Текст книги "Том 12. Числа-основа гармонии. Музыка и математика"

Автор книги: Хавьер Арбонес

Соавторы: Пабло Милруд
сообщить о нарушении

Текущая страница: 2 (всего у книги 7 страниц)

Решение проблемы

Пока что нам не удалось найти музыкальный строй, не содержащий «ненастроенных» интервалов. Неизбежно возникает вопрос: можно ли создать такой строй, в котором все соотношения между нотами оставались бы неизменными вне зависимости от выбора тонального центра? Эту проблему нельзя решить посредством уравнивания интервалов, изменяя частоту нот так, чтобы увеличить или уменьшить определенные интервалы. Решение задачи заключается в том, что октава изначально должна делиться на 12 равных интервалов. Эти 12 интервалов должны разбиваться на 12 равных полутонов, которые в сумме составляют одну октаву.

Винченцо Галилей, отец Галилео Галилея, еще в XVI веке предложил разделить октаву на 12 равных полутонов. Соотношение частот этих полутонов равнялось 18/17. Упорядочиванием 12 таких интервалов получались малые октавы и квинты, соотношение частот для которых равнялось 1,9855… и 1,4919… соответственно.

Подойдем к решению этой задачи с чисто математической точки зрения. Обозначим за х отношение частот звуков для последовательных полутонов такое, что 12 интервалов по х образуют октаву. На языке алгебры это означает, что должно выполняться равенство

Значение х, равное 1,059463094…, позволяет по определению получить идеальную октаву. Пифагорейская комма равномерно распределяется по всему строю.

Как вы уже увидели, во всех разновидностях музыкального строя, которые использовались в разное время, положение пифагорейской коммы определялось в зависимости от того, какой интервал считался самым важным. Самые важные интервалы сохранялись чистыми, остальные искажались. В строе с соотношением частот 1,059463094…, который называется равномерно темперированным строем, все интервалы «ненастроены» равномерно.

Чтобы определить частоту звуков для каждого интервала, необходимо составить цепочку из необходимого числа полутонов. Рассмотрим в качестве примера квинту. Она состоит из семи полутонов. Следовательно, отношение частот звуков, определяющих границы квинты, будет равно

х⁷ = (1,059463094…)⁷ = 1,498307071…

С помощью этого простого правила формируется строй из 12 нот. Соотношение частот для всех интервалов приведено в следующей таблице:

Равномерно темперированный строй стал использоваться во всем мире, особенно для инструментов с фиксированным строем. Звуки этого строя приятны на слух. Хотя некоторые интервалы получаются излишне большими, а другие, напротив, слишком малыми, равномерно темперированный строй имеет два важных преимущества. Во-первых, что ценно с практической точки зрения, его можно использовать для уже существующих инструментов. Во-вторых, что ценно с музыкальной точки зрения, благодаря тому, что все интервалы равны между собой, «окраска» остается неизменной вне зависимости от выбора тонального центра. (Стоит отметить, что некоторые считают это не преимуществом, а недостатком, ведущим к утере разнообразия.)

Важно учитывать, что все вышеизложенное справедливо для инструментов с фиксированным строем, например для пианино: его звучание не меняется по ходу исполнения музыкального произведения. Однако инструменты с нефиксированным строем, а также человеческий голос могут быть настроены согласно диатоническому или равномерно темперированному строю.

Центы

Цент – это логарифмическая единица, используемая для точного измерения интервалов, отношение частот для которых крайне мало. Цент получается делением полутона на 100 равных (перемножающихся!) микроинтервалов. Интервал в 1 цент слишком мал, чтобы его можно было различить на слух.

Подобно тому как 12 полутонов образуют октаву, цент – это число с такое, что

С помощью центов можно по-новому сравнивать интервалы различных темпераций. Так как цент – это логарифмическая единица, то в цепочке центов частоты складываются, а не перемножаются, как в предыдущих случаях. Следовательно, использование центов значительно упрощает вычисления. Интервал р выражается в центах следующим образом:

с(р) = 1200·log₂p.

