Текст книги "Как измерить все, что угодно [Оценка стоимости нематериального в бизнесе]"

Автор книги: Дуглас Хаббард

сообщить о нарушении

Текущая страница: 10 (всего у книги 20 страниц)

Смещение выбора. Выборка, планировавшаяся как случайная, может оказаться неслучайной. Если мы отберем 500 участников голосования, 55 % из которых скажут, что проголосуют за кандидата А, то возникает большая, а точнее, 98,8-процентная вероятность того, что этот кандидат действительно пользуется наибольшей поддержкой населения. Есть только 1,2-процентная вероятность того, что мы случайно отобрали слишком много людей, поддерживающих А, который на самом деле далеко не любимец народа. Но подразумевается, что выборка была случайной и мы не стремились к отбору сторонников одного кандидата. А если отбор осуществляется, например, путем опроса прохожих в деловом районе города, на определенной улице, где расположено много финансовых учреждений, то, скорее всего, все опрошенные избиратели окажутся определенного типа, даже если вы выбирали их наугад.

Ошибка наблюдателя (или искажение Гейзенберга и Хоторна). Субатомные частицы и люди имеют нечто общее: наблюдение заставляет их менять свое поведение. В 1927 г. физик Вернер Гейзенберг вывел формулу, которая показала, что нашим знаниям о положении и скорости движения частицы есть предел. Наблюдая за частицами, мы на них воздействуем (например, направляем пучок света), что заставляет их менять свою траекторию. В том же году началась реализация научно-исследовательского проекта на заводе Western Electric Company в Хоторне (штат Иллинойс). Первоначально им руководил профессор Элтон Мэйо из Гарвардской школы бизнеса, преследуя цель определить влияние условий на производительность труда рабочих. Исследователи меняли уровень освещенности, влажность, график работы и т. д., чтобы определить, при каких условиях рабочие будут работать лучше всего. К своему удивлению, они обнаружили, что производительность труда растет независимо от изменения условий труда. Рабочие работали лучше просто потому, что знали, что за ними наблюдают; или, возможно, предположили исследователи, положительную реакцию вызвало то, что руководство обратило на них внимание. В любом случае, мы не можем больше считать, что наши исследования показывают нам «реальный» мир, если не постараемся компенсировать эффект, оказываемый наблюдениями на изучаемый объект. Простейший выход из положения – проводить наблюдения в тайне от испытуемых.

Выберите или разработайте нужный инструмент

После разложения объекта измерения на составляющие, установления порядка наблюдения за этими составляющими, выбора уровня снижения неопределенности (лишь настолько, насколько это необходимо) и учета основных типов ошибок можно считать, что нужный инструмент оценки практически у вас в руках. Одни только ответы на приведенные ранее вопросы должны были сделать для вас метод измерения более очевидным.

Итак, чтобы выбрать нужный инструмент измерения, необходимы следующие этапы.

1. Разложите интересующий вас объект на составляющие так, чтобы их можно было оценить по другим измерениям. Некоторые составляющие оценивать легко, а иногда само разложение уже достаточно снижает неопределенность.

2. Проведите вторичные исследования своих результатов. Узнайте, как подобные объекты измерялись до вас. Даже если итоги других исследователей далеки от ваших проблем, нельзя ли воспользоваться их методами?

3. Примените к одному или нескольким составляющим объекта измерения один или более методов наблюдения (выявление оставленного следа, прямое наблюдение, наблюдение с помощью «меток» или проведение эксперимента). Придумайте, по крайней мере, три способа их обнаружения и затем действуйте, как настоящий следователь. Если это не удается, попробуйте прямое наблюдение. Если и это оказалось безрезультатным, пометьте свой объект или внесите в него другие изменения, чтобы хотя бы потом он начал оставлять поддающиеся обнаружению следы. Если и этот случай оказался безуспешным, воспроизведите событие специально для того, чтобы за ним можно было понаблюдать (проведите эксперимент).

4. Постоянно помните о правиле «Не измеряйте точнее, чем нужно». Ну зачем вам высокая точность, если вы хотите, например, только удостовериться, что рост производства оправдает сделанные инвестиции? Не забывайте о стоимости информации: низкая стоимость означает, что и затраты на проведение измерений должны быть низкими; а высокая стоимость информации означает, что вы можете не экономить на расходах. Помните и о том, с какого уровня неопределенности вы начинали. Если сначала этот уровень был очень высок, то сколько наблюдений вам потребуется, чтобы снизить его?

