Текст книги "200 знаменитых головоломок мира"

Автор книги: Генри Эрнест Дьюдени

сообщить о нарушении

Текущая страница: 7 (всего у книги 15 страниц)

Хроники упоминают о том, что престарелый любитель чисел бился в поте лица над этой задачей девять лет и однажды в девять часов утра на девятый день девятого месяца упал с девяти ступенек, выбил себе девять зубов и умер через девять минут после этого. Стоит вспомнить, что 9 было его счастливым числом. Таковым же оно, очевидно, было и для Платона.

Для решения этой небольшой задачи требуются лишь самые элементарные арифметические знаки. Хотя ответ, когда вы его узнаете, окажется невероятно прост. Чтобы получить его, многим читателям придется немало поломать голову. Возьмите карандаш и прикиньте, как расположить три девятки, чтобы они изобразили число 20.

109. Крестики-нолики. Каждый ребенок знает правила этой игры. Вы рисуете квадрат, разбитый на девять клеточек, и каждый из двух игроков по очереди ставит свой знак (обычно крестик или нолик) в свободную клеточку, добиваясь, чтобы три его знака оказались на одной прямой. Тот из игроков, кому удается это сделать первым, выигрывает с восторженным криком:

Tit, tat, toe,

Му last go;

Three jolly butcher boys

All in a row!^[20]

Это очень древняя игра. Но если два игрока владеют ею в совершенстве, то должно случиться лишь одно из трех событий:

1) первый игрок выигрывает;

2) первый игрок проигрывает;

3) игра оканчивается вничью.

Какое именно из этих трех событий должно произойти?

110. Игра Овидия. Изучив «Крестики-нолики», мы рассмотрим теперь, какое развитие может получить эта игра; явно о ней упоминается в одном из произведений Овидия. Это, по существу, прародительница игры, о которой говорится в пьесе Шекспира «Сон в летнюю ночь» (действие II, сцена 2). У каждого из игроков имеется по три шашки. Они поочередно ставят их на девять позиций, которые вы видите на рисунке, стремясь расположить все свои шашки на прямой и тем самым выиграть партию. Но и после того, как все шесть шашек выставлены, игра продолжается (шашки переставляются всегда на соседнее незанятое место) с той же целью, что и раньше. На примере из рисунка белые ходят первыми, а черные только что поставили свою шашку на позицию 7. Теперь ход белых, и они, несомненно, пойдут с 8 на 9, а затем, что бы ни предприняли черные, они пойдут с 5 на 6 и выиграют партию. Это простая игра. Теперь предположим, что оба игрока владеют ею в совершенстве. Что произойдет тогда? Всегда ли выиграет первый игрок? Или всегда выиграет второй? Или всегда игра закончится вничью? Лишь одно из этих трех событий должно происходить всегда. Какое именно?

111. Волы фермера. Ребенок может предложить задачу, с которой не сумеет справиться мудрец. Некий фермер задал следующий вопрос.

– Мой луг в десять акров прокормит двенадцать волов в течение шестнадцати недель или восемнадцать волов в течение восьми недель. Сколько волов я смогу прокормить на поле в сорок акров в течение шести недель, если все это время трава будет равномерно подрастать?

Замечу, что у этой головоломки жало находится в хвосте. Равномерный рост травы – очень важная часть условия, хотя она сильно озадачит некоторых читателей. Трава, разумеется, предполагается равной длины и равномерной толщины в любом случае, когда скот начинает ее есть. При правильном подходе трудность не столь велика, как выглядит на первый взгляд.

112. Великая тайна Грэнгмура. Мистер Стэнтон Мау-брей был очень богатым человеком. Известный миллионер жил в прекрасном старом особняке, нередко упоминаемом в английской истории, в Грэнгмур-Парке. Он был холост, много времени проводил дома и жил довольно тихо.

