Текст книги "Алексей Васильевич Шубников (1887—1970)"

Автор книги: Николай Белов

сообщить о нарушении

Текущая страница: 6 (всего у книги 15 страниц)

Таблица 3*

Год	Автор	Открытие или вывод
1929—1930	Хееш	G'2, G'30, G'3 (низшие сингонии)
1945—1951	Шубников	Принцип антисимметрии G'30, 31 группа G'320, 17 предельных G'30
1952	Кокрен	G'2 через G'32
1953	Заморзаев	G'3
1955	Белов, Неронова, Смирнова	G'3
1956	Белов	G'21
1958	Шубников	21 предельная G'30
1959	Шубников	G'321 и семиконтинуумы
1959	Роман	G'321 как G'432
1960	Новацкий	G'20, G'320
1961	Неронова, Белов	G'0, G'10, G'21, G'31, G'32
	Шубников	21 предельная G'30
1962	Пабст	G'321
	Шубников	G'3210, G'321
	Белов, Кунцевич, Неронова	G'321
	Роман	G'321
1963	Палистрант, Заморзаев	G'32
1964	Палистрант, Заморзаев	G'1, G'21, G'321
1965	Палистрант	G'210, G'320 и повторил G'210, G'3210, G'20
	Галярский, Заморзаев	G'31
1966	Копцик	G'30, G'3 предельные G'30
1967	Неронова	Классификация всех групп
1971	Роман	G'31 и некристаллографические

* Ссылки на первоисточники содержатся в монографии А. М. Заморзаева (см. с. 70).

Таблица 4*

Год	Автор	Открытие или вывод
1957	Заморзаев, Соколов	G230,G230
1960	Заморзаев, Палистрант	G23, G32, G42
1961	Заморзаев, Палистрант	G32 (мозаики)
1962	Шувалов	Предельные группы G230
	Галярский, Заморзаев, Палистрант	G23
1963	Палистрант, Заморзаев	G232
	Палистрант	G232, G332,G432,G532
1964	Палистрант, Заморзаев	G1, G221, G2321, G321, G3321, G4321
	Заморзаев, Палистрант	G23, G63
	Палистрант	G231, G23210, G220, G2320, G33210, G3320
1965	Галярский, Заморзаев	G231, G331, G431
	Неронова	G220, G230, G20 Многоэтажная расширенная «единая схема».
1976	Заморзаев	Выход монографии «Теория простой и кратной антисимметрии».

* Ссылки на первоисточники содержатся в монографии А. М. Заморзаева (см. с. 70).

Каждой точке фигуры (конечной или бесконечной) приписываются знаки плюс или минус в / различных (обычнр физических) смыслах (/ может быть любым натуральные числом)».[* Заморзаев Л. М. Теория.,., с. 76.]

Можно сказать, что развитие кратной антисимметрии (или „антисимметрии различного рода) было форсированным. Фактически с 1957 г., когда появилась первая работа А. М. Заморзаева и Е. И. Соколова, до 1965 г. основные результаты были получены в основном А, М. Заморзаевьш, А. Ф. Палистрантом и Э. И. Галярским (табл, 4). Для многократной антисимметрии даже составление каталогов под силу только хорошей ЭВМ. Например, число групп шестикратной антисимметрии на шубниковских группах составляет 419 973 120, чего, видимо, хватит для любых кристаллографических приложений. В порядке соотношения этих результатов с творческим наследием. А. В. Шубникова отметим, что во многих случаях процесс вывода шел по методу Шубникова, а при получении предельных групп двойной антисимметрии Л. А. Шувалов активно применил шубликовскую систематику по типам и рядам. В целом теория кратной антисимметрии разработала. Наиболее «слабые места» на сегодняшний день частично освещены в работе А. М. Заморзаева по теории простой и кратной антисимметрии. Следует ожидать дальнейших нетривиальных приложений теории кратной антисимметрии, расширения и обобщения ее принципов.

