Текст книги "Сочинения"

Автор книги: Джорж Беркли

сообщить о нарушении

Текущая страница: 25 (всего у книги 37 страниц)

366

6. и тем не менее, применяя calculus differentials * – метод, который служит для достижения тех же самых целей, что и метод флюксий, наши современные аналитики не довольствуются лишь рассмотрением дифференциалов конечных величин: они также рассматривают дифференциалы упомянутых дифференциалов и дифференциалы дифференциалов первых дифференциалов и т. д. ad in-finitum. Иными словами, они рассматривают величины бесконечно меньшие, чем наименьшая различимая величина; и другие, бесконечно меньшие, чем упомянутые бесконечно малые; третьи, бесконечно меньшие, чем предыдущие бесконечно малые, и так далее без конца или предела. Так что мы обязаны признать бесконечную последовательность бесконечно малых величин, каждая из которых бесконечно меньше, чем предыдущая, и бесконечно больше, чем последующая. Так же как имеются первые, вторые, третьи, четвертые, пятые и т. п. флюксии, существуют и дифференциалы первого, второго, третьего, четвертого, пятого и т. д. порядка, в бесконечной прогрессии, стремящейся к ничто, к чему вы приближаетесь, но чего так и не достигаете. и (что самое странное) даже если вы возьмете миллион миллионов этих бесконечно малых, каждая из которых считается бесконечно больше некоей другой реальной величины, и прибавите их к наименьшей данной величине, она ни на сколько не увеличится. и это есть один из скромных postulate наших современных математиков, краеугольный камень и основа основ их рассуждений.

7. Как я говорил, все эти положения выдвигаются определенными людьми, требующими строгих доказательств в религии и утверждающими, что они верят только тому, что сами могут увидеть, и ничему больше, хотя они верят и упомянутым положениям. То, что люди, сведущие только в относительно ясных вопросах, с трудом понимают вопросы туманные, могло бы не представляться чем-то совершенно необъяснимым. Но я полагал бы, что тому, кто в состоянии переварить вторую или третью флюксию, второй или третий дифференциал, не следовало бы привередничать в отношении какого-либо положения в вопросах религиозных. Естественно предположить, что способности людей от природы устроены одинаково. Именно на основании этого предположения люди пытаются

367

спорить друг с другом и убеждать друг друга. Следовательно, то, что покажется очевидно невозможным и неприемлемым одному, могло бы показаться таковым и для другого. Но о каком хотя бы малейшем подобии логики может идти речь, если кто-то осмеливается заявлять, что таинства не могут быть объектами веры, но одновременно принимает, что такие непонятные таинства являются объектом науки?

8. Правда, необходимо признать, что современные математики не считают эти положения загадочными, а полагают, что их всеобъемлющие умы эти положения усвоили и хорошо их понимают. Они не стесняются утверждать, будто с помощью этих новых аналитических методов могут проникать в саму бесконечность и могут даже направить свой взгляд за ее пределы, что благодаря своему искусству они постигают не только бесконечное, но бесконечное бесконечного (как они выражаются) или бесконечность бесконечностей. Однако, несмотря на все эти утверждения и претензии, можно вполне законно поставить вопрос, а не обманываются ли они удивительным образом и не введены ли в заблуждение своими собственными особыми знаками, символами или тому подобным аналогично тому, как другие люди при проведении других исследований часто вводятся в заблуждение словами или терминами. Нет ничего легче, чем изобрести выражения или обозначения для флюксий и бесконечно малых величин первого, второго, третьего, четвертого и последующих порядков, следуя одной и той же регулярной форме без конца или предела –  и т. д. или dx, ddx, dddx, ddddx и т. д. Действительно, эти выражения ясны и четки, и ум без труда может представить себе, что их можно продолжить за пределами любых обозначенных границ. Но если мы приподнимем завесу и посмотрим на то, что за ней скрывается, и если, оставив в стороне словесные обороты, мы поставим себе задачу внимательно рассмотреть сами явления, которые, как полагают, должны определяться или обозначаться упомянутыми оборотами, то мы обнаружим огромную пустоту, тьму и путаницу и даже, если я не ошибаюсь, – прямые противоречия и нечто невозможное. Прошу каждого мыслящего читателя самого подумать и вынести суждение относительно того, так ли обстоит дело в данном случае или нет.

