Текст книги "Григорий Перельман и гипотеза Пуанкаре"

Автор книги: Олег Арсенов

сообщить о нарушении

Текущая страница: 4 (всего у книги 15 страниц)

Это было какое-то новое миропонимание, настолько необычное, что оно и стало причиной знаменитого «молчания Пуанкаре»…

Однако проблема Пуанкаре при всей своей загадочности предполагала еще и решение, и оно тоже открывало нечто принципиально новое в облике нашего Мира…

Моррис Клайн в свое время писал, что, хотя математика и является чисто человеческим творением, она открыла доступ к некоторым тайнам природы и этим позволила добиться успехов, превзошедших все ожидания. Как это ни парадоксально, но именно столь далекие от реальности математические абстракции дали человеку возможность многого достичь. Сколь ни искусственно, а иногда и сказочно математическое описание, в нем есть своя мораль. Для мыслящего ученого математическое описание всегда было неиссякаемым источником удивления, рожденного тем, что природа проявляет столь высокую степень соответствия математическим формулам. Заложены ли регулярные зависимости, выражаемые физическими законами, в самой природе и мы лишь открываем их или их изобретает и применяет к природе разум ученого – в любом случае ученые должны надеяться, что их неустанный труд способствует более глубокому проникновению в тайны природы.

-59-

Именно здесь сходятся первые три пазла нашей исторической физико-математической головоломки: физический релятивизм, алгебраическая топология и философия конвенционализма. Все вместе это должно было вызвать какой-то прорыв в миросозерцании ученого. Прорыв настолько впечатляющий и открывающий такие горизонты познания, что Пуанкаре надолго погрузился в глубокое молчание, обдумывая новые перспективы постижения окружающей реальности.

-60-

Часть 2. Загадка гения Перельмана

-61-

«Все грандиозные достижения математики и естественных наук… проистекают из нашего неутомимого желания придать миру в наших умах более рациональную форму, чем та, которую придал ему грубый порядок нашего опыта».

Уильям Джеймс. Прагматизм

«Когда гениальный ученый привносит математический порядок и ясность в хаос чувственных восприятий, он достигает своей цели лишь ценой замены сравнительно доступных разуму понятий символическими абстракциями, не открывающими истинной природы окружающего нас Мира… Невозможно, однако, поверить, что эти порядок и организация, вносимые математической теорией, не являются отражением некой реальной структуры».

Пьер Дюгем. Цель и структура физической теории

Рис. 22. Григорий Яковлевич Перельман

Гениальный российский математик родился и вырос в Ленинграде, учился в знаменитой школе № 239. В 1982 году он выиграл Международную математическую олимпиаду, набрав максимально возможное количество баллов. В СПбГУ получил степень кандидата наук, затем некоторое время ра-

-62-

ботал в Петербургском отделении математического института РАН; в конце 1980-х годов уехал в США, где работал до середины 1990-х, а затем вернулся в Россию.

История доказательства гипотезы Пуанкаре напоминает историю доказательства теоремы Ферма, проведенного выдающимся английским математиком Эндрю Уайлсом. Российский математик Григорий Яковлевич Перельман также на долгие 7 лет практически перестал публиковаться и, уйдя в глубины математических рассуждений, ничем о себе не напоминал. Никто не знал, над чем он работал, пока, подобно грому среди ясного неба, не грянул в ноябре 2002 года первый электронный препринт (предварительная версия статьи, обычно предшествующая публикации и необходимая, чтобы установить приоритет и довести свои результаты до научного сообщества), помещенный Перельманом на популярный сервер электронной библиотеки научных работ Лос-Аламосской лаборатории. В препринте содержалось доказательство более общего геометрического факта, из которого, в частности, вытекала и гипотеза Пуанкаре.

Необычность подачи материала, сенсационный отказ его автора от почестей и наград, а также очень странные мировоззренческие выводы, которые вскоре стали делать философы, математики и физики из решения российского гения, породили своеобразное научно-социальное явление, которое стоило бы так и назвать – проблема Перельмана.