Очерк развития теории симметрии второй половины XIX в. был бы не полон, если не упомянуть работы, связанные с формированием и выводом понятий и групп цветной симметрии. Непосредственно в этом процессе А. В. Шубников не участвовал, однако истоки цветной симметрии (и тем более цветной антисимметрии) лежат в его творческом наследии. Трактовка антисимметрии как двухцветной симметрии – прямой к тому путь. В 1956 г. вышли в свет первые работы Н. В. Белова и Т. Н. Тарховой, а в 1958 г. во втором издании брошюры А. В. Шубникова [232] уже помещена вклейка с группами цветной, симметрии.

Вот как «началал цветной симметрии» описывают А. М. Заморзаев с соавторами в, своей фундаментальной работе (табл. 5): «Но антисимметрию можно трактовать и как „двухфазную" симметрию„ оттеняя в ней не противоположность взаимозаменяющихся качеств, а лишь различие и чередование в рамках общности природы, подобно двум фазам одного явления. Тогда естественен переход к „Р-фазной" симметрии, состоящей в приписывании точкам уже не двух, а любого числа однородных качеств, обозначаемых индексами 1„ 2, ... р и переходящих друг в друга по какому-то закону (например, чередуясь циклически) при изометрических преобразованиях' фигуры. Тцкие соображения приведи Н. В. Белова в 1954—1955 годах от двухцветного толкования антисимметрии к идее многоцветной симметрии».[* Заморзаев А. М., Галярский Э. И., Палистрант А. Ф. Цветная симметрия, ее обобщения и приложения. Кишинев: Штиинца, 1978, с. 20.]

Таблица 5*

* Ссылки на первоисточники содержатся в монографии А. М. Заморзаева, Э. И. Галярского и А. Ф. Палистранта (см. с. 79).

В своей работе 1956 г. по цветной симметрии Н. В. Белов и Т. Н. Тархова группы G^p₂ (цветные мозаики) выводят методом «обобщенных проекций» пространственных групп G₃.

Дальнейшее развитие теории цветной симметрии связано скорее с теорией групп, чем с «классической» кристаллографией. В 1959 г. в двух появившихся независимо друг от друга работах А. Ниггли и В. Л. Инденбома отмечена связь групп антисимметрии и цветной симметрии с одномерными представлениями обычных групп симметрии. В своей статье В. Л. Инденбом пишет: «В качестве примера, используя цветные таблицы неприводимых представлений точечных групп, можно выписать все магнитные кристаллографические классы...

Можно рассмотреть группы, индуцируемые не только одномерными действительными, но и другими представлениями. Одномерные комплексные представления, в частности, индуцируют «цветные» группы симметрии..., отвечающие таким структурам, в которых объекты разного сорта (разного «цвета») занимает аналогичные места».[* Инденбом В. Л. Связь групп антисимметрии и цветной симметрии с одномерными представлениями обычных групп симметрии. Изоморфизм шубниковских и федоровских групп. – Кристаллография, 1959, т. 4, вып. 4, с. 620.]

В 1960 г. в совместной работе В. Л. Инденбома, Н. В. Белова и Н. Н. Нероновой о точечных группах цветной симметрии эта идея использована для получения 18 точечных цветных классов (практически одновременно эти же 18 групп были найдены и А. Ниггли). Авторы пишут: «Если данная точечная группа обладает одномерным представлением, это значит, что можно найти такую функцию кристаллографического направления, которая под воздействием операции симметрии gi лишь умножается на некоторые множители χCg, называемые характерами представления. Для действительных одномерных представлений χ = ± 1, для комплексных одномерных представлений характеры даются различными степенями комплексных чисел i, ω = ехр (2πi/3) и ε = ехр (2πi/6) = – ω² В комплексной плоскости умножение на i, ω и ε отвечает, соответственно, повороту на 90, 120 и 60°, что может быть интерпретировано как результат воздействия „цветной" оси 4-го, 3-го и 6-го порядков».[* Инденбом В. Л., Белов Н. В., Неронова Я. Я. Точечные группы цветной симметрии (цветные классы). – Кристаллография, 1960, т. 5, вып. 4, с. 497.] Таким образом, цветные группы и группы антисимметрии появляются в единой схеме расширения групп ортогональной симметрии на основе теории представлений групп и групп перестановок.