Благодаря этой формуле можно пересчитать все интервалы и представить их в виде центов, что упрощает сравнение различных музыкальных строев:

* * *

ГАРМОНИЧНЫЕ КОЛОКОЛЬЧИКИ

Ветряные колокольчики состоят из небольших трубок разной длины, обычно металлических, которые крепятся к круглому основанию. Под дуновением ветра трубки ударяются о кольцо, закрепленное в центре. Как правило, трубки подбираются так, чтобы их звучание соответствовало пентатоническому звукоряду. Они также могут быть подобраны индивидуально, в соответствии с любым другим звукорядом. Должна соблюдаться относительная длина трубок, кроме того, отверстие в каждой трубке должно находиться в строго определенном месте. За основу берется трубка длины L, звук которой принимается в качестве основы звукоряда. Через L_i рассчитываются длины остальных трубок в соответствии с формулой

Колокольчики различной формы, изготовленные из металлических трубок.

R_i – соотношение частоты данного звука и базового. В свою очередь, подвес должен располагаться на высоте, равной 22,4 % от общей длины трубки. В следующей таблице приведены некоторые значения длин трубок для колокольчиков из семи трубок:

Также можно вычислить длины трубок для более низких звуков, например для нисходящей кварты. В этом случае значение R_i будет обратным значению для восходящей кварты:

* * *

Квинты равномерно темперированного строя несколько меньше чистых квинт. Терции равномерно темперированного строя, в свою очередь, больше чистых терций, но меньше пифагорейских.

Соизмеримость

Пифагорейцам не были известны дроби в том виде, в котором мы их используем сейчас. Вместо этого применялось эквивалентное понятие отношения между целыми числами. Как вы уже увидели, с помощью таких отношений пифагорейцы описали соотношения длин струн, способных производить гармоничные звуки: 2:1, 3:2, 4:3, …

Пифагорейцы были твердо убеждены в том, что числа выражали гармонию Вселенной, поэтому две величины всегда должны быть соизмеримы: их отношение должно выражаться как отношение целых чисел. Понятие соизмеримости напрямую связано с числами, которые мы называем рациональными. Рациональное число – это число, представляемое обыкновенной дробью, числителем которой является целое число, а знаменателем – натуральное. На языке современной математики пифагорейское понятие соизмеримости будет звучать так: две произвольные величины А и В соизмеримы, если существует третья величина С и два целых числа р и q такие, что С укладывается в А р раз, а в В – q раз.

Иными словами, можно, используя всего два целых числа, точно определить, во сколько раз А больше (или меньше) В. Однако уже пифагорейцы, к своему неудовольствию, обнаружили, что существуют несоизмеримые числа, отношение между которыми нельзя представить с помощью целых чисел. В настоящее время такие числа называют иррациональными. Самые известные иррациональные чисда – это π и √2. Корень из двух – это длина гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами длиной 1, вычисленная по теореме Пифагора.

* * *

ТРИ СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ

Пифагор находился под влиянием своих знаний о средних величинах (среднем арифметическом, среднем геометрическом и среднем гармоническом) и о мистицизме натуральных чисел, особенно первых четырех, называемых «тетракис».

Как видно на рисунке ниже,

3:4 – это среднее арифметическое 1 и 1/2:

2:3 – среднее гармоническое 1 и 1/2:

Пифагор экспериментально доказал, что струны с соотношением длин 1:2,2:3 (среднее гармоническое 1 и 1/2) и 3:4 (среднее арифметическое 1 и 1/2) издают приятные звуки. Как вы уже знаете, на основе этих соотношений он создал свой музыкальный строй. Пифагор назвал эти интервалы диапазон, диапент и диатессарон. Мы называем эти интервалы октавой, квинтой и квартой соответственно. Но что случилось со средним геометрическим? Пифагор отказался от него, так как оно было несоизмеримо с остальными? Вовсе нет: среднее геометрическое точно соответствует ноте фа-диез хроматического строя.

