Текст книги "200 знаменитых головоломок мира"

Автор книги: Генри Эрнест Дьюдени

сообщить о нарушении

Текущая страница: 15 (всего у книги 15 страниц)

173. Белые пешки можно расположить 40 320 способами, белые ладьи – 2 способами, белых коней – 2 способами и белых слонов – 2 способами. Перемножая эти числа, мы обнаружим, что белые фигуры можно расположить 322 560 различными способами. Черные фигуры можно, разумеется, расположить таким же числом способов. Следовательно, общее число различных расположений равно 322 560 × 322 560 = 104 044 953 600. Но почти все просматривают то обстоятельство, что при каждом расположении саму доску можно поставить 2 способами. Следовательно, ответ нужно удвоить, что даст 208 089 907 200 различных способов.

174. Всего существует 1296 различных прямоугольников, из которых 204 являются квадратами, включая саму доску, а 1092 прямоугольника – не квадраты. В общем случае доска n × n содержит прямоугольников, из которых квадратов и прямоугольников, не являющихся квадратами. Стоит отметить тот любопытный факт, что общее число прямоугольников всегда равно квадрату треугольного числа со стороной n^[40].

175. Небольшая тонкость состоит в том, что в конечной позиции пронумерованные ладьи должны располагаться в правильном числовом порядке, но в направлении, противоположном тому, которое было на исходной диаграмме, иначе задача неразрешима. Ходите ладьями в следующем порядке их номеров. Поскольку всегда имеется лишь одна свободная клетка, на которую можно ходить (за исключением последнего хода), то наши обозначения не вызовут недоразумений: 5, 6, 7, 5, 6, 4, 3, 6, 4, 7, 5, 4, 7, 3, 6, 7, 3, 5, 4, 3, 1, 8, 3, 4, 5, 6, 7, 1, 8, 2, 1, ладья берет слона и делает мат. При этом делается наименьшее возможное число ходов, равное 32. Ходы короля черных вынужденны, и нет необходимости их здесь приводить.

176. С. Лойд, E. Н. Франкенштейн, У. X. Томсон и я независимо друг от друга пришли к одной и той же позиции, поэтому приведенное здесь решение можно считать наилучшим для данной любопытной задачи.

И белым поставлен пат.

Мы приводим на рисунке эту странную итоговую позицию. Легко заметить, что ни одна белая фигура не может ходить.

177. Ходите следующим образом:

Разумеется, под «королевским рядом» понимается горизонталь, на которой король находился первоначально. Хотя если черные будут играть плохо, то могут получить мат за меньшее число ходов. Выше учтены все возможные ходы черных.

178.

Теперь белые дают мат в три хода. .

17. d2 – d4 17. Kph4 – h5

18. Фd1 – d3 18. Kp ходит

19. Фd3 – h3 (мат)

Если

18. е2 – е4 (шах) 17. Kph4 – g3

19. g2 – g3 (мат) 18. Kp ходит

Данная позиция после шестнадцатого хода с матом в три хода впервые была дана С. Лойдом в его книге «Шахматные орешки».

179.

1. Kgl – f3

2. Кf3 – h4

3. Кh4 – g6

4. Kg6 : h8

5. Kh8 : g6

6. Kg6 : f8

7. Kpe8 : g8

8. Кb1 – c3

9. Kc3 – a4

10. Ka4 – b6

11. Kb6 : a8

12. Ka8 : b6

13. Kb6 : c8

14. Kc8 : d6

15. Ф61 – e1

16. Kd6 : e8

17. Король берет коня, и мы получаем искомую позицию.

Черные в точности повторяют ходы белых, поэтому выше приведены лишь ходы последних. В партии число ходов (17) наименьшее возможное.

180. Расположите 8 оставшихся белых фигур следующим образом: Кр на f4, Ф – b6, Л – d6, Л – g7, С – d5, С – h8, К – а5 и К на с5. При этом можно получить следующее количество матов:

Открывая Ф 8

Открывая Л на d6 13

Открывая С на b8 11

Слоном на а5 2

Пешками 2

Итого: 36

Возможно ли придумать позицию, при которой за один ход можно было бы дать более 36 различных матов? Насколько мне известно, никому еще не удалось превзойти мое решение.