Годом раньше Виттке и Гарридо опубликовали свой вывод 211 видов раскраски цветных полиэдров, среди которых, по образному выражению предыдущих авторов, затерялись точечные группы цветной симметрии. Кратко прослеживая дальнейшее развитие «беловской цветной симметрии», укажем, что в середине 60-х годов в основном в многочисленных трудах А. Ф. Палистранта систематически развивался прямой способ вывода цветных групп (шубниковским методом замены образующих). Тем же методом, но используя для контроля одномерные комплексные представления, А. М. Заморзаев осуществил полный вывод пространственных групп р-симметрии.

Наиболее естественным обобщением цветной симметрии является цветная антисимметрия. У ее истоков стоят Г. С. Поли, Н. Н. Неронова и Н. В. Белов. У Г. С. Поли цветная антисимметрия возникла как расширение принципа обобщенных проекций Белова—Тарховой на группы с «переворачивающими» элементами симметрии, а у Н. В. Белова и Н. Н. Нероновой – как система с независимым применением знаков и цвета.

В течение 1960—1980 гг. теория обобщенной симметрии и классификация ее типов интенсивно развивалась исследователями Кишиневской школы (А. М. Заморзаевым, А. Ф. Палистрантом, И. А. Балтагом, В. П. Макаровым, Э. И. Галярским, П. А. Заболотным, А. П. Лунгу, В. П. Баритом, И. С. Гуцулом), В. А. Копциком и его учениками (Ж. Н. М. Кужукеевым, И. Н. Коцевым) и многими другими.

В последнее время П. Л. Дубовым сформулировано понятие языка симметрии, основанное на принципах построения формальных алгоритмических языков программирования. Язык симметрии, в котором роль слов играют отдельные виды групп ортогональной симметрии или любого их расширения, а предложениями являются скопления групп, охватывает любые типы симметрии и перебрасывает «мостки» между теорией симметрии и кибернетикой.

Симметрия подобия

Наборы геометрических преобразований, положенные в основу ортогональной симметрии, не исчерпывают всего множества возможных типов симметрии. История математики показывает, что уже в трудах Архимеда и Аполлония появились геометрические преобразования сжатия «к прямой» (растяжение «от прямой»). Современное «родство» и сжатие или растяжение от точки (гомотетия) лежат в основе аффинной геометрии. Отметим попутно, что, помимо преобразования гомотетии, Аполлоний вводит и преобразование инверсии относительно окружности (одно из конформных преобразований, по современной терминологии). Александрийский математик Папп (III в. н. э.) в «Математическом собрании» описывает гомотетию и инверсию и их комбинации с движениями плоскости, в том числе переносом и поворотом. Симметрия подобия, наряду с гомологией, является частным случаем аффинных преобразований. Проследим генезис этих преобразований вплоть до их окончательного оформления в трудах по геометрии, с одной стороны, и формулировки самого понятия «симметрия подобия» в работе А. В. Шубникова [247].

Эквиаффинные преобразования, сохраняющие площади (объемы) фигур, впервые ввел в науку Сабита Ибн Корра в «Книге о сечениях цилиндра в его поверхности», что, видимо, является начальной точкой отсчета для гомологии, намного позднее развитой в ее «симметрийной» интерпретации в трудах В. И. Михеева и П. А. Заболотного, хота некоторые соображения по этому поводу содержатся в «Курсе кристаллографии» Е. С. Федорова (видимая симметрия), итальянского ученого Виолы (гармония) и А. В. Шубникова [158].

Наибольший вклад в современную тематику внес., разумеется, Л. Эйлер, хотя аффинные преобразования общего вида у европейских математиков впервые появляются у А. К. Кле,ро. Во втором томе «Введения в анализ бесконечных» Л. Эйлер фактически дает набор движений на плоскости, вводит понятие оси симметрии, описывает перенос, поворот, отражение от прямой и скользящее отражение. В другой работе Эйлером введено понятие косого отражения, косого растяжения. Им же доказана важнейшая теорема симметрии подобия – преобразование подобия всегда обладает неподвижной точкой.

