Текст книги "Льюис Кэрролл: Досуги математические и не только (ЛП)"
Автор книги: Льюис Кэрролл
Жанры:
Юмористическая проза
,сообщить о нарушении
Текущая страница: 2 (всего у книги 8 страниц)
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
ДРУГИЕ АРИФМЕТИЧЕСКИЕ РАБОТЫ
ДЕЛИМОСТЬ НА СЕМЬ [10]10
Опубликовано в «Knowledge», т. VI, 15 (от 4 июля 1884 г.) в качестве ответа на письмо некоего Эскью, опубликованного там же 30 мая.
[Закрыть]
Мистер Эскью в письме №1274 от 30 мая спрашивает о доказательстве метода установления делимости числа на семь, которое, как он утверждает, открыто мистером Рикардом из Бирмингема. Оно, возможно, многими открыто; к примеру, моим отцом, который обучил меня ему лет тридцать назад. Проверочное число одинаково полезно для 7, 11 и 13. Метод, разработанный моим отцом, даёт, в случае делимости числа на все эти три величины, также ещё одну величину без дальнейшего труда; и в этом отношении он имеет преимущество перед методом мистера Рикарда.
Если некое число N разметить, начиная с правого конца, на периоды в три разряда, обозначив эти периоды через a, b, c и т. д., и если M будет разницей между суммами перемежающихся периодов, то получим, записывая r вместо 1000,
N = a + br + cr + dr + и т. д.
M = a – b + c – d + и т. д.
Тогда
N – M = b(r + 1) + c(r2 – 1) + d(r3 + 1) + и т. д.
и делимо на (r + 1); следовательно, если M делимо на (r + 1) или на какой-либо его множитель, то так же и N. И в этом случае r + 1 = 1001 = 7 × 11 × 13.
Правило моего отца состояло в том, чтобы поместить самый правый период под следующим и произвести вычитание, поместив остаток вновь под следующим периодом и так далее. В последнем периоде вычитание производится вверх ногами, если нижнее число окажется большим. В нашем примере, поскольку мы имеем 1, которая переносится в последний период, число 931 следует читать как 932. Конечный остаток, 924, есть наше проверочное число, и поскольку оно делимо на 7 и на 11, то исходное число также на них делится.
Если случится так, что проверочное число окажется равным нулю, то вторая строка сделается частным от деления данного числа на 1001, то есть множителем, остающимся после сокращения на 7, на 11 и на 13. В самом деле, обозначим вторую строку через V; приписывая в конце три нуля, получаем 1000V; а мы знаем, что если вычесть её из верхней строки, то остатком будет V. Следовательно, N = 1001V = 7 × 11 × 13 × V. Если бы в вышеприведённом примере крайний левый разряд составлял 932 вместо 8, то проверочное число оказалось бы нулём.
Если такие периоды составить из единичных разрядов, то есть если r = 10, мы получаем критерий делимости на 11 и в то же самое время частное после сокращения на 11. Изложенное правило требует поместить последнюю цифру под соседней, вычесть, разность поместить под следующей и так далее. В нашем примере проверочное число равняется нулю; следовательно, данное число – это 11 × 5852053.
С периодами по два разряда мы получаем критерий делимости на 101; то же для четырёх или более разрядов.
Ч. Л. Доджсон
К. Ч., Оксфорд
P. S. Сумма всех периодов даёт нам, для периодов из 1, 2, 3 и т. д., разрядов, критерий делимости на 9, 99, 999 (= 27 × 37) и т. д., или для любого множителя этих чисел. Для этого метода также можно выработать правило, аналогичное вышеизложенному; например, для критерия в отношении 999 размечаем на периоды по три, пишем 000 поверх крайнего правого периода и вычитаем, записывая разность поверх следующего и так далее. Следовательно, если так же случится, что проверочное число обратится в нуль, верхняя строка (за опусканием 000) станет частным от деления данного числа на 999.
Вероятно, похожие правила можно выработать для большинства простых чисел. Я сам разработал достаточно простые правила для 17 и 19, но подобные процедуры скорее любопытны, чем удобны.
НАЙТИ ДЕНЬ НЕДЕЛИ ДЛЯ ЛЮБОЙ ЗАДАННОЙ ДАТЫ [11]11
Опубликовано в «Nature», т. 35, 517 (от 31 марта 1887 года). Данная статья – единственная из трёх, появившихся в данном издании, что была подписана «Льюис Кэрролл».
[Закрыть]
Натолкнувшись на следующий способ вычисления в уме дня недели для любой заданной даты, шлю его Вам в надежде, что он заинтересует некоторых из Ваших читателей. Сам я считаю медленно; и поскольку, как я обнаружил, среднее время, затрачиваемое мной на решение всех таких задач, составляет двадцать секунд, то для тех, кто считает быстро, хватит, несомненно, и пятнадцати.
Берём заданную дату четырьмя частями, а именно: количество сотен, количество лет сверх, месяц, день.
Вычисляем следующие четыре величины, прибавляя каждую, по её нахождении, к общей сумме предыдущих величин. Если какая-то величина либо такой итог превышает 7, делим на 7 и сохраняем один лишь остаток.
Член «сотни». – Для старого стиля (который закончился 2 сентября 1752 года), вычитаем из 18. Для нового стиля (который начался 14 сентября [того же года] [12]12
См., однако, примечание [18].
[Закрыть]) делим на 4, избыток отнимаем у 3, оставшееся умножаем на 2.
Член «годы». – Складываем вместе количество дюжин, избыток и количество четвёрок в избытке.
Член «месяц». – Если он начинается либо заканчивается на гласную, вычитаем число, обозначающее его номер в году, из 10. Результат плюс количество дней в нём дают член следующего месяца. Значение для января есть «0», для февраля или марта (третий месяц) будет «3», для декабря (двенадцатый месяц) будет «12».
Член «день» есть число месяца.
Полученный таким образом итог нужно подправить вычитанием «1» (но сперва добавив «7», если итог равен «0»), если дата приходится на январь или февраль високосного года; следует помнить, что всякий год, делящийся на 4, будет високосным, за исключением лишь тех сотенных лет для нового стиля, когда количество сотен не делится на 4 (например, 1800-й год).
Окончательный итог даёт день недели, причём «0» означает воскресенье, «1» – понедельник и так далее.
ПРИМЕРЫ
18 сентября 1783 года
17, делённое на 4, оставляет «1» сверх; 1 из 3 даёт «2»; дважды 2 будет «4».
83 есть 6 дюжин и 11, что даёт 17; плюс 2 будет 19, т. е. (после деления на 7) «5». В итоге 9, т. е. «2».
Член для августа есть «8 от 10», т. е. «2», а потому, для сентября, он есть «2 плюс 31», т. е. «5». В итоге 7, т. е. «0», который выходит.
18 даёт «4». Ответ: четверг.
23 февраля 1676 года
16 из 18 даёт «2».
76 есть 6 дюжин и 4, что даёт 10; плюс 1 будет 11, т. е. «4». В итоге «6».
Член для февраля есть «3». В итоге 9, т. е. «2».
23 даёт 2. В итоге «4».
Поправка для високосного года даёт «3». Ответ: среда.
Льюис Кэрролл [13]13
Таким образом, данный Способ есть приноровление к нашей способности вычислять в уме общей формулы для нахождения дня недели Д, которую можно записать в виде (см., например, Куликов С. Нить времён: Малая энциклопедия календаря. М., «Наука». С. 177—182):
Д = |(Г + М + Ч)/7|
(прямые скобки обозначают остаток от деления нацело). Здесь Г = | (J + {J/4})/7| есть годовой член, известный с VIII века как конкурента, или солнечная эпакта (на Руси – вруцелетная буква); его и составляет сумма (опять же по модулю семь) Доджсоновых члена «сотни» и члена «годы»; М – это месячный член из Доджсоновой таблицы, аналогичный старинной, из похожей таблицы, величине, называемой солнечный регуляр, а Ч – заданное число месяца. Выражение в фигурных скобках обозначает целую часть от деления.
Работа Доджсона по упрощению расчётов в уме дня недели для любой даты в следующем веке была интенсивно продолжена. На Западе дальнейшая попытка упрощения вызвала к жизни так называемое «правило Судного дня» Джона Хортона Конвея (статья «Завтра – новый день после Судного дня» в журнале «Eureka», октябрь 1973 года, затем два издания (второе – 1982 год в четырёх томах) книги «Winning Waysfor Your Mathematical Plays» с соавторами). Приведём краткое описание этого Правила. Оно заключается в предварительном нахождении двух величин, а именно:
1) Судный день года. Это порядковый номер дня недели, на который приходится в данном году 28 или 29 февраля. Известно, что в 1900 году последний день февраля был средой. Тогда, поскольку 365 = 1 mod 7, то каждый обычный год прибавляет 1 к Судному дню, а каждый високосный прибавляет 2 дня. Следовательно, Судный день для года 1900 + Y есть день 1900 + Y + {Y/4}. Высчитаем Судный день 1929 года (то есть, на какой день недели приходится в этом году 28 февраля): 1900 + 29 + {29/4} = 3 + 29 + 7 = 39 = 4 mod 7, т. е. четверг.