368

9. Рассмотрев сам предмет, я далее приступаю к рассмотрению принципов этого нового анализа при помощи моментов, флюксий или бесконечно малых величин; если в результате окажется, что ваши главные положения, от которых, как полагается, зависит все остальное, содержат ошибки и ложные заключения, то отсюда будет следовать, что вы, не знающий, куда направить самого себя, не можете, хотя бы из чувства простой скромности, быть руководителем для других людей. Главное в методе флюксий заключается в том, чтобы получить флюксию, или скорость движения (momentum), для прямоугольника, т. е. произведение двух неопределенных величин. Ибо именно из этого выводятся правила получения флюксий всех других произведений и степеней, независимо от характера коэффициентов или индексов, будь они целыми числами или дробными, действительными или иррациональными. Можно было бы подумать, что это главное положение должно быть очень четко доказано, принимая во внимание, что на нем основано очень многое и что его влияние распространяется на весь анализ. Но пусть читатель судит сам. Покажем использование упомянутого принципа на примере *. Положим, что произведение, или прямоугольник АВ, увеличивается благодаря постоянному движению и что мгновенные приращения сторон А в В соответственно равны а и b. Когда стороны А и В были меньше, положим, на 7» их моментов, прямоугольник равнялся .

* «Naturalis Philosophiae principia mathematica», lib. 2, lem. 2 [5].

Но как только стороны А и В увеличились на оставшиеся две половины их моментов, прямоугольник становится равным

Вычтем из последнего прямоугольника предыдущий, и останется разность аВ + bА. Следовательно, приращение прямоугольника, образованного целыми приращениями а и b, есть аВ + bА, что и требовалось доказать. Однако очевидно, что для получения момента или приращения прямоугольника АВ прямым и истинным методом необходимо взять стороны такими, какими они получились в результате увеличения их на полные приращения, и затем перемножить их (А+а)х(В+b), а полученное произведение (AB+aB+bA-t-ab) и есть

369

увеличенный прямоугольник; отсюда, если мы вычтем АВ, остаток (аВ+bА+аb) и будет истинным приращением прямоугольника, превышающим тот, который был получен предыдущим незаконным и непрямым методом, на величину ab. и это справедливо в любом случае, какими бы ни были величины а и b, – большими или малыми, конечными или бесконечно малыми, приращениями, моментами или скоростями. Не поможет и утверждение о том, что ab – величина чрезвычайно малая, поскольку нам говорят, что in rebus mathematicis errores quam minimi non sunt contemnendi *.

* Introd, ad «Quadraturam Curvarum» [6].

10. Ничто, кроме неясности предмета, не могло бы побудить или заставить великого автора теории флюксий навязать своим последователям такой ход рассуждений, который только что был продемонстрирован нами на примере, и ничто, кроме молчаливого уважения к авторитету, не могло бы заставить их принять его. Вопрос действительно трудный. Ничего нельзя сделать до тех пор, пока не избавимся от величины ab. Чтобы добиться этого, понятие о флюксиях смещается; его освещают с разных сторон; положения, которые должны быть ясны как основополагающие принципы, затуманиваются, а термины, употребление которых должно быть неизменным (steadily), делаются двусмысленными. Но, несмотря на всю эту изощренность и искусство, задача избавления от величины ab не может быть решена при помощи законного логического хода рассуждения. Если кто-либо при помощи негеометрических или демонстративных методов убедит себя в полезности определенных правил, которые он впоследствии сообщит своим ученикам в качестве неоспоримых истин и докажет их весьма тонко, с помощью точных и сложных понятий, то нетрудно представить себе, что такие его ученики, чтобы не утруждать себя размышлениями, могут склониться к спутыванию полезности правила с определенностью истины и принять одно за другое, особенно если они привыкли скорее считать, чем думать, и стремятся идти быстрее вперед, а не заботятся о том, чтобы ступать осторожно и ясно видеть свой путь.