К началу XX в. аффинная геометрия [* Термин «аффинная симметрия» впервые использован в статье: Заморзаев А. М. Развитие новых идей в федоровском учении о симметрии за последние десятилетия. – В кн.: Идеи Е. С. Федорова в современной кристаллографии и минералогии. Л.: Наука, 1974, с. 42—64.] полностью сформировалась, однако термин «симметрия подобия» появился только в работе А. В. Шубникова [247]. С другой стороны, в неявной форме симметрией подобия, распространенной в растительном и животном мире, давно и детально занимались ботаники. Как отмечает А. В. Шубников [343], со времен Ш. Бонне (XVIII в.) понятие филлотаксиса вошло в употребление в естествознании, хотя под несколько иным углом зрения этим занимались еще Леонардо да Винчи и Лука Паччоли, исследуя золотое сечение. Одна из наиболее интересных работ в этой области принадлежит братьям Браве, один из которых был ботаником, а второй – кристаллографом. Поскольку законы «геометрического мышления» едины, в этой работе соавторы, видимо, благодаря О. Браве, наиболее близко подошли к тому, что можно было бы определить как симметрию подобия, но не назвали ее. Довольно большое число работ конца XIX—начала XX в. посвящено близкой тематике: аддитивным рядам, биологической «симметрии», декоративному искусству и т. п., однако ни в одной из них явственно не прозвучал единственно правильный акцент в определениях преобразований, позволяющий говорить о «симметрии подобия».

Генетически работа А. В. Шубникова [247] связана с небольшой книжкой Г. В. Вульфа «Симметрия и ее проявление в природе», в которой без определения симметрии подобия большое внимание уделено симметрии растений. О том, как работа А. В. Шубникова была встречена научной общественностью, И. И. Шафрановский пишет: «В августе 1960 г. в Кембридже проходил 5-й Международный конгресс кристаллографов, участником которого был А. В. Шубников. Журнал „Кристаллография" посвятил конгрессу специальный выпуск, открывающийся статьей А. В. Шубникова „Симметрия подобия". Алексей Васильевич придавал большое' значение этой долго им вынашиваемой и тщательно оформленной работе. Его слегка опечалило то, что высказанная им идея о совершенно новом аспекте симметрии, имеющем повсеместное распространение в природе, не встретила тогда широкого отклика и достойной оценки со стороны участников конгресса» [Л. 57, с. 394]. Следует сказать, что эту идею сразу же взяли на вооружение кишиневские геометры, фактически завершившие всю теорию симметрии подобия.

Свою теорию симметрии подобия А. В. Шубников основывает на утверждении, что в рамках симметрии подобия равными считаются не только действительно равные фигуры, но и все подобные им. Им вводятся все основные виды операций, осуществляемых в рамках симметрии подобия.

Рис. 2. Фигура, имеющая симметрию подобия.

Статья А. В. Шубникова послужила основой для формирования целого раздела теории симметрии, базирующегося на объединении ортогональных и подобных преобразований. При отображении подобия параллельность и углы сохраняются неизменными. Как и множество ортогональных, «подобные» преобразования пространства (и плоскости) образуют группу, являющуюся подгруппой группы аффинных преобразований пространства (рис. 2).

Поскольку весь этот раздел теории симметрии связан с именем А. В. Шубникова, кратко рассмотрим пути его дальнейшего развития. Теория симметрии подобия и вывод групп развивались исследователями Кишиневской школы с 1963 по 1970 г. На основе связи групп симметрии подобия с группами направленных стержней, впевые отмеченной в работе Э. И. Галярского и А. М. Заморзаева, выведены двумерные группы симметрии и антисимметрии подобия, расширенные впоследствии до цветной симметрии и различного рода антисимметрии подобия. В 1967 г. вывод двумерных групп был расширен до вывода конических (с особенной плоскостью), а затем трехмерных групп, базирующихся на аналогии между группами цветной симметрии и группами симметрии подобия.