2) Судный день месяца. Правила Конвея тут таковы: а) для января – это 31/32-е числа, а для февраля – 28/29-е соответственно для простого и високосного годов; б) для чётных месяцев вроде апреля и июня число Судного дня равно порядковому номеру этого месяца; в) для «длинных» нечётных месяцев (т. е. для месяцев, у которых тридцать один день) число Судного дня есть порядковый номер месяца плюс 4; г) и для «коротких» нечётных месяцев (по тридцати дней) число Судного дня есть порядковый номер месяца минус 4. Таким образом, Конвей принимает Доджсонову таблицу:
3) Вычисление. Оно заключается в суммировании номера дня недели Судного дня года и взятой по модулю 7 разницы между числом Судного дня месяца и заданным числом. Найдём, например, на какой день недели приходится 7 декабря 1941 года: а) число Судного дня для декабря – двенадцатое, поэтому разница составит 7 – 12 = – 5 дней, или 2 mod 7; б) Судный день 1941 года есть день 3 + 41 + 10 = 54 = 5 mod 7. Поэтому 7 декабря 1941 года будет воскресеньем (2 + 5 = 7 → 0).
Для ускорения расчётов – чтобы не искать в уме, чему равны большие двузначные числа по модулю семь – Конвей предлагает некоторые хитрости, опять же подсказанные Доджсоном. Известно, например, что каждые двенадцать (дюжину) лет Судный день года сдвигается вперёд на один день, поскольку 12 + {12/4} = 12 + 3 = 15 = 1 mod 7. Поэтому если нам нужен 1941 год, замечаем, что 41 = 3 12 + 5, а {5/4} = 1, поэтому Судный день 1941 года есть день 3 + 3 + 5 + 1 = 12, откуда легко видеть, что это есть 5 mod 7.
Для других столетий требуется учесть напоминание Доджсона по учёту високосных годов среди годов с двумя нулями (так называемое солнечное уравнение). В своей модифицированной версии Конвей предлагает следующую таблицу для годов нашей эры (новый стиль):
Тогда Судный день для 1811 года находится суммированием 1800 + 11 + 4 = 5 + 11 + 2 = 4 mod 7.
[Закрыть]
ПРАВИЛО НАХОЖДЕНИЯ ДАТЫ ПАСХИ ДЛЯ ЛЮБОГО ГОДА ВПЛОТЬ ДО 2499
1. Введение
В основе данного Правила лежит формула Гаусса; Гауссово доказательство этой формулы приведено во втором томе «Monatliche Correspondenz» Цаха (август 1800 года, страницы 221—230), по каковой публикации эту формулу воспроизвёл мистер У. У. Роуз Болл в своих «Математических <эссе и> развлечениях», выпущенных издательством «Макмиллан и Ко» [14]14
Названная книга Роуза Болла и поныне чрезвычайно популярна. Существует даже её перевод на русский язык (Болл У., Коксетер Г. Математические эссе и развлечения. М., «Мир», 1986). Однако и на русском языке, и в западных переизданиях эта некогда весьма пёстрая книга теперь существует в уменьшенной наполовину, если не на две трети, редакции, идущей от десятого прижизненного издания, в дальнейшем редактируемого известным математиком Г. Коксетером (так, указанный русский перевод сделан с 12-го коксетеровского издания!). То место, на которое ссылается Доджсон, ныне в книге отсутствует. Приведём соответствующий отрывок по четвёртому авторскому изданию.
«Пусть m и n – это числа, определённые как показано ниже.
(1) Разделить число, обозначающее год, на 4, на 7 и на 19, а соответствующие остатки от деления нацело обозначить как a, b и c.
(2) Разделить 19с + m на 30 и остаток обозначить через d.
(3) Разделить 2a + 4b + 6d + n на 7 и остаток обозначить через e.
(4) Тогда пасхальное полнолуние состоится через d дней после 21 марта, и Пасха выпадет на (22 + d + e)-е число марта либо на (d + e – 9)-й день апреля, за исключением случая, когда расчёт даст 29 для d и 6 для e (как получается для 1981-го года), – в этом случае Пасха приходится на 19-е апреля вместо 26-го; и за исключением случая, когда расчёт даст 28 для d, 6 для e и при этом c > 10 (как получается для 1954-го года) – тогда Пасха приходится на 18-е апреля вместо 25-го, и таким образом в этих двух случаях Пасха наступает на неделю раньше того срока, который получается согласно настоящему правилу.
Юлианский календарь свободен от подобных исключений, в григорианском же они появляются, правда очень редко (cм. прим. [23] – А. М.)
Остаётся только установить значения m и n для конкретного периода. В юлианском календаре имеем m = 15, n = 6. В григорианском календаре
Так, для года 1908 имеем m = 24, n = 5; следовательно, a = 0, b = 4, c = 8, d = 26, а e = 2 и пасхальное воскресенье приходится на 19-е апреля. После 4200-го года вид настоящего правила должен быть слегка видоизменён. <…>
Можно избегнуть необходимости запоминать значения m и n, если учесть, что если N – данный год, а {N/x} обозначает целую часть отношения N к x, то m есть остаток от деления 15 + ξ на 30, а n есть остаток от деления 6 + η на 7; здесь для юлианского календаря ξ = 0, η = 0, тогда как для григорианского календаря
ξ = {N/100} – {N/400} – {N/300}, η = {N/100} – {N/400} – 2.
Если мы примем эти значения для m и n и если положим для a, b, c их значения, а именно,
a = N – 4{N/4}, b = N – 7{N/7}, c = N – 19{N/19},
то наше правило примет следующий вид. Разделить 19N – {N/19} +15 + ξ на 30 и обозначить остаток как d. Затем разделить 6(N + d + 1) – {N/19} + η на 7 и обозначить остаток как e. Тогда пасхальное полнолуние выпадет на d-й день после 21-го марта, а Пасха, соответственно, придётся на (22 + d + e)-й день марта либо на (d + e – 9)-е число апреля; исключение составляют случаи, когда расчёт даёт 29 для d и 6 для e или же 28 для d и 6 для e с тем, что c > 10, когда Пасха приходится на (d + e – 16)-й день апреля.
Так, если N = 1899, делим 19(1899) – 99 + 15 + (18 – 4 – 6) на 30, что даёт d = 5; продолжаем делением 6(1899 + 5 + 1) – 474 + (18 – 4 – 2) на 7, что даёт e = 6; а потому Пасха придётся на 2-е апреля».
[Закрыть]. Единственная отличительная черта моей версии данного Правила состоит в его большей простоте. Моим способом результат может быть посчитан в уме, без особого труда, за полминуты; метод же Гаусса определённо потребовал бы гораздо большего времени, как и гораздо больших усилий при вычислении в уме.
Перед тем, как приступить к самому Правилу, читателю следует овладеть кое-какими необходимыми арифметическими процедурами, изложенными здесь же.
2. Некоторые необходимые арифметические процедуры
(1)
Прибавить 15 к данному числу. Производится в два шага—10 и 5.
{Так, если дано число 187, то говорим: «197, 202».}
(2)
Найти Остаток, получающийся от деления данного числа на 4.Делим<на 4 лишь>две последние цифры.
(3)
Найти Остаток, получающийся от деления данного числа на 7. Называем следующие одно за другим делимые. Это всё, чего требует наш монолог про себя. Остаток от каждого делимого (который, разумеется, служит десятковым порядком при следующем делимом) находится непосредственно.
{Так, если дано число 4325, то говорим: «43, 12, 55; 6».} [15]15
То есть, остаток при делении 4325 на семь равняется 6. В следующих примерах этого пункта он равняется соответственно 4 и 2. Далее – аналогично.
[Закрыть]
Будет лучше изгнать семёрки, где только удобно так поступить.
{Следовательно, если делимое будет кратным семи, говорим «выходит» и пропускаем его. Так, если дано число 4225, то говорим: «42 выходит, 25; 4». Если дано число 4769, говорим: «47, 56 выходит, 9; 2».}
(4)
Найти остаток, получающийся от деления данного числа на 19. Если наше число не превышает 30, остаток находится непосредственно. Если число превышает 30, берём столько его цифр, сколько образуют число, превышающее единицу. Если это число чётное, делим его пополам и складываем со следующей цифрой; если оно нечётное, берём его меньшую половину и складываем со следующей цифрой, приставив к ней спереди единицу. Мысленно подставляем результат на место использованных таким образом цифр и продолжаем как ранее.
{Так, если дано число 88, то говорим: «4 и 8 будет 12». Если число 98, говорим: «4 и 18 будет 22; 3». Если число 147, говорим: «7 и 7 будет 14». Если число 157, говорим: «7 и 17 будет 24; 5». Если число 687, говорим: «3 и 8 будет 11; 5 и 17 будет 22; 3».}
Изгоняем девятнадцатки, где только можно.
{Так, если дано число 1992, пропускаем первые две цифры и говорим: «4 и 12 будет 16». Если число 5749, говорим: «2 и 17 будет 19, которое выходит; 2 и 9 будет 11». Если число 998, говорим: «4 и 19 будет 4; 2 и 8 будет 10». Если число 7994, говорим: «3 и 19 будет 3; 1 и 19 будет 1; 14».}
Если требуется прибавить 18, либо 17 и т. д., именуем их как «19 минус 1», либо «19 минус 2» и т. д. и пропускаем это «19».
{Так, если дано число 789, то говорим: «3 и минус 1 будет 2; 1 и 9 будет 10». Если число 967, говорим: «4 и минус 3 будет 1;17».}
Но этим способом не следует пользоваться, если число, к которому нужно прибавить 18 и т. д., меньше числа, которое предстоит вычесть.