370

11. Точки, или просто пределы зарождающихся линий, несомненно равны между собой, так как величина одной из них не превышает другой, а предел, как таковой, не есть величина. Если под [механическим] моментом (тоmentum) вы подразумеваете больше, чем самый начальный предел, то он должен быть либо конечной величиной, либо бесконечно малой. и действительно, хотя прибегали ко множеству хитростей, чтобы уклониться от признания величин бесконечно малых или как-либо избежать их, все это, кажется, ни к чему не привело. Насколько я понимаю, без признания существования бесконечно малых величин нельзя признать существование величины, занимающей промежуточное положение между конечной величиной и нулем. Приращение, образованное за конечную частицу времени, само по себе является конечной частицей и вследствие этого не может быть [механическим] моментом. Следовательно, для образования [механического] момента вам нужно брать бесконечно малую частицу времени. Говорят, что величина моментов не принимается во внимание, и тем не менее считается, что эти же самые моменты делятся на части. Это не легко понять, не легче, чем представить себе, почему для получения приращения АВ мы должны брать величины меньшие, чем А и В, хотя необходимо признать, что конечная причина или побудительный мотив такого хода рассуждений совершенно очевидны; но не так легко и просто привести справедливую и законную причину в объяснение этого или показать, что она является строго геометрической.

12. Из доказанного таким образом вышеупомянутого принципа выводится общее правило нахождения у флюента флюксии любой степени *. Но так как автор, кажется, испытывал скрытые угрызения совести или сознавал ущербность вышеприведенного доказательства и так как это нахождение флюксии данной степени есть вопрос первостепенной важности, было сочтено уместным вследствие этого доказать то же самое, но иным способом, отличным от приведенного выше доказательства. Однако теперь я перехожу к рассмотрению того, является ли этот другой метод более законным и убедительным, чем прежний; своему рассмотрению я предпосылаю следующую лемму: «Если для доказательства какого-либо предположения выдвигается определенное положение, благодаря которому доказываются некоторые другие положения, и если такое выдвинутое положение впоследствии само будет опровергнуто или отвергнуто противоположным предположением, то в этом случае все другие положения, доказанные при его помощи и вытекающие из него, должны быть также опровергнуты и отвергнуты, с тем чтобы в дальнейшем они не выдвигались и в доказательстве не применялись». Это настолько очевидно, что не нуждается в доказательстве.

* «Philosophiae naturalis principia mathematical», lib. 2, lem. 2,

371

13. Второй способ получения правила нахождения флюксии любой степени заключается в следующем. Пусть величина х возрастает равномерно (uniformly) и пусть предлагается найти флюксию х ⁿ. За тот же отрезок времени, что х путем возрастания становится (х+0), степень х ⁿстановится (х+0) ⁿ; т. е. в соответствии с методом бес-

допустим, что приращения исчезают, и их последнее отношение будет составлять 1 : nx ^{n -1}. Но, представляется нам, такой ход рассуждений не будет справедливым или убедительным. Ибо когда говорят: пусть приращения исчезают, т. е. пусть приращения равны нулю или пусть не будет никаких приращений, тем самым прежнее допущение, что приращения представляют собой какую-то величину или что приращения имели место, отвергается, однако следствие того допущения, т. е. выражение, полученное благодаря ему, сохраняется. А это, в соответствии с вышеуказанной леммой, представляет собой ложный ход рассуждения. Безусловно, если мы предполагаем, что приращения исчезают, то мы должны предположить, что вместе с ними исчезают их соотношения, их выражения и все остальное, выведенное из предположения об их существовании.

14. Чтобы сделать этот вопрос более понятным, я разверну ход рассуждения и изложу его перед вами более полно. Он сводится, следовательно, к следующему, или, другими словами, может быть выражен следующим образом. Я полагаю, что величина х – переменная, что она возрастает в результате изменения, ее приращение я обозначу о, так что в результате возрастания она становится (х+0). Так как х увеличился, из этого следует, что .каждая степень х также увеличивается в соответствующей пропорции. Следовательно, раз х становится (x+0), х ⁿстановится (х+0) ⁿ, т. е. в соответствии с методом бесконечных рядов

372

А если из двух возросших величин мы вычтем соответственно основание и степень, то получим в остатке два приращения, а именно 0 и  и т.д.,