5. Учитывайте ошибки, специфичные для данной задачи. Если несколько экспертов оценивают качество работы, помните о смещении ожидания и проведите испытания вслепую. Если нужно сделать выборку, проследите за тем, чтобы она действительно была случайной. Если сам факт проведения наблюдений может повлиять на результат, найдите способ скрыть эту информацию от наблюдаемых.

Но если вы и теперь не сумели выбрать себе инструмент измерения, воспользуйтесь следующими советами, приведенными в произвольном порядке. Некоторые из них вам уже известны, но все они вполне заслуживают повторения.

• Работайте с последствиями. Что вы увидите, если интересующий вас показатель сильно повысится? Что произойдет, если он заметно упадет? В примере из главы 2 юная Эмили рассудила: раз целители с помощью бесконтактного массажа действительно могут делать то, что утверждают, значит, они должны, по меньшей мере, обнаруживать ауру человека. Оценивая качество, мы можем исходить из того, что с его повышением сокращается число жалоб от потребителей. Решая, стоит ли устанавливать новое программное обеспечение для отдела сбыта, мы должны спросить себя: «Если эта информационная система так хороша, как говорят, и действительно позволяет продавать больше, то почему же объемы реализации в тех фирмах, которые ею пользуются, пошли вниз?»

• Представьте себе, как это сделали бы другие. Посмотрите на свою задачу глазами криминалиста, детектива, психолога-экс-периментатора, палеонтолога, библиотекаря, военного разведчика, журналиста. Преодолейте свою профессиональную «за-шоренность» и обратите внимание на другие, нестандартные для вашей отрасли методы измерения.

• Пусть ваши измерения будут итеративными. Не пытайтесь сразу и полностью устранить неопределенность в ходе одного гигантского исследования. Начните с нескольких наблюдений и пересчитайте стоимость информации. Возможно, вы измените прежний план проведения измерений.

• Используйте многосторонние подходы. Если какая-то составляющая объекта измерения не поддается наблюдению одним способом, воспользуйтесь другим. Возможностей у вас много. Хорошо, если сработал первый же метод измерения. Но в некоторых случаях мне приходилось измерять свой объект тремя разными способами, и лишь на третий раз я получал желаемое.

Уверены ли вы, что проверили пригодность всех имеющихся методов? Если не удается оценить одну из составляющих переменной, нельзя ли измерить другую?

• Каков на самом деле тот простой вопрос, ответ на который может сделать дальнейшие измерения неактуальными? Эмили не пыталась оценить, какой эффект дает метод бесконтактного массажа и есть ли этот эффект вообще. В обсуждавшемся ранее примере с компанией Mitre я предложил ее специалистам сначала выяснить, смогут ли ее клиенты заметить хоть какое-то изменение качества исследований, и только потом рассчитывать стоимость ожидаемого повышения качества. Существуют такие базовые вопросы, ответы на которые могут избавить вас от необходимости проведения более сложных измерений. Какой вопрос вы должны себе задать, чтобы понять, необходимы ли дальнейшие усилия?

• Просто сделайте это. Не позволяйте своей озабоченности по поводу возможных неудач помешать вам приступить к каким-либо упорядоченным наблюдениям. Ведь уже первые результаты могут вас удивить и значительно снизить неопределенность, характерную для измеряемого объекта.

К настоящему моменту вы уже должны понять, что следует наблюдать и (в общих чертах) как это сделать. Теперь можно приступить к обсуждению двух категорий методов наблюдения: способов, результаты которых анализируются методами «традиционной» статистики, и метода байесовского анализа. Эти две категории охватывают практически все эмпирические методы измерения, применяемые в физике, медицине, экологии и экономике. Хотя традиционный подход распространен гораздо шире, более новый байесовский анализ обладает рядом очевидных преимуществ.

Глава 9. Выборочная реальность: как наблюдение за частью рассказывает нам о целом

Если вы хотите знать наверняка, каков процент брака в партии кирпичей, вам придется проверить каждый. А поскольку при испытаниях кирпичи подвергнутся нагрузке вплоть до разрушения, после нее не останется ни одного целого. Стремясь сохранить партию кирпичей для продажи или иного использования, мы должны проверить лишь несколько изделий – это даст информацию о всех.