{Так, если дано число 567, то не говорим: «2 и минус 3», но говорим: «2 и 16 будет 18; 9 и 7 будет 16».}
(5)
Помножить данное двузначное число, сумма цифр которого не превышает 9, на 11. <Ответ находится> подстановкой суммы этих цифр между ними же.
(6)
Найти дефект данного числа от наименьшего кратного 30, которое содержит это число [16]16
Дефектом числа (либо фигуры) называется количественное отличие данного числа (либо параметров данной фигуры) от некоторого определённого числа (либо определённых параметров фигур данного класса; так, дефектом треугольника называется отличие суммы углов данного треугольника от 180°).
[Закрыть].
Данное число может быть (α) кратным 30, либо (β) отличаться от наименьшего кратного 30, которое содержит это число, не более чем на 10, либо (γ) отличаться от него более чем на 10.
В случае (α) либо в случае (β) дефект усматривается непосредственно.
{Так, если дано число 180, то говорим: «дефект равен 0».Если число 203, говорим: «дефект равен 7».}
В случае (γ) берём избыток данного числа сверх следующего меньшего кратного 30 и вычитаем из 30.
{Так, если дано число 189, то говорим: «9 сверх; дефект равен 21».Если число 192, говорим: «12 сверх; дефект равен 18».}
3. Правило нахождение дня Пасхи для любого нужного года вплоть до 2499.
Выражение «4-Rem», используемое в отношении определённого числа, означает «остаток, получающийся от деления этого числа на 4»; аналогично в случае выражений «7-Rem» и «19-Rem» [17]17
От английского слова remainder ‘остаток’.
[Закрыть].
Нам потребуются три числа, два из которых, коль скоро нужный год указан,известны на память; третье подлежит вычислению. Назовём эти числа a, h, k.
Наше Правило удобно разделить на три следующие части.
(1) Называем нужный год и затем вспоминаем по памяти величины a и h, к нему относящиеся. Для старого стиля эти величины всегда равны 15 и 6. Для нового стиля они даны в следующей таблице:
Мысленно представляем себе эту таблицу и проговариваем количества сотен, пока не доходим до нужного; затем называем значения a и h в каждом столбце.
{Так, если нужен 1582 г. (что, для нашей настоящей цели, будет по ст. ст., поскольку н. ст. не вступает ранее октября [18]18
Датой первого дня григорианского календаря в странах, которые ввели у себя новый календарный стиль раньше других (Италия, Испания, Португалия, Польша и Франция) стало 15 октября 1582 года (для прочих стран см. Климишин И. А. Календарь и хронология. М., «Наука», 1990, с, 455, либо Куликов С. С. Нить времён: малая энциклопедия календаря с заметками на полях газет. М., «Наука», 1991, с. 133).
[Закрыть]), то говорим: «1582; ст. ст.; a и h суть 15 и 6».
Если нужен 1583 г. н. ст., говорим: «1583; н. ст.; 15; a и h суть 8 и 2».
Если дата – это 1583 г. ст. ст., говорим: «1583; ст. ст.; a и h суть 15 и 6».
Если дата – это 1948 г. н. ст., говорим: «1948; н. ст.; 15, 16, 17, 18, 19; a и h суть 6 и 5».}
(2) Опять же, называем нужный год и находим его 4-Rem и 7-Rem; затем берём «4-Rem плюс дважды 7-Rem», удваиваем, прибавляем h; 7-Rem от этого результата будет k.
{Так, если нужен 1582 г., то говорим: «1582; 4-Rem; 82; 2; 7-Rem; 15, 18, 42; 0; 2 и 0 будет 2; 4 и 6 будет 10; k равно 3».
Если нужен 1583 г. н. ст., говорим: «1583; 4-Rem; 83; 3; 7-Rem; 15, 18, 43; 1; 3 и 2 будет 5; 10 и 2 будет 12; k равно 5». Если это 1583 г. ст. ст., говорим: «1583; 4-Rem; 83; 3; 7-Rem; 15, 18, 43; 1; 3 и 2 будет 5; 10 и 6 будет 16; k равно 2».
Если нужен 1948 г. н. ст., говорим: «1948; 4-Rem; 48; 0; 7-Rem; 19, 54, 58; 2; 0 и 4 будет 4; 8 и 5 будет 13; k равно 6».
Если нужен 1948 г. ст. ст.. говорим: «1948; 4-Rem; 48; 0; 7-Rem; 19, 54, 58; 2; 0 и 4 будет 4; 8 и 6 будет 14; k равно 0».}
(3) Называем a и k; называем нужный год; находим его 19-Rem; умножаем на 11; прибавляем a; находим дефект результата от наименьшего кратного 30, которое его содержит; находим наибольшее кратное 7, содержащееся в дефекте и прибавляем k. Если результат не дотягивает до дефекта, то либо вычитаем 2 и называем апрель, либо (если этого нельзя сделать) прибавляем 29 и называем март. Если этот результат дотягивает до дефекта, то либо вычитаем 9 и называем апрель, либо (если этого сделать нельзя) прибавляем 22 и называем март.
{Так, если нужен 1582 г., и если известно, что a и k суть 15 и 3, то говорим: «a и k суть 15 и 3; 1582; 7 и минус 1 будет 6; 3 и 2 будет 5; 55 и 15 будет 65, 70; 10 сверху; дефект равен 20; 14 и 3 будет 17, что не дотягивает; вычитаем 2; 15 апреля».
Если нужен 1583 г. н. ст., и если известно, что a и k суть 8 и 5, говорим: «a и k суть 8 и 5; 1583; 7 и минус 1 будет 6; 3 и 3 будет 6; 66 и 8 будет 74; 14 сверху; дефект равен 16; 14 и 5 будет 19, что дотягивает; вычитаем 9; 10 апреля».
Если нужен 1583 г. ст. ст., и если известно, что a и k суть 15 и 2, говорим: «a и k суть 15 и 2; 1583; 7 и минус 1 будет 6; 3 и 3 будет 6; 66 и 15 будет 76, 81; дефект равен 9; 7 и 2 будет 9, что дотягивает; прибавляем 22; 31 марта».
Если нужен 1948 г. н. ст., и если известно, что a и k суть 6 и 6, говорим: «a и k суть 6 и 6; 1848; 9 и минус 5 будет 4; 2 и 8 будет 10; 110 и 6 будет 116; дефект равен 4; 0 и 6 будет 6, что дотягивает; прибавляем 22; 28 марта».
Если нужен 1948 г. ст. ст., и если известно, что a и k суть 15 и 0, говорим: «a и k суть 15 и 0; 1948; 9 и минус 5 будет 4; 2 и 8 будет 10; 110 и 15 будет 120, 125; 5 сверху; дефект равен 25; 21 и 0 будет 21, что не дотягивает; вычитаем 2; 19 апреля».} [19]19
Что получение календарной даты такого «загадочно»-подвижного праздника, как Пасха, путём изложенных в вышеперечисленных пунктах простых выкладок не есть фокус и не содержит ничего надуманного, можно видеть уже из цитированного отрывка книги Роуза Болла, словесно излагающего исходные формулы Гаусса. Например, Роуз Болл тоже начинается с предварительного нахождения остатков от деления нужного года на 4, на 7 и на 19. Читатель получит вполне наглядное видение всей задачи, «стоит только» (как указывает и сам Уильям Роуз Болл в предисловии к первой, арифметической, главе своей книги) «перевести все операции на строгий математический язык». Проделаем же здесь эту процедуру: приведём формулы Гаусса к Доджсонову виду. Но сначала ещё раз разъясним их физический смысл. Как постановил в 325-м году Никейский собор, первый день Пасхи (его дата и обозначается через P) должен совпадать с воскресеньем, непосредственно следующим за днём пасхального полнолуния, а в качестве последнего следует принимать то, которое наступает либо 21 марта (день весеннего равноденствия в год собора), либо непосредственно после него; иными словами, P = V + D, где V – это дата пасхального полнолуния, равная 21 + d (т. е. d есть промежуток между 21 марта и пасхальным полнолунием), D – это количество дней, через которое после пасхального полнолуния наступает Пасха, то есть разность между датами воскресенья S, наступающего после 25 февраля, и пасхального полнолуния V; так как это количество не менее 1 и не более 7, следует записать: D = |(S – V)/7|, или, поскольку остаток 0 может быть замещён 7, D = |(S – V + 6)/7| + 1. Далее, S = 2a + 4b + n – 6, в каковом выражении буквы a, b, n означают то же, что у Роуза Болла (и см. ниже). Подставив выражения для S и V в формулу для D, получим D = |(2a + 4b + n – 6)/7| + 1, или D = e + 1.
Итак, число P, на которое приходится Пасха, определяется следующими выражениями:
P = 22 + (d + e) марта (1)
или, если P превысит 31,
P = (d + e) – 9 апреля. (2)
Входящие в эти формулы величины таковы: d = |(19c + m)/30|, e = |(2a + 4b – d + n)/7|.
Таковы формулы Гаусса (за опущенными подробностями мы отсылаем читателя к статье базельского профессора Г. Кинкелина 1870-го года, тогда же перепечатанной по-русски в «Математическом сборнике Московского математического общества», т. V, с. 73—92 – перевёл и дополнил Н. Сонин; доказательство формул Гаусса просто и вместе с тем строго впервые было дано именно в этой статье). Здесь a в обозначениях Роуза Болла – это 4-Rem данного года у Доджсона; b и c соответствуют, аналогично, 7-Rem и 19-Rem. У Доджсона тоже есть величина a (из таблицы); чтобы не путать её с болловой (то есть, с 4-Rem), обозначим её здесь как ac (кэрроллова).