а если оба приращения разделить на общий делитель «о», то получим частные

которые, следовательно, являются показателями соотношения приращений. До сих пор я предполагал, что х возрастает, что х обладает действительным приращением, что о есть нечто [определенное]. и я все время исходил из этого предположения, без которого я не смог бы сделать ни одного шага вперед. На основании этого предположения я получаю приращение х ⁿ, в состоянии сравнить его с приращением х и нахожу соотношение между двумя приращениями. Теперь я прошу разрешить мне сделать новое предположение, прямо противоположное первому, т. е. я предположу, что нет никакого приращения х или что о есть ничто; это второе предположение опровергает мое первое, несовместимо с ним и, следовательно, со всем тем, что им предполагается. Тем не менее я прошу разрешения сохранить nx ^{n -1}– выражение, полученное благодаря моему первому предположению, необходимо обусловленное таким предположением, причем получение его без первого предположения было бы невозможно. Все это представляется весьма непоследовательным способом аргументации, и притом таким, который не допускался бы в отношении вопросов о божественном.

15. Нет ничего более очевидного, как то, что из двух несовместимых предположений нельзя непосредственно вывести правильное заключение. Правда, можно предположить все что угодно. Но ведь нельзя предполагать то, что может уничтожить первое предположение; или же, если вы так поступаете, то должны начать de novo. Следовательно, если вы предполагаете, что увеличения исчезают, т. е. что увеличений нет, то вы должны начать снова и посмотреть, что следует из такого предположения. Но отсюда не следует ничего, что послужило бы вашей цели.

373

Таким путем вы вообще не сможете прийти к сделанному вами выводу или, проводя анализ конечных величин, успешно осуществить то, что знаменитый автор называет изучением первого или последнего отношения зарождающихся или исчезающих величин. Я вновь повторяю: вы свободны делать любые возможные предположения; и вы можете опровергнуть одно предположение при помощи другого; но тогда вы не можете сохранить следствия или какую-либо часть следствий вашего первого предположения, опровергнутого таким образом. Я признаю, что можно заставить знаки обозначать что-либо или ничто, и, следовательно, в первоначальной записи (х+0) 0 может означать либо приращение, либо нуль. Но затем, какое бы из этих двух значений вы ему ни придали, вы должны рассуждать последовательно в соответствии с этим значением, а не исходить из двойного значения; делать так было бы явным софизмом. Рассуждаете ли вы при помощи слов или символов, правила здравого смысла остаются теми же. Нельзя также предположить, что вы сможете присвоить себе привилегию – быть свободным от этих правил в математике.

16. Если вы сначала допускаете, что какая-то величина возрастает на нуль и в выражении (х+0) 0 обозначает нуль, то, в соответствии с этим допущением, раз не будет приращения основания, не будет и приращения степени; и, следовательно, из всех членов ряда, составляющего степень бинома, останется только первый член; поэтому при помощи такого способа вы никогда не получите законным образом необходимое вам выражение флюксии. Отсюда вы вынуждены ступить на ложный путь, действуя до определенного момента на основании допущения приращения, а затем сразу же изменяя свое допущение на прямо противоположное (отсутствие приращения). Может показаться, что при осуществлении этого в определенный момент или период требуется большое искусство, поскольку, если бы это второе допущение было сделано до деления на общий делитель о, все бы мгновенно исчезло, и на основании своего допущения вы ничего бы не получали; в то время как благодаря этой уловке – сначала разделить, а потом уже изменить свое допущение, вы сохраняете 1 и nх ^n-1. Но, несмотря на всю эту ловкость, проявленную для прикрытия ошибки, последняя остается той же самой. Ибо независимо от того, сделаете вы это раньше или позже, как только сделано второе допущение или предпо-

374

ложение, в тот же самый миг уничтожается и полностью исчезает прежнее допущение и все то, что вы получили при его помощи. и это справедливо в отношении всего, каков бы ни был объект изучения, во всех сферах человеческого познания; я полагаю, что в любой другой из этих сфер люди едва ли бы допустили подобный ход рассуждений, принятый для доказательства в математике.