* * *

Как вы уже увидели, при настройке интервалов так, чтобы соотношение частот равнялось 18/17, что предлагал Винченцо Галилей, нельзя получить чистые октавы. Число 18/17 достаточно точное, но стоит задаться вопросом: существует ли рациональное число, равное  – соотношению частот для интервалов равномерно темперированного строя? Иначе говоря, существуют ли два целых положительных числа а и b такие, что

Их не существует. Следовательно, если соотношение частот звуков описывается отношением целых чисел а/Ь, то цепочка из 12 полутонов не будет равна «настоящей» октаве. Если бы такие числа существовали, то выполнялось бы равенство

и, как следствие, существовали бы два целых числа а’ = а⁶ и b’ = b⁶ такие, что (а’/Ь’)² = 2. Следовательно, число √2 было бы рациональным, что невозможно.

Что сказали бы пифагорейцы, увидев, что задача о создании идеального музыкального строя решается с помощью иррациональных чисел?

Глава 2
Другое измерение: время

Думаю, что ритм – основная, возможно, важнейшая часть музыки: он появился раньше, чем мелодия и гармония, и, признаюсь, я испытываю к нему тайную симпатию.

Оливье Мессиан (1908–1992)

Вселенная непрерывно меняется. Течение времени проявляется в изменении положения предметов, их формы, физических и химических свойств. Биологические, метеорологические, геологические, астрономические явления происходят с течением времени. Явления природы, как и деятельность человека, подчинены определенному ритму.

Равномерно сменяют друг друга фазы Луны, приливы и отливы, времена года, дни и ночи. К счастью, человек смог найти ритм, отличающийся от размеренного ритма, задаваемого стрелками часов. Ритмом называется чередование каких-либо элементов, происходящее с определенной периодичностью. В музыке ритм – это частота, с которой воспроизводится последовательность звуков.

Люди пытались записывать мелодии с помощью символов с античных времен. Невмы, примитивные музыкальные символы, описывали музыкальные фразы и громкость исполнения, но не указывали на высоту звуков или ритмический рисунок. Чтобы читать невмы, исполнитель должен был знать мелодию, которая передавалась из уст в уста.

Ритмические группы. Ритмы, доли, акценты

Когда мы слушаем музыку, то иногда невольно начинаем сопровождать ритм движениями руки, ноги или головы. Эти ритмические группы, которые мы слышим, называются долями. Если слушать музыку внимательно, то можно уловить ритмический рисунок каждой доли, некий внутренний ритм, который называется ритмическим делением. Доли могут делиться на две (бинарное ритмическое деление) или три более мелкие части (тернарное ритмическое деление). Если вам кажется, что доля делится на четыре части, такое ритмическое деление также является бинарным. Большие ритмические группы рассматриваются как сумма более малых, например, 5 = 3 + 2 или 5 = 2 + 3. Можно сказать, что доли – это пульс музыки.

От Древней Греции к первым нотам

Первая музыкальная нотация, о которой сохранились какие-либо свидетельства, была придумана народами Плодородного полумесяца. В частности, на табличке, датируемой примерно 2000 годом до н. э., найденной в шумерском городе Ниппур на территории современного Ирака, записано музыкальное произведение в диатоническом строе, состоящее из последовательности терций. Позднее греки разработали собственную музыкальную нотацию, с помощью которой можно было записывать высоту и длительность ноты, но не гармонию. Эпитафия Сейкилоса, написанная между II и I веком н. э., содержит полный музыкальный регистр гимна. Тщательно изучив его, современные исследователи смогли получить примерное представление о том, как звучала композиция.