Согласно показаниям очевидцев, в день, предшествовавший той ночи, когда было совершено преступление, он получил со второй почтой одно письмо, содержание которого, по-видимому, его страшно поразило. В десять вечера он отпустил слуг, сказав, что должен просмотреть важные деловые бумаги и что просидит над ними допоздна. Никаких услуг ему не требовалось. Предполагалось, что после того, как все легли спать, он впустил кого-то в дом, поскольку один из слуг решительно утверждал, что слышал громкий разговор в очень поздний час.

На следующее утро, без четверти семь, один из слуг, войдя в комнату, нашел мистера Маубрея бездыханным – он лежал на полу с простреленной головой. Теперь мы подходим к одному странному обстоятельству этого дела. Пуля, пройдя сквозь голову убитого, попала в часы, которые стояли в кабинете. Она застряла прямо в середине циферблата, спаяв между собой три стрелки, ибо у часов была и секундная стрелка, которая обегала тот же циферблат, что и две другие. Но хотя три стрелки и соединились воедино, они могли поворачиваться как целое, и, к несчастью, слуги успели повернуть их несколько раз прежде, чем мистер Уайли Слаймэн прибыл на место. Но стрелки не могли двигаться порознь.

Опрос, проведенный полицией в окрестностях, привел к аресту в Лондоне подозрительного человека, которого опознали несколько свидетелей, утверждавших, что видели его в тех краях днем накануне преступления. Однако с несомненностью было установлено, в какое именно время он роковым утром уехал на поезде. Если преступление было совершено после его отъезда, то невиновность арестованного была бы доказана, так что оказалось крайне важным установить точное время пистолетного выстрела, звука которого никто в доме не слышал. На рисунке точно показано, в каком именно положении были найдены стрелки часов. Мистера Слаймэна полиция просила напрячь все свои способности и привлечь весь свой опыт, но, как только ему показали часы, он улыбнулся и сказал:

– Все крайне просто. Обратите внимание, что все стрелки находятся на равных расстояниях друг от друга. Так, часовая стрелка ровно на двадцать минут отстоит от минутной, то есть на треть окружности циферблата. Вы большое значение придали тому факту, что слуги крутили спаянные стрелки, но их действия не играют роли: спаянные стрелки свободно сидели на оси и неминуемо должны были сами повернуться, приходя в положение равновесия. Дайте мне чуть-чуть подумать, и я скажу вам точное время выстрела.

Мистер Уайли Слаймэн достал из кармана блокнот и начал что-то писать. Через несколько минут он передал инспектору полиции листок бумаги, на котором значилось точное время преступления. Оказалось, что задержанный был старым врагом мистера Маубрея; его обвинили на основании других открывшихся фактов, но прежде чем понести наказание, он подтвердил, что время, указанное мистером Слаймэном, соответствует действительности.

Сможете ли вы указать это время?

113. Деревянный брусок. У экономного плотника был деревянный брусок в 8 дюймов длиной, 4 дюйма шириной и 3¾ дюйма толщиной. Сколько кусков размером 2½ × 1½ × 1¼, дюйма можно из него вырезать? Все дело в том, как вы будете их вырезать. У большинства людей отходы превзойдут необходимую величину. Сколько кусков сможете вы получить из бруска?

114. Бродяги и бисквиты. Четыре веселых бродяги купили, заняли, нашли или добыли каким-то способом ящик бисквитов, который они решили поделить между собой поровну на следующее утро за завтраком. Ночью, когда бродяги крепко спали под ветвистым деревом, один из них подобрался к ящику, съел ровно четверть всех бисквитов и один лишний бисквит бросил собаке. Ближе к утру проснулся второй бродяга, ему в голову пришла та же мысль съесть четвертую часть бисквитов, а лишний бисквит он тоже бросил собаке. Третий и четвертый бродяги по очереди проделали то же самое, взяли четверть того, что нашли, и кинули по лишнему бисквиту собаке. Утром все четверо поделили между собой поровну остаток и вновь отдали лишний бисквит животному. Каждый заметил недостачу, но, думая, что он один тому виной, ничего не сказал. Какое наименьшее число бисквитов могло быть в ящике первоначально?