Доказательство Григория Перельмана основано на идеях, которые развил в начале 1980-х годов Ричард Гамильтон. Эти идеи неожиданным образом выводят топологические заключения из фактов о дифференциальных уравнениях – так называемых потоках Риччи, обобщающих уравнения термодинамики.

Каким же образом новые топологические решения способны изменить наши материалистические взгляды на окружающее? Ведь, следуя Уильяму Барретту и его «Иллюзии техники», мы должны были бы считать, что чрезмерное пристрастие к формализму приводит к убеждению, что

-63-

математика – свободный экскурс в пустоту. Некоторые философы не без одобрения отнеслись к подобной сентенции. Вполне понятно, заявили они, что вряд ли можно строить самолеты или запускать ракеты без помощи математики. Однако не стоит, вырывая из контекста то или иное математическое утверждение, спрашивать, какому именно факту в реальном мире оно соответствует. Ясно, что на подобные вопросы невозможно дать четкий ответ…

Нам необходимо также понятие разума как продукта природы, связанного с ней в самих основах своего проявления. Математическим сущностям нет места во вневременном мире… Все они – творения человеческого разума, обретающие бытие только в своем взаимоотношении с окружающей природой. Все человеческое мышление протекает на фоне природы.

Один из лучших обзоров необычной проблемы Перельмана составлен журналистами Сильвией Насер и Дэвидом Грубером для американского еженедельника «Нью Йоркер». Это популярное и авторитетное издание публикует репортажи, комментарии, критику, эссе, художественные произведения, юмор, комиксы и поэзию. Большинство открытий в области литературы впервые появляются именно на страницах этого еженедельника, и хотя его основные темы связаны с культурной жизнью Нью-Йорка, издание весьма популярно и за пределами мегаполиса. Тем необычнее было появление в этом журнале обширной статьи под названием «Многообразная судьба. Легендарная проблема и битва вокруг ее решения».

Американские репортеры начали свой рассказ с предыстории открытия Перельмана, когда вечером 20 июня 2006 года несколько сотен физиков, включая одного нобелевского лауреата, собрались в конференц-зале пекинского отеля «Дружба» на конференцию, организованную известным китайским математиком Шин-Тун Яу. В конце 1970-х годов Яу, которому было тогда двадцать с небольшим лет, совершил серию блестящих открытий, которые положили начало революционному продвижению теории струн в физике и принесли ему, наряду с высшей математической наградой – Филдсовской

-64-

медалью, репутацию выдающегося мыслителя сразу в двух областях науки.

Рис.23. Карикатура из еженедельника «Нью Йоркер» на китайского математика Шин-Тун Яу, упорно оспаривавшего паритет Григория Яковлевича Перельмана в решении проблемы Пуанкаре

«Яу, коренастый человек пятидесяти семи лет, стоял за кафедрой в майке-безрукавке и очках в толстой черной оправе и рассказывал собравшимся о том, как два его ученика, Си-Цинь Чжу и Куай-Донг Као, несколько недель назад завершили доказательство гипотезы Пуанкаре. „Я полностью уверен в результатах их работы, – сказал Яу. – Китайские математики могут по праву гордиться таким замечательным успехом“. Он также сказал, что Чжу и Као были в большой степени обязаны своим успехом его давнишнему американскому коллеге Ричарду Гамильтону, внесшему огромный вклад в решение проблемы Пуанкаре. Он также упомянул имя Григория Перельмана, чье участие, по признанию самого Яу, было немаловажным. Тем не менее Яу сказал: „В работе Перельмана, несомненно блестящей, многие ключевые аспекты доказательства представлены схематично, некоторые – лишь обозначены, а некоторые – просто отсутствуют“. И добавил: „Мы бы хотели получить некоторые комментарии от Перельмана. Но он живет в Санкт-Петербурге и отказывается общаться с другими людьми“.

В течение полутора часов Яу обсуждал некоторые технические детали доказательства, приведенного его учениками. По окончании его речи никто не задал ни одного вопроса».

