и статьи Дж. Клайна [1051 (см. также: [99, с. 3]). Дж. Клайн объявил Н. А. Васильева родоначальником многозначной логики, и его мнение было поддержано таким авторитетным логиком, как Н. Решер [108], и таким историком науки, как М. Джаммер [104].

Действительно, к классам утвердительных и отрицательных по качеству суждений Н. А. Васильев добавляет в своей воображаемой логике новый класс – индифферентных (аналог акцидентальных в логике понятий). Принцип двузначности суждений довлел над умами математиков в течение нескольких тысячелетий. Поскольку всякий концепт истинностного значения принято считать суждением независимо от того, несет ли он смысл какого-либо предложения (см.: [97, с. 32]), то набор истинностных значений, состоящий лишь из двух значений – «истинно» или «ложно», введением индифферентного суждения, по сути дела, расширяется до третьего («колебание между утвердительным и отрицательным суждениями»). Понятно, что введение нового класса суждений было сопряжено с существенным пересмотром многих логических принципов, а также природы законов логики (см.: [40]).

Академик А. И. Мальцев писал, что, хотя в России до Великой Октябрьской социалистической революции не имелось устойчивых алгебраических школ, в нашей стране был выполнен ряд «первоклассных алгебраических исследований, оставивших большой след в истории математики. В первую очередь мы хотим здесь отметить замечательные работы Е. И. Золотораева, Е. С. Федорова, Ф. Э. Молина, а также Н. А. Васильева» [71, с. 473]. А. И. Мальцев разъяснил, какие моменты исследований Н. А. Васильева представляют особую ценность в связи с развитием и современным состоянием математической логики. «Некоторые разделы современной алгебры, – указывал он, – посвящены изучению алгебраических структур, возникших в математической логике. Работа этого рода в России была начата в Казанском университете. . . Здесь Платон Сергеевич Порецкий. . . прочитал в 1887/88 г. первый в нашей стране курс математической логики. . . Уже после смерти П. С. Порецкого Казанский университет снова стал родиной яркой новой идеи – идеи многозначных логик, выдвинутой Н. А. Васильевым. . . Логика Васильева была вариантом трехзначной логики, хотя и без достаточно разработанной ее "алгебры”. Это дает Н. А. Васильеву почетное место в истории науки в ряду основателей многозначных логик» [71, с. 474—475]. Добавим, что Н. А. Васильев не ограничивался признанием возможности одной только трехзначной логики. Согласно Васильеву, допустимо «какое угодно число качественно различных суждений», т. е. мыслимы k-значные логики. Первые формализованные системы многозначной (а точнее – трехзначной) логики были построены десять лет спустя после выхода работ Васильева Я. Лукасевичем и Э. Постом.

Введение нового класса индифферентных суждений сопровождалось у Н. А. Васильева последовательной и обстоятельной критикой закона исключенного третьего, непосредственно связанного с отказом от принципа двузначности логических суждений, причем им различаются «определенно-числовые суждения» от «неопределенно-числовых суждений». Это придает его работам содержание, которое справедливо расценивается как предвосхищение ряда положений не только интуиционистской, но и конструктивной логики [92]. Как раз на это содержание обратил внимание академик Н. Н. Лузин. Критика закона исключенного третьего проводилась Н. А. Васильевым почти одновременно с родоначальником интуиционизма Л. Э. Я. Брауэром и уж, разумеется, совершенно независимо от него. Однако идеи Брауэра в дальнейшем имели более счастливую судьбу.

А. И. Мальцев, естественно, не мог быть информирован о том, что начаты исследования формальных систем, толерантных к противоречию, известных ныне как паранепротиворечивые. А между тем, по мнению Н. А. Васильева, воображаемая логика представляла собой именно такую систему. «Возможно, еще с большим основанием, чем в случае многозначных логик, Н. А. Васильев может считаться предшественником неклассических логик, построенных для исследования противоречивых, но нетривиальных теорий», – подчеркивала Аида Арруда, активно пропагандировавшая идеи Н. А. Васильева и внесшая крупный вклад в развитие паранепротиворечивых логик [99, с. 4] (см. также: [107, с. 5]).

Мнение А. И. Арруды о том, что Н. А. Васильев «еще с большим основанием», чем в случае многозначных логик, должен считаться основателем паранепротиворечивых логик, обосновано тем обстоятельством, что центральный пункт воображаемой логики – это отказ от закона противоречия, находящегося в самом ядре развития логических традиций Аристотеля, а именно данное положение выражает и суть паранепротиворечивых систем. В этих системах А и не-А могут одновременно иметь статус теорем, и их конъюнкция, значит, тоже теорема. Освобождая логику от закона противоречия, Н. А. Васильев осознавал, что в результате открывается перспектива создать в высшей степени оригинальные с классической точки зрения логические системы. И хотя автор воображаемой логики утверждал, что «каждому пункту нашей (т. е. аристотелевой. – В. В.) логики соответствует определенный пункт» воображаемой логики, содержание каждого из соответствующих «пунктов», конечно же, оказалось весьма различным. Так и паранепротиворечивая логика, и математика, развитие которых по историческим меркам можно сопоставить с порой младенчества, достаточно существенно отличаются от привычных нам логики и математики не только по своим результатам и концептуальной базе, но и по нормам рассуждений, доказательств и, вероятно, даже по канонам строгости. Уже построен ряд систем в паранепротиворечивой теории множеств, делаются шаги на пути создания паранепротиворечивой теории моделей, алгебраических структур, арифметики, ведутся исследования различных паранепротиворечивых логик, в том числе модальных и временных, причем одна серия паранепротиворечивых формальных систем получила название Васильевских ^{6}. Кроме того, расширяется поле приложений новой концепции, в рамках которой имеется серьезная надежда формализовать наивную теорию множеств, ньютоно-лейбницеву версию математического анализа, ранние варианты квантовой механики и другие противоречивые, содержащие антиномии теории.