ЗАДАЧИ НА ШАХМАТНОЙ ДОСКЕ

От сильного порыва ветра каминная труба сорвалась с крыши и рухнула прямо под ноги случайному прохожему. Он сказал спокойно:

– Мне это ни к чему: я не курю.

Некоторые читатели, увидев головоломку на шахматной доске, склонны сделать столь же невинное замечание:

– Мне это ни к чему: я не играю в шахматы.

Такое отношение в значительной мере результат общераспространенного, но ошибочного убеждения, что обычная шахматная головоломка из тех, которые мы привыкли встречать в периодике (и которые по каким-то соображениям называют задачами), связана с самой игрой в шахматы. Однако в шахматной игре отсутствуют правила, которые обязывали бы нас делать мат в два, три или четыре хода, тогда как большинство позиций в этих головоломках таково, что у одного из игроков (если бы это происходило в реальной шахматной партии) преимущество оказалось бы настолько большим, что другой игрок просто признал бы свое поражение, не доиграв партию до конца. Решение этих головоломок вряд ли поможет вам (да и то косвенным образом) при игре в шахматы; известно, что мастера шахматных головоломок – весьма посредственные игроки, и vice versa^[21]. Если случайно кто-то оказывается силен и в той, и в другой области, то это лишь исключение из правила.

И все же разделенная на клетки доска и ходы шахматных фигур сами по себе весьма примечательным образом приводят к изобретению наиболее занимательных головоломок. Здесь имеется такой простор для всевозможных вариаций, что истинный любитель головоломок не сможет пройти мимо. Именно охраняя интересы тех читателей, которые пугаются одного вида шахматной доски, я публиковал первоначально головоломки этого типа под различными причудливыми одеждами. Одни из этих задач я все еще оставляю в завуалированном виде, другие же я перевел на язык шахматной доски. В большинстве случаев читателю не потребуются вообще никакие познания в области шахмат, но все же для тех, кто не знаком с терминологией, ходами и обозначениями шахматной игры, я ниже дам краткие пояснения.

Сначала мы будем иметь дело с некоторыми вопросами, относящимися к самой шахматной доске, затем – с некоторыми статическими задачами, связанными поочередно с ладьей, слоном, ферзем и конем, затем – с динамическими головоломками, связанными с теми же шахматными фигурами, и, наконец, речь пойдет о смешанных головоломках на шахматной доске. Я надеюсь, что формулы и таблицы, приведенные после статических головоломок, окажутся интересными сами по себе, поскольку публикуются впервые.

Шахматная доска

Шахматная доска представляет собой квадратную плоскую поверхность, разделенную прямыми линиями, пересекающимися под прямым углом, на 64 квадрата. Первоначально они не были раскрашены поочередно в черный и белый (или какие-либо два других) цвета, и это усовершенствование было введено, просто чтобы помочь глазу при игре. Польза такой раскраски несомненна. Например, она облегчает манипуляции со слонами, позволяя с одного взгляда оценить, что наш король или пешки на черных клетках не находятся под угрозой вражеского слона, передвигающегося по белым клеткам. И все же раскраска шахматной доски несущественна для самой игры как таковой. Точно так же, когда мы формулируем головоломки на шахматной доске, часто неплохо помнить, что дополнительный интерес может представлять «обобщение» на случай доски с любым числом клеток или ограничение задачи некой конфигурацией клеток, необязательно квадратной. Мы приведем несколько головоломок такого типа.

115. Разбивка шахматной доски. Как-то я задался вопросом: сколькими различными способами можно разбить шахматную доску на две части одинаковой формы и размера, если разрезы проводить по границам клеток? Выяснилось, что эта задача одновременно и занимательна и трудна. Я представляю ее в упрощенном виде, взяв доску меньших размеров.

