Текст книги "Истина в пределе. Анализ бесконечно малых"
Автор книги: Антонио Дуран
Жанры:
Математика
,сообщить о нарушении
Текущая страница: 8 (всего у книги 12 страниц)
На службе у Ганноверской династии
Когда Лейбниц вернулся в Германию, он некоторое время оставался без работы, так как фон Бойнебург умер в конце 1672 года, а несколько месяцев спустя скончался сам курфюрст. Он не смог найти ничего лучше, чем должность библиотекаря на службе курфюрста Ганновера. К сожалению для него, должность требовала, чтобы он непрерывно находился в столице Нижней Саксонии, вдали от Парижа, который в те годы был центром европейской науки, культуры и философии.
Ганноверский герцог Брауншвейг-Люнебургский стал его покровителем до конца жизни, однако жизнь в доме герцога не всегда была ему по нраву. В 1678 году он стал личным советником герцога, а в 1685 году занялся изучением истории его семейства. Однако его обязанности на этом не заканчивались. С Лейбницем советовались по вопросам образования; также он занимался инженерным делом и геологией в шахтах, расположенных в горах Гарца, где спроектировал систему дренажа шахт с помощью ветряных мельниц. Затея с мельницами завершилась неудачей и ударила по карману Лейбница, так как ему пришлось оплатить расходы из своего жалования. Часть средств, которые планировалось получить от системы дренажа, должна была пойти на создание академии и развитие characteristica universalis, но этот проект так никогда не был осуществлен. Лейбниц также занимался созданием гидравлических прессов, часов и других устройств. Не будем забывать и о спроектированной им вычислительной машине.
Возможно, наибольших успехов на службе у герцога Брауншвейгского он добился как историк. Лейбниц без устали исследовал старые рукописи из баварских монастырей и итальянских палаццо, эпитафии на заброшенных могилах неизвестных кладбищ кармелитов и в итоге установил родство семьи герцога и древнего княжеского рода Эсте из Модены. Благодаря этим исследованиям герцог Брауншвейгский впоследствии добился того, что его княжество стало новым, девятым курфюршеством Германии, и герцог получил право голоса при избрании императора.
Лейбниц как историк достиг удивительных высот, так как описал не только историю рода герцога, но и попытался составить всеобщую историю Земли, охватывавшую также геологию и археологию, а также провести исследование миграции народов на основе различий и аналогий между языками. Подобно другим грандиозным проектам, этот труд по всеобщей истории так никогда и не был создан, и все идеи ученого растворились в море рукописей и писем.
И снова обратим внимание, сколь велики различия между Ньютоном и Лейбницем даже в том, в каких условиях им приходилось работать. Ньютон в одиночестве изучал труды о жизни библейских царей, стремясь глубже понять творение Бога Отца. Жил он сначала в Кембридже, подобно монаху, затем в Лондоне, наслаждаясь высоким положением и властью. Лейбниц же, напротив, посетил множество архивов и библиотек, в течение трех лет путешествовал по югу Германии, Австрии и Италии, не считая коротких поездок в Берлин, Ганновер, Вольфенбюттель и Вену, разыскивая предков своего покровителя. При этом герцог весьма щепетильно следил за его работой, и если замечал, что его генеалогическое дерево не растет, как бы того ему хотелось, то объяснял это недостатком усердия своего подчиненного.
С восшествием на трон короля Англии Георга I отношение к труду Лейбница заметно ухудшилось. Вверху – портрет короля кисти Готфрида Кнеллера.
ОЧАРОВАНИЕ ВОСТОКОМ
Увлечение Лейбница Китаем никого не удивило бы в наши дни, но в то время оно считалось необычным. В этом увлечении проявилось стремление Лейбница знать всё. Его очень заинтересовала система китайского письма: он увидел в ней сходство со своим «универсальным языком». Его увлеченность была столь велика, что он советовал отправить в Китай протестантских миссионеров и отметил, что если китайский император примет протестантскую веру, это будет важнее победы в сотне сражений. В то время на императора имели влияние монахи-иезуиты, которые, в частности, обучали его и некоторых членов его семьи математике и астрономии.
Страница статьи «Изложение двоичной арифметики» (1703-1705), на которой изображены гексаграммы из Книги Перемен.
