Текст книги "Космические рубежи теории относительности"

Автор книги: Уильям Кауфман

сообщить о нарушении

Текущая страница: 4 (всего у книги 20 страниц)

За последнее десятилетие учёные неоднократно ставили эксперименты, чтобы найти тахионы. Либо тахионы слабо взаимодействуют с обычным веществом, либо они просто не существуют. Эти эксперименты обычно заключаются в поиске какого-то совершенно неожиданного явления для ядерной физики. Представим себе, например, такой дорожный инцидент: тяжело нагруженный грузовик на полной скорости врезается в стоящий «Запорожец». Ясно, что небольшой автомобиль при таком столкновении будет отброшен по шоссе в том направлении, в котором двигался до столкновения грузовик. Однако если бы в столкновении участвовали тахионы, то «Запорожец» мог быть отброшен и в противоположную сторону. В некоторых экспериментах легкие ядра обстреливаются тяжелыми ядрами. Если бы легкие ядра при этом отскакивали в сторону, противоположную первоначальному полёту тяжелого ядра, то это свидетельствовало бы о присутствии тахионов. Но все эксперименты, предназначенные для обнаружения тахионов, закончились полной неудачей.

В начале 1974 г. два физика, Р. Клей и Ф. Кроуч, опубликовали данные, которые можно было бы назвать «косвенным свидетельством» существования тахионов. Они провели подробный анализ широких атмосферных ливней, возникающих при вторжении в верхние слои земной атмосферы космических лучей высоких энергий. Космические лучи – это атомные ядра и элементарные частицы высокой энергии (обычно протоны или электроны), приходящие из глубин космоса с субсветовыми скоростями. Когда эти частицы (или первичные космические лучи) сталкиваются с атомами в верхних слоях атмосферы Земли, в результате этих катастрофических столкновений возникают «ливни» ядерных частиц. Обычно атмосферные ливни возникают на высоте примерно 25 км и состоят из множества частиц, также движущихся со скоростями, близкими к скорости света. Эти вторичные частицы сталкиваются с атомами в более низких слоях земной атмосферы, порождая в свою очередь огромное число новых частиц, падающих дождем на Землю (рис. 3.17).

РИС. 3.17. Широкий атмосферный ливень космических лучей. Такой ливень порождается протоном или электроном высокой энергии при столкновении с атомом в верхних слоях земной атмосферы. Примерно через 6 стотысячных секунды все образовавшиеся при столкновении осколки «дождем» падают на Землю.

Чтобы пройти расстояние 20 км, свету требуется примерно 6 стотысячных секунды. Поэтому обычные частицы (тардионы) широкого атмосферного ливня должны прийти на землю более чем через 6 стотысячных секунды после первого столкновения частицы первичных космических лучей с атомом в верхних слоях земной атмосферы. Клей и Кроуч обнаружили малые ливни, непосредственно предшествовавшие началу широкого атмосферного ливня (рис. 3.18). Это, по-видимому, указывает на присутствие в атмосферном ливне тахионов. Клей и Кроуч проанализировали данные о 1307 атмосферных ливнях, зарегистрированных с сентября по август 1973 г. Их анализ дал статистически значимое число частиц, пришедших менее чем за 6 стотысячных секунды до начала собственно широкого атмосферного ливня.

РИС 3.18. Порождаются ли тахионы космическими лучами? Если бы при столкновении космических лучей с атомами в верхних слоях земной атмосферы рождались тахионы, то они достигали бы поверхности Земли раньше, чем все остальные частицы.

Хотя работа Клея и Кроуча вовсе не доказывает, что тахионы существуют, их результаты, несомненно, представляют интерес. Будем надеяться, что дальнейшие наблюдения широких атмосферных ливней в конце 1970-х годов либо подтвердят, либо опровергнут существование «предвестников», приходящих менее чем за 6 стотысячных секунды до начала ливня. Если существование тахионов подтвердится, то это радикально повлияет на всю науку: причинность может нарушаться – следствие может предшествовать своей причине.

4

ГРАВИТАЦИЯ И ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

Основная задача, с которой встретились древние астрономы – это объяснение движения планет. Наблюдая их на протяжении тысячелетий, люди узнали, что планеты движутся лишь в узкой полосе двенадцати созвездий, опоясывающих небосвод и получивших название Зодиака. При этом каждая планета описывает на протяжении недель или месяцев сложный путь среди неподвижных звёзд этих созвездий (рис. 4.1). Именно поэтому слово «планета» происходит от древнегреческого глагола, означающего «странствовать».

