Текст книги "Том 12. Числа-основа гармонии. Музыка и математика"

Автор книги: Хавьер Арбонес

Соавторы: Пабло Милруд
сообщить о нарушении

Текущая страница: 4 (всего у книги 7 страниц)

Чакона – это композиция, в которой неизменная тема повторяется в басу, а остальные голоса варьируются, накладываясь поверх нее. В каноне Пахельбеля вариации исполняются тремя верхними голосами канона. Поверх циклически повторяющегося ритма (который также использовался в разное время во множестве других произведений) плавно, без резких скачков, звучит основная мелодия произведения, непрестанно изменяясь от спокойной, меланхоличной до радостной и оживленной.

Также стоит упомянуть павану, соч. 50 французского композитора Габриэля Форе (1845–1924), в начале которой исходный мотив дважды исполняется (1-й такт и половина 2-го такта) виолончелями, виолами и вторыми скрипками.

Знаменитая Симфония № 5 до минор, соч. 67 Людвига ван Бетховена (1770–1827) – еще один пример диагонального переноса, в котором сочетаются вертикальный и горизонтальный переносы. Для верхнего голоса (выделен на партитуре, приведенной ниже) повторяется одна и та же мелодическая фигура, которая с каждым разом транспонируется все выше.

Отражения

Отражение – это преобразование, которое заменяет фигуру ее зеркальным отражением. Результатом отражения фигуры является ее хиральная копия, то есть такая фигура, которую нельзя совместить с исходной с помощью поворотов (представьте, например, отражение в зеркале человека с повязкой на правом глазу).

Чтобы вернуться к исходной фигуре, необходимо выполнить двойное отражение, то есть отразить отраженную фигуру еще раз. Мы рассмотрим два вида отражений: относительно горизонтальной и относительно вертикальной оси. Комбинация отражений относительно вертикальной и горизонтальной оси является поворотом на 180°, что показано на рисунке:

Если применить отражение к партитуре, получатся новые композиции: инвертированные и ракоходные.

Отражение относительно вертикальной оси: ракоход

В этом случае мелодия записывается заново, начиная с последней ноты, так что ноты исходной мелодии идут в обратном порядке:

Исполнение исходной и ракоходной мелодии подряд – это так называемая мелодическая симметрия, которую также можно назвать мелодическим палиндромом.

Очень известный пример подобной симметрии – «Аллилуйя» из оратории «Мессия» Георга Фридриха Генделя (1685–1759).

Аналогичную симметрию можно увидеть в начале известной композиции I've got Rhythm гениального американского композитора Джорджа Гершвина (1898–1937):

* * *

АМБИГРАММЫ

Симметрия цифр и букв проявляется в словах-палиндромах и числах-палиндромах. Менее известны амбиграммы – слова, написанные так, что при определенном преобразовании (отражении, повороте и т. д.) получается это же или другое слово. На рисунке изображена амбиграмма «Моцарт», автором которой является американец Скоп Ким.

* * *

Отражение относительно горизонтальной оси: инверсия

Рассмотрим инверсию простой мелодии, отраженной горизонтально относительно оси, проходящей через линию ре:

Из следующего рисунка сразу же становится понятно, что при одновременном исполнении двух этих мелодий на пианино нужно нажимать клавиши, симметричные относительно клавиши ре:

Габриэль Форе в своем Messe basse: Agnus Dei в качестве основного приема использует отражение относительно горизонтальной оси. Две первые восьмые ноты начальных тактов отражаются, завершая такт:

В этом фрагменте из Струнного квартета соль минор, соч. 10 французского композитора Клода Дебюсси (1862–1918) первая скрипка и виола в каждый момент времени исполняют противоположные ноты:

В припеве Samba de Uma Nota Só («Самбы одной ноты») бразильского композитора Антонио Карлоса Жобина (1927–1994) второй такт получается из первого поворотом на 180°:

Двадцать четыре каприса для скрипки, написанные итальянским скрипачом и композитором Никколо Паганини (1782–1840), вдохновили многих композиторов на создание различных вариаций, самыми известными из которых являются композиции Сергея Рахманинова (1873–1943). В частности, Рахманинов написал мелодию, симметричную капрису № 24:

В некоторых случаях, как, например, в шестой из «Шести мелодий в унисон» из цикла фортепианных пьес «Микрокосмос» Белы Бартока (1881–1943) наблюдается симметрия звуков по высоте, но не по длительности. Ось симметрии проходит через первую ноту (до) второго нотоносца, выделенную пунктирной линией.