Страница одной из современных работ, посвященных анализу логики Н. А. Васильева

Сторонники паранепротиворечивой логики говорят даже о формализации некоторых «урезанных» фрагментов диалектического мышления. Главная привлекательность (и вместе с тем необычность) паранепротиворечивых систем заключается в возможности их использования для формализации такого рода ситуаций, в которых стандартные методы классической математики порождают теории, неизбежно сопровождаемые парадоксами, антиномиями.

Говоря о паранепротиворечивой математике и логике, нельзя не упомянуть о том, что во многом благодаря их развитию среди ученых западных стран наблюдается дальнейший отход от философских взглядов позитивизма и своего рода «открытие» диалектики. Как известно, позитивизм считает диалектику несостоятельной потому, что в диалектике признается существование истинных противоречий, а наличие противоречия в теории якобы тривилизирует ее в силу разрушительного действия логического закона Дунса Скотта («из противоречия следует все что угодно»). Подобный аргумент, в частности, неоднократно выдвигал К. Поппер, чем пытался обосновать свое неприятие диалектического способа мышления. Этот же аргумент, кстати, был положен К. Поппером в основу крайне низкой умозрительной оценки возможностей паранепротиворечивой логики. «Удивительно, – писал Н. Да Коста, – что философ может так же настаивать на своем мнении относительно возможностей паранепротиворечивой логики, как в этом упорствовал Поппер. В действительности. . . существуют паранепротиворечивые системы, значительно более сильные, чем классические. . . Можно с соответствующими оговорками выдвинуть положение, что диалектика не поддается критике с логической точки зрения» [55, с. 124]. В настоящее время среди западных ученых, в первую очередь среди логиков и математиков, укрепляется мнение, что попытки отвергнуть диалектику отражают «реакционные и отсталые тенденции», а создание паранепротиворечивых систем сыграло роль «спускового механизма для изучения диалектики» [107, с. 16].

Значение паранепротиворечивой логики и математики не ограничивается лишь моментами, касающимися распространения диалектики. Оно шире и, думается, затрагивает судьбы теоретического уровня знания в целом, имеет глубокие философские последствия. На самом деле противоречивость внешнего мира является едва ли не общезначимым положением. Тем не менее противоречивый в своей сущности мир отражался посредством непротиворечивых теорий. Возникновение паранепротиворечивой математики и логики, вероятно, в конечном итоге приведет к ликвидации этого несоответствия и может быть истолковано в свете усиления тенденций к диалектизации науки. Недаром ведущие паранепротиворечивые логики связывают развитие своей концепции с торжеством диалектической традиции, берущей свое начало у Гераклита, продолженной Гегелем и достигшей апогея в диалектическом материализме К. Маркса, Ф. Энгельса и В. И. Ленина (см.: [100]), а в качестве своего рода девиза паранепротиворечивого направления в логике и математике избрано изречение Гегеля, что противоречие есть принцип истины, но не принцип лжи.

Н. А. Васильев стоит у истоков концептуального, идейного ядра параненротиворечивых систем, но в них нашли свои «образы» и отдельные положения воображаемой логики. К примеру, это касается двух видов отрицания, введенных Васильевым.

Помимо идейных предпосылок к созданию многозначных и параненротиворечивых логик, труды Н. А. Васильева включали элементы исследований, позже оформившихся в самостоятельные исследования и получивших название метатеоретических. Разработка Н. А. Васильевым концепции металогики как науки, которая описывает общие структуры и свойства всех возможных логик, рассмотрение вопроса о зависимости друг от друга исходных логических законов, подчеркивание настоятельной необходимости развернуть с помощью метода воображаемой логики исследования, аналогичные исследованиям по основаниям геометрии, его мысль о упорядочивающей роли воображаемой логики для учения о принципах и законах мышления, о необходимости аксиоматизации логики, наконец, сам синтетический и критико-рефлексивный характер его подхода к анализу особенностей и недостатков аристотелевой логики, его аргументации – все это говорит в пользу того, что в работах Н. А. Васильева делается шаг на пути к метатеоретическим исследованиям, полностью оформившимся в теории доказательств Д. Гильберта.

В заключение анализа связи идей Н. А. Васильева с современной математикой и логикой отметим, что на работу ученого [251 имеется, надо полагать, совсем не случайная, ссылка в знаменитой книге Р. Фейса по модальной логике [95]. По всей видимости, учение Н. А. Васильева об индифферентных, акцидентальных и неопределенных суждениях, в записи которых использовалась одна из алетических модальностей, было созвучным некоторым исходным концептуальным посылкам современной модальной логики.

Возможно, что в воображаемой логике Н. А. Васильева могут обнаружиться и другие, пока не замеченные, но небезынтересные с точки зрения современной логики и математики, положения^{7}.

«Я прекрасно осознаю, – писал Н. А. Васильев в 1912 г. в статье „Воображаемая (неаристотелева) логика", – что защищаемая здесь мысль об иной логике противоречит тысячелетнему убеждению человечества. . .» [12, с. 246]. Прошло более полувека. Идеи воображаемой логики восстали, подобно легендарной птице Феникс, из пепла, и их судьбу можно выразить словами Эмиля Верхарна, поэта, столь ценимого Николаем Александровичем:

Сегодня всему наступает пора,

Что чуть ли не бредом казалось вчера.