17. Может быть, уместно заметить, что способ нахождения флюксии прямоугольника, состоящего из двух непрерывных переменных величин [флюент], в том виде, как он изложен в «Трактате о квадратурах», отличается от вышеизложенного, взятого из второй книги «Начал», и в сущности является тем же самым способом, который используется в calculus differentialis *. Ибо предположить какую-либо величину бесконечно уменьшенной и вследствие этого отбросить ее – означает по сути дела отбросить бесконечно малую величину; и действительно, требуется поистине чудесная острота восприятия, чтобы суметь провести различие между исчезающими приращениями и бесконечно малыми дифференциалами. Конечно, можно возразить, что величина бесконечно уменьшенная становится нулем и поэтому ничто не отбрасывается. Но в соответствии с общепринятыми принципами очевидно, что ни одна геометрическая величина не может быть никакими делениями или делениями делений совершенно исчерпана или сведена к нулю. Если принять во внимание различные хитрости и уловки, примененные великим автором метода флюксий – как разносторонне он трактует свои флюксии и какими различными способами пытается доказать одно и то же положение, – то есть основание считать, что он сам сомневался в справедливости своих доказательств и не был доволен ни одним понятием настолько, чтобы придерживаться его твердо. По крайней мере ясно одно: ему самому пришлось удовлетвориться некоторыми определенными положениями, но тем не менее он не мог взять на себя доказать их другим **. Я не берусь определить, возникла ли эта удовлетворенность на основании экспериментальных (tentative) методов или индукции, что часто признается математиками (например, д-ром Уоллесом в его «Арифметике бесконечно малых»). Но как бы ни обстояло дело в отношении автора, представляется, что его последователи проявили себя более ревностными в применении его метода, чем точными в изучении его принципов.

* «Analyse des infiniment petits», part 1, prop. 2 [7].

** См. письмо к Коллинзу от 8 ноября 1676 г.

375

18. Любопытно заметить, какую тонкость и изобретательность проявляет этот великий гений в борьбе с непреодолимым затруднением и через какие лабиринты пытается он спастись от учения о бесконечно малых величинах, на которое, хочет он того или нет, он повсюду натыкается и которое признается и принимается другими без малейшего колебания. Лейбниц и его последователи в своем calculus differentialis ни в коей мере не стесняются, сначала предполагая, а затем отбрасывая бесконечно малые величины, и любой мыслящий человек, не предубежденный заранее в пользу этих вещей, может легко себе представить, каковы могут быть ясность восприятия и правильность суждения при такой логике! Мы уже рассматривали понятие, или идею, бесконечно малой величины как объекта, непосредственно воспринимаемого умом *. Теперь я ограничусь лишь замечанием относительно того, каким способом избавляются от таких величин, а это делается совершенно бесцеремонно. Подобно тому как в методе флюксий главная задача, прокладывающая путь всему остальному, заключается в том, чтобы найти флюксию произведения двух неопределенных величин, в calculus differentialis (методе, который считается заимствованием вышеупомянутого, с некоторыми незначительными изменениями) главное состоит в том, чтобы получить дифференциал такого произведения. Правило для этого получается путем отбрасывания произведения, или прямоугольника, дифференциалов. и вообще считается, что ни одна величина не возрастает и не уменьшается от прибавления своей бесконечно малой и что, следовательно, от такого отбрасывания бесконечно малых не может произойти ошибки.

* § 5 и 6.

19. и тем не менее представляется, что, если в посылках допускаются какие-либо ошибки, следует ожидать соответствующих им ошибок в заключении, имеем ли мы дело с конечными пли бесконечно малыми величинами; и в силу этого  [9] геометрии требует, чтобы ничем не пренебрегали и ничего не отбрасывали. В ответ на это вы, возможно, скажете, что заключения правильны и истинны и что поэтому принципы и методы, на основе которых они

376

получены, тоже должны быть правильны и истинны. Но этот обратный (inverted) способ доказательства правильности принципов на основе выводов настолько же присущ вам, господа, насколько противоречит правилам логики. Истинность вывода ни в коей мере не докажет правильность ни формы, ни сущности силлогизма, ввиду того что заключение могло быть неверным или посылки ложными, а вывод тем не менее будет правильным, хотя и не благоцаря такому заключению или таким посылкам. Я утверждаю, что в любой другой науке люди доказывают свои выводы на основе принципов, а не свои принципы на основе выводов. Но если в своей науке вы разрешаете для себя этот неестественный ход рассуждений, то в качестве последствия такого шага вам придется взять на вооружение индукцию и распроститься со [строгими] доказательствами. А если вы пойдете на это, ваш авторитет уже не будет более прокладывать путь вперед в вопросах разума и науки.