В последнем примере партитура для каждой руки симметрична относительно начальной ноты си-бемоль:

Повороты

Напомним, что поворот на 180° эквивалентен ракоходной инверсии. Применительно к музыке имеет смысл рассматривать только поворот на 180°, так как поворот на 90° не будет иметь смысла, что показано на следующем рисунке:

Точно так же, как и в геометрии, поворот на 180° можно представить как двойную инверсию: по горизонтали и по вертикали:

ГенийВольфганга Амадея Моцарта (1756–1791) проявился особенно ярко в не самом известном его произведении. Это канон для двух скрипок, состоящий из двух мелодий, повернутых друг относительно друга на 180°. Если мы представим поворот как двойное отражение, то увидим, что Моцарт неспроста расположил горизонтальную ось симметрии на линии си: благодаря этому композицию можно записать на одном нотном стане и на одной мелодической линии. При исполнении этого произведения музыканты становятся лицом друг к другу, расположив партитуру между собой. Оба смогут прочитать партитуру благодаря тому, что ключ соль расположен и в начале, и в конце нотного стана. Таким образом, при инверсии страницы нота соль становится нотой ре, ля – до и так далее. Единственной неизменной нотой остается си:

В «Зеркале» Моцарта два скрипача могут читать одну и ту же партитуру в противоположных направлениях, находясь друг напротив друга.

Австрийский композитор Антон Веберн (1883–1945) – одна из ключевых фигур в додекафонической музыке – основном направлении академической музыки начала XX века. В своем Струнном квартете, соч. 28 Веберн определяет исходную серию звуков, на которой затем устанавливаются интервалы. В этом произведении можно увидеть основную мелодию, ее инверсию и ракоход. Кроме того, в центре расположена ось симметрии, отделяющая исходную фигуру от ее ракоходной инверсии.

Ряд из 12 звуков Струнного квартета, ор. 28 Антона Веберна. Числа обозначают число полутонов в каждом интервале. Стрелки указывают, восходящим или нисходящим является данный интервал.

Комбинации преобразований

Вышеперечисленные преобразования причудливым образом сочетаются во множестве музыкальных произведений разных эпох. Они образуют широкий спектр музыкальных средств, которые отличаются огромным разнообразием, так как может изменяться расположение оси симметрии при отражении, расстояние в интервалах при вертикальном переносе и смещение при горизонтальном переносе, например смещение голосов канона.

Изначальная идея канона – имитация одного голоса с помощью последующего голоса или голосов – была дополнена другими видами имитации, в которых оригинальными способами применялись симметрия и ракоходы.

Горизонтальный и вертикальный перенос: интервальные каноны

Из определения канона следует, что второй голос горизонтально смещен относительно первого. Если к этому горизонтальному смещению добавить вертикальный перенос, то получится так называемый интервальный канон, в котором второй голос начинается не с той же ноты, что ведущий голос. Это приводит к изменению тонов и полутонов. Такое изменение называется тональным ответом. Расстояние, на которое смещен второй голос относительно первого, можно использовать в качестве признака классификации канонов. Так, оба голоса могут вступать в унисон (одновременно), второй может быть смещен на секунду, терцию и так далее.

Вертикальный перенос и отражение относительно вертикальной оси: ракоходный перенос

При такой комбинации преобразований исходная мелодия транспонируется, а затем заменяется ракоходом.

Вертикальный перенос и отражение относительно горизонтальной оси: инвертированная транспозиция

Для выполнения этой комбинации преобразований необходима транспозиция мелодии на новую начальную ноту с последующим инвертированием мелодии. Однако эти два преобразования можно свести к одному путем правильного выбора оси симметрии.

На этом примере показана комбинация вертикального переноса со смещением относительно горизонтальной оси (соответствует линии ноты си).

Тот же результат, что и на предыдущей иллюстрации, но полученный одним преобразованием – отражением относительно оси, соответствующей ноте соль.