РИС. 4.1. Видимый путь планеты Марс. На приведенной карте звёздного неба показан видимый путь Марса в созвездии Козерога в 1971 г.

Стремление понять движение планет имело в древности глубокие причины. Планеты почитались как олицетворение богов, и понять их движения означало для людей постижение намерений богов, обитавших на небесах. Очевидно, те жрецы или астрологи, которые могли предсказать движение планет среди неподвижных звёзд, обладали и богатыми знаниями, и властью.

Из всех систем мира, созданных в древности для объяснения движения планет, наибольшей известностью пользовалась система Птолемея, жившего в Александрии во II в. н. э. Система мира Птолемея была уточнением и усложнением более раннего труда Гиппарха, исходившего из двух основных предположений. Во-первых, древние были убеждены, что Земля находится в центре Вселенной. Если вы едете на лошади или в колеснице или просто прогуливаетесь, то факт вашего движения очевиден. Но так как почва под вашими ногами неподвижна, то вполне разумно предположить, что Земля покоится. Поэтому из еженощных наблюдений звёздного неба древние заключили, что оно обращается вокруг нашей Земли, которая неподвижна и находится в центре Вселенной. Во-вторых, прямая и непосредственная связь небес с богами обеспечивает им совершенство. А поскольку небеса совершенны, то любая попытка объяснить движения небесных светил по необходимости должна исходить лишь из окружностей – наиболее совершенных фигур в геометрии. Поэтому система мира Птолемея – это геоцентрическая система, в которой всё должно объясняться с помощью окружностей и круговых движений.

В Древней Греции господствовала точка зрения, что странствия планет среди созвездий Зодиака следует объяснять предположением, что планеты обращаются по эпициклам- окружностям, которые в свою очередь движутся по деферентам, центр которых приблизительно совпадает с Землей (рис. 4.2). Вклад Птолемея в эту систему состоял в её разработке во всех подробностях. В его «Альмагесте», включающем 13 книг, содержится всё, что должен был знать древний астроном или астролог, чтобы рассчитать положение Солнца, Луны и планет на каждую ночь.

РИС. 4.2. Система мира Птолемея. В геоцентрической системе Птолемея движение планет описывается с помощью системы окружностей. Считается, что планета движется по эпициклу, который в свою очередь следует по деференту, центр которого совпадает с Землей.

Система мира Птолемея просуществовала более тысячи лет как истинная картина физической реальности. Столь долго не продержалась ни одна другая система взглядов в астрономии. Однако, когда надёжность и точность астрономических наблюдений возросли, стало совершенно ясно, что для получения правильных результатов систему Птолемея необходимо изменить. Но её усовершенствование обычно сводилось к предположениям, что по эпициклам движутся дополнительные эпициклы. В конце концов в системе стало так много разных круговых путей, по которым со всевозможными скоростями обращались планеты, что геоцентрическая система мира оказалась под угрозой развалиться под тяжестью собственной сложности. Назрело время для радикальной перемены в нашем мышлении.

В III в. до н. э. Аристарх Самосский выдвинул гипотезу, что Вселенная окажется несравненно проще, если принять, что в её центре находится Солнце, а Земля наравне с другими планетами обращается вокруг него. То, что такая система способна объяснить сложное движение планет, легко увидеть на рис. 4.3. Когда Земля обгоняет медленно движущуюся внешнюю планету, та как бы приостанавливает своё обычное (прямое) движение на восток и начинает попятное движение среди звёзд, очерчивая петлю на небе. Хотя такая гелиоцентрическая картина мира позволяла упростить объяснение движения планет, она была отвергнута древними астрономами как лишенная основания, ибо требовала движения Земли вокруг Солнца.

РИС. 4.3. Гелиоцентрическая система мира. Видимое движение планет на небосводе может быть без труда объяснено движением Земли вокруг Солнца. Как видно из рисунка, когда Земля обгоняет медленнее движущуюся внешнюю планету, то кажется, что эта планета сначала останавливается в своем движении, а затем на некоторое время начинает смещаться вспять.

РИС. 4.4. Николай Коперник (1473-1543).