Рассмотрим выражение, раскрывающее величину d; добавив в числитель сократимые величин, кратные 30, получим
d = |(19c + m)/30| = |(19c – 30c + m – 30)/30| = | – (11c + ac)/30| = ∆,
где ∆ есть тот дефект числа 11c + ac от наибольшего кратного 30, содержащего в себе это число, о котором Доджсон говорит в пункте 3) параграфа 3 своей работы. (В самом деле, этот дефект есть величина 30w – 11с – ac, где w – некоторое число, выбираемое таким образом, чтобы значение всего выражения по модулю было меньше 30; это и приводит нас к вышеуказанному виду для ∆.) Отметив, кроме того, что n из таблицы в книге Роуза Болла соответствует h из Доджсоновой таблицы, запишем:
e = |(2a + 4b + h – ∆)/7|.
Подставляя преобразованные таким образом величины d и e в формулу (1), получаем:
P = 22 + d + e = 22 + ∆ + |(2a + 4b + h – ∆)/7|.
Отметив также, что |(2a + 4b + h)/7| есть Доджсоново k, и разложив ∆ на сумму наибольшего кратного 7, содержащегося в ∆, и остатка от деления на 7, запишем:
P = 22 + 7{∆/7} + |∆ /7|+ k – |∆ /7|
с точностью до 7. Таким образом,
P = 22 + k + 7{∆ /7} марта (1*)
либо, аналогично,
P = k + 7{∆ /7} – 9 апреля. (2*)
Это есть Доджсонов вид формул Гаусса. В таком виде, однако, они пригодны лишь для случая, когда, как указывает Доджсон, k + 7{∆ /7} «дотягивает» до ∆. В самом деле, ведь величина k + 7{∆ /7} в формулах Доджсона, эквивалентная сумме d + e в формулах Гаусса, не может быть менее d: «дотягивать» до пасхального полнолуния она обязана. Если этого не происходит, мы должны ещё прибавить сюда недостающую нам семёрку. И тогда
P = 29 + k + 7 марта (3)
либо
P = k + 7 – 2 апреля. (4)
[Закрыть]
4. В облегчение запоминания
(1)
Запомнить нужный год, пока считаем согласно нашему Правилу. Если вы уверенно образуете мнемонические словечки, то найдёте, что это – весьма полезный способ. В противном случае нужный год вам лучше будет записать, поскольку для душевного спокойствия окажется сущим испытанием обнаружить, что, пока вы сосредоточенно выясняли дату Пасхи, тот год, для которого вы её высчитывали, выпал из вашей памяти!
{Годы, выбранные для примеров в следующем разделе, удобно запомнить посредством следующих слов: 853 «kilt», 1654 «box-leaf», 1881 «chokeboy» [20]20
Как тут поступать, Доджсон поясняет в небольшой статье «Мнемоническая техника», которую мы здесь и приведём по книге Доджсона Коллингвуда «Жизнь и письма Льюиса Кэрролла».
«Моя мнемоническая техника есть видоизменение методики Грея; но в то время как тот для представления цифр использует как согласные, так и гласные, и вынужден удовлетвориться слоговой белибердой в выражении даты и всякого иного нужного числа, я использую одни согласные, а гласными лишь разбавляю их сколько понадобиться; таким образом, мне всегда удаётся выстроить настоящее, существующее слово для всего, что ни требуется выразить.
Принципы, на основании которых были отобраны двадцать согласных, таковы.
1:<отобраны> «b» и «c», как первые две согласные алфавита.
2: «d» из «duo» <‘два’ лат.>и «w» из «two» <‘два’ англ.>.
3: «t» из «tres» <‘три’ франц.>, о второй немного позже.
4: «f» из «four» <‘четыре’ англ.> и «q» из «quattuor» <‘четыре’ франц.>.
5: «l» и «v», поскольку «l» и «v» суть римские обозначения пятидесяти и пяти.
6: «s» и «x» из «six» <‘шесть’ англ.>.
7: «p» и «m» из «septem» <‘семь’ лат.>.
8: «h» из «huit» <‘восемь’ франц.> и «k» из греческого слова «okto» <‘восемь’>.
9: «n» из «nine» <‘девять’ англ.> и «g» как напоминающее девятку видом.
0: «z» и «r» из «zero» <‘ноль’ англ.>.
Теперь у нас имеется ещё один согласный, ожидающий своей цифры, а именно «j», и одна цифра, ожидающего своего согласного, а именно «3»; вывод очевиден.
Результат представим в виде таблицы:
Когда найдено слово, чьи последние согласные представляют нужное число, лучше всего действовать так: поместить это слово последним в рифмованный куплет, так что если даже остальные слова из этого куплета забудутся, рифма спасёт единственное действительно важное слово.
Теперь предположим, что вы желаете запомнить дату открытия Америки, то есть год 1492. Без «1» мы можем обойтись – эта единица очевидна; тогда нам нужно лишь 492. Запишем это так:
Теперь попытаемся отыскать слово, содержащее «f» или «q», «n» или «g», «d» или «w». Такое слово сразу же само напрашивается: «found» <‘находить’ англ.>.
После этого к делу привлекается поэтическая способность, и вот возникает такой куплет:
«Columbus sailed a world aroundUntil America was FOUND».<Поплыл Колумб вокруг Земли.В пути Америку НАШЛИ.> По возможности сочиняйте такие куплеты сами: их вы запомните лучше, чем чьи-либо чужие.
Июнь 1888 г».
[Закрыть].}
(2)
Запомнить таблицу значений a и h.Первые шесть колонок – наиболее часто используемые. В отношении их заметим, что значения для a суть «две восьмёрки, две семёрки, две шестёрки» и что в первых трёх колонках a и h в сумме дают 10, а в следующих трёх 11.
Для последних четырёх колонок значения a и h даются в третьей и четвёртой строках следующей мнемонической строфы:
List my song to!
’Tis as wrong to
Save a flea
As rob a bee. [21]21
Перевод этой мнемонической строфы таков: «Спишите эту песенку себе! Столь же нехорошо оставить в живых блоху, как и ограбить пчелу». Согласные третьей строки английского текста в соответствии со сказанным в предыдущем примечании последовательно подсказывают цифры 6, 5, 4, 5 – значения величины a, а согласные четвёртой строки – цифры 6, 0, 1, 1, значения h.
[Закрыть]
Значения для текущего столетия, то есть 7 и 4, лучше будет накрепко отложить в памяти отдельной статьёй.
Запомнить значение k <до той минуты>, пока оно не понадобится. Это легко проделать с помощью руки. Для «0» держим ладонь раскрытой, для «1» сгибаем указательный палец и кладём на него большой, аналогичным образом для «2», «3» и «4»; для «5» сгибаем большой палец, а остальные кладём на него; для «6» сжимаем кулак, большой палец при этом отставив.
(3)
Если в процессе расчёта по второй части нашего Правила окажется, что «4-Rem плюс дважды 7-Rem» кратно 7, то k станет равным h; тогда сразу переходим к третьей части.
{Так, если нужен 1731 г. н. ст., то говорим: «15, 16, 17, a и h суть 7 и 3; 1731; 8 и минус 6 будет 2; 22 и 7 будет 29; дефект равен 1; 0 и 3 будет 3, что дотягивает; прибавляем 22; 25 марта».} [22]22
Считаем нужным напомнить нашему читателю следующее. В данной работе выражение «Пасха по старому стилю» соответствует нашей православной пасхе (а до 1582 года повсеместно также и католической), и для неё мы получаем по формулам Гаусса – Доджсона действительно даты по старому стилю. Например, для Пасхи 2012 года эти формулы дают 2 апреля. По новому стилю православная Пасха 2012 года придётся, в результате разницы между двумя календарями, на 15-го апреля. Разумеется, выражение «Пасха по новому стилю» у Доджсона подразумевает отнюдь не эту, православную, Пасху в датах григорианского календаря, но католическую (лишь до 1582 года совместно с православной), исчисляемую по формулам Гаусса – Доджсона сразу в датах нового стиля. Для 2012 года расчёт даст 8 апреля.
[Закрыть]
(4)
Есть одна дата (и только одна, насколько мне известно), в отношении которой данное Правило не срабатывает. В 1954 году по новому стилю Пасха приходится на 18 апреля; настоящее же Правило даёт 25-е. Совершенно не могу объяснить этого весьма любопытного отклонения [23]23
Тут какая-то странность. Из книги Роуза Болла Кэрроллу должно было быть известно хотя бы о ещё одном исключении – это 1981 год, дата Пасхи в котором не вполне соответствует расчётам способом Гаусса – Доджсона. На деле исключений больше, но и они подчиняются особому правилу. Чтобы пояснить читателю, в чём тут дело, мы должны разобрать природу «нового стиля» в отношении католической Пасхи в данной работе.