В хорале «Агнец» (The Lamb) современного английского композитора Джона Тавенера, написавшего его для своего трехлетнего племянника, сочетаются некоторые из вышеописанных преобразований. Это произведение обладает множественной симметрией: исходная мелодия первого такта повторяется во втором (горизонтальный перенос), одновременно с этим вступает второй голос, который представляет собой инверсию исходной мелодии, полученную симметричным отображением относительно горизонтальной оси. Ось симметрии соответствует ноте соль. Третий такт содержит новую мелодию, в четвертом такте происходит ракоход этой мелодии (ее симметричное отражение относительно вертикальной оси). В пятом и шестом тактах повторяется мелодия третьего и четвертого тактов, которую дополняет второй голос – симметрично отображенная относительно горизонтальной оси мелодия пятого и шестого тактов. Следовательно, мелодия шестого такта для второго голоса – это поворот четвертого такта основного голоса на 180°.

Хотя интервалы между любыми двумя нотами мелодии строго соблюдаются, из эстетических соображений композитор изменил длительность последней ноты каждой музыкальной фразы. Однако это не нарушает симметрию, так как мелодическая линия, которую мысленно рисует композитор, зависит от порядка исполнения звуков, а не от диезов и бемолей.

* * *

ПЕЧАТЬ БАХА

Иоганн Себастьян Бах создал собственную идеально симметричную печать. В ней сочетаются три символа: корона, символизирующая Бога, инициалы композитора – JSB, и их зеркальное отображение. Сочетание симметрично отраженной J и исходной буквы S образует греческую букву . Эта буква обозначает крест и является первой буквой в имени Христа, записанном по-гречески. Аналогичная симметрия затем используется еще два раза.

* * *

В Canon Concordia Discors, BWV 1086 Иоганна Себастьяна Баха имитация основной мелодии является инверсией, ось симметрии проходит по линии ноты ми. Если бы мы захотели «классифицировать» это произведение, то сказали бы, что в нем используется отражение относительно горизонтальной оси в сочетании с переносом (канон).

Еще одной особенностью некоторых сочинений Баха является использование шифров в их музыкальной записи. В каноне, имеющем номер 1073 по каталогу BWV, Бах записал на нотном стане всего одну мелодию, однако поместил в начало партитуры не один, а четыре ключа. Каждый ключ определяет записанные ноты по-разному; таким образом, мелодия переобозначается для каждого ключа. По порядку записи ключей мелодия начинается с ноты до, затем с ноты соль, далее с ре и, наконец, с ля. Именно на эти четыре ноты настроены струны виолы – одного из любимых инструментов Баха.

Переписав партитуру для стандартных ключей соль и фа и начав каждый голос с позиции, указанной композитором, можно восстановить полную нотную запись канона.

* * *

КОРОЛЕВСКАЯ ТЕМА

В 1740 году Карл Филипп Эммануил Бах (1714–1788), второй из пяти сыновей Иоганна Себастьяна Баха, стал членом королевского двора Фридриха II Великого, короля Пруссии. Во дворце ежедневно давались концерты камерной музыки. Король был меломаном, композитором и играл на флейте. Ему стало известно об искусстве Баха, и он захотел познакомиться с ним. После долгих уговоров Карлу удалось добиться согласия отца. Он посетил Потсдам, где располагался королевский дворец, и по просьбе короля попробовал сыграть на всех фортепиано Зильбермана, которые находились в залах дворца. Желая показать свои способности, Бах попросил короля сымпровизировать и сыграть мелодию, на основе которой хотел написать фугу. Бах уехал в Лейпциг и в благодарность за радушный прием сочинил «Музыкальное приношение», взяв за основу мелодию, придуманную королем. Этот цикл произведений, в котором композитор демонстрирует свои удивительные способности, был завершен спустя два месяца после встречи с королем и состоит из двух ричеркаров (старинное название фуги), десяти канонов и одной сонаты. В рукописи Бах озаглавил первый ричеркар Regis lussu Cantio Et Reliqua Canonica Arte Resoluta, что означает «Данная повелением короля тема и прочее, исполненное в каноническом роде». Эта фраза содержит игру слов – акростих: если записать слова фразы одно под другим, первые буквы образуют слово RICERCAR – «РИЧЕРКАР».

Портрет Карла Филиппа Эммануила Баха. Внизу – партитура темы короля Фридриха II Великого.