Группа, сведения о которой необходимо получить (в данном случае это партия кирпичей), называется генеральной совокупностью. Изучение всех элементов группы (то есть проверка каждого произведенного кирпича) называется полным обследованием. Очевидно, что проведение полного обследования партии нецелесообразно, так как по его завершении не останется ни одного неповрежденного кирпича. Вместе с тем в других условиях полное обследование весьма обоснованно. Ежемесячная инвентаризация – это обычно именно тот случай, балансовый отчет – тоже результат полного обследования всех активов и обязательств. Бюро переписей населения США (U. S. Census Bureau) старается пересчитать всех проживающих в стране людей, хотя на практике это не вполне удается.

Но многие вещи скорее напоминают кирпичи, чем бухгалтерские операции. Существуют причины, по которым проверять, измерять, взвешивать или даже подсчитывать все элементы генеральной совокупности бывает нецелесообразно. Но мы все же можем снизить неопределенность, изучив несколько элементов этой совокупности. Любое обследование, не являющееся полным, называется выборочным. В сущности, выборка – это несколько объектов из генеральной совокупности, которые подвергаются наблюдению с целью получить информацию обо всех ее элементах.

Кого-то может удивить, что, исследуя одни объекты, мы получаем информацию о других, даже не рассматриваемых в данный момент, но ведь этим, в сущности, и занимается наука. Проводя эксперименты, мы изучаем отдельные эффекты Вселенной, изобилующей самыми разнообразными явлениями. Однако, открывая «закон», наука говорит, что он относится ко всем элементам исследуемой совокупности, а не только к тем, за которыми велось наблюдение.

Так, скорость света была определена путем выборочного обследования. И какой бы метод при этом ни применялся, он давал погрешность. Поэтому ученые измеряли скорость света неоднократно, и каждое измерение – новая выборка. Тем не менее скорость света – абсолютная константа, характеризующая и свет, отражающийся от этой страницы и попадающий вам в глаза, и свет, изучавшийся в лабораторных условиях. Полное обследование тоже может считаться выборочным, если со временем генеральная совокупность расширилась. Ведь данные полной инвентаризации, как и балансовый отчет, – всего лишь моментальная фотография.

Следующая фраза может огорчить тех, кто хочет, чтобы в мире было больше определенности: все, что мы знаем «по опыту», – не более чем выборка. Ведь на своем опыте мы испытываем не все, а только кое-что, а затем делаем обобщение. Все, что нам доступно, – лишь мимолетные образы по большей части невидимого нами мира, по которым мы и судим о том, что не можем наблюдать. Но люди уверены в выводах, которые делают на основе изучения ограниченных выборок, потому что опыт подсказывает: выборки работают! (Конечно, этот вывод сделан на основе таких же ограниченных наблюдений.)

Иногда полезные выводы обо всей обследуемой совокупности можно сделать лишь по нескольким образцам. Если мы отбираем их, чтобы установить состав однородного объекта, например делаем анализ крови на ДНК или определяем октановое число бензина, то достаточно одного образца крови или одной партии бензина. Но если элементы генеральной совокупности разнородны, как, например, рыбы в озере по размеру или затраты времени разных специалистов на ремонт компьютеров, то выборка должна быть больше – иногда существенно, хотя все же не настолько, как думают многие.

Как изучение нескольких элементов может рассказать о всей генеральной совокупности? Можно ли, отобрав 12 жителей города и спросив, как часто они ходят в кино или доверяют ли мэру, узнать что-либо о тех, кто не был опрошен? Да, можно. И такая малая выборка порой дает на удивление много информации, хотя отчасти это зависит и от того, как проведено исследование. Если мы просто опросим своих друзей или всех мужчин – клиентов парикмахерской, то данная группа, вероятно, не будет репрезентативной для всего населения и наши общие выводы окажутся ошибочными. Необходим метод, гарантирующий нас от систематического выделения однотипных выборок.

Решением этой проблемы является проведение действительно случайной выборки из интересующей нас генеральной совокупности. Осуществляя выбор случайным образом, мы обязательно получим погрешность, но погрешность, подчиняющуюся законам вероятности. Тогда можно рассчитать, например, вероятность того, что случайно выбрали демократов, проводя опрос в районе, где на самом деле преобладают республиканцы. И чем больше людей мы отберем таким случайным образом, тем меньше вероятность нерепрезентативности группы.