Очевидно, что доску, состоящую из 4 клеток (2 х 2), можно разделить лишь одним способом (прямой, проходящей через центр), ибо повороты и отражения мы не будем рассматривать как новые решения. В случае доски из 16 клеток (4 х 4) существует 6 различных способов. Они все приведены здесь на рисунке, и читателю не удастся найти еще какое-нибудь решение. Теперь возьмите большую доску, 6 х 6, и попытайтесь определить число способов в этом случае.

116. Львы и короны. Юная леди, которую вы видите на рисунке, при раскройке столкнулась с небольшой трудностью, помочь преодолеть которую предлагается читателю. По неким причинам, о которых она умалчивает, ей нужно разрезать этот квадратный кусок дорогой ткани на 4 части одинаковых размеров и формы, но важно, чтобы в каждой из частей оказалось по льву и по короне. Поскольку леди настаивает на том, чтобы разрезы пришлись только на границы квадратов, она весьма озадачена. Можете ли вы показать ей нужный способ? Существует только один возможный способ раскройки ткани.

117. Доски с нечетным числом клеток. Рассмотрим доски, которые содержат нечетное число клеток. Начнем с доски 3 х 3. Ее можно разрезать на равные части, лишь удалив центральную клетку.

Вполне очевидно, что это можно сделать только одним способом, как показано в случае а. Части А и В имеют одинаковые размеры и форму, и при любом другом способе разрезания получатся такие же части, а, как мы знаем, в подобном случае способы не считаются различными.

Я предлагаю читателю разрезать на две части одинакового размера и формы максимальным числом различных способов доску 5x5 (случай б). На рисунке приведен один из таких способов. Сколько всего существует различных способов? Часть, которая при перевертывании другой стороной кверху принимает ту же форму, что и другая часть, не считается обладающей отличной от нее формой.

118. Задача Великого ламы. Жил некогда Великий лама, у которого была шахматная доска из чистого золота, прекрасно выполненная и, разумеется, огромной ценности. Каждый год в Лхасе среди лам проводился турнир, и тому из них, кому удавалось выиграть у Великого ламы, воздавались большие почести, его имя гравировалось на оборотной стороне доски, а в клетку, где был поставлен мат, вправляли драгоценный камень. После четырех поражений Великий лама умер (возможно, от огорчения).

Новый Великий лама был неважным игроком и предпочитал другие виды невинных развлечений: он больше любил рубить людям головы. Шахматы он считал загнивающей игрой, которая не способствует совершенствованию разума или морали, и полностью отменил турниры. Затем он послал за четырьмя ламами, имевшими дерзость играть лучше Великого ламы, и сказал им:

– Ничтожные варвары, именующие себя ламами! Знаете ли вы меру своей дерзости? Вы осмелились претендовать на то, что в чем-то превосходите моего предшественника?! Возьмите эту доску и прежде, чем рассвет займется над камерой пыток, разрежьте ее на 4 равных части одинаковой формы, чтобы каждая содержала по шестнадцать целых клеток и по одному драгоценному камню! Если вы в сем деле не преуспеете, то, к вашей же печали, мы придумаем другое испытание. Идите!

Четверо лам преуспели в этом на первый взгляд безнадежном деле. Можете ли вы показать, как следует разрезать доску на 4 равных части одинаковой формы, содержащие по драгоценному камню, если разрезы проводить исключительно по границам клеток?

119. Окно аббата. Однажды аббат монастыря святого Эдмондсбери от излишней для его головы «набожности» так занемог, что не в силах был подняться с постели. Он лежал без сна, и голова его беспокойно металась по подушке, отчего внимательные монахи заключили, что их настоятеля беспокоит какая-то навязчивая мысль. Однако никто не решился спросить его, в чем дело, ибо аббат отличался суровым характером и не потерпел бы никаких расспросов. Внезапно он позвал отца Джона, и вскоре этот почтенный монах предстал перед ложем.