* * *

Преобразования, изменяющие размеры

Три вида преобразований, которые мы рассмотрели (перенос, отражение и поворот), являются изометрическими, то есть сохраняют исходные размеры музыкальных фигур и расстояния между ними.

Также существует неизометрическое преобразование, которое применяется в музыке. Оно называется масштабирование. Масштабирование увеличивает или уменьшает один из линейных размеров фигуры. При этом преобразовании соотношение сторон фигуры может как сохраняться неизменным, так и изменяться. Если мы хотим применить это преобразование в музыкальной нотации, необходимо четко различать два «измерения» музыкальной плоскости.

Горизонтальное масштабирование

Наиболее наглядными примерами этого преобразования являются сжатие и растяжение вдоль временной оси. Чтобы произвести такое преобразование и, следовательно, изменить скорость, с которой исполняется произведение, необходимо изменить темп метронома:

Изменение скорости путем изменения темпа метронома.

Однако порой интереснее изменить скорость исполнения мелодии, сохраняя темп метронома неизменным. Для этого ноты заменяются эквивалентными нотами меньшей длительности:

«Немецкий реквием» Иоганнеса Брамса

Немецкий композитор Иоганнес Брамс (1833–1897), представитель романтизма, использовал масштабирование в своем знаменитом «Немецком реквиеме». В первых тактах соло (линия партитуры с подписью soprano solo) мелодия сопрано образована восьмыми нотами. Теноры повторяют эту же мелодию, но длительность нот удваивается: восьмые ноты заменяются четвертными, четвертные – половинными и так далее. В результате сопрано исполняет мелодию в два раза быстрее, чем теноры (tenors на партитуре):

Puttin' on the Ritz

Автором этой известной мелодии является американский композитор Ирвинг Берлин (1888–1989) – «величайший песенный композитор всех времен», по словам его соотечественника Джорджа Гершвина. Эту песню, которая впервые прозвучала в 1929 году, впоследствии исполняли Бенни Гудмен, Фред Астер и другие известные певцы. Текст песни довольно прост, но, несмотря на это, она отличается запутанной ритмикой. В мелодии четыре раза повторяется очень простая фигура из четырех нот, но эти четыре повторения занимают не четыре такта, а чуть больше трех, за счет чего образуется неравномерный ритм:

Берлину удалось достичь этого удивительного эффекта за счет «сжатия» нот. На следующей иллюстрации можно видеть, как четыре ноты, сгруппированные в фигуры и обозначенные кругами под номерами от 1 до 4, следуют друг за другом. Стрелкой обозначена граница такта.

Вертикальное масштабирование

Что происходит при вертикальном масштабировании? Это преобразование – самое необычное из рассмотренных нами. Его сложнее всего выполнить и весьма непросто услышать в музыкальной композиции. При вертикальном масштабировании все интервалы пропорционально расширяются. В первом примере интервалами мелодии являются две терции. Во втором примере терции преобразуются в квинты.

Подобное повторение расширенной мелодической кривой исходной мелодии иногда может давать пародийный эффект. Известный пример вертикального мас штабирования связывает между собой Баха и Джона Кейджа и упоминается в классической научно-популярной книге «Гедель, Эшер, Бах» американского автора Дугласа Хофштадтера (р. 1945).

Если использовать латинскую систему, в которой ноты обозначаются буквами от А до G, то с помощью масштабирования можно превратить тему ВАСН («Бах») в CAGE («Кейдж»).

Интервалы темы BACH: —1|+3 |—1.

Умножив эти интервалы на 3, получим —3 |+9 |—3, что почти совпадает с темой CAGE, интервалы которой равны —3 |+10 |—3.

Гармоническая симметрия

Симметричные аккорды

Одна октава состоит из 12 полутонов. Эти 12 полутонов можно разделить на симметричные аккорды всего двумя способами: в первом случае аккорды из 3 нот будут разделены 4 полутонами, во втором случае аккорды из 4 нот будут разделены 3 полутонами.

В первом случае образуется аккорд увеличенной квинты, состоящей из двух больших терций, во втором – аккорд уменьшенной септимы. Благодаря своей симметричности этот аккорд занял очень важное место в истории музыки, так как его можно «прочитать» многими способами одновременно.