Сильвия Насер, Дэвид Грубер. Многообразная судьба. Легендарная проблема и битва вокруг ее решения

-65-

Американские обозреватели отметили, что Яу стал профессором математики в Гарварде и директором математических институтов в Пекине и Гонконге, проводя время в постоянных разъездах между Соединенными Штатами и Китаем. Например, он добился проведения секционных заседаний международной физической конференции, посвященной теории струн, в фешенебельном пекинском отеле «Дружба». Одной из целей этой конференции, которую Яу организовал при поддержке китайского правительства, была демонстрация достижений отечественной науки в области теоретической физики. Яу даже удалось пригласить знаменитого британского физика Стивена Хокинга, который выступил с пленарным докладом перед многими тысячами китайских студентов в пекинском Великом дворце народов. Сообщение самого Яу на этой конференции было посвящено именно проблеме Пуанкаре и поиску путей ее решения. Наверное, это выглядело довольно необычно среди других докладов по теоретической и математической физике. Тем не менее, по отзывам участников, хотя большинство слушателей имело довольно смутное представление об этой столетней геометрической задаче, своеобразная топологическая шарада о свойствах трехмерных сфер заинтересовала многих. Интерес подогревало и то, что в представлении многих математиков гипотеза Пуанкаре является своего рода святым Граалем – в силу своего большого влияния как на дальнейшее развитие проективной геометрии, так и на космологические исследования эволюции формы нашего Мира.

Тут надо отметить, что удивительная связь чисто физической проблемы фундаментального строения сверхмикроскопических глубин Мироздания и решений проблемы Пуанкаре далеко не случайна. Вот и Моррис Клайн, обсуждая «непостижимую эффективность математики», отмечает согласие многих математиков в том, что их наука находит необычайно широкое применение; при этом они также признают свою несостоятельность в объяснении этого феномена. Замечательная группа французских математиков, работавших под коллективным псевдонимом Никола Бурбаки, утвержда-

-66-

ла, что между экспериментальными явлениями и математическими структурами существует тесная взаимосвязь. Однако абсолютно неизвестно, какими причинами обусловлена эта взаимосвязь, и вряд ли мы когда-нибудь узнаем. В далеком прошлом математические закономерности выводили из твердо установленных экспериментальных истин, в частности непосредственно из интуитивного восприятия пространства. Однако квантовая физика показала (подробности читатель может узнать в книге автора «Тайны квантового мира»), что эта макроскопическая интуиция реальности охватывает и микроскопические явления совершенно иной природы, связывая их с математикой, которая заведомо была создана не как приложение к экспериментальной науке. Следовательно, перед нами не что иное, как контакт двух дисциплин, реальные связи между которыми скрыты глубже, чем можно предполагать априори. Математику можно представить как своего рода хранилище математических структур. Некоторые аспекты физической или эмпирической реальности удивительно точно соответствуют этим структурам, словно последние подогнаны под них.

-67-

Гл. 1. Математическая школа

«Лучший метод для предвидения будущего развития математических наук заключается в изучении истории и нынешнего состояния этих наук».

Анри Пуанкаре. О науке

По отзывам одноклассников и учителей, Григорий Перельман, несмотря на выдающиеся успехи в решении самых сложных задач, сначала не планировал становиться математиком. Долгое время его гораздо больше привлекала физика, особенно ее теоретические и математические разделы. Здесь сказывалось влияние отца, который всячески поощрял занятия сына именно математической физикой, подкидывая ему логические и математические задачи. По словам самого Григория Яковлевича, очень большое влияние на него в детстве оказали подаренные отцом книги однофамильца и дальнего родственника Якова Исидоровича Перельмана «Занимательная физика» и «Занимательная математика». В предисловии к первой автор описывал ее как собрание «загадок, головоломок, занимательных историй и неожиданных сравнений», добавляя: «Я привожу многочисленные цитаты из романов Жюля Верна, Герберта Уэллса, Марка Твена и других писателей, поскольку, кроме чистого развлечения, приключения, описанные в их книгах, могут послужить превосходными иллюстрациями к урокам физики». В этих книгах рассматривалось множество любопытных тем. Например, как правильно соскочить со стремительно несущегося транспорта, определить реальные размеры далекой башни или поймать пулю руками.