20. У меня нет разногласий с вами относительно ваших выводов, они у меня есть только относительно вашей логики и метода. Как вы проводите доказательство? С какими предметами вы хорошо знакомы и ясно ли вы их себе представляете? На основе каких принципов вы действуете, насколько они правильны, и как вы их применяете? Необходимо помнить, что меня интересует не истинность ваших теорем, а только способ их доказательства, законный он или незаконный, ясный или туманный, теоретический (scientific) или экспериментальный. Чтобы избежать всякой возможности вашего неправильного суждения обо мне, я прошу разрешения повторить и я вновь настаиваю, что я рассматриваю геометра-аналитика как логика, т. е. то, каким образом он рассуждает и доказывает, а его математические выводы рассматриваю не сами по себе, а в их посылках, не в отношении того, являются ли они истинными или ложными, полезными или не имеющими значения, а лишь каким образом они выводятся из таких принципов и при помощи таких приемов выведения. А поскольку может показаться необъяснимым парадоксом, что математики выводят правильные положения, исходя из ложных принципов, могут прийти к правильному выводу и тем не менее ошибаться в посылках, я попытаюсь конкретно объяснить, почему это может произойти, и покажу, как ошибка может породить истину, хотя не может породить науку.

377

21. Следовательно, для того чтобы выяснить это положение, предположим, например, что надо провести касательную к параболе, и рассмотрим решение этой задачи при наличии бесконечно малых дифференциалов. Пусть АВ – кривая, абсцисса АР=х, ордината РВ=у, приращение абсциссы PM=dx, приращение ординаты RN=dy. Теперь допустим, что кривая представляет собой многоугольник и, следовательно, BN, приращение, то есть разность кривой, является отрезком прямой, совпадающим с касательной, а дифференциальный треугольник BRN подобен треугольнику ТРВ, тогда подкасательная РТ будет четвертым членом пропорции RN: RB = РВ..., т.е. dy : dx = y... Отсюда подкасательная будет равна y dx/dy.

Но здесь и содержится ошибка, возникшая в результате вышеупомянутого допущения, не соответствующего действительности, вследствие чего величина РТ получается больше, чем она есть на самом деле: ибо в действительности не треугольник RNB подобен РВТ, а треугольник RLB, и поэтому первым членом пропорции должен быть не RN, a RL, т. е. RN+NL, т. е. dy+z; отсюда истинным выражением для подкасательной должно было бы быть y dx/dy+z. Следовательно, когда dy было сделано делителем, была допущена ошибка, так как была взята меньшая, чем на самом деле, величина, и эта ошибка равнялась z, т. е. NL, отрезку, заключенному между кривой и касательной. Далее, в соответствии с характеристикой кривой, уу=рх, где р – параметр, отсюда в соответствии с правилом дифференцирования 2y dy=p dx и dy= p dx/2y. Но если умножить (y+dy) само на себя и сохранить все произведение, не отбрасывая площадь дифференциала, тогда, если подставить возросшие величины в уравнение кривой, окажется,

378

что действительно . Следовательно, была допущена ошибка, когда сочли, что , приведшая к увеличению истинного значения и вытекающая из ошибочного правила дифференцирования. и величина этой второй ошибки  Следовательно, обе ошибки равны друг другу и взаимно уничтожаются; первая ошибка, приведшая к уменьшению истинного значения выражения, исправлена второй ошибкой, увеличивающей его значение.