В конце эпохи Возрождения благодаря труду Николая Коперника (рис. 4.4) произошло, наконец, подлинное возрождение гелиоцентрической системы мира. В отличие от Аристарха, который лишь высказал общую идею, Коперник кропотливо разработал все математические детали гелиоцентрической системы и показал, что её действительно можно положить в основу точного предвычисления положений планет. К сожалению, Коперник в своей работе продолжал пользоваться круговыми орбитами, и в итоге для точного описания движений планет пришлось включить эпициклы. Однако если в наиболее полной формулировке системы Птолемея требовалось в общей сложности 79 окружностей, то гелиоцентрическая система Коперника для достижения такой же степени точности требовала лишь 34 окружности.

Несмотря на противодействие со стороны церкви, гелиоцентрическая гипотеза начала постепенно завоевывать признание. Она была подтверждена наблюдениями в Италии, где Галилео Галилей, пользуясь изобретенным им телескопом, открыл фазы Венеры и четыре самых больших спутника Юпитера. Его наблюдения показали, что вокруг других планет обращаются небесные тела, а не только вокруг Земли. В частности, единственном разумным объяснением существования фаз Венеры было признание того, что она обращается вокруг Солнца (рис. 4.5).

РИС. 4.5. Фазы Венеры. Галилей обнаружил, что у Венеры, как и у Луны, происходит смена фаз. Такой вид Венеры при взгляде в телескоп можно объяснить, если учесть, что она обращается вокруг Солнца, а не Земли.

Тем временем в Северной Европе молодой талантливый астроном Иоганн Кеплер (рис. 4.6) пытался описать орбиты планет при помощи более сложных, чем окружности, кривых. Учитель Кеплера, Тихо Браге, накопил за два десятилетия исключительно точные наблюдения планет. Анализируя эти данные, Кеплер пришел к заключению, что любая система, опирающаяся на эпициклы, в корне порочна. Современная астрономия берет своё начало от гениального решения испробовать в качестве орбит разные кривые.

РИС. 4 6. Иоганн Кеплер (1571-1630).

После многих проб и ошибок Кеплер пришел к выводу, что движение планет может быть очень точно описано в предположении, что их орбиты – эллипсы. Эту кривую легко нарисовать, если взять две кнопки, нитку и карандаш; остальное см. на рис. 4.7. Острия кнопок соответствуют фокусам эллипса. Фундаментальное открытие Кеплера, называемое теперь первым законом Кеплера, состоит в утверждении, что любая планета движется вокруг Солнца по эллиптической орбите с Солнцем в одном из фокусов. Второй закон Кеплера описывает скорость движения планеты по эллипсу, а третий задаёт связь между размерами этой эллиптической орбиты и периодом времени, за которое планета завершает полный оборот.

РИС. 4.7. Эллипс. Его можно вычертить, воспользовавшись двумя кнопками и петлей из нитки.

РИС. 4.8. Исаак Ньютон (1643-1727).

Законы Кеплера это эмпирические законы. Он потратил много лет, проверяя разные предположения, пока, наконец, не нашёл правильный результат. Совершенно иначе, чем Кеплер, действовал Исаак Ньютон (рис. 4.8), выбравший чисто теоретический подход к проблеме движения планет. В XVII в. Ньютон сформулировал три основных закона о природе движения. Согласно его первому закону, все тела сохраняют состояние покоя или равномерного и прямолинейного движения, если на них не действуют внешние силы. Однако планеты движутся не по прямолинейным траекториям. Следовательно, должна существовать сила, действующая на планеты и вынуждающая их двигаться по эллиптическим орбитам. Применив к законам Кеплера строгие математические методы, Ньютон установил, что эта сила всегда направлена в сторону Солнца; ему удалось также определить, как именно зависит эта сила от расстояния от Солнца до планеты, получившая название всемирного тяготения (гравитации), а Ньютоново описание того, как она действует, выражено в его законе всемирного тяготения.

РИС. 4.9. Закон тяготения Ньютона. На рисунке показано, как сила тяготения уменьшается при увеличении расстояния от порождающего её тела. Удалившись на вдвое большее расстояние, вы обнаружите, что сила тяготения уменьшилась в четыре раза.