Если вам доводилось читать отчеты об опросах общественного мнения или научные статьи, авторы которых проводили выборку, значит, вы уже встречались с понятием «статистическая значимость». Статистическая значимость просто говорит: вы наблюдаете нечто реальное, а не произошедшее по чистой случайности. Насколько крупной должна быть выборка, чтобы получить статистически значимый результат? Достаточно ли нам опросить 1000 потребителей? Будет ли результат статистически значимым, если выборочно проверить сварку на шасси 50 автомашин или испытать действие нового лекарства на 100 пациентах?

Мне не раз доводилось слышать на первый взгляд авторитетные суждения по этому поводу. Кто-то утверждает, что получить статистически значимые результаты позволяет только выборка определенного размера. Однако спроси такого человека, как он определил это число, – он в лучшем случае сошлется на какое-нибудь правило из учебника по статистике, но объяснить, как оно рассчитано, скорее всего, не сможет.

Короче говоря, термином «статистическая значимость» часто злоупотребляют те, кто не вполне понимает, что он означает. Неужели эти люди действительно думают, что снижение неопределенности происходит только при выборке, достигшей этого порогового значения? Или же они считают, что экономическая стоимость информации, полученной при изучении малой выборки, всегда меньше затрат на проведение измерений? По своему опыту могу сказать: когда в любой компании проводится случайная выборка, всегда найдется «эксперт», точно знающий, что можно, а чего нельзя делать в статистике. Но я обнаружил, что процент ошибок в туманных воспоминаниях таких экспертов о статистике, которую они учили когда-то давно, на первом курсе университета, бывает намного выше ошибки при малой выборке.

Кто действительно разбирается в статистической значимости, так это Барри Нассбаум, главный статистик Службы статистической поддержки Агентства по защите окружающей среды (Statistical Support Services at the Environmental Protection Agency). Мы вместе занимались внедрением некоторых моих методов в EPA. Он отвечает на самые неожиданные вопросы, поступающие от сотрудников Агентства, связанные с проведением статистических анализов при решении проблем разных типов. Как-то он сказал мне: «Обращаясь за помощью к статистикам, люди всегда спрашивают, каким должен быть размер выборки. Это неправильный вопрос, но именно его и задают в первую очередь». Естественно, прежде всего надо выяснить, что они измеряют и зачем, и в этом с Нассбаумом нельзя не согласиться.

На самом деле небольшая выборка может рассказать намного больше, чем вы думаете. Когда исходная неопределенность высока, даже малая выборка позволяет значительно снизить ее. А если вы уже знаете тот узкий интервал значений, в котором находится интересующий вас показатель (например, новой услугой довольны 80–85 % потребителей), то уточнить эту цифру вам поможет только крупная выборка (придется опросить более 1000 человек). Но в этой книге мы говорим о том, что считается не поддающимся измерению. В таких случаях неопределенность обычно особенно высока и полезную информацию могут дать уже первые наблюдения.

Для тех, кто хотел бы освежить свои знания статистики, полученные еще на первом курсе, существуют многочисленные учебники. Повторюсь: на освещение этой тематики полностью книга не претендует. Наша задача – описать самые простые и полезные методы и рассказать то, о чем умалчивают обычные учебники по статистике или, по крайней мере, чему они не уделяют особого внимания. Ограниченность подобной литературы – вот часть проблемы измерения, с которой сталкиваются менеджеры компаний, пытаясь решить возникшие перед ними задачи. Дело в том, что специалистов по статистическому анализу вопросы практического измерения «неизмеряе-мого», похоже, не очень интересуют. Нассбаум подметил эту общую тенденцию у авторов публикаций в «Journal of American Statistical Association» (JASA): «Даже то, что авторы JASA называют „практическими приложениями“, – сплошная теория».

В этой главе мы обсудим некоторые простые способы извлечения важной информации из малой выборки. Но, в отличие от большинства работ по статистике, вначале мы постараемся обойтись без математики и лишь потом приведем кое-какие формулы, да и то немного. А когда перейдем к конкретным расчетам, покажем, что способы быстрой оценки и простые таблицы и графики нередко бывают полезнее сложных уравнений.