Симметричные звукоряды

В своей книге «Техника моего музыкального языка» французский композитор Оливье Мессиан (1908–1992) приводит классификацию звукорядов, которые он называет ладами ограниченной транспозиции. В этих звукорядах, ступени которых образуют полную октаву, интервалы, разделяющие ноты, распределяются симметрично. Такие звукоряды основаны на хроматической системе из 12 звуков и состоят из различных симметричных групп. После определения звукоряда он последовательно транспонируется до тех пор, пока при транспозиции не образуется звукоряд, в котором будут полностью повторяться ноты исходной группы.

Первый лад в классификации Мессиана называется ладом с целыми тонами:

В этом ладу допускается всего два варианта: первый начинается с до, второй – с до-диез. В ладу, который начинается с ре, повторяются ноты исходного лада.

Второй лад – уменьшенный октатонический звукоряд, в котором чередуются полутона и целые тона. Этот лад делится на четыре группы по три ноты и допускает три транспозиции.

Третий лад образован последовательностями тон – полутон – полутон, состоит из трех групп по четыре звука и допускает четыре транспозиции.

Порядок интервалов в четвертом ладу таков: полутон – полутон – полтора тона (3 полутона) – полутон, шесть транспозиций.

Пятый лад образует две симметричные группы из четырех звуков: полутон – два тона – полутон и допускает шесть транспозиций.

Шестой лад состоит из двух групп по шесть звуков (тон – тон – полутон – полутон) и допускает шесть транспозиций.

Седьмой лад состоит из двух групп по шесть звуков (полутон – полутон – полутон – тон – полутон) и допускает шесть транспозиций.

Математика музыкальной формы

Симметрия наблюдается не только в музыкальных фразах и мотивах. Более сложные музыкальные структуры также могут обладать интересными математическими свойствами.

В формальном анализе музыкальных произведений изучается «музыкальная плоскость» – иными словами, составные части произведения и взаимосвязи между ними. Так как «музыкальную плоскость» можно изображать с разной степенью точности, в зависимости от «масштаба» можно получить общее представление, не содержащее нюансов, либо, напротив, в подробностях увидеть все детали, но не все произведение в целом.

ABCDE…

Рассмотрим музыкальные произведения издалека. Мы увидим крупные структуры, которые будем обозначать заглавными латинскими буквами. Здесь в качестве структурных элементов композиции мы будем рассматривать повторяющиеся или изменяющиеся фрагменты произведения. Композицию, в которой полностью повторяется единственная группа, будем обозначать так:

Такие композиции обладают простой симметрией. Произведение, состоящее из двух полностью различных групп, напротив, не обладает какой-либо симметрией:

Существуют ли произведения, симметричные с формальной точки зрения? Да, такие произведения существуют, более того, они встречаются очень часто. Примером может служить скерцо («игра») – произведение, которое обычно является частью другого, более крупного произведения, например симфонии. В качестве примера можно привести скерцо из Девятой симфонии Бетховена или скерцо из Симфонии № 4 Чайковского. По своей сути скерцо имеет вид АВ. Иногда после исполнения второй части первая повторяется заново, и композиция принимает вид:

Это простейшая симметричная фигура. Части этой композиции могут повторяться и далее, образуя различные симметричные структуры:

Также существуют сложные формы, состоящие из трех частей, каждая из которых также делится на три части. В результате образуются более крупные симметричные структуры:

Некоторые короткие произведения, например вальс ор. 34 № 1 Фредерика Шопена (1810–1849), обладают еще более широкой симметрией:

Чем длиннее произведение, тем меньше вероятность наличия подобной симметрии. «Музыкальное приношение» Баха обладает формальной симметрией следующего вида:

Месса си минор Баха

Иоганн Себастьян Бах, самый изобретательный композитор всех времен, использовал в своих произведениях структуры, обладающие символическими и математическими свойствами. Его Месса си минор (Высокая месса) BWV 232, состоит из 27 частей, объединенных в четыре группы: Kyrie, Gloria, Credo и финальную, включающую в числе прочих части Sanctus, Hosanna, Benedictus и Agnus Dei. Композитор хотел изобразить Святую Троицу как в музыке, так и в числах.