Хотя закон тяготения Ньютона лучше всего выражается математически формулой, зависимость силы тяготения от расстояния можно изобразить и графически (рис. 4.9). Допустим, что вы находитесь на расстоянии 1 м от тела, притягивающего вас с силой 1 кг. При удвоении расстояния до источника тяготения сила гравитации станет вчетверо меньше. Соответственно на расстоянии 3 м сила тяготения будет равна лишь 1/9 кг. Приближаясь к источнику тяготения, вы заметите, что гравитация усиливается. На расстоянии 0,5 м эта сила учетверится, а на расстоянии 10 см гравитационная сила достигнет 100 кг.

Можно привести и другой наглядный пример поведения гравитации. Представьте себе человека весом 60 кг, стоящего на поверхности Земли (рис. 4.10). Округляя значение радиуса Земли, можно сказать, что человек находится на расстоянии 6500 км от центра источника тяготения. Пусть теперь он поднимется на вершину лестницы – стремянки высотой 6500 км. Он окажется тогда вдвое дальше от центра Земли и будет весить поэтому вчетверо меньше, чем прежде. Если поставить на верх стремянки обычные напольные весы, то он найдет, что его вес равен всего 15 кг.

РИС. 4.10. Закон тяготения. На этих четырёх рисунках показано, как ведет себя сила тяготения. Вес человека зависит от его расстояния до центра Земли.

Существенно, что точно такой же результат получится в том случае, когда радиус Земли возрастет вдвое. Если расстояние между всеми атомами, составляющими Землю, удвоится, то удвоится и поперечник нашей планеты. Число атомов Земли останется прежним, так что мы не добавим и не убавим ни одного грамма вещества. Мы всего-навсего иначе разместим вещество, из которого состоит Земля. Тогда наш приятель, весивший 60 кг, окажется на расстоянии 13000 км от центра Земли и будет весить только 15 кг.

Поведение гравитации можно иллюстрировать и обратными примерами. Если сжать Землю вдвое по сравнению с её исходными размерами, то наш приятель станет весить вчетверо больше, т.е. 240 кг. Сжав Землю до одной десятой её прежних размеров, мы обнаружим, что стоящий на её поверхности человек будет весить уже 6 т.

Отсюда ясно, что если бы можно было сжимать тела до очень малых размеров, то стало бы возможно создавать чрезвычайно сильные гравитационные поля. Если бы удалось заставить сжаться до ничтожно малых размеров звезду, Землю или просто песчинку, то сила тяжести на поверхности образовавшегося тела стала бы столь велика, что даже свет не мог бы её покинуть. В 1795 г. французский математик Лаплас отметил это интересное свойство гравитации: что скорость убегания с очень сильно сжатого или очень массивного объекта может превысить скорость света. Но прошло целых 170 лет, пока астрономы поняли многие аспекты эволюции звёзд, рассмотрели всерьёз последствия рождения наблюдаемой нами Вселенной в чудовищном взрыве и начали исследовать свойства сверхсильных гравитационных полей.

Сформулировав закон тяготения, Ньютон обнаружил, что он теперь может не только чисто математически вывести и проверить законы Кеплера, но и сделать гораздо больше. Например, Ньютон доказал с помощью разработанных им математических методов, что орбиты тел, движущихся около Солнца, могут быть любой кривой из семейства конических сечений. Коническим сечением называется кривая, получающаяся при сечении конуса плоскостью (рис. 4.11). К коническим сечениям относятся окружности, эллипсы, параболы и гиперболы. По какой именно из этих орбит будет двигаться данное тело, определяется значением его скорости. При сравнительно малой скорости объект движется по замкнутой кривой – окружности или эллипсу. Но если скорость тела достаточно велика, его энергии хватит, чтобы покинуть Солнечную систему. Такой объект (скажем, комета) будет двигаться по параболической или гиперболической орбите.

РИС. 4.11. Конические сечения. Коническое сечение – кривая, которая получается, если конус рассечь плоскостью. В сечении будет эллипс, парабола или гипербола.

РИС. 4.12. Уран и три его луны. Уран был случайно открыт в 1781 г. Спустя несколько десятилетий астрономы обнаружили, что он движется по небосводу иначе, чем этого требуют точные расчёты. (Ликская обсерватория.)