Различные системы нотации греческого происхождения оказались забыты с падением Римской империи. Лишь в середине IX века для записи григорианских песнопений в Европе появилась новая, невменная система, основанная на слоговой записи латинских стихов. Невмы были примитивными музыкальными символами, указывающими на ноту, соответствующую латинскому слогу. Тем самым с помощью невм приблизительно передавались особенности исполнения песни, но не определялась ни высота звуков, ни ритмический рисунок. Чтобы воспроизвести песню, исполнитель должен был заранее знать мелодию, а указания, записанные в невменной нотации, лишь помогали ему при ее исполнении. Для преодоления этих ограничений невмы дополнялись вспомогательными надписями и располагались на разной высоте. Высота указывалась четырьмя линиями, которые представляли собой прообраз современного нотного стана.

Примерно в середине XIII века на фоне падения авторитета церкви в европейском искусстве роль религии постепенно снижается, заменяясь светскими традициями. До этого музыкальная запись развивалась исключительно в религиозных кругах. Для записи же многоголосой народной музыки требовалась совершенно иная нотация.

В конце XIII – начале XIV века на свет появилась новая, более эффективная форма записи, которую описал француз Филипп де Витри (1291–1361) в трактате «Новое искусство». В этой книге подробно описывается способ записи ритмического рисунка, возникший в результате необходимости графической записи новой многоголосной музыки, в которой требовалось точно указывать звучание различных голосов.

* * *

ПЕСНЬ О СКОРОТЕЧНОСТИ ЖИЗНИ

Эпитафия Сейкилоса записана на греческом надгробии, которое находится близ города Айдын на территории современной Турции. Полностью эпитафия звучит так: «Я надгробный камень, Сейкилос воздвиг меня здесь в знак его вечной памяти». Далее следует текст музыкального произведения, над которым записан ряд знаков и символов. В переводе на современный греческий язык эпитафия выглядит так:

Текст песни можно перевести следующим образом:

Сверкай, пока живешь,

и не страдай.

Жизнь коротка,

и время возьмет свое.

В современной музыкальной нотации мелодия записывается следующим образом:

СЛОГИ И МЕЛИЗМЫ

В Европе начала XIII века музыка записывалась в виде невм, расположенных поверх четырех параллельных линий. Высота звуков указывалась с помощью музыкальных ключей.

Прекрасный пример сложности невменной нотации – финская книга песнопений Graduate Aboense XIII–XIV веков.

Песни, в которых каждому слогу соответствует одна нота, принадлежат к силлабическому стилю, в отличие от мелизматических, в которых на один слог приходится несколько нот. В невменной нотации восходящая последовательность звуков записывалась в виде близко расположенных квадратов, которые читались снизу вверх. Нисходящий звуковой ряд отображался невмами в форме ромбов, которые читались слева направо. Например, существовало четыре варианта записи слога, пропеваемого тремя нотами:

В поздней невменной нотации использовались символы, которые кажутся нам знакомыми, что ясно указывает на источник происхождения современной музыкальной нотации:

* * *

Перфектум и имперфектум

Книга «Новое искусство» стала революционной во многих смыслах. В ней излагались идеи и предположения, ранее высказываемые другими музыкантами того времени. До появления этой книги в церковной музыке отдавалось предпочтение ритмическому делению на три части, так как число три ассоциировалось со Святой Троицей и считалось совершенным.

В книге Филиппа де Витри была заложена основа музыкальной нотации, с помощью которой можно было записать сложные композиции, сочетающие ритмическое деление на две и три части. Кроме того, предлагаемая нотация устанавливала соотношения между нотами. Французский музыкант и поэт нашел поистине гениальное решение: в придуманной им форме записи ритмическое деление на две и три части записывалось с помощью одних и тех же графем, или нот. В основе его метода лежали три соотношения. Он также создал новую ноту – миниму в дополнение к уже известным в то время лонге, бревису и семибревису. Система де Витри включала три соотношения между нотами:

– модус: соотношение лонги и бревиса;

– темпус: соотношение бревиса и семибревиса;

– пролация: соотношение семибревиса и минимы.