181. Мистер Блэк оставил своего короля на клетке g2, и, какую бы фигуру Уайт ни выбрал вместо своей пешки, ему не удастся поставить Блэку мат. Как мы уже сказали, черный король не обращает внимания на шахи и никогда не двигается с места. Уайт может, проведя пешку на восьмую горизонталь, заменить ее ферзем, взять черную ладью и атаковать тремя своими фигурами, но мат совершенно невозможен. На любой другой клетке мат для черного короля оказался бы возможным. Сэм Лойд первым указал на ту странную особенность, на которой основана данная головоломка.

182. Переместите белую пешку с f6 на е4 и поставьте черную пешку на П. Теперь белые ходят пешкой на е5, шах, и черные должны ходить пешкой на f5. Тогда белые ходят пешкой, берут, проходя, пешку, шах и мат. Следовательно, белые сделали ход последними и привели к данной позиции. Это единственное возможное решение.

183. Если вы расположите фигуры так, как показано на рисунке (где изображен только нужный участок доски), то черному королю будет сделан шах, а ходить ему некуда. Читатель видит теперь, почему я избегал термина «мат». Помимо того, что отсутствует белый король, данная позиция невозможна в реальной шахматной игре, ибо белые не могут сделать черным шах двумя ладьями одновременно, а черный король также на последнем шаге не может занять позицию под шахом.

Я полагаю, что эта позиция была впервые опубликована Сэмом Лойдом.

184. Ходите следующим образом:

1. Лс6 – d6 2. Крbб – а7 3. Ла6 – с6 (мат).

Черные делают вынужденные ходы, которые не нужно указывать.

185. Общая формула для шести пешек на квадратных досках, больших 2×2, такова: ушестеренный квадрат числа сочетаний из n предметов по 3, где n – число клеток на одной стороне доски. Разумеется, если п четно, то и число незанятых клеток в одном ряду должно быть четным, а если n – нечетно, то и число незанятых клеток обязано быть нечетным. В нашем случае n = 8, так что ответ равен 18 816. Это иная форма уже знакомой головоломки 27. Я повторяю ее здесь, чтобы объяснить метод решения, доступный новичку. Прежде всего очевидно, что если мы поставим пешку на любую прямую, то должны поставить на эту же прямую еще одну пешку, дабы число пустующих клеток оказалось четным. Мы не можем поставить в одной горизонтали 4 или 6 пешек, ибо в соответствующих вертикалях не удалось бы тогда обеспечить четное число пустующих клеток. Следовательно, мы должны поставить по две пешки в каждую из трех горизонталей и в каждую из трех вертикалей. Далее, при этих условиях существует всего 6 схем расположения, указанных на рисунке.

Я только упомяну, что А и Г – единственные два существенно различных расположения, поскольку если вы повернете А на четверть оборота, то получите В, а если вы станете поворачивать Г на четверть оборота по часовой стрелке, то получите последовательно Д, Е и Ж. Не важно, как вы располагаете свои пешки; если удовлетворяются условия головоломки, то вы обязательно получите одно из этих расположений. Разумеется, мы понимаем, что простое расширение не нарушает существенно характера этих расположений. Так, Б есть всего лишь расширенная форма А. Решение, следовательно, состоит в отыскании числа таких расширений. Предположим, что мы ограничились первыми тремя горизонталями, как в случае Б; тогда, поместив пары а и b на первых двух вертикалях, мы можем пару с расположить на любой из шести остальных вертикалей, что даст 6 решений. Теперь сдвинем пару b на третью вертикаль; тогда для пары с останется 5 возможных положений. Сдвинув b на четвертую вертикаль, мы оставим для с 4 возможности и так далее до тех пор (где а по-прежнему находится на первой вертикали), пока мы не сдвинем b на седьмую вертикаль, оставив для с единственное место на восьмой вертикали. Затем мы можем поместить а на второй, b на третьей, а с на четвертой вертикали и, сдвигая, как и прежде, с и b, находить серии новых решений.

Таким образом, мы получаем, что, пользуясь лишь схемой А и ограничивая себя только тремя верхними горизонталями, мы получаем столько ответов, сколько есть сочетании из 8 предметов по 3, то есть . Читатель сразу же догадается, что если можно 56 способами выбрать вертикали, то ровно столькими же способами в каждом из этих случаев можно выбрать горизонтали, ибо мы можем сдвигать пару сверху вниз точно так же, как и слева направо. Следовательно, общее число способов, подчиняющихся схеме А, равно 56 × 56 = 3136. Но, как мы уже видели ранее, существует 6 различных схем. Поэтому ответ равен 3136 × 6 = 18 816, как я и утверждал.