В течение двухсот лет, прошедших после пионерских работ Ньютона, его закон тяготения получил множество убедительных и ярких подтверждений. Так, Вильям Гершель в 1781 г. совершенно случайно открыл в созвездии Близнецов планету Уран (рис. 4.12). После необходимых измерений её положений на небе была рассчитана орбита Урана в соответствии с ньютоновским законом тяготения. Но к 1840 г. астрономы убедились, что Уран в своем движении по небосводу отклоняется от вычисленного пути. Быть может, на таком большом расстоянии от Солнца закон тяготения неверен? Едва ли! В Англии один студент – астроном произвел сложные вычисления и показал, что необычное поведение Урана можно полностью объяснить воздействием на него более далёкой от Солнца, чем Уран, планеты. Такая дополнительная, хотя и незначительная сила слегка отклоняла движение Урана от теоретически высчитанного пути. К сожалению, на результаты вычислений этого юноши не обратили должного внимания – ведь он был только студентом. А вскоре независимо такие же вычисления проделал один французский астроном, который также предсказал и положение на небосводе этой ещё не открытой планеты. Он написал об этом в одну немецкую обсерваторию. В день получения письма погода была ясная, и в ту же ночь человек впервые увидел восьмую планету Солнечной системы – Нептун (рис. 4.13). Закон всемирного тяготения Ньютона оказался столь точным и столь универсальным, что с его помощью удалось предсказать существование ещё не известной ранее планеты! Нечего и говорить, какие бурные споры начались между английскими и французскими астрономами о том, кому принадлежит честь открытия...

РИС. 4.13. Нептун и самый крупный из его спутников. Астрономы предсказали существование Нептуна, чтобы объяснить аномалии движения Урана. Нептун был открыт поистине «на кончике пера». (Ликская обсерватория.)

Но несмотря на все успехи закона тяготения, к концу XIX в. стало очевидно, что с орбитой самой близкой к Солнцу планеты – Меркурия – не всё в порядке. Теоретически, если учесть влияния на Меркурий притяжения всех остальных известных планет, то «в остатке» должен был бы получиться идеальный эллипс с Солнцем в одном из его фокусов. Однако на практике этот «остаток» приводил к ничем не объяснимому очень медленному повороту эллипса. По существу, орбита Меркурия имеет вид розетки, которая в сильно увеличенном виде изображена на рис. 4.14.

РИС. 4.14. Орбита Меркурия. На рисунке показано, что орбита Меркурия очень медленно поворачивается вперёд по ходу движения планеты. Это свойство не поддаётся объяснению с помощью законов Ньютона.

Учитывая историю с Ураном и Нептуном, некоторые астрономы выдвинули предположение о существовании неизвестной планеты между Солнцем и Меркурием – Вулкана и принялись за её поиски, но безуспешно. Тогда другие астрономы предложили несколько видоизменить закон Ньютона, однако те поправки, которые нужно было ввести в закон для объяснения движения Меркурия, приводили к неверным результатам для внешних планет. Одним словом, классической физике Ньютона не удалось объяснить незначительную, но тревожную аномалию движения Меркурия. Пришла пора снова радикально перестроить наши представления.

Ещё в гл. 1 мы говорили о том. что, смотря на звёзды в ночном небе, мы в действительности заглядываем в прошлое. Это заставляет нас думать о времени как о четвертом измерении, существующем наряду с тремя обычными пространственными измерениями. Однако, наблюдая небо, мы обнаруживаем к тому же, что в астрономических масштабах тяготение – это самая главная сила природы. Оно удерживает Луну на её орбите вокруг Земли; оно обеспечивает устойчивость Солнечной системы; и тяготение оказывается главной силой взаимодействия между звёздами и галактиками, по-видимому определяя как прошлое, так и будущее Вселенной как целого. Как было бы замечательно, если бы эти два фундаментальных представления можно было бы как-то объединить и создать теорию, выражающую одно через другое. Тогда гравитация оказалась бы геометрией пространства-времени, а геометрия пространства-времени – гравитацией.

РИС. 4.15. Альберт Эйнштейн (1879-1955).