Модус и темпус, в свою очередь, могут быть:

– трехдольными, или «совершенными»;

– двухдольными, или «несовершенными».

Пролация также имела две разновидности:

– малая (при делении на две части);

– большая (при делении на три части).

В следующей таблице приведены соотношения длительностей звуков и соответствующие соотношения между различными фигурами (нотами):

Стоит указать, что деление на две и три части характерно не только для долей, но и для более крупных ритмических групп. Например, такт может состоять из двух или трех долей и называться соответственно двухдольным или трехдольным.

Такт – это понятие, созданное с целью упростить запись ритмов и чтение музыкальной нотации. Такты подчиняются общему принципу: они делят музыкальную композицию на строго равные части.

Такты начинаются с наиболее сильной доли, за которой следует еще одна или несколько более слабых долей. Например, двухдольный такт звучит как РАЗ-два, РАЗ-два, трехдольный – РАЗ-два-три, РАЗ-два-три. В современной нотации размеры тактов обозначаются дробями вида х/у, где х обозначает число нот в такте, у – вид нот (к примеру, 1 обозначает целую ноту, 2 – половинную, 4 – четвертную и так далее). Подробнее о том, как обозначаются и записываются такты, мы расскажем в следующих главах.

Вернемся к системе Филиппа де Витри. В «Новом искусстве» описывались четко определенные ритмические структуры, отличающиеся друг от друга вариантами сочетания темпуса и пролации с различными видами долей. Обозначались они следующим образом:

– круг с точкой в центре обозначал трехдольный такт с трехдольным ритмическим делением, что эквивалентно современному размеру 9/8;

– круг без точки в центре обозначал трехдольный такт с двухдольным ритмическим делением, что эквивалентно современному размеру 3/4;

– полукруг с точкой внутри обозначал двухдольный такт с трехдольным ритмическим делением, что эквивалентно современному размеру 6/8;

– полукруг без точки обозначал двухдольный такт с двухдольным ритмическим делением, что эквивалентно современному размеру 2/4.

В следующей таблице описываются эти четыре разновидности ритма, приведены обозначения той эпохи и соотношения между различными фигурами. Для темпус перфектум и большой пролации бревис (обозначен квадратом) равен трем семибревисам (ромбам), каждый из которых равен трем минимам (обозначены ромбом с вертикальной чертой):

* * *

ЯВЛЕНИЯ И ИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ

Подобно тому как математические модели являются отображением реальности, так и музыкальная нотация является графическим представлением физического явления, но не наоборот. Партитура незнакомого произведения дает музыканту лишь приближенное представление о том, что хотел выразить композитор. Достаточно послушать одно и то же произведение в исполнении различных музыкантов, чтобы оценить различия. Нечто подобное происходит, когда мы читаем написанный текст или слышим, как его произносит кто-то другой: когда актер декламирует стихотворение, он наделяет слова необъяснимой экспрессией, и эту магию актерской игры нельзя передать на бумаге. Карта страны – лишь двумерное графическое представление территории. Карта – это не страна, но карта содержит указания, которые помогут путешественнику найти дорогу. Партитура передает технические аспекты исполнения музыки, но ее интерпретация зависит от музыканта. Именно музыкант завершает произведение и наделяет его смыслом.

* * *

Ударные: чистый ритм

На ритм «накладываются» мелодия, лиги, изменения высоты и интенсивности звуков. При игре на ударных, напротив, ритм остается «обнаженным». Он содержит резкие скачки громкости, высоты и тембра звуков, однако при игре на ударных, по сути, возможны только два варианта: удар или его отсутствие. Здесь ритм проявляется во всей безупречности, раскрывает всю свою сущность. Ритм идеально подходит для изучения с точки зрения математики.

При игре на ударных инструментах циклические последовательности звуков характеризуются распределением артикуляций. Будем записывать исключительно артикуляции без учета эха, удлиняющего звуки. Так мы сможем зафиксировать четкую артикуляцию и понять последовательность звуков.