Число 3 обозначает Святую Троицу. Общее число частей произведения (27), а также число частей в каждой группе (3 + 9 + 9 + 6) делится на три. Две центральных группы (Gloria и Credo) имеют симметричную структуру. Центр симметрии Gloria расположен в хоре Domine Deus («Господи Боже»). Центр симметрии Credo – в Crucifixus («Распятье»):

_—Kyrie

 _{Kyrie eleison (№ 1).}

 _{Christe eleison.}

 _{Kyrie eleison (№ 2).}

 _—Gloria

 _{Gloria in excelsis Deo.}

 _{Et in terra pax.}

 _{Laudamus te.}

 _{Gratias agimus tibi.}

 _{Domine Deus. <—}

 _{Qui tollis peccata mundi.}

 _{Qui sedes ad dexteram Patris.}

 _{Quoniam tu solus sanctus.}

 _{Cum Sancto Spiritu.}

 _—Credo

 _{Credo in unum Deum.}

 _{Patrem omnipotentem.}

 _{Et in unum Dominum.}

 _{Et incarnatus est.}

 _{Crucifixus. <—}

 _{Et resurrexit.}

 _{Et in Spiritum Sanctum.}

 _Confiteor.

 _{Et expecto.}

 _{—Sanctus, Hosanna, Benedictus, Agnus Dei}

_Sanctus.

 _Hosanna.

 _Benedictus.

 _{Hosanna (da capo).}

 _{Agnus Dei.}

 _{Dona nobis pacem.}

В частности, три центральных элемента группы Credo рассказывают о жизни Христа, начиная от воплощения (Et incarnatus est) до воскрешения (Et resurrexit), центральная часть повествует о распятии (Crucifixus).

* * *

МУЗЫКАЛЬНЫЕ КРИПТОГРАММЫ

Криптограмма – сообщение, которое нельзя прочитать, не зная ключа шифра. Это сообщение может быть спрятано внутри рисунка, в тексте или посреди беспорядочно расположенных цифр и букв. Музыкальная криптограмма – это произведение, в котором зашифрован текст. Чтобы прочитать его, необходимо всего лишь записать обозначения всех его нот. Многие композиторы создавали произведения, следуя такой системе. Наиболее известной музыкальной криптограммой, вне всякого сомнения, является В-А-С-Н, в которой используется классическая немецкая нотация. В этой нотации си-бемоль обозначается буквой В, ля – буквой А, до – буквой С, си – буквой Н.

Другими известными криптограммами являются:

– ABEGG в честь Meta Abegg в «Вариациях на тему Abegg» Роберта Шумана;

– CAGE в честь Джона Кейджа. Этот мотив использовала Полина Оливейрос;

– GADE в честь Нильса Гаде. Этот мотив использовал Роберт Шуман.

Антон Веберн в своем Струнном квартете, соч. 28 использовал четыре ноты В-А-С-Н и два геометрических преобразования, с помощью которых превратил эти четыре ноты в восемь.

Австрийский композитор Альбан Берг (1885–1935) в своей опере «Воццек» отдает дань уважения трем ведущим представителям венской школы, зашифровав текст в партитуре для каждого инструмента:

– пианино: Арнольд Шёнберг (ADSCHBEG);

– скрипка: Антон Веберн (АЕВЕ);

– труба: Альбан Берг (ABABEG).

* * *

Золотое сечение и музыка

Итальянский математик Леонардо Пизанский, известный какФибоначчи (ок. 1170 – ок. 1250), был одним из тех, кто ввел в употребление арабские цифры в Европе. В своей «Книге абака» он изложил задачу:

«Пусть в огороженном месте имеется пара кроликов (самка и самец) в первый день января. Эта пара кроликов производит новую пару кроликов в первый день февраля и затем в первый день каждого следующего месяца. Каждая новорожденная пара кроликов становится зрелой уже через месяц и затем каждый месяц дает жизнь новой паре кроликов. Возникает вопрос: сколько пар кроликов будет в огороженном месте через год, то есть через 12 месяцев с начала размножения?»

Ответ на эту интересную задачу таков:

– В первые два месяца имеется всего одна пара кроликов, А.

– В третьем месяце родится В, первая пара – потомок А.

– В четвертом месяцев родится С, вторая пара – потомок А.

– В пятом месяце родится D, третья пара – потомок А, и Е, первая пара – потомок В.