В то время как старый, юлианский, и новый, григорианский, календари предназначены для установления движения по семи дням недели определённых дат, то есть дней, обозначаемых цифрами от 1 до 28 (29), до 30 и до 31, а потому являются солнечными календарями, пасхальное исчисление связано с установлением фаз Луны, а потому должно основываться на каком-либо виде лунного календаря. Папской буллой «Inter gravissimas» («Среди важнейших»; традиционно названа по первым словам первого предложения) и был в 1582 году закреплён для католиков новый лунный календарь – наряду с новым солнечным, известным нам как григорианский. Реформа имела особую цель в отношении первого и второго календарей. Обновлением солнечного календаря, как известно, весеннее равноденствие навечно привязывалось к 21 (20) марта на деле; ведь расчёт Пасхи по старому стилю тоже, только без всяких поправок, предполагает, будто весеннее равноденствие наступает 21 марта (ст. ст.), словно бы мы продолжаем жить в эпоху Никейского собора, длящуюся вневременно. (Почему же подобная календарная реформа оказалась для православной церкви неактуальной? Дело в том, что православный литургический календарь – это, строго говоря, совсем не юлианский солнечный и даже не лунный календарь, но счёт времени седмицами по Пасхе). Новый же лунный календарь призван был закрепить столь же неподвижно (в собственных календарных рамках) первое весеннее полнолуние. Таким образом, григорианская реформа, являющаяся на деле реформой пасхалии, а новый гражданский календарь имеющая как бы побочным продуктом, задала составную, лунно-солнечную природу выражения «Пасха по новому стилю».
Когда труды математиков увенчались успехом, эту реформу, то есть переход к пасхалии нового стиля, оказалось возможным осуществить на практике изящнейшим способом – через введение в юлианскую пасхалию четырёх поправок: двух солнечных, одной лунной и одной чисто математической. Две солнечные поправки общеизвестны: это изъятие, с ненарушенным порядком следования дней недели, десяти календарных дней в октябре 1582 года и солнечное уравнение (т. е. выравнивание календаря по солнцу уточнённой системой високосов, при которой за каждые 400 лет вставочный день троекратно опускается, см. Доджсоново указание в конце статьи «Найти день недели для любой заданной даты»); эти поправки и отличают собственно григорианский календарь от юлианского. Третья поправка, не нашедшая отражения в григорианском календаре из-за его солнечной природы, – это так называемое лунное уравнение (выравнивание по луне; им элиминируются 0,0613 суток, отличающих 19 юлианских лет от 235 синодических месяцев, чем устраняется отставание церковных новолуний от астрономических на сутки за 310 лет). В формулах Гаусса все эти три поправки заключены в величине m, отчего она и отличается от постоянного значения 15 для юлианского календаря, являясь расчётной.
Для того, чтобы разъяснить последнюю интересующую нас здесь поправку, коснёмся структуры реформированного лунного календаря. Реформаторы выстроили постоянный календарь девятнадцатилетнего цикла, когда месяцы, т. е. промежутки времени от одного новолуния до другого, получают, начиная от первого новолуния первого года цикла, поочередно по 30 и 29 дней (ведь на деле этот промежуток для нашего времени выражается в средних солнечных сутках дробным числом 29,5305882); в годы, содержащие 13 новолуний, после тринадцатого новолуния идёт месяц в 30 дней, последний месяц 19-го года имеет 29 дней, а февраль постоянно имеет 28 дней, и на один день увеличивается в високосных годах тот лунный месяц, на который приходится, в соответствии с системой високосов, вставное 25 февраля. Тогда через девятнадцать юлианских лет, или 253 месяцев, новолуния приходятся на те же числа (см., однако, выше замечание о лунной поправке); месяц, в котором наступает новый год, всегда содержит 30 дней и четвёртый месяц года тоже содержит 30 дней, если третье новолуние наступает до 21 марта. При этом вынуждены были сделать два исключения: если четвёртое новолуние приходится на 6 апреля (а полнолуние тогда, по церковным предписаниям наступающее через 13 суток, приходится на 19-е), то оно переносится на 5-е, а если ему случится быть 5-го (полнолуние 18-го), и при этом, в наших обозначениях, величина c + 1 (так называемое золотое число), больше 11, то оно переносится на 4-е.
Необходимость этих исключений математически видна из того, что величина d принимает недопустимо большое для такого календаря значение 29 (либо 28 при c > 10). Тогда указанным календарным произволом d понижают на единицу. Следовательно, когда V оказывается равной 19 апреля (21 + 29 марта, т. е. при d = 29) и 18 апреля (при d = 28 и c > 10), из d следует вычесть поправку
f = {(d + {c/11})/29},
в этих двух случаях равную 1, а в прочих, как и в юлианском календаре, 0.
С учётом этой поправки формулы Гаусса для расчёта католической Пасхи по григорианскому календарю принимают вид
P = 22 + (d – f) + e марта или P = (d – f) + e – 9 апреля,
где:
e = |(2a + 4b +6(d – f) + n)/7|.
Отсюда следует сложносоставной характер тех двух исключений, которые, как указывает Роуз Болл, должны учитываться при расчёте Пасхи по формулам без поправки. В самом деле, ошибка возникает не всякий раз, когда d равняется 29 (или 28 при с > 10), но и когда e одновременно равняется шести, ведь это означает, что пасхальное полнолуние пришлось на воскресенье, а по исправлении на единицу стало субботой, и между ним и рассчитанной по формулам без поправки Пасхой встало лишнее воскресенье. Отниманием этой шестёрки в последнем выражении мы и превращаем e в ноль, сдвигая Пасху на неделю раньше – с 26 апреля на 19-е для лет 1609, 1981, 2076 и 2133 и с 25 апреля на 18-е для лет 1954, 2049 и 2106; см. Климишин И. А. Указ.соч., с. 133.
[Закрыть].
5. Примеры для образца
(1)
Год 853.
«Старый стиль; a и h суть 15 и 6; 4-Rem; 53, 5, 13; 1; 7-Rem; 853; 8, 5, 13; 6; 1 и 12 будет 13; 26 и 6 будет 32; k равно 4.
a и k суть 15 и 4; 853; 4 и 5 будет 9; 4 и 13 будет 17; 187 и 15 будет 197, 202; дефект равен 8; 7 и 4 будет 11, что дотягивает; вычитаем 9; 2 апреля».
(2)
Год 1654 (н. ст.)
«15, 16; a и h суть 8 и 2; 4-Rem; 54, 5, 14; 2; 7-Rem; 1654; 16, 25, 44; 2; 2 и 4 будет 6; 12 и 2 будет 14; k равно 0.
a и h суть 8 и 0; 1654; 8 и 5 будет 13; 6 и минус 5 будет 1; 11 и 8 будет 19; дефект равен 11; 7 и 0 будет 7, что не дотягивает; вычитаем 2; 5 апреля».
(3)
Год 1654 (ст. ст.)
«Старый стиль; a и h суть 15 и 6; 4-Rem; 54, 5, 14; 2; 7-Rem; 1654; 16, 25, 44; 2; 2 и 4 будет 6; 12 и 6 будет 18; k равно 4.
a и k суть 15 и 4; 1654; 8 и 5 будет 13; 6 и минус 5 будет 1; 11 и 15 будет 26; дефект равен 4; 0 и 4 будет 4, что дотягивает; прибавляем 22; 26 марта».
(4)
Год 1881 (н. ст.)
«a и h суть 7 и 4; 4-Rem; 81; 1; 7-Rem; 1881; 18, 48, 61; 5; 1 и 10 будет 11; 22 и 4 будет 26; k равно 5.
a и h суть 7 и 5; 1881; 9 и 8 будет 17; 8 и 11 будет 19; 0 и 7 будет 7; дефект равен 23; 21 и 5 будет 26, что дотягивает; вычитаем 9; 17 апреля».
(5)
Год 1881 (ст. ст.)
«a и h суть 15 и 6; 4-Rem; 81; 1; 7-Rem; 1881; 18, 48, 61; 5; 1 и 10 будет 11; 22 и 6 будет 28; k равно 0.
a и k суть 15 и 0; 1881; 9 и 8 будет 17; 8 и 11 будет 19; 0 и 15 будет 15; дефект равен 15; 14 и 0 будет 14, что не дотягивает; вычитаем 2; 12 апреля».
6. Примеры для упражнения
Для того из читателей, кто не обладает «Календарной книгой» профессора Де Моргана, ниже приведены сто различных дат, на которых он может поупражняться; ответы помещены в следующем разделе.
7. Ответы
СТИХОТВОРЕНИЯ
МОЙ ЛИЧНЫЙ ЭЛЬФ
Какой-то эльф за мной следит,
Зануда из зануд.
«Не спи! – всё время мне твердит. —
Дела, приятель, ждут».
Когда случайно запою,
«Нельзя, – он скажет, – петь!»
Себе я джину не налью:
Услышу – «Пить не сметь!»
Я грушу взял себе одну,
Сказал он: «Не кусаться!»
Хотел сбежать я на войну,
А он: «Изволь не драться!»
«Так что же можно?» – я вскричал
От гнева и досады.
А он спокойно отвечал:
«И приставать не надо!»
Мораль: «Ничего нельзя!» [24]24
Это и пять следующих стихотворений извлечены составителями собраний Кэрролловых сочинений из рукописного журнала «Полезная и назидательная поэзия», который маленький Чарльз Лютвидж «издал» для своих домашних в ту эпоху, когда ему было тринадцать лет.