186. Ходите следующим образом: 3—11, 9—10, 1—2, 7—15, 8—16, 8—7, 5—13, 1—4, 8—5, 6—14, 3—8, 6—3, 6—12, 1—6, 1—9, и все шашки оказываются удаленными, за исключением 1, что и требовалось в условиях задачи.

187. Ходите следующим образом: 7—15, 8—16, 8—7, 2—10, 1—9, 1—2, 5—13, 3—4, 6—3, 11—1, 14—8, 6—12, 5—6, 5—11, 31—23, 32—24, 32—31, 26—18, 25—17, 25—26, 22—32, 14—22, 29—21, 14—29, 27—28, 30—27, 25—14, 30—20, 25—30, 25—5. Две оставшиеся шашки – это 25 и 19, обе они принадлежат к одной группе, как и требовалось, причем 19 ни разу не сдвигается со своего исходного положения.

Я думаю, что невозможно придумать решение, где бы в конце игры на доске осталась только одна шашка.

188.

Белые

Черные

1.

f2 – f4

1.

c7 – c6

2.

Kpel —12

2.

Фd8 – a5

3.

Kpf2 – e3

3.

Kpe8 – d8

4.

f4 – f5

4.

Kpd8 – c7

5.

Фd1 – c1

5.

Kpc7 – b6

6.

Фe1 – g3

6.

Kb8 – a6

7.

Фg3 – b8

7.

h7 – h5

8.

Kg1 – f3

8.

Лh8 – h6

9.

Kf3 – e5

9.

Лh6 – g6

10.

Фb8 : c8

10.

Лg6 – g3 (шах)

11.

h2 : g3

11.

Kpg6 – b5

12.

Лh1 – h4

12.

f7 – f6

13.

Лh4 – d4

13.

f6 : e5

14.

b2 – b4

14.

e5 : d4 (шах)

15.

Kpe3 – f4

15.

h5 – h4

16.

Фc8 – e8

16.

h4 – h3

17.

Kb1 – c3 (шах)

17.

d4 – c3

18.

Cc1 – a3

18.

h3 – h2

19.

Лa1 – b1

19.

h2 – h1 (ферзь)

20.

Лb1 – b2

20.

c3 : b2

21.

Kpf4 – g5

21.

Фh1 – g1

22.

Фe8 – h5

22.

Kpb5 – a4

23.

b4 – b5

23.

Лa8 – c8

24.

b5 – b6

24.

Лc8 – c7

25.

b6 : c7

25.

b2 – b1 (слон)

26.

c7 – c8 (ладья)

26.

Фа5 —с7

27.

Са3 – d6

27.

Ka6 – b4

28.

Kpg5 – g6

28.

Kpa4 – a3

29.

Лс8 – а8

29.

Kpa3 – b2

30.

a2 – a4

30.

Фg1 – b6

31.

a4 – a5

31.

Kpb2 – c1

32.

a5 : b6

32.

Kpc1 – d1

33.

b6 : c7

33.

Kpd1 – e1

34.

Kpg6 – f7

34.

Kg8 – h6

35.

Kpf7 – e8

35.

Cb1 – a2

36.

f5 – f6

36.

Ca2 – g8

37.

f6 – f7

37.

Kpe1 : f1

38.

c7 – c8 (слон)

38.

Kb4 – d5

39.

Cd6 – b8

39.

Kd5 – f6

40.

Kpe8 – f8

40.

Kf6 – e8

41.

f7 : e8 (ладья)

41.

Kh6 – f7 (шах)

42.

Kpd8 – c7

42.

Kf7 – d8

43.

Фh5 – f7 (шах)

43.

Kpf2 – g1

И получилась нужная позиция.

Порядок ходов не важен и может сильно меняться. Однако, несмотря на многочисленные попытки, число ходов уменьшить не удалось.

notes

Примечания

1

Гарднер М. Математические головоломки и развлечения. – М.: «Мир», 1971; Математические досуги. – М.: «Мир», 1972; Математические новеллы. – М.: «Мир», 1974.

2

Имеется в виду время, когда писалась книга, до метрической реформы в Англии, коснувшейся и денежных единиц. – Примеч. пер.

3

Мадам, я Адам (англ.)

4

Ева (англ.).