Лейбниц считал, что смог расшифровать значение этих древних символов с помощью созданной им двоичной системы счисления.
Отношения Лейбница с семьей герцога ухудшились после смерти Эрнста Августа в 1698 году, на смену которому пришел его сын и наследник Георг Людвиг. Будущий король Англии Георг I никогда не ладил с Лейбницем, несмотря на то что тот находился в прекрасных отношениях с матерью курфюрста герцогиней Софией и его сестрой Софией Шарлоттой. Курфюрст не ценил интеллект Лейбница и вспоминал об ученом лишь тогда, когда исследования истории его рода, по его мнению, продвигались недостаточно быстро. Добавим к этому, что Лейбниц старался под любым предлогом уехать из Ганновера: он посещал заседания Академии наук в Берлине, наносил визиты императору Священной Римской империи в Вене (в январе 1712 года ему была пожалована должность придворного советника) и российскому царю Петру I. Лейбниц был советником Петра с 1711 года и весьма способствовал развитию в России математики и других наук, а также содействовал реформе права и государственного устройства. Он также посещал многочисленных принцев, принцесс и курфюрстов Германии, состоявшей тогда из множества княжеств, герцогств и городов-государств.
Хотя Георг Людвиг Брауншвейгский не ценил бриллиант, сверкавший в его доме, он чувствовал зависть соседей и непрестанно упрекал Лейбница в том, что тот под любым предлогом оставлял исследования родословной герцога и занимался своими многочисленными проектами, начиная от написания философских трудов и заканчивая расшифровками китайской Книги Перемен.
Благодаря вежливости и умению произвести хорошее впечатление Лейбниц поддерживал дружеские отношения со многими людьми по всей Европе. Разумеется, у него были недоброжелатели, он участвовал в спорах и порой действовал не совсем благоразумно, но он не обладал столь сложным характером, как Ньютон.
Философия Лейбница
Философские взгляды Лейбница изложены в его немногочисленных трудах. Возможно, их было бы больше, если бы обстоятельства складывались благоприятнее. Заслуживают упоминания «Размышления о познании, истине и идеях» – небольшая статья, опубликованная в Acta eruditorum в 1684 году, а также «Рассуждение о метафизике» (1686), «Опыты теодицеи о благости Божией, свободе человека и начале зла» (1710) и «Монадология» (1714). Однако большинство его трудов по метафизике и философии (лучшие, по мнению Бертрана Рассела) не были изданы в виде книг, а зафиксированы лишь в его обширной переписке.
В основе его философии лежит сложная совокупность различных принципов. Часть из них относится к реальности: принципы предустановленной гармонии, полноты, непрерывности, тождества, известный также как закон Лейбница. Другие относятся к способу понимания реальности: принцип непротиворечивости или принцип достаточного основания. Этот список можно продолжать и далее.
Автор этой книги не ставил перед собой задачу погрузиться в глубины философской мысли Лейбница, однако было бы непростительно не упомянуть о ней вовсе. Его система философских взглядов чрезвычайно разнообразна и обширна, однако ей присущи единообразие и по меньшей мере непротиворечивость.
Рассмотрим принцип непрерывности. Может показаться странным, что его придерживался создатель монады – «простой субстанции, являющейся частью сложных; простой в том смысле, что она не содержит частей», и ученый, по мнению которого продолжение прямой состояло из несокращаемых частей бесконечно малой длины. Да, подобная несогласованность может показаться странной и противоречивой, однако именно принцип непрерывности позволил Лейбницу перейти от последовательностей чисел к последовательностям бесконечно малых, образующих непрерывное целое, что аналогично переходу от разности чисел к дифференциалу. Хосе Ферратер Мора писал: «Принцип непрерывности – это всеобщий принцип, который делает очевидной согласованность физики и геометрии. Согласно этому принципу, всё во Вселенной связано “на основании метафизических причин”, причем не только в настоящем, но и с течением времени, поскольку настоящее всегда таит в себе ключ к будущему. Благодаря принципу непрерывности можно дать обоснование любой реальности и любому событию, поскольку без этого принципа следовало бы сделать вывод, что в природе существуют промежутки, что не согласуется с принципом достаточного основания».