Можно выделить три различных ощущения ритма в зависимости от его быстроты:

– первый уровень, самая быстрая артикуляция, соответствующая ритмическому делению долей. Удары нумеруются начиная с первой доли по порядку: 1, 2, 3 и так далее. Когда начинается новая доля, отсчет возобновляется с единицы;

– второй уровень образуют относительно сильные доли, которые обозначаются цифрой 1;

– на третьем уровне появляются акценты – доли, которые звучат сильнее других.

Ритмическая последовательность размером 9/8 на трех описанных уровнях будет выглядеть так:

Рассмотрим подробнее вторую строку таблицы, где записаны только доли. Заполнив пустые ячейки таблицы нулями, мы получим четкое представление о последовательности долей. Каждая единица означает удар, ноль – паузу. В результате мы получаем чистый ритм.

Доли образуют структуру, лежащую в основе всей музыки подобно тому, как ткань формируется переплетением тонких нитей с нитями основы. Выберем в качестве единицы измерения ударов восьмую ноту, которую укажем как . Так как ритм образован последовательностью ударов и пауз, будем использовать только восьмые ноты и восьмые паузы. Восьмые паузы обозначим . Назовем четвертной нотой последовательность из удара и паузы (из восьмой ноты и восьмой паузы). Отметим ее . И наконец, добавим в нашу нотацию еще один новый символ, так называемую четвертную ноту с точкой,  – для обозначения тех случаев, когда за одной паузой следует другая, то есть последовательность нот и пауз выглядит как .

По сути, мы рассматриваем двоичную систему, где нотам и паузам присваиваются значения 1 и 0 соответственно. Эквиваленты этих символов для такта размером 4/4 записываются так:

Заметим, что последовательность удар-пауза-удар-пауза повторяется дважды. Двухдольный такт, каждая из долей которого длится одну четвертную ноту с точкой (6/8), будем обозначать так:

Покрытие пространства звуков

В следующей главе мы более подробно проанализируем структуру канонов, а пока ограничимся их ритмическим аспектом, который называется ритмическим каноном.

Одновременное исполнение различных ритмических единиц – серьезная задача для исполнителя, как для солиста, так и для группы. Чтобы познакомиться с тем, что такое ритмический канон, рассмотрим упражнение.

Начнем с ритма  = 3 + 3 + 2= 10010010, который циклически исполняют два музыканта. Второй музыкант начинает играть после первой артикуляции первого исполнителя:

Можно увидеть, что в столбцах таблицы под номерами 3, 6, 11 и так далее (выделены жирным шрифтом) паузы обоих ритмов совпадают. Существуют ритмические рисунки, которые можно исполнить в каноне так, что будут выполняться следующие условия:

1) два музыканта не начинают играть одновременно;

2) паузы ритмических рисунков никогда не накладываются друг на друга.

Эту ситуацию можно сравнить с математической задачей замощения плоскости, в которой требуется покрыть всю плоскость правильными геометрическими фигурами. Однако в нашем случае мы хотим покрыть всю «звуковую плоскость».

Простой ритм, например = 100100, удовлетворяет приведенным выше условиям. Чем длиннее ритмический рисунок, тем сложнее решить поставленную задачу. Следующая последовательность из 12 ударов

полностью покрывает «звуковую плоскость» так, что при исполнении ее трио с начальным сдвигом в четыре артикуляции паузы полностью отсутствуют:

* * *

ПРОПОСТА И РИСПОСТА

Изначально слово «канон» обозначало свод правил, которыми руководствовались певцы при исполнении песен. Начиная с XVI века этим словом стали обозначать конкретную разновидность композиции, в которой ведущий (также называемый пропоста) исполнял ту же мелодию, что повторяли голоса, вступающие позже (риспосты). Мелодия риспосты могла быть ритмически эквивалентной мелодии ведущего или, напротив, отличаться по сложности. Детская песенка «Братец Якоб» (фр. Frere Jacques) – известный пример канона, в котором имитирующие голоса в точности повторяют основную мелодию без каких-либо изменений.