На примере теории симметрии подобия выпукло обрисовывается вклад А. В. Шубникова в теорию симметрии. В процессе развития теории симметрии подобия идеи А. В. Шубникова пересекались с его же идеями по антисимметрии, теории предельных и некристаллографических групп.

В работе А. В. Шубникова [158] намечено развитие теории ортогональной симметрии и в направлении гомологии, т. е. эквиаффинных преобразований. В самом деле, при анализе пар многогранников Л. Пастера автор вводит «в качестве особого симметричного преобразования косое отражение в плоскости и в качестве нового элемента симметрии косую плоскость симметрии» [158, с. 5]. Ревизуя само понятие равенства, А. В. Шубников определяет понятие «косого поворота... вокруг косой оси...» [158, с. 6]. Иными словами, автор вводит в рассмотрение принципы, лежащие в основе гомологии. По словам В. И. Михеева: «Важно заметить, что А. В. Шубников указывает на тесную связь косых элементов симметрии с однородными деформациями Е. С. Федорова...

Значение указанных работ А. В. Шубникова очень велико. Главное их достоинство в том, что они намечают несколько различных путей дальнейшего развития учения о симметрии. Один из этих путей совпадает с тем, который был принят Е. С. Федоровым и продолжен К. Виола...

Косые оси и плоскости симметрии были найдены А. В. Шубниковым попутно при решении проблемы о перспективах развития учения о симметрии, и сами они не были предметом специального исследования. Вероятно, этим и объясняется, что в работах не рассмотрены вопросы сложения косых плоскостей и осей симметрии, не упоминается о косых эллиптических осях симметрии или эллиптических осях гомологии».[* Михеев В. И. Гомология кристаллов. Л.: Гостоптехиздат, 1961, с. 32.]

Отметим, что в этой же работе А. В. Шубникова [158] упоминается о новом развитии понятия симметричности, которое в современной терминологии принято называть кратной антисимметрией. Иначе невозможно интерпретировать следующее высказывание автора: «Что касается... принципа сочетания альтернатив – не обязательно только двух, но и многих альтернатив, то он наверняка найдет себе применение для описания самых разнообразных множеств (многообразий) природных материальных образований» [158, с. 10].

На основе многогранников Л. Пастера в этой же работе фактически впервые возникает понятие «простой и кратной антисимметрии стереоэдров».

В заключение этого раздела приведем слова А. В. Шубникова: «Могут существовать самые разнообразные трактовки симметрии. Целесообразность той или иной из них определяется практикой, назначением для истолкования явлений природы, то есть относительных движений в широком философском смысле. Какой бы трактовки симметрии мы бы ни придерживались, одно остается обязательным: нельзя рассматривать симметрию, без,– ее антипода – диссимметрии.. В симметрии отражается та сторона явлений, которая соответствует покою, а в диссимметрии – та их сторона, которая отвечает движению. Нет максимальной и минимальной симметрии, как нет абсолютного покоя и абсолютного движения.

Единое понятие симметрии—диссимметрии неисчерпаемо» [151, с. 163].

С 1953 по 1956 г., А. В. Шубников неоднократно возвращался к анализу проблем, связанных с гомологией, уточняя и детализируя свою точку зрения на этот вопрос. Он утверждал: «В основе учения о симметрии при любом его аспекте лежит представление о равенстве частей фигуры и об одинаковости их взаимного расположения. В природных индивидах – растениях, животных, кристаллах – роль равных и одинаково расположенных частей фигуры нередко играют части одинаковой формы, но разной величины, то есть части подобные. При кристаллизации они образуются всегда в тех случаях, когда процесс кристаллизации просходит ритмически (кольца Лизеганга, спирали роста, ритмические сферолиты). Развитие учения о симметрии подобия должно стать, по нашему мнению, одной из важных задач современной теоретической кристаллографии» [244, с. 7].