– Отец Джон, – сказал аббат, – знаешь ли ты, что я пришел в этот грешный мир в сочельник?

Монах кивнул утвердительно.

– А не говорил ли я тебе, что, родившись в сочельник, я не люблю ничего нечетного?^[22] Смотри!

Аббат указал на большое окно трапезной, которое вы видите на рисунке. Монах взглянул на него и задумался.

– Заметил ли ты, что шестьдесят четыре просвета расположены так, что их число вдоль вертикалей и горизонталей четно; но вдоль всех диагоналей, за исключением четырнадцати, их число нечетно? Почему так происходит?

– По правде говоря, отец мой, это лежит в самой природе вещей и не может быть изменено.

– Нет, это следует изменить. Я повелеваю тебе сегодня же закрыть некоторые из просветов так, чтобы число просветов вдоль каждой прямой оказалось четным. Смотри, чтобы это было сделано без промедления, иначе погреба будут заперты на целый месяц и другие не менее тяжкие кары падут на твою голову.

Отец Джон, ломая голову, едва не лишился разума, но, посоветовавшись наконец с одним монахом, искушенным в тайных науках, сумел все же удовлетворить прихоть аббата. Какие просветы были заделаны, чтобы число оставшихся просветов вдоль каждой вертикали, горизонтали и диагонали оказалось четным, а число заделанных просветов при этом было минимальным?

120. Китайская шахматная доска. На какое максимальное число различных частей можно разрезать шахматную доску (все разрезы проводятся только вдоль линий) так, чтобы при этом никакие две части не оказались полностью одинаковыми? Помните, что части, отличающиеся расположением черных и белых клеток, считаются различными. Так, единственная белая клетка отличается от единственной черной клетки; ряд из трех клеток, две из которых белые, а одна черная, отличается от такого же ряда с двумя черными и одной белой клетками и т. д. Если две части нельзя расположить на столе так, чтобы они выглядели совершенно одинаковыми, то они считаются различными; а поскольку на обратной стороне доски рисунок не нанесен, то части нельзя переворачивать другой стороной кверху.

121. Буквы из шахматных клеток. Однажды я развлекался тем, что пытался разрезать обыкновенную шахматную доску на буквы, из которых удалось бы сложить какую-нибудь фразу. На рисунке видно, как мне удалось составить предложение CUT ТНУ LIFE^[23] с точками между словами. Однако идеальное предложение должно было бы содержать, конечно, лишь одну точку, но мне не удалось его получить.

Эта фраза представляет собой призыв к преступнику покончить с той полной зла жизнью, которую он ведет. Сможете ли вы опять сложить из этих букв правильную шахматную доску?

Статические шахматные головоломки

122. Восемь ладей. На рисунке а видно, что каждая клеточка доски либо занята, либо находится под угрозой нападения одной из ладей и что каждая ладья «защищена» (если бы они были попеременно белыми и черными, то мы бы сказали «атакована») другой ладьей. Поместив 8 ладей на любую горизонталь или вертикаль, мы получим тот же эффект. На рисунке б каждая клетка снова либо занята, либо находится под угрозой, но в этом случае каждая ладья не защищена. Теперь скажите, сколькими различными способами 8 ладей можно расположить на шахматной доске так, чтобы при этом каждая клетка оказалась либо занятой, либо под угрозой нападения, но чтобы ни одна ладья не была защищена другой ладьей? Я не хочу здесь вдаваться в вопросы, касающиеся отражений и поворотов, так что если вы расположите ладьи на другой диагонали, то это будет считаться другим расположением, аналогичным образом обстоит дело и с расположениями, получающимися из некоторого расположения с помощью поворотов.