Согласно английским представлениям, традиционным для детской, добрые феи и эльфы – это нечто вроде наставников, которые заботятся о том, чтобы ребёнок усваивал хорошие манеры, учился и вообще рос пай-мальчиком (или девочкой). Обращение Кэрролла к подобным представлениям читатель встретит также в главах «Сильвия-фея» и «Месть Бруно» позднего романа «Сильвия и Бруно». Но до этого, в поэме «Три голоса» (1856) укоризненный голос сказочного существа окажется трансформированным в три мрачных речевых потока, исходящих от суровой женщины необозначенного возраста.
[Закрыть]
ПУНКТУАЛЬНОСТЬ
Нам сразу дело сделать лень,
Мы любим временить,
Откладывать со дня на день,
Опаздывать, спешить.
Установить бы час делам
И строго соблюдать;
Тогда подарком можно нам
Свободный час считать.
Прибудь на место в должный срок,
Где «место» ни случись,
И чтоб никто пенять не мог,
Что ты небрит, нечист.
Коль «в половину» ждёт обед,
Спеши к другим сойти,
Пожалуй, «в четверть», а одет
Уж будь и «к десяти».
Придти пораньше – лучше, верь,
Чем припоздавшим быть;
Открыть под бой курантов дверь —
Свой точный ум явить.
Мораль:
Всё сделай тщательно и в срок,
Ведь час летуч как миг; —
Добудешь свежий лепесток
С цветка, что весь поник.
ТЕМЫ [25]25
Подобные стихотворения известны теперь под обозначением «лимерики». Однако эти стихотворения написаны Кэрроллом за год до того, как вышла знаменитая «Книга бессмыслиц» Эдварда Лира (это случилось в 1846 году), «давшего лимерику права гражданства в английской литературе» (Нина Демурова); видимо, именно поэтому они и обозначены автором просто как «темы» («melodies»). Впоследствии Кэрролл написал ещё один лимерик, который и озаглавил этим словом, но в нём содержится совершенно непереводимая игра слов, основанная на созвучии названия острова Мэн и обозначения мужчины в английском языке («man»).
[Закрыть]
1.
Жил да был старый фермер под Ниццей,
Он истыкал лицо себе спицей;
Он и кожу проткнул,
Он и дальше шагнул:
Смог посыльным в суде очутиться!
2.
Жил-был старый обойщик с приветом,
Всё носился с газетным беретом;
Ловко шапка сидела,
Да макушка потела;
Он винил «испарения» в этом.
3.
Жил да был человечек в Париже;
Что ни день, становился он ниже.
Он бы, впрочем, подрос,
Если б голову нёс
С известковым раствором пожиже.
А сестра его Люси О'Лири
Становилась всё тоньше, не шире.
Причина же в том,
Что спала под дождём,
И бедняжку обеда лишили.
БРАТ И СЕСТРА
«Спать, сестрица, час пробил;
Отдохни же, ты без сил!» —
Брат разумный говорил.
«Хочешь, братец, синяков?
И следов от ноготков?» —
Был ответ сестры таков.
«Не гневи меня, сестра.
Мне прибить тебя – игра;
Как прихлопнуть комара».
Но сверкает сестрин взгляд:
«Будешь, братец, сам не рад!
Осади-ка ты назад!»
Брат сбежал, не слыша ног,
Вниз на кухню: «Мне горшок
Одолжите на часок.
Раз баранина жестка,
Допеку её слегка.
Нету сладу без горшка!» —
«Где же мясо, не секрет?» —
«На сестре!» – «Ведь ей во вред!»
«Так дадите ли?» – «Ну, нет!»
Мораль: Никогда не допекай свою сестру.
ТАКОВЫ ФАКТЫ
Когда бы в солнце из ружья
Прицелясь, выстрел сделал я,
Попал бы, верно, в цель шутя —
Не очень много лет спустя.
Но если б пуля, отклонясь,
К другим светилам понеслась,
Летела б долгие века —
До них дорога далека.
ПРАВИЛА И ПОСТАНОВЛЕНИЯ [26]26
Стихотворение воспроизводит небольшие старинные «книги о воспитании», известные со средних веков. Тексты в них также были стихотворными и рифмованными.
[Закрыть]
Путь избавленья
От отупенья —
Он в повышенье
Всем настроенья,
Он в удаленье
От огорчений
И в изученье
Новых учений.
Он в сочетанье
Дел и заданий,
Он в замечанье
Красочных зданий,
Он в рассмотренье
Видов леченья
И в приглашенье
На угощенье.
В коловращенье
И в размышленье
Путь избавленья
От отупенья.
Кушай прилично,
Пой мелодично,
Рисуй опрятно,
Пиши понятно.
Правила учи —
Громко не кричи,
Рано вставай —
По шесть миль гуляй.
Людей не стесняйся —
Всем улыбайся.
Пей не кофе, а чай
И других угощай.
Окружающим не ври.
Всё с начала повтори.
Имей салфетку,
Не трать монетку,
Руки мой,
Не топай ногой.
Пей пиво, не виски,
Строчи записки,
В эльфов верь,
Не прячься за дверь.
Корми канарейку,
Черти под линейку,
Плечом не ломись —
За ручку берись.
Не падай в воду
В дурную погоду,
Свечей не жги,
Запас береги.
Рот, зевая, прикрывай,
В разговоры не встревай.
Мораль: Веди себя хорошо.
УЖАС
Я брёл в неведомой стране,
Что ужасов полна;
Кругом глаза мигали мне,
Земля была черна.
Я зверя вскоре увидал
И понял в тот же миг —
Он человечины искал,
Людей он есть привык.
Я вскрикнул, я к земле прирос,
Я медленно осел,
Я злобный взгляд его не снёс
И весь похолодел.
Но некто в это время мне
Издалека кричит:
«Эй, эй! Вы стонете во сне!
Проснитесь, мистер Смит!»
НЕДОРАЗУМЕНИЕ
Сиди та мысль в мозгу моём,
Давно бы сам сказал тебе я;
А раз молчу – и ты о том
Оставь расспросы, разумея,
Что тех учить, кто сам с усом —
Неблагодарная затея.
Тут спору нет. Но аргумент
(Всего один!) уместен всё же;
Поверь мне, он в любой момент
Придёт на выручку вельможе,
И как рабочим – инструмент,
Он многих мудростей дороже.
Он прост. Ему бежать из плена
Высоких доводов не внове;
Так море гладко и степенно,
Но ждут барашки наготове,
А в жаркий полдень непременно
Придёт на ум мечта о крове:
Когда невежество – измена,
Тогда пусть Мудрость хмурит брови.
ГУБИТЕЛЬНАЯ ПОГОНЯ
Укрыт в лощине утлый лаз
Под монами вьюнов
Глухая пазуха под час
Зверью давала кров.
Ни солнца луч ни взгляд а чей
Проникнуть вглубь не мог
Зато из пазухи ручей
Просачивался в лог.
Скакал монарх на дело спор
Охотой распалён
За ним спешил весёлый двор
Науськивая гон.
Под крик и вой они гурьбой
С утёсов’низ неслись
А впереди дразня трубой
Сноровкий прядал лис.
Вперёд вперёд к чему расчёт
Спасительна нора
О лю!—ди слазать в свой черёд
Кому придёт пора.
Догнать догнать праще под стать
Брехнёй взбивая жуть
Одна борзая первой в падь
К утлизне правит путь.
В норе исчезли нос и лоб
За ними пара лап
О ужас! чавканье взахлёб
Большой глоток и всхрап.
Король за бич рукою хвать
От рети сам не свой
«Пусь’та что вздумала пожрать
Умрёт под сей рукой».
Собачка глупая сполна
Изведала бича
Затем удавка и она
Издохла не урча.
Затем достало им хлопот
Вытаскивать на свет
Я рассказал вам эписод
А больше смысла нет.
СКОРБНЫЕ ЛЭ, №1
Давился ливнем водосток
Как банками варенья [27]27
То есть, как вареньем из банок, но без банок. – Здесь и далее в стихотворении прим. автора.
[Закрыть].
Не гром гремел, но молоток:
Курятник – в поправленье.
В минуту – просто ударов до ста [28]28
Тогда ритм: удар и ещё две трети удара в секунду.
[Закрыть]:
Прилаживая шесты,
Там двое юнцов, лихих молодцов,
Улучшили насесты.
Опять пустили куру в дом [29]29
В её дом, то есть в курятник.
[Закрыть].
Она – к яичкам (про омлет,
Яичницу – и об ином —
Мы ей навряд ли намекнём [30]30
Если только курочка сама не захочет ими полакомиться, что вряд ли.
[Закрыть]):
Осмотрев скорлупки —
Нету ли погубки;
Пронесясь в оглядке —
Всё ли тут в порядке:
Капли не висят ли,
Мыши не шуршат ли —
Села по привычке
Снова на яички,
Да так, что лапок будто нет.
Шло время, развивалась скорлупа;
«И стисканно, и красоте урон», —
Внушала мать, не будучи тупа [31]31
Наоборот, обоюдоостра – и клювом, и когтями.
[Закрыть],
Чтоб содержанье выходило вон [32]32
В нашем случае: из рамок скорлупы на свободу.
[Закрыть].
Но ах! «не те тут выраженья!» —
Сказал… какой-то там поэт.
Кто хочет имени – спросите у других.
Могу я сказать, коль не всё вам равно,
Что вряд ли слыхал он в Парламенте пренья;
Уверен: хоть раз побывай он на них,
Он тот час сменил бы, мне кажется, взгляды:
Там в таких выраженьях вас приветствовать рады…
А имечко… Впрочем, тут ясно одно:
У вас и у меня такого нет.