Принцип достаточного основания, в свою очередь, гласит, что «ни одно явление не может оказаться истинным или действительным, ни одно утверждение – справедливым без достаточного основания, почему именно дело обстоит так, а не иначе». Здесь основание понимается как повод, а не как логическая необходимость. Принцип достаточного основания позволил распутать клубок причин и прийти к первопричине и источнику предустановленной гармонии – к Богу. (Лейбниц имел склонность к поиску более или менее логичных доказательств существования Бога.)
Согласованность и универсальность философских взглядов Лейбница снова обнаруживается в применении принципа непрерывности к переселению народов. Лейбниц рассуждал так: если мы признаем, что человеческий язык развивается непрерывно, то любое отсутствие непрерывности будет соответствовать очередному этапу миграции населения.
ЛЕЙБНИЦ И БРАК
В вопросах любви, как и во многих других, Лейбниц не отличался столь пуританским характером, как Ньютон. Известно, что в возрасте 50 лет он подумывал о браке, но его избранница размышляла дольше положенного времени, и Лейбниц утратил интерес к супружеству. Эту историю рассказывал Фонтенель, хотя впервые о ней поведал Экхарт – секретарь и первый биограф Лейбница. Позднее многие математики при случае в шутливой форме вспоминали об этой истории. Например, Лагранж писал Д’Аламберу: «Не знаю, верно ли я провел расчеты или нет, скорее, я не рассчитывал ничего, иначе уподобился бы Лейбницу, который размышлял об этом слишком много и никак не мог решиться. Как бы то ни было, признаюсь вам, что никогда не испытывал желания жениться и никогда не сделал бы этого, если бы меня не заставили обстоятельства».
Похороны Лейбница
Похороны Лейбница, умершего 14 ноября 1716 года, также отличались от похорон Ньютона. Возможно, это было вызвано непростыми отношениями Лейбница с Георгом Брауншвейгским, которые ухудшились после смерти в 1705 году его сестры Софии Шарлотты, тогдашней королевы Пруссии, и после смерти матери герцога в 1714 году.
Лейбниц возвратился в Ганновер в середине того же года, проведя более полутора лет в Вене, когда Георг унаследовал британский престол. Лейбниц хотел последовать за своим покровителем в Англию – именно в тот период спор с Ньютоном о первенстве был как никогда ожесточенным. Поэтому Лейбницу хотелось находиться в стране, где его считали врагом, будучи членом королевского двора (чего опасались сторонники Ньютона), и он несколько раз пытался получить в Англии должность историографа.
Хотя Лейбниц в 1700 году блестяще провел дело о праве герцога Брауншвейгского на английский престол, Георг I не хотел, чтобы его придворный историк отвлекался на споры об анализе бесконечно малых, оставив без внимания составление королевской родословной. Поэтому он повелел Лейбницу остаться в Ганновере, что было для него равносильно изгнанию, и практически заключил его под домашний арест, запретив ему в 1715 году длительные поездки и лишив жалования за два с половиной года, поскольку Лейбниц слишком долго находился в Вене. Король был непреклонен: он повелел Лейбницу завершить родословную его династии, носившую название Anuales Imperti Occidentis Brunsvicensis. Этот труд так и не был доведен до конца и, как признавался Лейбниц, был для него сродни сизифовому труду.
Лейбниц был похоронен без почестей, под песнопения, исполненные детским хором, в кругу ближайших родственников и друзей. На похоронах не появился ни один из членов королевского двора, хотя в те самые дни король со своей свитой были на охоте в соседнем поместье. Больше полувека его могила простояла без надписи. Об этом не позаботился ни единственный племянник ученого, который получил от него в наследство хорошее состояние, ни Брауншвейгская династия, которой он верой и правдой служил много лет.
Глава 5.
Спор о первенстве
В этой главе мы расскажем о долгом и неприятном споре между Ньютоном и Лейбницем, а также их сторонниками о том, кто же первым открыл анализ бесконечно малых.
Следует вкратце рассказать, чем отличались варианты математического анализа, предложенные Лейбницем и Ньютоном. Так мы лучше сможем оценить, насколько концептуальными были различия между ними.