Все приводимые примеры можно скачать со вспомогательного сайта www.howtomeasureanything.com Воспользуйтесь возможностями этого ресурса.

СКОЛЬКО МАШИН ЕЗДИТ НЕ НА ТОМ ТОПЛИВЕ?

Государственное агентство принимает подход «просто сделай это»

В 1970-е годы некоторые действия Агентства по защите окружающей среды вызвали негативную реакцию общественности. В 1975 г. начался выпуск автомобилей с каталитическими конвертерами, позволяющими использовать неэтилированный, то есть не содержащий тетраэтилсвинец, бензин. Но этилированный бензин был гораздо дешевле, и водители предпочитали использовать именно его в машинах, оборудованных новыми конвертерами. Известный всем сегодня устанавливаемый на горловину бензобака рестриктор был рекомендован Агентством специально для того, чтобы люди не заправляли новые автомашины этилированным бензином (на заправках такой бензин поступал из пистолетов большего диаметра). Однако водитель мог просто снять этот рестриктор и использовать бензин, содержащий свинец. Главный статистик EPA Барри Нассбаум сказал: «Мы знали, что люди заправляли новые машины этилированным бензином, потому что когда представители Управления автомобильного транспорта (Department of Motor Vehicle, DMV) проводили проверки, они смотрели, не снят ли рестриктор». Использование свинецсодержащего топлива в новых автомобилях могло привести к еще большему загрязнению воздуха, а не к улучшению экологической обстановки, что было целью программы. Какое-то время специалисты EPA просто не знали, что им предпринять. Разве можно определить, сколько людей заправляют свои новые машины старым бензином? Но, в конце концов, они решили «просто сделать это» – понаблюдать за автозаправками. Сначала в округе случайным образом были выбраны несколько заправок. Затем, вооружившись биноклями, представители Агентства принялись следить за машинами, отмечать, каким топливом их заправляли, и сравнивать номера этих автомобилей со списком типов машин, представленным Управлением автотранспорта. Этот метод вызвал всеобщее недовольство – карикатуристы из «Atlanta Constitution» даже изобразили сотрудников EPA в виде фашистов, арестовывающих автовладельцев, пользующихся не тем бензином, хотя за людьми только следили и никого не задерживали. И все же, как сказал Нассбаум, у Агентства возникли проблемы с несколькими отделениями полиции. Правда, полицейским пришлось в конечном счете согласиться, что любой имеет право наблюдать за кем-то из-за угла. Но самое главное – специалисты EPA установили желаемое: 8 % машин, которые должны были работать на неэтилированном бензине, заправляли горючим с тетраэтилсвинцом. Несмотря на всю сложность стоящей задачи, сотрудники Агентства поняли, что простые наблюдения и выборка помогут им снизить исходную неопределенность.

Развиваем интуитивное понимание случайных выборок: пример с леденцами

Попробуйте выполнить небольшое задание. Укажите 90-процентный доверительный интервал для среднего веса одного леденца в граммах, то есть вы должны назвать всего два числа (нижнюю и верхнюю границы интервала), отстоящих друг от друга ровно настолько, чтобы вы были на 90 % уверены в том, что средний вес леденца попадет в этот диапазон. Как всегда, делая калиброванную оценку вероятности, вы, конечно, имеете какое-то представление о неизвестном показателе, каким бы сомнительным оно ни было. Между прочим, один грамм – вес одного кубического сантиметра воды. Запишите предполагаемый CI, прежде чем двигаться дальше. Проверьте его, следуя указаниям из главы 5, сделав эквивалентную ставку, рассмотрев все «за» и «против» того, что диапазон значений обоснован, и испытав границы интервала на соответствие практике.

Предположим теперь, что у меня есть обычный пакетик с леденцами, который можно купить в любой кондитерской. Открыв этот пакетик, я вынимаю наугад несколько конфет и взвешиваю их по очереди на весах. Обратите внимание на вопросы, которые изложены далее. Ответьте на каждый, прежде чем перейти к следующему этапу.

1. Допустим, я скажу, что вес первого отобранного мной леденца – 1,4 грамма. Отвечает ли это вашему 90-процентному доверительному интервалу? Если нет, то каким будет ваш новый 90-процентный CI? Запишите измененный интервал, прежде чем двигаться дальше.