И вот – свалилось вдруг на нас!
(Что значит: не поднять уж боле.)
Пришли в курятник в ранний час —
Лежит цыплёнок. Вот-те раз!
Иль истощился сил запас,
А только жизнь оборвалась.
Кормилец [33]33
По-видимому, один из тех двоих лихих молодцов.
[Закрыть], птенчика найдя,
Зашёлся рёвом не шутя.
И то – несчастней нету доли!
Вот так: обратный есть билет [34]34
Система обратных билетов совершенно замечательна. По отмеченным дням человек может совершить поездку в оба конца, заплатив как за один конец.
[Закрыть],
И вы примчались на перрон,
Что так от света отдалён, —
Домой! где чайник уж согрет;
Вы мчались – шляпа сорвалась,
И тут увидели, бесясь:
Последний поезд скрылся в поле… [35]35
Дополнительная неприятность заключается в том, что билет «туда-обратно» нельзя использовать на другой день.
[Закрыть]
Не передать, как много было толка
По поводу безвременной кончины,
Догадок смутных – например: «Иголка!
Видать, на шип наткнулся без причины».
И длился гам, стенанья, вздохи, пени,
Но, наконец, решили непредвзято:
«Самоубийство! Ставим шиллинг к пенни —
Убился сам, а мать невиновата».
Но только в одночасье
Посрамлено согласье:
Детишки вдруг врываются гурьбой —
В слезах и с диким взором,
Кричат чего-то хором,
Явив несчастья вестников собой.
«И стойких духом [36]36
А тем более таких, как уже «изошедший рёвом» «кормилец».
[Закрыть] этот вид
Совсем лишит силёнок:
Сбежавшей курочкой убит
Ещё один цыплёнок!» [37]37
Пять представленных здесь стихотворений: «Ужас», «Недоразумение», «Губительная погоня» и «Скорбные лэ, №1 и №2», извлечены из рукописного журнала «Ректорский зонт» (1849 или 1850 г.). Последние два сочинения основаны на реальных событиях весёлой жизни Чарльза Лютвиджа и его братьев и сестёр.
В то время Чарльзу Лютвиджу было семнадцать лет; можно видеть, что в этом возрасте он уже проявил себя мастером пародийного цитирования. В начале третьей строфы читатель встречает взятую в кавычки фразу «И стисканно, и красоте урон». Её прототип – строка «Изысканно, да красоте урон» из поэмы Мэтью Прайора (1664—1721, удостоился чести быть похороненным в Вестминстерском аббатстве) «Генрих и Эмма»; контекст таков:
Изгибов стана больше не судиОт тонкой талии до развитой груди:Искажены корсетом сих времён —Изысканно, да красоте урон. Таким образом, скорлупа, охватывающая готовых проклюнуться цыплят, пародирует «корсет сих времён»; и в том и в другом случае заключённое в них содержание чувствует себя «стисканно». Приведённые строки Мэтью Прайора могли служить злобе дня ещё и в эпоху написания первого из «скорбных лэ»: к ним, обличая современную моду, обратился поэт и публицист Ли Хант в 59-м номере «Лондонского журнала Ли Ханта» (от 13 мая 1835 года).
Ещё раз Кэрролл (как Доджсон) использует последнюю из этих строк Мэтью Прайора в качестве эпиграфа к одному из разделов математический комедии «Эвклид и его Современные Соперники». Если читателю попадётся на глаза наш перевод этого Кэрроллового сочинения, он увидит, что там эта строка переведена нами несколько иначе. Что поделать! Лишь одно: признать своё бессилие перевести эту строку единообразно для обоих случаев, то есть чтобы она и там и здесь придавала контексту дополнительный комизм, сначала соответственно Кэрролловому, а затем согласно Доджсонову замыслам. Нам остаётся только заверить читателя, что оба наших перевода верны по-прайоровски.
[Закрыть]
СКОРБНЫЕ ЛЭ, №2
Семьи священника приют —
Старинный [38]38
Считалось, что этот дом приходского священника был построен в эпоху Эдуарда VI, однако новейшие открытия ясно указывают на гораздо более раннее время его возникновения. На острове, образованном рекой Тиз, найден камень, на котором написана буква «А». Справедливо можно предположить, что эта буква соотносится с именем великого короля Альфреда, в правление которого, вероятно, и был возведён этот дом. – Здесь и далее в стихотворении прим. автора. [Это замечание, разумеется, – шутка, – прим. перев.]
[Закрыть] в Крофте дом;
Он солнышком обласкан,
Овеян ветерком.
Усадьбы домочадцы —
Ватага северян —
Пока дневной не грянул зной,
Спешат к дороге подъездной
Из комнат и с полян.
По двое и по трое
Гуляют у ворот;
Кто чинно замедляет шаг,
А кто – наоборот.
Что публику волнует?
Чего все страстно ждут?
Искусство верховой езды
Покажут нынче тут.
Вытаскивают двое,
Лихие молодцы,
Пред очи публики конька
Под самые уздцы.
Трудна у них задача:
Упитанный конёк [39]39
Автор покорнейше просит прощения за то, что под таким достойным именем он вывел простого ослика.
[Закрыть]
Стрижёт ушами и сопит,
Назад податься норовит
Со всех упрямых ног.
В седло садится рыцарь
Под радостный шумок,
Вдевает ноги в стремена,
Хватает поводок.
Постой, смельчак, не нужно
Смеяться над судьбой —
Ведь необъезженный конёк
Сегодня под тобой.
Твои веленья стали
Законом для цыплят [40]40
Полный отчёт о жизни и несчастьях этих любопытных созданий читатель сможет найти в первой «Песни скорби».
[Закрыть],
Склоняют кролики главу
И съёжившись сидят;
Снегирь и канарейка
Исполнят твой совет,
И черепаха никогда
Тебе не скажет «нет».
Но над собою власти
Конёк не признаёт.
Беда любому, кто пинать [41]41
Это исключительный случай, когда ослик взял себе за правило возвращать каждый полученный им пинок.
[Закрыть]
И бить его начнёт.
Наездник понукает
И ёрзает в седле:
Попал негаданно впросак...
Да сделает хотя бы шаг
Коняга по земле?
Ура! Дорога в Дальтон
От топота дрожит:
Толпа несётся впереди,
Конёк за ней бежит.
Орут и веселятся:
«Скачи, конёк, не стой!»
Но стал задор его спадать,
И с ним не может совладать
Несчастный верховой.
Близка развилка. В Дальтон
Дорога напрямик.
В Нью-Крофт – направо. Выбирать
Вот-вот настанет миг.
«Ко мне! – кричит наездник. —
Коня не удержать!
Болит плечо и ноет бок,
И крепкий нужен нам пинок,
Чтоб в стойло не сбежать!»
Тут Ульфред Лонгбоу [42]42
Доблестный рыцарь, имеющий стальное сердце и железные нервы. [Этот Уилфред – младший брат Чарльза Лютвиджа. – Прим. переводчика.]
[Закрыть] справа
К наезднику идёт.
«Пустить меня! Тащить коня
Я помогу вперёд!»
И подошла Флюриза [43]43
Сестрица обеих. [Имеется в виду младшая сестра Кэрролла Луиза. – Прим. переводчика.]
[Закрыть],
Прекрасная сестра:
«А слева – я, его маня
От нашего двора!»
Беснуется наездник
И возится с конём,
Но вынудить его скакать
Не может нипочём.
Сестра и братец Ульфред
Упёрлись, точно в пень;
Кричали прочие: «И так
Торчим мы тут весь день!»
Наездник встрепенулся,
Возиться прекратил,
Стряхнул с сапожек стремена,
Поводья отпустил,
Схватил коня за холку,
Победно наземь – прыг [44]44
Читателю, вероятно, невдомёк будет природа этого торжества, ведь цель не была достигнута, а ослик по всему вышел победителем; но по этому поводу мы с сожалением должны сказать, что не располагаем надёжным объяснением.
[Закрыть]!
Изящно на ноги присел
И выпрямился вмиг.
До той минуты Ульфред —
Надежда и краса —
Стоял пред недругом скалой,
Глядел ему в глаза.
Но слышит он: о землю
Подошвы братца хлоп! —
Ослабил хватку невзначай,
А конь и рад: в родной сарай
Ударился в галоп.
С корзиной бутербродов
Мы к Ульфреду пришли [45]45
Более приемлемый подарок для истинного рыцаря, чем «земля под пахоту», которую римляне столь глупо предложили своему отважному защитнику, Горацию.
[Закрыть]
(За сутки их три кролика
Умять бы не смогли).
Во славу этой схватки
С взбесившимся конём
Ему насыпали конфет,
А ближе к вечеру сонет
Придумали о нём.
И часто вечерами,
Когда трещат дрова,
О лампу бьются мотыльки
И ухает сова,
Когда в постелях дети
Ещё взбрыкнут не раз,
Заходит речь у нас о том,
Как Ульфред тем ужасным днём
Боролся с бешеным конём
И путь на Крофт своим плечом
От запустенья спас [46]46
Настоящее стихотворение пародирует стиль «Баллад о Древнем Риме» лорда Маколея (ср. авторское примечание 8). Упомянутые «дети севера» – это братья и сёстры Чарльза Лютвиджа, девять (без него, см. рисунок рукою автора к этому стихотворению) уроженцев графства Чешир в Северной Англии, которыми он верховодил с 1843 по 1851 год в отцовом приходе в Крофте до своего переселения в Оксфорд.