Численность кроликов в последующие месяцы будет описываться последовательностью 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144… Эта последовательность чисел известна как числа Фибоначчи. Если мы поделим каждый член этой последовательности на предыдущий, получим:

На схеме показан рост численности кроликов. Белыми точками обозначены пары молодых кроликов, черными – взрослых кроликов, способных давать потомство.

Отношения членов ряда Фибоначчи стремятся к числу 1,618033989…, известному как золотое сечение, или божественная пропорция. Числа Фибоначчи часто встречаются в природе: например, ими описывается число семечек в спиралях подсолнуха, расположение ветвей растений, спирали раковин моллюсков и так далее.

Отрезки пятиконечной звезды – пентаграммы, которая используется во многих культурах, также скрывают в себе золотое сечение. Справа – схема расположения семян подсолнечника. Число спиралей в обе стороны выражается числами Фибоначчи.

Золотое сечение используется и в музыке. Некоторые произведения Моцарта и Бетховена разделены своей высшей точкой, моментом максимального напряжения на части, длительность которых подчиняется золотому сечению. Наиболее вероятно, что и Моцарт, и Бетховен получили этот результат интуитивно, стремясь придать своей музыке равновесие. В творчестве композитора Белы Бартока числа Фибоначчи встречаются столь часто, что это нельзя объяснить случайным совпадением. Так, в первой фуге его произведения «Музыка для струнных, ударных и челесты» 89 тактов, исполняемых ударными и челестой, делятся на части длиной в 55 и 34 такта. Разделение этих частей на более мелкие также описывается числами Фибоначчи: первая часть делится на 34 и 21 такт, вторая – на 13 и 21. Третья часть этого же произведения, исполняемая в темпе адажио, начинается с ритмической последовательности, в которой на ксилофоне исполняется одна и та же нота фа 1, 1, 2, 3, 5, 8, 5, 3, 2, 1 и 1 раз. Струнный квартет № 4 его же авторства состоит из 2584 долей – это 18-е число Фибоначчи.

Числа Фибоначчи также описывают модели интервалов, использованные Бартоком, среди которых встречаются интервалы из 2, 3, 5, 8 и 13 полутонов.

Некоторые композиции Дебюсси также подчиняются правилу золотого сечения или описываются числами Фибоначчи. Начало «Диалога ветра с морем» в его произведении «Море» состоит из 55 тактов, которые делятся на группы по 21, 8, 8, 5 и 13 тактов. «Золотой» такт номер 34 отмечен нотой, исполняемой на трубе.

Хотя подобный анализ может действительно иметь отношение к реальности, к нему стоить подходить умеренно. Нередко слушатель, который заранее знает, что в произведении используется золотое сечение, начинает «слышать», что произведение звучит по-особому.

* * *

МЕРА КРАСОТЫ

Творчество состоит в поиске формы: художник объединяет большое и малое, сочетает напряженные и смягченные моменты, прямые и кривые, высокие и низкие звуки. В результате достигается некое стабильное или нестабильное равновесие. Эстетическое удовольствие, которое получает зритель от результата творчества, является в высшей степени субъективным. Существует ли хотя бы приблизительный объективный критерий красоты? Золотое сечение, возможно, самый известный пример объективной меры красоты, однако предпринимались и другие попытки найти подобные критерии. В их существовании был убежден американский математик Джордж Биркхоф (1884–1944). Изучив различные виды искусства, в начале 1930-х годов он опубликовал работы A Mathematical Theory of Aesthetics («Математическая теория эстетики») и Aesthetic Measure («Эстетическая мера»). В них рассматривались скульптура, музыка и поэзия. Он определил величину, названную им эстетической мерой, которая зависела от двух параметров: эстетического порядка (O) и сложности (С):

M = O/C

Эстетический порядок определяется регулярностью расположения элементов, составляющих произведение искусства, сложность является численной оценкой присутствия этих элементов. Биркхоф первым признал, что для получения репрезентативных результатов следовало изучать не произведение в целом, а лишь некоторые его характеристики, например отдельные аккорды ритма и гармонический контекст в музыке. Биркхоф посвятил музыке три главы своей книги, в которых проанализировал аккорды, гармонию, мелодию и контрапункт. Вне зависимости оттого, насколько эффективна предложенная им система, интересно заметить, что, согласно уравнению Биркхофа, чем меньше сложность, тем больше красота. Иными словами, между красотой и простотой существует прямая зависимость.

* * *