22. Если допустить только одну ошибку, не найдешь правильного решения задачи. Но благодаря двойной ошибке доходишь до истины, хотя и не до науки. Ибо нельзя назвать наукой тот путь, при котором двигаешься вслепую и добираешься до истины, не зная как и при помощи каких средств. Для доказательства равенства  обозначим BR или dx как m, a RN или dy как n. На основании 33-й теоремы первой книги «Конусов» [грека] Аполлония [9] и подобия треугольников следует, что 2х : у, как . Аналогично из характеристики параболы следует, что (уу+2у n+ nn)=хр+ mр, а 2у n+ nn= mр; вследствие чего  и поскольку  будет равно х. Следовательно, подставляя эти значения вместо mи х, мы получим

что после сокращения дает  что и требовалось доказать.

23. Теперь я прежде всего замечу, что итог получается правильным не потому, что отброшенная площадь dyбыла бесконечно мала, а потому, что эта ошибка была компенсирована другой, противоположной по своему характеру, но равной ошибкой. Во-вторых, замечу: что бы ни было отброшено, как бы мало оно ни было, если бы оно было действительным и, следовательно, составляло реальную ошибку в посылках, оно вызвало бы соответ-

379

ственную ошибку в итоге. В силу этого ваши теоремы не могут быть непогрешимо правильными, а ваши задачи – точно решенными, так как сами посылки не точны; в логике является правилом: conclusio sequitur partem debiliorem [10]. Поэтому замечу, в-третьих: когда заключение очевидно, а посылки неясны или когда заключение точно, а посылки неточны, мы можем совершенно свободно заявить, что такое заключение очевидно или точно не в силу

упомянутых неясных неточных посылок или принципов, а в силу некоторых иных принципов, о которых сам автор доказательства, возможно, вообще не знал и не думал. Наконец, замечу: если предположить, что дифференциалы являются конечными величинами, значение которых может быть и очень велико, то и в этом случае итог тем не менее будет прежним ввиду того, что отброшенные величины игнорируются на законном основании, – не потому, что малы, а по другой причине, а именно из-за противоположных по характеру ошибок, которые, взаимно уничтожаясь, в целом приводят к тому, что в действительности ничего не отбрасывается, хотя по видимости что-то отвергается. и эта причина в равной степени действительна в отношении величин конечных и бесконечно малых, больших и маленьких, как фута и ярда, так и наименьшего приращения.

24. Чтобы более полно проиллюстрировать это положение, я рассмотрю его в несколько ином свете и, оперируя вплоть до самого заключения конечными величинами, буду использовать тогда только одну бесконечно малую величину. Положим, что прямая MQ пересекает кривую

380

AT в точках R и S. Положим, что LR – касательная в точке R, AN – абсцисса, NR и OS – ординаты. Продолжим AN до пересечения с О и проведем RP параллельно NO. Положим, что AN= x, NR= y, NO= v, PS= z, поднормаль (subsecant) MN= s. Пусть уравнение y=xxвыражает характеристику кривой; предположив, что уи хвозрастают на конечное приращение, мы получаем:

у + z = хх+2xv+ vv;

отсюда, после вычитания предыдущего уравнения, остается z=2xv+vv. На основании подобия треугольников

подставив сюда вместо уи zих значения, мы получаем:

Если предположить, что NO уменьшено до величины бесконечно малой, поднормаль NM будет в этом случае совпадать с подкасательной NL, а v, как величина бесконечно малая, может быть отброшена, отсюда S=NL= , что и является истинным значением подкасательной. и поскольку при его получении была допущена только одна ошибка, т. е. однажды отброшена только одна бесконечно малая величина, то может показаться в противоположность тому, что говорилось ранее, будто можно пренебречь бесконечно малой величиной, или дифференциалом, отбросить его, и тем не менее итог будет истинным и точным, хотя и не была допущена двойная ошибка, т. е. не было исправления одной ошибки при помощи другой, как это имело место в первом случае. Но если тщательно рассмотреть это положение, мы обнаружим, что даже в данном случае допускается двойная ошибка и одна из них компенсирует или исправляет вторую. Ибо, во-первых, мы предполагали, что, когда NO уменьшается до бесконечно малой величины или становится бесконечно малой величиной, тогда поднормаль NM становится равной подкасательной NL. Но это очевидная ошибка, ибо совершенно ясно, что, поскольку секущая не может быть касательной, поднормаль не может быть подкасательной. Пусть разность будет очень мала, все же она будет. А если NO – бесконечно малая величина, даже тогда будет на-