123. Четыре льва. Эта головоломка состоит в том, чтобы выяснить, сколькими различными способами можно расположить четырех львов так, чтобы при этом на любой горизонтали и вертикали находилось не более чем по одному льву. Отражения и повороты не считаются различными. Так, в приведенном на рисунке примере расположение львов вдоль второй диагонали мы не будем считать отличным от исходного. Действительно, если вы поднесете второе расположение к зеркалу или повернете его на четверть полного оборота, то получите первое расположение. Это простая маленькая головоломка, но она требует некоторого внимания.

124. Незащищенные слоны. Расположите наименьшее число слонов на обычной шахматной доске таким образом, чтобы каждая клетка оказалась либо занятой, либо под угрозой нападения. Можно заметить, что ладья в этом отношении более могуча, чем слон, ибо, где бы она ни располагалась, под ее угрозой всегда находятся 14 клеток, тогда как под угрозой слона может находиться 7, 9, 11 или 13 клеток в зависимости от того, на какой диагонали он стоит. Здесь нелишне напомнить, что, говоря о диагоналях шахматной доски, мы не ограничиваемся двумя большими диагоналями, соединяющими противоположные ее углы, а имеем в виду и более короткие прямые, параллельные этим большим диагоналям. Читателю стоит хорошенько это запомнить, дабы избежать недоразумений в будущем.

125. Защищенные слоны. Сколько теперь потребуется слонов, чтобы каждая клетка оказалась либо занятой, либо под угрозой, а каждый слон находился под защитой другого слона?

126. Собрание слонов. Наибольшее число слонов, которых можно поместить на одной шахматной доске так, чтобы ни один слон не атаковал другого, равно 14. На рисунке показано простейшее расположение такого типа.

Фактически на квадратной доске любого размера число слонов, которых можно расположить так, чтобы они не атаковали друг друга, всегда на 2 меньше удвоенного количества клеток, расположенных вдоль одной из ее сторон. Интересная головоломка состоит в том, чтобы определить, сколькими различными способами 14 слонов можно расположить на обычной шахматной доске так, чтобы они не атаковали друг друга. Я приведу крайне простое правило, позволяющее определить число таких способов для доски любого размера.

127. Восемь ферзей. Ферзь на шахматной доске – куда более сильная фигура, чем слон. Если вы поместите ферзя на один из четырех квадратов в центре доски, то под его угрозой окажется не менее чем 27 других клеток, а если вы попытаетесь запрятать его в угол, то все равно он будет атаковать 21 клетку. Восемь ферзей можно расположить на доске таким образом, чтобы ни один из них не атаковал другого. Существует старая головоломка (впервые предложенная Науком в 1850 г.), которая состоит в том, чтобы определить число различных способов, какими это можно сделать. Один такой способ приведен на рисунке, а всего число существенно различных способов равно 12. Если же мы будем считать повороты и отражения различными способами, то из этих 12 образуется 92 способа. Расположение, приведенное на рисунке, обладает определенной симметрией. Если вы перевернете страницу вверх-ногами, то получите то же самое расположение, однако если вы повернете доску так, чтобы внизу оказалась одна из боковых сторон, то получите расположение, отличное от исходного. Если вы зеркально отразите эти 2 расположения, то получите еще 2 способа. Далее: все другие 11 расположений несимметричны, и, следовательно, из каждого из них с помощью таких поворотов и отражений получается по 8 способов. Таким образом, становится понятно, почему 12 существенно различных решений порождают 92 расположения, как я уже говорил, а не 96, как получилось бы, если бы все 12 решений оказались несимметричными. Следует ясно представлять себе природу поворотов и отражений, когда имеешь дело с головоломками на шахматной доске.

Сумеет ли читатель расположить 8 ферзей на шахматной доске таким образом, чтобы ни один из них не атаковал другого и чтобы никакие 3 ферзя не располагались ни на какой наклонной прямой одновременно? Взглянув еще раз на рисунок, мы можем заметить, что приведенное там расположение не удовлетворяет нужным условиям, поскольку на двух наклонных прямых, указанных пунктиром, располагается по три ферзя? Среди 12 существенных решений есть только одно, удовлетворяющее нашему дополнительному условию. Сможете ли вы найти его?