Начнем с того, что понятие гравитации как «силы» на самом деле относительно. Представьте себе, что вы стоите в комнате без окон. Вы ощущаете, что ваши ноги опираются в пол, на котором спокойно стоит мебель и другие предметы. Уронив яблоко, которое вы держали перед собой, вы увидите, что оно падает вертикально на пол с постоянным ускорением. Если бы чти явления наблюдал Исаак Ньютон, то он наверняка заключил бы, что комната находится на поверхности какой-то планеты, скажем Земли, и на все предметы в ней действует сила тяготения, вызывающая наблюдаемые явления. Именно тяготение удерживает вас и окружающую мебель на полу, и оно же ускоряет падающие предметы, скажем яблоко. На первый взгляд здесь невозможно усмотреть какие-либо противоречия, однако в начале XX в. Альберт Эйнштейн (рис. 4.15) предложил совершенно иную трактовку явлений в этой гипотетической комнате. Предположим, что комната находится в космосе на расстоянии в миллионы километров от любых источников сил тяготения, но вам это неизвестно. Теперь предположим, что под полом комнаты работают мощные реактивные двигатели с огромным запасом топлива, но вам это также неизвестно. Если эти двигатели работают всё время, пока вы находитесь в этой комнате, и если они не порождают ни шума, ни вибраций, то во всем лишенном окон космическом корабле – вашей комнате – эти двигатели будут создавать ускорение, внушающее вам, будто вы покоитесь в каком-то поле тяготения. И эта иллюзия окажется настолько полной, что никакие эксперименты не помогут вам получить ответ, покоится ли ваша комната на поверхности планеты или находится в летящем по прямолинейной траектории космическом корабле (рис. 4.16).

РИС. 4.16. Принцип эквивалентности. С помощью опытов, проводимых в комнате без окон, невозможно выяснить, покоитесь ли вы в поле тяжести или подвергаетесь равномерному ускорению в далёком космосе. Оба случая полностью эквивалентны.

Эти примеры поясняют эйнштейновский принцип эквивалентности гравитации и ускорения. Согласно принципу эквивалентности, «локально», т.е. в малой области пространства, гравитацию и ускорение различить невозможно. На основании этого принципа полностью развенчивается представление о тяготении как о силе.

Широко распространено заблуждение (непонятно, откуда оно взялось?), будто специальная теория относительности неприменима к ускоренным системам отсчета. Совсем наоборот! Физики – ядерщики в своей повседневной работе со всей точностью используют частную теорию относительности для объяснения явлений, происходящих при фантастических ускорениях ядерных частиц высокой энергии. Поскольку специальная теория относительности – это один из лучших способов описания физической реальности, которым располагают учёные, то эту теорию можно привлечь, чтобы понять поведение предметов в нашей гипотетической комнате без окон. В самом деле, оказывается возможным использовать частную теорию относительности для решения всех вопросов о гравитации в нашей комнате, поскольку мы можем принять, что тяготение – это локальное явление, вызванное ускорением. По существу, так можно анализировать любые гравитационные поля. В частности, поле тяготения вблизи такого тела, как Земля, можно изучить, разбивая всё пространство на множество маленьких ячеек – комнаток. В каждой из них можно рассматривать ускорение, а не гравитацию и применять частную теорию относительности. Решив все интересующие нас вопросы для каждой из комнаток, мы объединим эти части в одно целое и получим общую картину. Выполняя подобное разбиение и последующее объединение, мы приходим к обобщению специальной теории относительности. В результате получается общая теория относительности.

Чтобы понять, как делается такое обобщение, рассмотрим в пространстве-времени мировую линию наблюдателя, претерпевающего кратковременное ускорение. Такая линия изображена на рис. 4.17. Мы без труда нарисуем сетку пространственно-временных координат нашего наблюдателя и после короткого периода ускорения. Если наблюдатель сначала покоится на диаграмме пространства-времени, то эта сетка будет совпадать с нашей собственной. Однако после периода ускорения наблюдатель движется по отношению к нам с некоторой скоростью. Согласно преобразованию Лоренца, обсужденному в предыдущей главе, пространственно-временная сетка движущегося наблюдателя будет казаться нам слегка скошенной, как это показано на рис. 4.17. Но там, где две сетки перекрываются, их согласовать будет невозможно.

РИС. 4.17. Недостаточность плоского пространства-времени для описания тяготения. При рассмотрении объектов, движущихся с ускорением, невозможно покрыть всё пространство-время единой сеткой координат.

Поскольку гравитацию можно рассматривать как эквивалент ускорения в удалённой от всех тел области космоса, мировую линию тела, падающего в поле тяготения, можно представить как бесконечно большое число очень слабо ускоренных движений, непрерывно следующих друг за другом. До и после каждого из таких периодов бесконечно малых ускорений можно строить пространственно-временные сетки. В результате окажется, что перед нами – бесконечное число областей с перекрытиями по всей диаграмме пространства-времени.