2. Теперь я сообщаю результаты взвешивания остальных четырех из пяти наугад отобранных леденцов: 1,4; 1,5; 1,6 и 1,1 грамма. Как теперь изменится 90-процентный CI? Запишите и его.

3. Наконец, я говорю о результатах взвешивания еще трех леденцов (так что всего их стало восемь): 1,5; 0,9 и 1,7 грамма. Каков теперь ваш 90-процентный CI? Запишите окончательный вариант.

Всякий раз при поступлении новой информации ваш доверительный интервал должен сужаться. Если сначала (до взвешивания) он был очень широк, то уже после первого взвешивания должно произойти его существенное сокращение.

Я дал этот тест девяти калиброванным экспертам и получил практически одинаковые результаты. Главное различие между ними состояло в степени неуверенности специалистов в своей первоначальной оценке. Самый узкий интервал составлял 1–3 грамма, а самый широкий – 0,5–50 граммов, однако чаще всего диапазоны выглядели, скорее, узкими. Получив дополнительную информацию, эксперты в большинстве своем (особенно начинавшие с очень широкого интервала) быстро сузили свои диапазоны. Эксперт, указавший интервал 1–3 грамма, не сократил его после первого взвешивания, а тот, кто предложил 0,5–50 граммов, сильно опустил верхнюю границу и в конце концов пришел к интервалу 0,5–6 граммов.

На самом деле один леденец из этого пакетика весил в среднем около 1,45 грамма. Интересно, что эксперты довольно быстро сузили свои интервалы на основании дополнительной информации всего о нескольких конфетах.

Подобные упражнения помогают развить интуитивное понимание сути случайной выборки и интервала. Как мы вскоре увидим, выяснение субъективного мнения калиброванных экспертов без применения того, что кто-то назвал бы «настоящей статистикой», весьма полезно и даже имеет ряд преимуществ перед традиционными статистическими методами. Но давайте сначала узнаем, что говорится о малых выборках в большинстве работ по статистике.

Кое-что о малых выборках: подход пивовара

Точно рассчитать 90-процентный CI для среднего веса одного леденца, а не полагаться на мнение калиброванных экспертов позволяет метод, разработанный одним пивоваром. Он преподается в базовом курсе статистики и часто используется для определения погрешности выборки, состоящей всего из двух объектов. В самом начале XX века Уильяму Сили Госсету, химику и статистику ирландской пивоваренной компании Guinness, потребовалось установить, какой из двух сортов ячменя дает лучшее пиво с большим выходом. Ранее был разработан метод z-значения (z-score), или статистики нормальных распределений, позволяющий находить доверительный интервал на основе случайной выборки, состоящей из не менее чем 30 объектов. Метод дает распределения, не отличающиеся по форме от обсуждавшегося выше нормального. К сожалению, у Госсета не было возможности протестировать большое число партий пива, изготовленных из каждого сорта ячменя. Однако он не отказался от своей затеи измерить то, что как будто не поддавалось оценке, и решил вывести новый вид распределения для крайне малых выборок. К 1908 г. Госсет разработал новый эффективный метод, который назвал t-статистикой, и захотел опубликовать результаты своей работы.

Однако у Guinness уже были проблемы с разглашением коммерческой тайны, и служащим компании было запрещено публиковать любую информацию о бизнес-процессах. Госсет понимал значение своей работы, но ему сильнее хотелось рассказать о своей идее, чем добиться немедленного признания. Поэтому он опубликовал статью под псевдонимом «Стьюдент». И хотя истинный автор давно известен, практически во всех работах по статистике метод называется t-статистикой Стьюдента.

Вид распределения Стьюдента напоминает обсуждавшееся нами ранее нормальное распределение. Но в случае очень малых выборок его форма становится намного уплощеннее и шире. Рассчитанный с помощью t-статистики 90-процентный CI намного шире (то есть неопределеннее), чем в случае нормального распределения. Если размер выборки больше 30, то график t-распределения практически совпадает с нормальным распределением.