[Закрыть].
ДВА БРАТА
Из твайфордской школы два брата шли;
Один размышлял на ходу:
«Быть может, поучим сейчас латынь?
А не то – погоняем в лапту?
Или вот что: не хочешь ли, милый брат,
Карасей поудить на мосту?»
«Слишком туп я для этой латыни,
Неохота мне бегать в лапту.
Так что дела не выдумать лучше,
Чем удить карасей на мосту».
И тот час же удочку он собрал,
Лесу из портфеля вынул;
Раскрыв дневничок, извлёк он крючок
И вонзил его братику в спину.
Десяток ребят уж так загалдят,
Дозволь им ловить поросёнка;
Но сильней будет визг и сверкание брызг,
Если сверзится с моста мальчонка.
Рыбёшки несутся на крик и плеск —
Пожива для них лежит!
Упавший шалун так нежен и юн,
Что проснулся у них аппетит.
«Тебе покажу я, что значит „Т“! —
Изволит кидальщик смеяться. —
Одни только рыбы умерить могли бы
Весёлость несносную братца».
«Мой брат, прекрати эти бис и тер! —
Доносится крик возмущенья. —
Что я совершил? Зачем ты решил
Развлекаться игрой в утопленье?
Любоваться готов на порядочный клёв
И сам я весь день напролёт.
Меня там и тут уже рыбы клюют,
Только это иной оборот.
Успел карасей растолкать я взашей,
А окунь вопьётся вот-вот.
Я не чувствую жажду, от жары я не стражду,
Чтобы в воду кидаться в спасенье...»
А в ответ: «Ерунда! Ничего, что вода!
Ведь с тобой мы в одном положенье.
Посуди: разве лучше кому-то из нас
(Утопленье в расчёт не берём)?
Одного тут пока я поймал окунька,
Но и ты со своим окуньком.
Я пронзил своего, этот впился в тебя
И повис на крючке, трепеща.
Тут любой дуралей надаёт мне лещей,
Но и ты там подцепишь леща».
«Но прошу о таком: ты меня с окуньком
(Ведь теперь мы вдвоём на крючке)
Потяни из реки, хорошо подсеки
И доставь нас на сушу в сачке».
«Терпенье! Сейчас приплывёт форель,
Я сразу же пикой пронжу.
А ежели щука – тут иная наука:
Я с десяток минут погожу».
«Эти десять минут мою жизнь унесут —
Загрызёт ведь меня без помех!» —
«Чтобы выжить ты смог, подожду лишь пяток,
Но сомнительным станет успех». —
«Из чего твоё сердце – из редиски и перца?
Из железа оно, из гранита?» —
«Не знаю, родной, ведь за клеткой грудной
Моё сердце от химиков скрыто.
Карасей наловить да ухи наварить —
Давнишняя, братец, мечта!
И пока в самом деле не поймаю форели,
Я не сдвинусь, не сдвинусь с моста!» —
«В любимую школу назад хочу,
Под розгой учить латынь!» —
«Зачем же назад? – ответствует брат. —
И здесь хорошо, как ни кинь.
Такое везенье – позабыты склоненья,
То окунь тебе, то карась.
Не учишь словечки, а купаешься в речке,
Наживкой для рыб притворясь!
Не мотай головой – мол, висит над тобой
Эта удочка, свалится вдруг.
За неё тут держась, ощущаю я связь
И не выпущу, братик, из рук.
Ну так вот: верь не верь, подплывает форель,
Кверхуносая рыбка она.
Ты увидишь, братишка, что любовь наша слишком,
Что любовь наша слишком сильна.
Я намерен её пригласить на обед,
Лишь бы день только ей подошёл.
Я чиркну ей пять строк, и в условленный срок
Мы усядемся с нею за стол.
Она, правда, в свете ещё не была,
Манерами блещет навряд;
Так что мне надлежит обеспечить ей вид —
Подобрать, то бишь, нужный наряд».
А снизу упрёки: «Рассужденья жестоки,
Мысли гнусны, несносны страданья!»
Но на каждое слово братик сверху толково
Отвечать прилагает старанья:
«Что? Так ли уж лучше по речке плыть,
Чем ровно на дне лежать?
Однако ж заметь: на тарелочке сельдь
Восхитительна – не описать!
Что? Желаешь скорей ты сбежать, дуралей,
От рыбок весёлых и милых?
Загадочно мне! Почему б тебе не
Наловить их, когда в твоих силах?
Есть люди – часами готовы бубнить
Про небо и птичек полёт,
Про зайчишек в полях и рыбёшек в морях,
Коим в радость их жизнь без забот.
А что до стремленья из их окруженья,
Чем вместе пускать пузырьки,
Так это ты брось – ты не сом, не лосось,
Чтоб тебя я тащил из реки.
Пускай утверждают: рассудок велит
Всех тварей в природе любить —
Но разум советчик, кого мне из речки,
Когда и кого мне тащить.
Что одежда и дом? Можно жить босяком;
Всё бери – даже деньги со счёта!
Ничего мне не жалко, но лишуся рыбалки —
Это будет не жизнь, а нудота».
Искала братиков сестра;
Придя на этот мост,
Такое дело она узрела
И не сдержала слёз.
«А что там, братик, на крючке?
Наживка что, ответь». —
«Воображала-воробей,
Не захотел мне спеть». —
«Да пенья можно ли всерьёз
Желать от воробья?
И не похожи воробьи
На то, что вижу я!
Так что там, братик, на крючке?
Скажи мне поскорей!» —
«Мой братец младший, – тот в ответ. —
Не хнычь и не жалей.
Я нынче зол, не знаю как!
И не на то решусь!
Прощай, любимая сестра, —
Я в странствие пущусь». —
«Когда же ждать тебя домой,
Ответь, любимый брат?» —
«Когда на горке свистнет рак,
Вернуся я назад».
На это молвила сестра,
Качая головой:
«Один, полагаю, не явится к чаю,
И вымок до нитки другой!» [47]47
Упомянутая в стихотворении Твайфордская школа – это одна из самых старых так называемых «подготовительных» (для поступления в колледж Винчестера и другие учебные заведения более высокой ступени) школ-пансионатов Англии (первоначально только для мальчиков; в двадцатом столетии обучение совместное). Она находится в деревушке Твайфорд близ городка Винчестер в графстве Гемпшир. Стихотворение написано в 1853 году, когда несколько младших братьев (родных и двоюродных) молодого Доджсона, уже студента Оксфорда, были учащимися Твайфордской школы; позднее, в декабре 1857 года, Доджсон посетил эту школу, желая навестить бывших однокашников по колледжу Христовой Церкви, которые там теперь преподавали. Учащиеся мальчики вызвали в нём симпатию, и на следующий год Доджсон прибыл туда с фотоаппаратом. А 17 февраля 2009 года в школе была организована выставка Кэрролловых фоторабот и состоялся праздничный обед в ознаменование двухсотлетия первой сделанной в этой школе фотографии (разумеется, Кэрролловой).
В стихотворении читатель вновь встретит упоминание о «Т» (см. памфлет «Видение трёх „Т“»). Этими «Т», скорее всего, обозначаются т-(или y-)образные подставки под удочки, когда последние закреплены одним концом на суше.
[Закрыть]
УЕДИНЕНИЕ
Люблю я тишь густых лесов,
Люблю я музыку ручья,
В раздумье средь немых холмов
Люблю скрываться я.
Зелёный полог, а под ним
Лучей серебряных струи;
Травой лепечет ветер-мим
Истории свои.
Далёк отсюда грубый мир;
Ни тяжкий вздох, ни громкий шаг
Моей души священный мир
Уже не оглушат.
Я лью здесь слёзы без стыда,
Чтоб душу умягчить верней —
Так дети хнычут иногда
На лоне матерей.
Когда же в сердце мир и лад,
Ещё чудесней – снова там
Бродить в истоме наугад
По дремлющим холмам.
Тогда переживаю вновь
Минуты радостей былых;
Скрывает радужный покров
Круженье лет пустых.
О дар дыханья – чем ты мил,
Когда печаль – удел людей?
Закончить нам во тьме могил
Чреду ненастных дней.
А час надежд – неужто он
Нам годы скорби возместит?
И расцветающий бутон
Пустынный скрасит вид?
О годы жизненной весны,
Любви, невинности, добра!
Сияй сквозь дней нелепых сны,
Прекрасная пора!
Я зрелость лет готов отдать —
Шеренгу блекнущих картин —
Чтоб вновь ребёнком малым стать
На летний день один.
16 марта 1853 г. [48]48
Стихотворения «Уединение», «Жена моряка», «Гайавата-фотограф», поэма «Три голоса» и рассказ «Новизна и романтичность» первоначально появились в разное время в журнале «Поезд» («The Train»). Настоящее стихотворение специально подвергается разбору в известной книге Ирины Галинской «Льюис Кэрролл и загадки его текстов», однако поскольку «исследовательница» называет это стихотворение исключительно поэмой (ведь по-английски «стихотворение» будет ‘poem’), становится ясно, что Кэрролла она не читала.
Дату под стихотворением мы ставим в тех случаях, когда она имеется в изданиях так называемого «Полного Кэрролла», составленного Эликзендером Вулкоттом.
[Закрыть]