5

Здесь и далее цитаты приводятся по книге: Джеффри Чосер, «Кентерберийские рассказы», перевод с англ. И. Кашкина и О. Румера, БВЛ, М.: «Художественная литература», 1973. Примечания переводчика, касающиеся реалий средневековой Англии, также основаны на примечаниях к данному изданию, сделанных И. Кашкиным. – Примеч. пер.

6

Йомен – лично свободный крестьянин, обязанный служить во время войны своему сюзерену. – Примеч. пер.

7

Кентерберийские паломники (англ.). – Примеч. пер.

8

Франклин – зажиточный земельный собственник из старых деревенских англосаксонских родов. – Примеч. пер.

9

Сквайром во времена Чосера называли оруженосца, который сопровождал рыцаря. – Примеч. пер.

10

Кармелиты – члены ордена нищенствующих монахов. – Примеч. пер.

11

Клюшка-мяч (англ.).

12

В гольфе на одной прямой располагается девять лунок. Первая цифра (300 ярдов) указывает расстояние от исходного положения до первой лунки, а все последующие цифры обозначают расстояния между лунками. Игра заключается в том, чтобы попасть мячом в каждую из девяти лунок. – Примеч. пер.

13

Riddlewell – от Riddle – загадка и well – хорошо (англ.) – Примеч. пер.

14

Келарь – монах, ведающий ключами от кладовых. – Примеч. пер.

15

В Англии, как и в ряде других стран, существует обычай, по которому на Рождество любой мужчина может поцеловать любую женщину или девушку, подняв предварительно над ее головой ветку омелы. – Примеч. пер.

16

Фарлонг составляет 1/8 английской мили. – Примеч. пер.

17

См. К сведению читателей.

18

Пусть читатель попытается найти подходящие русские названия. Существуют ли они, неизвестно. – Примеч. пер.

19

Английский поэт XVIII века. – Примеч. пер.

20

Тит, тэт, то,

Мой ход последний,

Три веселых мясника

Все выстроились в ряд! (англ.).

21

Наоборот (лат.).

22

Игра слов: по-английски «сочельник» – Christmass Even, но even означает также «четный». – Примеч. пер.

23

Кончай с твоей жизнью (англ.).

24

Veil – вуаль, vile – подлый, levy – сбор, live – живой, evil – зло (англ.).

25

Здесь автор рассматривает все фигуры как различающиеся между собой. Так, например, можно различить между собой все белые пешки и т. д. – Примеч. пер.

26

Черный (англ.).

27

Белый (англ.).

28

То есть куда бы Уайт ни ходил своими фигурами любое число раз, ему не удастся поставить шах черному королю так, чтобы тому было некуда ходить. – Примеч. пер.

29

Солитерами, как правило, называются игры, предназначенные для одного человека (от французского solitaire – одинокий). – Примеч. пер.

30

Разумеется, эти числа должны идти через одно; так, следующим после 1 вторым свободным числом окажется 3, затем 5 и т. д. – Примеч. пер.

31

Здесь имеются в виду окружности большого круга. – Примеч. пер.

32

О. Хопп сообщил мне, что его исследования случая n = 19 позволяют утверждать, что соответствующее число – простое. Он представил свое доказательство в Лондонское математическое общество, и специально назначенная комиссия признала доказательство верным и окончательным (Proceedings of Lond. Math. Soc. от 14 февраля 1918 г.).

33

Во избежание недоразумений следует отметить, что автор во всех приведенных здесь таблицах допускает небрежность в обозначениях. Так, запись n – 4 = (11) × (101) означает, что при n = 4 число вида разлагается на множители (11) х (101). – Примеч. пер.

34

Сосуд для святых даров, дароносица, ящик для монет-эталонов (англ.). – Примеч. пер.

35

В Англии вместо десятичной запятой употребляется десятичная точка. Причем если целая часть равна нулю, то она часто опускается (сравните с тем, как печатаются числа на современных ЭВМ). Точка над цифрой указывает на период бесконечной десятичной дроби. Таким образом, запись .9. соответствует нашей записи 0, (9). – Примеч. пер.

36

Автор имеет в виду, что размеры цистерны находятся в отношении 1:1:(«как у полукуба»). Точные размеры таковы: 10× 10× 5фута, что приближенно равно значениям, указанным автором. – Примеч. пер.

37

То есть треугольника, длины сторон которого выражаются рациональными числами. – Примеч. пер.

38

То есть на 0,9. – Примеч. пер.

39

=C – Примеч. пер.

40

То есть (1 + 2 +...+ n)²=– Примеч. пер.