И для одного, и для другого типа распределения существует сравнительно простой (по сравнению со многими другими статистическими методами) способ расчета 90-процентного доверительного интервала для среднего значения генеральной совокупности. Кому-то наши расчеты могут показаться слишком сложными, а те, кто уже знаком с данным методом, скажут, что мы просто пересказываем содержание учебников по статистике. Пусть первые подождут, пока мы не рассмотрим в следующей главе намного более простое решение, а вторые просто пропустят этот материал. Адресуя свои пояснения читателям, которые отнесут себя к средней категории, я старался сделать их как можно более простыми для восприятия. Вот как мы могли рассчитать 90-процентный CI в предыдущем примере, отобрав всего пять леденцов.

1. Рассчитаем сначала дисперсию выборки (этим понятием мы позднее будем часто пользоваться):

а) рассчитаем средний вес отобранных леденцов: (1,4 + 1,4 + 1,5 + 1,6 + 1,1)/5 = 1,4;

б) вычтем это среднее из каждого значения в выборке и возведем полученные результаты в квадрат: (1,4–1,4)² = 0; (1,5–1,4)² = 0,01² и т. д.;

в) суммируем все квадраты и разделим на размер выборки минус единица: (0 + 0 + 0,01 + 0,04 + 0,09)/(5–1) = 0,035.

2. Разделим дисперсию выборки на ее размер и извлечем из полученного результата квадратный корень. В электронной таблице мы записали бы «=SQRT (0,035/5)» и получили 0,0837.

(В работах по статистике это называется средним квадратичным отклонением.)

3. Найдем в таблице 9.1 (таблице упрощенных значений t-статистики) значение t, соответствующее размеру выборки: для выборки, состоящей из пяти объектов, t = 2,13. Обратите внимание, что для очень больших выборок t близко к z-значению (нормальное распределение) 1,645.

4. Умножим найденное t-значение на результат этапа 2: 2,13 × 0,0837 = 0,178. Это ошибка выборки в граммах.

5. Суммируем ошибку выборки и средний вес леденца, чтобы получить верхнюю границу 90-процентного CI, а затем вычтем ее из среднего веса, чтобы получить нижнюю границу: верхняя граница = 1,4 + 0,178 = 1,578; нижняя граница = 1,4–0,178 = 1,222.

Итак, выбрав всего пять леденцов, мы получили 90-процентный CI, составляющий 1,222–1,578. Аналогично рассчитывают доверительный интервал и для более крупных выборок. Единственная разница заключается в том, что z-значение, необходимое для этого, всегда будет составлять 1,645 (с ростом размера выборки оно не увеличится).

На рисунке 9.1 представлен общий результат решения другой гипотетической задачи с использованием t-статистики. Это могло быть определение средней партии пива, сваренного в компании Guinness, среднего времени, проводимого покупателями в очередях, или среднего размера обуви жителей штата Небраска. В любом случае необходимо определить 90-процентный CI для среднего значения генеральной совокупности, хотя по каким-то причинам (экономические факторы, ограниченность во времени или несогласие жителей штата Небраска на измерение размеров их ног) размер выборки из подобных совокупностей составлял бы не десятки и сотни, а всего несколько образцов.

На этом рисунке нижняя ломаная линия – график значений выборки, пунктир – истинное среднее значение генеральной совокупности. Одни значения выборки выше этого среднего, другие ниже. Фактических значений на рисунке нет, но для наших целей смысл понятен. В верхней части рисунка вы видите три кривые, левые края которых образуют своеобразную «воронку торнадо». Средняя линия – график скользящей средней выборки (сначала среднее из первых трех значений, затем среднее из первых четырех значений и т. д.), которая сравнивается с истинным средним генеральной совокупности, представленным прямой пунктирной линией. Две внешние кривые – графики верхней и нижней границ 90-процентного доверительного интервала, пересчитываемого после каждого нового пополнения выборки.

Обратите внимание, что пока выборка невелика, 90-процентный CI достаточно широк, быстро сужаясь всякий раз, как она пополняется. Разброс значений в выборке по-прежнему велик, но скользящее среднее значение все больше приближается к истинному среднему. Заметьте и то, что при 30 членах выборки 90-процентный CI намного уже, но ненамного уже, чем при 20 или 10 членах. Когда выборка насчитывает 30 объектов, снижение ошибки вдвое требует увеличения ее размера в четыре раза (120 объектов). Чтобы сократить ошибку в четыре раза, нужно увеличить размер выборки в 16 раз (480 объектов). Короче говоря, каждое уменьшение ошибки выборки вдвое требует умножения ее размера на четыре.