К преобразованиям имитирующих голосов канона относятся: число имитирующих голосов; интервал ожидания между первым и последующим голосом либо между различными голосами, если они вступают по очереди; темп мелодии, исполняемой имитирующими голосами; инверсия мелодии ведущего; запаздывание мелодии и так далее.

Каноны были очень популярны в церковной музыке. Наивысшего расцвета они достигли в произведениях композиторов позднего Средневековья, например Гийома де Машо, и композиторов эпохи Возрождения, например Жоскена Депре. Однако наиболее ярко технику канона, как и многие другие более сложные техники, использовал Иоганн Себастьян Бах, создавший произведения, по праву называемые каноническими.

Первые такты мессы L'Homme arme super voces musicales («Вооруженный человек») Жоскена Депре, которая начинается с трехголосного канона. Ведущий голос самый медленный, второй исполнитель поет в два раза быстрее него, третий – в три раза быстрее. Линии соединяют первые четыре ноты произведения для каждого из трех голосов.

* * *

С математической точки зрения интерес представляет поиск метода, позволяющего составлять подобные последовательности. В нем должны учитываться следующие параметры:

– общее число артикуляций (а),

– число голосов (v),

– смещение голосов (d).

Чтобы эта задача имела решение, должны выполняться следующие условия:

– число артикуляций а должно делиться на число голосов и нацело;

– нужно «покрыть» а артикуляций с помощью v голосов. Так как все голоса эквивалентны, базовая структура должна состоять из a/v «единиц»;

– голоса смещаются относительно друг друга на величину, равную a/v. Это гарантирует, что ни в один момент времени не будут дублироваться единицы.

Приведем пример для четырех артикуляций (а = 4) и двух голосов (v = 2).

Смещение равно a/v = 4/2 = 2 артикуляциям. В нашем примере можно перебрать все возможные варианты. Несложно проверить, какие из них будут удовлетворять требуемым условиям. Возможные ритмические структуры таковы:

1100

1001

Так как эти последовательности будут циклически повторяться, нетрудно видеть, что нули и единицы в обоих случаях будут располагаться одинаково. В первом случае мелодия, исполняемая со смещением в две артикуляции, будет записываться так:

Во втором случае так:

Заметим, что по ходу канона его исполнение в обоих случаях одинаково. Теперь рассмотрим пример с 12 артикуляциями, разделенными на группы с одинаковым временем звучания. Если мы хотим «покрыть» плоскость этими 12 артикуляциями, исполняемыми в 3 голоса, то

то есть необходимы 3 группы по 4 артикуляции.

Возьмем за основу следующую структуру:

0000 0000 0000.

Расположим единицы так, чтобы при наложении на каждой позиции единица встречалась ровно один раз:

1000 0100 0011.

Чтобы избежать удвоенных ударов (несколько единиц в одном столбце) необходимо выполнить смещение на величину а/v, которая в нашем случае равняется 4.

* * *

ЗАМОЩЕНИЕ ВСЕЛЕННОЙ

Замощение – это равномерное расположение фигур, покрывающих плоскость. В качестве простого примера можно привести тротуарную плитку или кафель в ванной. При замощении должны отсутствовать пробелы и наложения фигур. Квадрат и правильный шестиугольник – примеры простейших геометрических фигур, покрывающих плоскость. Однако при замощении могут использоваться и неправильные фигуры. В пример можно привести улицы Каира. Схема их замощения представлена на рисунке, справа внизу – соответствующее трехмерное изображение.