128. Восемь звезд. В этой головоломке 8 звезд нужно расположить на приведенной на рисунке доске так, что бы ни одна звезда не оказалась на одной горизонтали, вертикали или диагонали с другой. Вы видите, что одна звезда уже поставлена в клетку, передвигать ее нельзя, поэтому читателю придется расставить лишь 7 остальных звезд. Но вы не должны помещать звезды на заштрихованные клетки. Существует только одно решение данной головоломки.

129. Мозаика. Искусство создания рисунков или узоров из кусочков по-разному окрашенных твердых материалов очень и очень древнее. С ним, безусловно, были знакомы во времена фараонов, а в библейской книге Эсфири мы находим упоминание о «мостовых из красного, и голубого, и белого, и черного мрамора». Некоторые из дошедших до нас древних мозаик, особенно римских, показывают, что даже там, где геометрический узор и не бросается в глаза, над внешне беспорядочными расположениями их создатели в свое время изрядно поломали голову. Особенно в тех случаях, когда работа выполнялась с ограниченным числом цветов, они свидетельствуют об удивительной изобретательности, благодаря которой удалось добиться того, чтобы одинаковые оттенки не располагались вблизи друг друга. Читательницы, знакомые с искусством шитья всевозможных лоскутных одеял, покрывал, подушек и т. п., знают, сколь желательно при ограниченном выборе материала избежать близкого расположения одинаковых кусочков ткани. Наша головоломка в равной мере может относиться и к лоскутным одеялам, и, например, к выложенному плитками полу.

На рисунке видно, как квадратный участок пола можно выложить 62 квадратными плитками восьми цветов: фиолетового (Ф), красного (К), желтого (Ж), зеленого (3), оранжевого (О), розового (Р), белого (Б) и голубого (Г) так, чтобы при этом ни одна плитка не находилась на одной горизонтали, вертикали или диагонали с плиткой того же цвета. Шестьдесят четыре плитки при тех же условиях выложить было бы невозможно, но два заштрихованных квадратика заняты решетками вентиляции.

Головоломка состоит в следующем. Эти две решетки вентиляции следует переместить на квадраты, обведенные жирными линиями, а в угловые заштрихованные квадраты поместить две плитки. Сможете ли вы переместить 32 плитки так, чтобы в результате ни одна из плиток не оказалась на одной вертикали, горизонтали или диагонали с другой плиткой того же цвета?

130. Под «вуалью». Изучив приведенный здесь рисунок, читатель увидит, что я расположил на нем восемь букв V, восемь Е, восемь I и восемь L таким образом, что ни одна из букв не находится на одной горизонтали, вертикали или диагонали с такой же буквой. Так, ни одно V не лежит на одной прямой с другим V, ни одно Е – с другим Е и т. д. Существует огромное число различных способов размещения букв при данном условии. Головоломка состоит в том, чтобы найти расположение, приводящее к наибольшему числу слов из четырех букв, которые можно читать сверху вниз, снизу вверх и по диагонали. Все повторения считаются другими словами, а всего можно использовать пять вариаций: VEIL, VILE, LEVY, LIVE и EVIL^[24].

Все станет совершенно ясным, если я скажу, что на приведенном рисунке различных слов – восемь, поскольку первая и последняя горизонтали дают VEIL, вторая и седьмая вертикали – VEIL, а две диагонали, начинающиеся от L в 5-й горизонтали, от Е в 8-й горизонтали, дают как LIVE, так и EVIL. Всего слова можно прочитать восемь раз.

Эта трудная головоломка со словами приводится как пример использования шахматной доски при решении задач такого типа. Только тот, кто хорошо знаком с задачей о восьми ферзях, может надеяться решить ее.