Геометрические работы

Прежде чем рассматривать работы А. В. Шубникова в области геометрии, приведем высказывания Б. Н. Делоне, затрагивающие интересующий нас вопрос: «...я узнал, что в своей работе еще 1916 г. „К вопросу о строении кристаллов" Алексей Васильевич показал, что есть 11, и только 11, комбинаторно разных разбиений плоскости на то, что он называл в этой работе „планатомы". Это разбиение дуально с разбиением на „планигоны“. В 1931 году Ф. Лавэс заново открыл этот факт, то есть число И (для планигонов), и только в сноске к своей работе отмечает, что он узнал, что этот геометрический факт был уже 15 лет перед тем открыт А. В. Шубниковым.

Существование такой работы А. В. Шубникова меня тогда озадачило. Да ведь он не только блестящий экспериментатор и исследователь природы, а и математик» [Л. 57, с. 383].

Круг проблем, связанных с заполнением плоскости и пространства, очерчен в двух статьях А. В. Шубникова [15, 25].

Этот вопрос имеет давнюю историю. В 1611 г. гениальный Кеплер в небольшом трактате «О шестиугольном снеге» задался вопросом о первопричине образования звездчатой шестиугольной формы снежных кристалликов. Заимствовав у пчел форму ромбододекаэдра, И. Кеплер писал: «Итак, мы имеем дело с известной геометрической фигурой, наиболее правильной, заполняющей пространство так же, как, например, шестиугольник, четырехугольник, треугольник заполняют плоскости».[* Цит. по кн.: Шафрановский И. И. Кристаллографические представления И. Кеплера и его трактат «О шестиугольном снеге». М.: Наука, 1971, с. 4.] Разбор различных возможных шаровых упаковок привел его к плотнейшей шаровой кубической упаковке (табл. 6).

Другая плотнейшая, а именно гексагональная, упаковка открыта В. Барлоу лишь в конце XIX в. Исходя из шаровых укладок. Кеплер выводит три идеальных параллелоэдра: ромбододекаэдр, гексагональную призму с пинакоидом и куб. Кубооктаэдр, известный еще строителям Софийского собора в Константинополе и положенный в основу при проектировании центрального купола, был введен в кристаллографию Е. С. Федоровым, а И. Кеплеру оставался неизвестным.

Интересные соображения, связанные с упаковкой идентичных частиц, высказывал И. Ньютон в «Оптике», М. В. Ломоносов в работе «О рождении и природе селитры». Для полноты картины в список приверженцев решетчатого строения кристаллов XVII—XVIII вв. следует добавить имена Вестфельда и Бергмана, полагавших, что кристаллы кальцита построены из одинаковых крошечных ромбоэдров, примыкающих друг к другу своими гранями и заполняющих пространство без промежутков.

Таким образом, идея решетчатого строения кристаллов буквально «висела в воздухе» перед тем, как французским кристаллографом Р. Ж. Гаюи была создана первая по времени теория структуры кристаллов. Чисто опытным путем Гаюи нашел пять типов примитивных спайных «кирпичиков», из которых только параллелепипед, гексагональная призма и ромбододекаэдр заполняют пространство. Но в 1824 г. А. Зеебер пришел к заключению о невозможности сказать что-либо достоверное об истинной форме гипотетических элементарных «кирпичиков», и это натолкнуло его на мысль заменить их центром тяжести. Этот подход привел Зеебера к системе точек, которую он и назвал впервые «пространственной решеткой». С этого момента развитие теории заполнения пространства происходит по двум направлениям – кристаллографическому и математическому. Оба они пересекаются в трудах Б. Н. Делоне.[* Делоне Б. Н., Галиулин Р. В., Штогрин М. И. Теория Браве и ее обобщение на я-мерные решетки. – В кн.: Браве О. Избранные научные труды. Л.: Наука, 1974, с. 309—413; Современная теория правильных разбиений эвклидова пространства. – В кн.: Федоров Е. С. Правильное деление плоскости и пространства. Л.: Наука, 1979, с. 235—260.]