* * *

Такт. Метр. Ритмическое деление

Акцент и размер такта

В музыкальных композициях сильные доли чередуются со слабыми. В нотной записи сильные ноты формируют структуру композиции: с каждой сильной доли начинается такт, который длится до следующей сильной доли. Таким образом, такт – это совокупность нот и пауз между соседними сильными долями. Такты равномерного музыкального произведения имеют одинаковую длину и те же свойства. Благодаря этой равномерности достаточно определить параметры такта один раз в начале композиции.

Виды тактов

Доли такта могут делиться на две или три части. Такт обозначается дробью, которая может быть правильной (для простых тактов) и неправильной (для сложных). В числителе дроби отмечается количество долей, в знаменателе – число, означающее длительность долей. Например, целой ноте соответствует единица, половинной – 2, четвертной – 4 и так далее. В простом такте знаменатель указывает относительную длительность ноты такта. В сложном такте знаменатель обозначает используемое ритмическое деление. Чаще всего применяются четвертная нота (она равна восьмой ноте и восьмой паузе; здесь используется ритмическое деление на две части) и четвертная нота с точкой (она равна восьмой ноте и двум паузам подряд; здесь мы видим ритмическое деление на три части).

Рассмотрим несколько примеров. Простой такт из двух долей длительностью в четвертную ноту, , обозначается дробью 2/4.

Число 2 обозначает количество долей, число 4 указывает, что доля имеет длительность в четвертную ноту. Сложный двухдольный такт будет образован двумя долями длительностью в четвертную ноту с точкой:

Возникает проблема: четвертной ноте с точкой не соответствует ни одно число (ни какая-то другая нота с точкой), поэтому длительность этого такта нельзя выразить в знаменателе дроби. Эта проблема решается так: указывается не длительность такта, а число, соответствующее ритмическому делению доли. В нашем примере четвертная нота с точкой ритмически делится на восьмую ноту и две восьмые паузы. Такт состоит из двух четвертных нот с точкой, следовательно, он будет состоять в сумме из шести восьмых нот и пауз и обозначаться дробью 6/8.

Нотация, которую мы использовали для обозначения чистого ритма, позволяет четко увидеть чередование нот и пауз (единиц и нулей):

При трехдольном ритмическом делении единицы чередуются с двумя нолями:

Наиболее часто используемые такты и соответствующее число долей приведены в таблице:

* * *

ВСЕ ТАКТЫ МИРА

Как вы уже увидели, такт – это совокупность нот и пауз, имеющая определенную длительность. Не принимая во внимание музыкальное значение такта, интересно проанализировать все возможные способы, которыми можно образовать такт из различных ритмических групп.

Рассмотрим небольшую комбинаторную задачу, которая может быть интересна тем, кто занимается музыкой. В этой задаче происходит полный перебор всех возможных ритмических групп и пауз.

Начнем с такта размером 4/4 и расположим на нем четыре ритмические группы, эквивалентные четвертной ноте. Обозначим их А, В, С и D.

Составим из них первый такт:

4/4 |А В С D|

Далее найдем все возможные перестановки.

Шаг 1. Выберем последний элемент такта (в нашем случае это D), который станет основой для первой группы перестановок. Далее поместим D между В и С:

4/4 |А В D С|.

Шаг 2. Расположим этот же элемент D на втором месте, сместив В вправо. Запишем полученный такт:

4/4 |А О В С|.

Шаг 3. Наконец, поместим D на первое место и тем самым сформируем первую группу перестановок:

4/4 |D А В С|.

Далее сформируем все возможные перестановки для полученного такта. Последовательность действий будет аналогичной: выберем элемент, расположенный на четвертом месте (теперь это С), и будем смещать его справа налево, повторяя шаги 1–3:

4/4 |D A B C|D A C B|D C A B|C D A B|.

Повторив эти же действия для В и для А, мы вернемся к исходному такту:

4/4 |C D A B|C D B A|C B D A|B C D A|

4/4 |B C D A|B C A D|B A C D|A B C D|.

С помощью этого алгоритма мы получили все возможные последовательности ритмических групп в заданном такте.

* * *