131. Квадрат Баше. Одна из старейших карточных головоломок была, я полагаю, опубликована Клодом Гаспаром Баше де Мезириаком в 1624 г. В ней требовалось расположить 16 валетов, дам, королей и тузов в виде квадрата так, чтобы ни в каком ряду из четырех карт, вертикальном, горизонтальном или диагональном, не было двух карт одинаковой масти или одинакового достоинства. Это сделать довольно просто, но в головоломке требовалось указать, сколько всего существует таких способов. Выдающийся французский математик А. Лябосн в своем современном издании Баше приводит неправильный ответ. И все же головоломка очень проста. Любое расположение с помощью поворотов и зеркальных отражений, которые Баше рассматривал как новые решения, порождает еще семь расположений.

Обратите внимание, что речь идет о «ряде из четырех карт»; поэтому из диагоналей придется рассматривать лишь две большие диагонали.

132. Тридцать шесть ячеек с буквами. На рисунке показан ящик, содержащий 36 ячеек с буквами. Головоломка состоит в том, чтобы переставить ячейки таким образом, чтобы никакое А не оказалось на одной вертикали, горизонтали или диагонали с другим А, ни одно В – с другим В, ни одно С – с другим С и т. д. Вы обнаружите, что поместить все буквы в ящик при этих условиях невозможно, однако постарайтесь поместить максимально возможное число таких букв. Естественно, разрешается пользоваться лишь буквами, изображенными на рисунке.

133. Теснота на шахматной доске. В головоломке требуется переставить 51 шахматную фигуру, приведенную на рисунке, таким образом, чтобы ни один ферзь не атаковал другого ферзя, ни одна ладья не атаковала другую ладью, ни один слон не атаковал другого слона и ни один конь не атаковал другого коня. При этом мы не должны обращать внимания на то, что в промежутке между фигурами данного типа могут оказаться фигуры других типов. Например, мы будем считать, что два ферзя атакуют друг друга даже в том случае, если на линии атаки окажутся, скажем, слон, конь и ладья. Это же относится и ко всем остальным типам фигур. Нетрудно расположить на доске фигуры каждого типа по отдельности; но сложности возникают при попытке совместить все эти расположения на одной доске, ибо для некоторых фигур может не оказаться свободного места.

134. Цветные фишки. На рисунке показаны 25 фишек, окрашенных в 5 цветов: красный (К), желтый (Ж), голубой (Г), оранжевый (О) и зеленый (3), причем фишек каждого цвета – по 5 штук (они отмечены номерами 1, 2, 3, 4 и 5). Требуется так расположить их в виде квадрата, чтобы никакие два одинаковых цвета и никакие два одинаковых номера не оказались на одной из пяти горизонталей, пяти вертикалей и ни на одной из двух диагоналей. Сможете ли вы это сделать?

135. Деликатное «искусство» лизания марок. Страховой акт служит наиболее плодовитым источником занимательных головоломок, особенно занимательных, если вы случайно окажетесь среди освобожденных от налога. Кто-то предложил следующую небольшую головоломку, касающуюся деликатного «искусства» лизания марок. Если ваша карточка разделена на 16 квадратиков (4 х 4), а у вас много марок достоинством в 1, 2, 3, 4 и 5 пенсов, то на какую наибольшую сумму вы сумеете наклеить на нее марок, если министр финансов запрещает вам наклеивать две марки одинакового достоинства на одной и той же горизонтали, вертикали или диагонали? Разумеется, в каждую клетку можно наклеивать лишь одну марку. Вероятно, читатель, заглянув в решение, обнаружит, что его провели так же, как он сам проводил языком по маркам. Скорее всего до максимума ему не хватит двух пенсов. Один мой приятель спросил в почтовом ведомстве, как следует наклеивать марки, но там его послали к чиновнику по таможенным и акцизным сборам, который направил его в страховое агентство, где ему посоветовали обратиться в некое общество, там в свою очередь его послали ... так он и ходит до сих пор.