Григорий Яковлевич Перельман родился 13 июня 1966 года в Ленинграде. Его отец был инженером-электриком, в 1993 году он эмигрировал в Израиль. Мать осталась в Санкт-Петербурге. Всю свою жизнь до самой пенсии она проработала учителем математики в одном из профессионально-

-68-

технических училищ, впоследствии переименованном в колледж. Отец воспитал в сыне честность, прямолинейность и бескомпромиссность. Любимым занятием мальчика, кроме чтения, математики и музыки, были многочасовые шахматные поединки с отцом. Страсть к музыке и математике юному гению привила мать – Любовь Львовна, которая и сама любила решать с сыном головоломки по алгебре и геометрии. Кроме того, она неплохо играла на скрипке и смогла передать Грише любовь к классической музыке.

Рис. 24. 9-й класс школы. Григорий Перельман крайний справа в нижнем ряду

«Гриша – настоящий гений, в школе уже знают о его достижениях и очень рады за него. Когда Гриша учился у нас, я преподавала ему вычислительную математику. Уже тогда он знал практическую часть этого раздела науки лучше, чем я. Но при этом Гриша никогда не кичился своим талантом и спокойно решал все предложенные ему задачи. Он очень скромный и неприхотливый человек, может быть, чересчур неприхотливый».

Директор Петербургского физико-математического лицея № 239, заслуженный учитель России Тамара Ефимова [1]1
  Педагог по математике Г. Перельмана в 9-10-х классах.


[Закрыть]

Доцент Российского государственного педагогического университета им. А. И. Герцена Сергей Евгеньевич Рукшин – основатель и бессменный руководитель математического

-69-

центра для одаренных детей при городском Дворце пионеров – вспоминает, что редкие способности Перельмана к точным наукам проявились еще в раннем детстве. До девятого класса этот самый настоящий вундеркинд учился в обычной школе на окраине города. Неизвестно, как сложилась бы судьба будущего математического гения, если бы мама не записала его в центр при Дворце пионеров. Там мальчик и шлифовал свой математический талант с пятого класса до самого окончания школы. Надо сказать, что ученики С. Е. Рукшина завоевали 70 медалей на самых престижных математических соревнованиях среди школьников, и именно его называют первооткрывателем таланта Григория Перельмана. Как одаренный юноша Григорий был зачислен и впоследствии с блеском окончил знаменитую школу № 239 с углубленным изучением математики, при этом постоянно побеждая на многочисленных математических олимпиадах. Его имя занесено на школьную доску почета за получение золотых медалей на всесоюзных и международных олимпиадах.

Рис. 25. На уроке в школе № 239

«В классе, где учился Гриша Перельман, талантливых детей было много. Но именно он запомнился сразу —

-70-

уж очень ответственно готовился к каждому уроку. У него был широкий кругозор, и половину того, что я рассказывала, он уже знал. Но никогда этого не показывал. В увеселительных мероприятиях не участвовал. Друзей у него тоже особых не было, со всеми общался ровно. Хорошо играл в настольный теннис, посещал музыкальную школу. Да и за учебу получал круглые пятерки. Писал без единой ошибки, был блестящим оратором. Правда, медаль, на которую имел все шансы, не получил из-за четверки по физкультуре. Дело в том, что Гриша рос полноватым и на «отлично» сдать нормы ГТО у него никак не получалось. Так он и остался без золота.