Таблица 6*

Год	Автор	Предмет открытия
1611	Кеплер	Первые идеи о геометрии шаровых упаковок
1721	Ньютон	Идеи кристаллической решетки
1824—1831	Зеебер, Гаусс	Определение понятия решетки и ее свойств в теории чисел
1835	Франкенгейм	15 решеток
1848	Дирихле	Понятие «областей Дирихле»
1849	Браве	14 решеток
1885	Федоров	«Начала учения о фигурах». Параллелоэдры
1897	Барлоу	Плотнейшая гексагональная упаковка
1899	Федоров	Правильное деление плоскости и пространства
1908	Вороной	Алгоритм вывода всех примитивных параллелоэдров я-мерного пространства
1916	Шубников	11 комбинаторно-различных разбиений плоскости
1924	Шубников	Идеи разбиения многомерных пространств
1930	Лавэс	11 комбинаторно-различных разбиений плоскости
1934	Коксетер	Вывод групп с отражениями для я-мерных пространств
1934	Делоне, Александров	Теория кристаллического «состояния» с точки зрения теории решеток, параллелоэдров
1939	Шубников	Пространственные калейдоскопы (7 коксетеровских групп)
1947	Белов	Полная систематика плотнейших шаровых упаковок
1959	Делоне	Завершение теории планигонов
1961	Делоне, Сандакова	Доказательство основной теоремы стереоэдров и алгоритм построения стереоэдров Дирихле
1965	Заморзаев	Контрпример к основной теореме о стереоэдрах
1974—1979	Делоне,	Теория Браве и ее обобщение на п– мерные решетки
	Галиулин,	Современная теория правильных разбиений евклидова пространства
	Штогрин

* Ссылки на первоисточники содержатся в работах Б. Н. Делоне с соавторами; Делоне Б. Н. и др. Теория Браве... .

Рассмотрим вначале кристаллографическое направление. Следующим шагом в развитии теории решетчатого строения кристаллических тел был вывод в 1835 г. М. Л. Франкенгеймом 15 решетчатых расположений. Эта проблема была окончательно решена О. Браве, который свел их к 14 решеткам, названным впоследствии его именем.

Следующий этап развития кристаллографического направления – это труды Е. С. Федорова. В 1885 г. увидели свет его «Начала учения о фигурах», в которых впервые устанавливаются законы заполнения пространства параллелоэдрами, дается их полный список с учетом деформации, определяется понятие стереоэдра. Последние он связывает с правильными системами точек. Проблема правильного деления плоскости и пространства окончательно решена в монографии Е. С. Федорова, кристаллографическая направленность которой видна из следующего высказывания автора: «Теория кристаллического строения, помимо всего прочего, выдвинула следующую чисто геометрическую проблему: закономерно разделить бесконечное воображаемое пространство на конгруэнтные и соответственно симметрично-равные конечные пространственные фигуры».[* Федоров Е. С. Правильное деление плоскости и пространства. Л.: Наука, 1979, с. 7.]

Следующей «кристаллографической» статьей можно считать публикацию А. В. Шубникова [15], который писал по поводу этой статьи: «... Примерно в 1915 году мне пришла в голову мысль: нельзя ли вывести такие многогранники, которые вместо одинаковых граней имели бы одинаковые ребра. Эту задачу мне удалось решить... Когда работа была закончена, я не без страха решил показать ее своему учителю. Ю. В. Вульф внимательно просмотрел мои чертежи, затем молча подошел к шкафу и вынул оттуда „Начала учения о фигурах" Е. С. Федорова. Открыв последние страницы этой книги, Вульф показал мне в ней те самые чертежи, которые были сделаны мною. Выведенные мною многогранники у Е. С. Федорова были названы изогонами. Кроме них, в книге были изображены все обобщенные простые формы (как кристаллографические, так и некристаллографические), названные Федоровым изоэдрами... Занимаясь изучением книги Е. С. Федорова... где, в частности, решается вопрос о заполнении трехмерного пространства многогранниками без промежутков, я обнаружил, что Е. С. Федоров не включил в эту книгу вопрос о заполнении плоскости многоугольниками без промежутков. Эту задачу я попробовал решить самостоятельно, и мне это удалось. В результате появилась моя статья с крайне неудачным названием „К вопросу о строении кристаллов"...» [342, с. 9].