Причины этой трудности в том, что частная теория относительности ограничивается плоским пространством-временем. Области с перекрытиями возникают именно вследствие чересчур строгого применения понятия «плоское пространство-время в каждой точке и в каждый момент времени». Однако, если допустить, что пространство-время искривлено, эти трудности пропадут.

Но что такое искривлённое пространство-время? Чтобы ответить на этот вопрос, нужно сначала чётко выяснить смысл терминов «плоский» и «искривлённый». Для удобства, как это часто используется в теории относительности, ограничимся анализом двумерного случая. Если мы проведем анализ правильно, то его результаты можно будет распространить на все три измерения. Иными словами, если нам станет ясно, что понимается под утверждениями: «пол в комнате плоский», «поверхность баскетбольного мяча искривлена», то это послужит ключом к пониманию искривлённого пространства-времени.

Представьте себе плоскую поверхность типа изображенной на рис. 4.18. Пусть из какой-то одной её точки разбегается множество муравьев. Если каждый из них проползет по наикратчайшей линии одно и то же расстояние r от общей исходной точки и остановится, то в результате все муравьи расположатся на окружности с центром в исходной точке. Длина такой окружности равна 2πr. Итак, полная длина кривой, вдоль которой разместятся в конце своего пути муравьи, будет равна 2πr.

РИС. 4.18. Муравьи на плоской поверхности. Каждый муравей проходит одно и то же расстояние r от одной и той же точки по кратчайшему возможному пути. Концы путей лежат на окружности, длина которой составляет 2πr.

РИС. 4.19. Муравьи на искривлённой поверхности. Каждый муравей проходит одно и то же расстояние r от одной и той же точки по кратчайшему возможному пути. Концы путей лежат теперь на кривой, уже не являющейся окружностью.

Пусть теперь муравьи сделают то же самое на поверхности, не являющейся плоской (рис. 4.19). Как и прежде, каждый из них проползет от общей исходной точки одинаковое расстояние r по кратчайшему из возможных путей. Вообще говоря, в итоге муравьи уже не расположатся строго по окружности – огибающая их строй кривая будет выглядеть как деформированная окружность и полная длина получившейся замкнутой кривой уже не будет равна 2πr.

Мерой кривизны пространства является отклонение полной длины «деформированной» окружности (т.е. длины замкнутой кривой, проходящей через всех муравьев к концу их путешествия) от величины 2πr. Если длина этой кривой меньше 2πr, то говорят, что кривизна поверхности положительна. Примером поверхности положительной кривизны является баскетбольный мяч. Если длина кривой больше 2πr, то говорят, что кривизна поверхности отрицательна. И лишь если длина кривой в точности равна 2πr, то соответствующая поверхность называется плоской: её кривизна равна нулю. Примером поверхности отрицательной кривизны является поверхность седла.

Кривизна поверхности может меняться от точки к точке. Поверхность может быть в одной своей части плоской, а в других обладать положительной или отрицательной кривизной. Чтобы исследовать поверхности переменной кривизны, математики дрессируют своё муравьиное войско так, чтобы муравьи уходили от исходной точки лишь на очень малое расстояние. Тогда у математиков появляется возможность измерять кривизну поверхности в разных её местах.

Этот способ определения кривизны можно распространить на пространства большего числа измерений. Чтобы понять, как это можно сделать, вспомните, что на двумерной поверхности (или в 2-пространстве) муравьи разбежались во всех возможных направлениях от одной исходной точки по данной поверхности. В конце своего путешествия они выстроились по кривой, напоминающей окружность. В трёхмерном пространстве (3-пространстве) муравьи вновь разбегаются от общей исходной точки во всех возможных направлениях в данном пространстве. В конце своего путешествия они выстроятся по замкнутой поверхности, напоминающей поверхность сферы. Кривизна 3-пространства определяется отклонением площади поверхности получившейся деформированной сферы от величины 4πr² – площади поверхности сферы в плоском пространстве. Аналогично в четырёхмерном пространстве (4-пространстве) муравьи разбегаются от общей исходной точки во всех возможных направлениях. В конце своего путешествия они выстроятся по «поверхности», которую можно назвать гиперсферой. Кривизна такого 4-пространства может быть найдена из сравнения величины трёхмерной «поверхности» гиперсферы с аналогичной величиной для случая плоского 4-пространства.