Как это ни печально, больше половины выпускников нашей школы не работают в России, а уезжают за границу. И Гриша при его способностях мог бы давно трудиться на лучших кафедрах лучших университетов мира. Но он предпочитает оставаться в Питере. И это приятно…»

Директор Петербургского физико-математического лицея № 239, заслуженный учитель России Тамара Ефимова

В 1982 году он последний раз в составе команды школьников участвовал в Международной математической олимпиаде в Будапеште, где завоевал золотую медаль, и в том же году был зачислен на математико-механический факультет Ленинградского государственного университета без экзаменов. За время университетской учебы Григорий подтвердил славу феноменального «решателя» математических задач: он постоянно побеждал на факультетских, городских и всесоюзных студенческих математических олимпиадах. Перельман был ленинским стипендиатом, окончил университет с красным дипломом и тут же поступил в аспирантуру при Ленинградском отделении Математического института им. В. А. Стеклова [2]2
  С 1992 года – Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова РАН.


[Закрыть].

По отзывам его преподавателей и научного руководителя диплома – старшего научного сотрудника

-71-

Санкт-Петербургского отделения Математического института им. В. А. Стеклова Юрия Бураго, Григорий уже в студенческие годы проявил глубокий интерес к различным сложнейшим топологическим проблемам. Причем рассматривал он эти умопомрачительные математические построения очень тщательно и старательно, всегда пытаясь найти оригинальные, нетрадиционные решения.

Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук был основан в начале 1920-х годов в Ленинграде. В 1934-м Сталин приказал ученым переехать в столицу, а в Ленинграде осталось отделение института. С тех пор здесь продолжают традиции русской математической школы, основанной великим математиком Чебышевым. Сразу после войны питерские ученые трудились над «атомным проектом», позже в стенах института было сделано немало открытий, прогремевших по всей планете. Здесь впервые в мире академик Фаддеев открыл новый класс задач квантовой физики, а ученый Юрий Матиясевич решил знаменитую проблему Гильберта, с которой до него никто не мог справиться.

Рис. 26. Победители международной математической олимпиады (Григорий Перельман – третий справа)

«К удивлению Григория, его хобби оказалось востребованным в обществе. В возрасте четырнадцати лет он был признанным авторитетом в местном математическом кружке. В 1982 году (в том самом, когда Шин-Тун Яу вручили Филдсовскую медаль) Перельман получил высшую оценку и золотую медаль на международной математической олимпиаде в Будапеште. Он поддерживал дружеские, но не близкие отношения с ребятами из своей команды. „У меня не было близких друзей“, – говорил Григорий. Он был одним из двух

-72-

или трех евреев в параллели и, кроме того, очень любил оперу, что не могло не сказаться на его популярности в школе. Его мать, преподаватель математики в техническом колледже, увлекалась игрой на скрипке и начала брать его с собой в оперу, когда ему было всего шесть лет. К пятнадцати годам Перельман тратил все свои карманные деньги на аудиозаписи. Он был безумно счастлив, когда ему удалось приобрести запись знаменитого исполнения «Травиаты» 1946 года, где партию Виолетты исполняла Личия Альбанезе. «У нее был очень хороший голос», – вспоминал Перельман».

Сильвия Насер, Дэвид Грубер. Многообразная судьба. Легендарная проблема и битва вокруг ее решения

Научным руководителем Григория Перельмана был выдающийся отечественный геометр и тополог академик Александр Данилович Александров. Защитив кандидатскую диссертацию, Григорий продолжил работать в лаборатории геометрии и топологии, а затем математической физики института им. В. А. Стеклова. В этот период известны его работы по теории пространств Александрова, исследуя которые, он сумел найти доказательства к ряду важных геометрических гипотез.

Подающего большие надежды российского математика не раз приглашали престижнейшие мировые научные центры и университеты, но он всегда предпочитал жить и работать в родном Петербурге, не принимая даже самых выгодных предложений. Это всегда вызывало большое удивление среди знакомых и коллег, ведь и в дирекции Санкт-Петербургского отделения Математического института им. В. А. Стеклова честно признают, что зарплата питерских, ученых в несколько десятков раз меньше, чем у их коллег на Западе. Многие ученые уже покинули институт, ведь за рубежом идет самая настоящая борьба за «русские мозги», и большинство молодых специалистов уезжают на Запад. Это основная проблема института, так как за последнее десятилетие эмигрировали более 40 специалистов. Сегодня здесь осталось 126 сотрудников, из них 51 доктор и 56 кандидатов наук.