Из этой статьи А. В. Шубникова следует так называемая теорема Шубникова—Лавэса, от которой и происходит деление плоскости на 11 топологически различных разбиений, на стандартные планигоны.

В следующей статье этого цикла А. В. Шубников с помощью весьма наглядных представлений разбирает проблемы заполнения пространства кубом, ромбододекаэдром и комбинацией куба и октаэдра – кубооктаэдром. В частности, он делает вывод, что «для элементов выпуклого четырехмерного многогранника мы имеем то же соотношение, что и для трехмерного пространства, сплошь заполненного многогранниками» [25, с. 197].

В 1939 г., когда общая теория параллелоэдров трехмерного пространства была уже завершена, появляется статья А. В. Шубникова [122], начинающаяся следующим образом: «В основу вывода 32 точечных групп симметрии кристаллов Г. Вульф кладет калейдоскопическое повторение сферических треугольников на шаре. Для вывода пространственных групп, очевидно, можно было бы исходить из калейдоскопического повторения многогранников в пространстве...

Пространственным калейдоскопом... мы называем такой многогранник, из которого путем последовательного зеркального отражения в плоскостях его граней получаются новые многогранники, выполняющие пространство без промежутков» [122, с. 3].

Таким образом, А. В. Шубниковым получено семь (и только семь) пространственных калейдоскопов, заполняющих пространство. Комментарий Б. Н. Делоне к этой работе таков: «Работа А. В. Шубникова 1939 года „Пространственные калейдоскопы" тоже математическая... Этот вывод трехмерных коксетеровских групп... В силу одной теории Фробениуса из этих групп можно получить все федоровские группы, но этот их вывод, по-видимому, наткнется на очень уж большой перебор» [Л. 57, с. 383].

Современная теория правильных разбиений эвклидова пространства содержится в двух работах Б. Н. Делоне и его соавторов, причем в первой из них «подробно рассмотрены те стороны арифметического метода, которые непосредственно связаны с работами Браве».[* Делоне Б. Н. и др. Теория Браве..., с. 309.] Коротко рассмотрим математический аспект развития этой теории. В 1831 г. К. Ф. Гаусс, реферируя работу Зеебера, определил и расширил понятие решетки. Ученик Гаусса П. Л. Дирихле существенно продвинулся в изучении решетчатых систем, определив понятие областей действия точек решетки (параллелоэдры Дирихле). Его результаты были обобщены Г. Ф. Вороным.

Конкретные модификации теории разбиение пространства с отказом от выпуклости и плоскогранности стереоэдров нашли отражение в работе аспиранта Шубникова Н. М. Башкирова, построившего однозначно задающие федоровскую группу стереоны (фундаментальные области– группы).

В заключение отметим, что упоминавшиеся теории А. В. Шубников использовал эпизодически. Теория упаковок и параллелоэдров была им конструктивно использована практически только в одной статье [202].

К «геометрическим» относятся следующие работы А. В. Шубникова [98, 99, 226, 295]. Первая из них восходит к «задаче Бюффона» о бросании иглы (теория вероятностей), решенной Л. Эйлером. Однако и в этот вопрос А. В. Шубников внес отчетливо кристаллографический оттенок, что с позиций теории симметрии привело к нетривиальному результату. К другому направлению принадлежит его статья о случайных сечениях ромбододекаэдра [99]. Работа А. В. Шубникова [226] может служить иллюстрацией к им же самим введенным предельным группам точечной симметрии и соответствующим простым формам. Статья [295] задевает наибольшее число нерешенных проблем, поскольку касается комбинаторно-топологических структур аморфных тел. Дело в том, что в химии эти структуры уже известны (катенаны, узлы), однако пока не существует даже приблизительной систематики кольцевых структур в рамках предложенной А. В. Шубниковым модели.