-73-

Рис. 27. Санкт-Петербургский государственный университет

В начале 1990-х годов на всем постсоветском пространстве бушевали финансовые кризисы и жесточайшая инфляция. Первыми в безжалостной борьбе за выживания пострадали различные научно-исследовательские институты, особенно академического профиля. Гибла вузовская наука, а вслед за ней стали быстро закрываться центры фундаментальных и теоретических исследований. Волна кризиса накрыла и Санкт-Петербургское отделение Математического института. Однако к тому времени Григорий Яковлевич был уже известен некоторыми весьма оригинальными подходами в геометрии многомерных пространств, что позволило ему в 1992 году получить приглашение провести один лекционный семестр в Нью-Йоркском университете и еще один – в университете Стони Брук.

-74-

Рис. 28. Дружеский шарж на великого математика его китайского коллеги Ганг Тяна

«Перельману нравилось в Соединенных Штатах, центре международного математического сообщества. Он все время ходил в одном и том же вельветовом пиджаке и рассказывал друзьям в Нью-Йоркском университете, что питается только хлебом, сыром и молоком. Он любил гулять в Бруклине, где у него жили родственники, и покупать там настоящий черный хлеб. Некоторых коллег Григория поражали его необычайно длинные ногти. „Растут себе – и ладно“, ~ отвечал он тем, кто спрашивал его, почему он их не острижет. Раз в неделю Перельман и молодой китайский ученый Ганг Тян отправлялись в Принстон, чтобы принять участие в семинаре, проходившем в Институте перспективных исследований (ИПИ).

На протяжении нескольких десятилетий этот институт и находящийся неподалеку Принстон были центрами топологической науки».

Сильвия Насер, Дэвид Грубер. Многообразная судьба. Легендарная проблема и битва вокруг ее решения

Это позволило молодому гению не только пережить кризисный период в отечественной науке, но и узнать о новых, самых современных веяниях в разрабатываемой им теме. Здесь Перельман и познакомился с человеком, который на долгие годы определил направление его исследований. Речь идет об известном американском топологе Ричарде Гамильтоне

-75-

из Корнелльского университета, который еще в 1982 году опубликовал статью, посвященную уравнению, названному впоследствии потоками Риччи. Это уравнение, по мнению Гамильтона, могло помочь в решении специальных топологических задач, в том числе знаменитой проблемы Пуанкаре. Решение подобных уравнений напоминает хорошо известный процесс распространения тепла в некой вещественной среде от более теплых к более холодным участкам или, говоря математическим языком, потоки Риччи, сглаживая аномалии, дают многообразиям более унифицированную геометрию.

Углубившись в проблематику гипотезы Пуанкаре, Григорий Яковлевич первым делом ознакомился с историей этой интереснейшей математической задачи XX века. Так, к 1960-м годам уже стало ясно, что топология является одной из наиболее продуктивных отраслей математики, и многие молодые топологи смело бросили вызов многим «геометрическим проблемам века», в число которых, конечно же, входила и гипотеза Пуанкаре. К тому времени, к немалому изумлению большинства ученых, выяснилось, что многообразия четырех, пяти и более измерений гораздо легче поддаются изучению, чем те, что имеют всего три размерности. К 1982 году гипотеза Пуанкаре была уже надежно доказана для всех случаев, кроме трехмерного, наиболее интересного с точки зрения реального псевдоевклидова пространства нашего Мира.

Наверное, именно поэтому в 2000 году руководство престижной частной организации, поддерживающей математические исследования, – Математического института Клэя – назвало решение гипотезы Пуанкаре одной из семи наиболее важных задач современной математики и назначило беспрецедентный денежный приз в один миллион долларов тому, кто сможет представить аргументированное доказательство теоремы.

Сразу же началась изнурительная гонка между отдельными исследователями и целыми коллективами, но еще раньше в данном направлении далеко продвинулся пока еще малоизвестный российский математик из Санкт-Петербургского отделения Математического института, подписывающий свои англоязычные работы – Гриша Перельман…

-76-