Начиная с 1666 года Ньютон рассматривал кривые (флюенты) как результат движения точки. Тогда же он сформулировал понятие флюксии – производной по времени. Отметим, что флюксия флюента в данный момент времени (иными словами, мгновенная скорость) – это число. Он разработал алгоритмы вычисления флюксий, эквивалентные современным правилам нахождения производной для сумм, разностей, произведений и дробей, а также показал, что для расчета площади области, ограниченной кривой, достаточно вычислить флюент флюксии. Говоря современным языком, это означает, что нужно найти первообразную функции и применить основную теорему анализа. Именно здесь используются степенные ряды: в соответствии с нынешней терминологией, для расчета флюента флюксии последняя раскладывается в степенной ряд, после чего выполняется почленное интегрирование по правилу нахождения интеграла степенной функции.
Лейбниц, напротив, рассматривал кривые как ломаные линии из прямых отрезков бесконечно малой длины, а касательные – как продолжения этих отрезков. Он полагал, что геометрия кривой, описанная формулой, которой задается кривая, определяет дифференциалы аргумента и функции. Он также «определил» понятия дифференциала и интеграла, точнее говоря, описал их особенности, в отличие от Ньютона, который рассматривал дифференциал функции как бесконечно малую величину. Он доказал, что дифференцирование и интегрирование являются взаимно обратными операциями, то есть доказал основную теорему анализа и описал процесс вычисления дифференциалов (сформулировал правила вычисления производных), а также вычислил производные элементарных функций. Производные элементарных функций Лейбниц описал в намного более символическом виде, чем Ньютон: Лейбниц отдавал предпочтение свернутым выражениям, а не разложениям в ряд.
Важной особенностью методов Лейбница является то, что он всегда разделял открытие разложения в степенной ряд и открытие анализа бесконечно малых. Открытие разложения в степенной ряд он неизменно приписывал Ньютону, в то время как вокруг анализа бесконечно малых развернулась нешуточная борьба. Лейбниц считал, что первенство принадлежит ему, и полагал, что Ньютон совершил свое открытие, используя письма Лейбница, написанные им в ответ на Epistolae prior и Epistolae posterior. Ньютон же настаивал на том, что оба открытия неразделимы, и утверждал, что Лейбниц, узнав от него о способе разложения в ряд, был обязан ему открытием дифференциального исчисления.
Взаимное признание заслуг, пусть и не вполне искреннее
Хотя Ньютон первым открыл и описал свой вариант математического анализа, на 10 лет опередив Лейбница, последний опубликовал свои результаты раньше. В первой своей статье, опубликованной в 1684 году, Лейбниц не упоминает Ньютона, но говорит о нем во второй статье (1686 год): «Дабы не казалось, что я приписываю себе излишне много либо недооцениваю остальных, следует упомянуть в нескольких словах о том, что моей формуле я особенно обязан прославленным математикам нашего века в жанре геометрии. <…> Кроме того, светлейший математик Николас Меркатор из Гольштейна был первым, насколько мне известно, кто нашел квадратуру с помощью бесконечного ряда. Независимо от него это открытие совершил, а также улучшил его геометр величайшего дарования Исаак Ньютон, который, если бы дал нам ознакомиться с его мыслями, которые, насколько я понимаю, он имеет, то открыл бы нам новые пути к удивительным открытиям и научным трудам».
Ньютон упомянул Лейбница при первой же возможности. Эта возможность представилась ему в 1687 году, при публикации первого издания «Начал». Как известно, в «Началах» Ньютон предпочел использовать язык геометрии, подобно древним грекам. В кульминационные моменты спора он часто указывал, что использовал анализ флюксий для вывода значительной доли результатов, изложенных в «Началах», однако затем изложил их на языке геометрии.
Возможно, дело и правда обстояло так, как указывает Ньютон, но этому нет документальных подтверждений. Как неоднократно указывает Уайтсайд, рукописи, где, по словам Ньютона, с помощью анализа флюксий выводятся результаты, изложенные в «Началах», так и не были найдены. Тем не менее Вестфолл пишет: «Проблема, связанная с «Началами», заключается не в том, чтобы найти доказательства, полученные другим способом, а в том, чтобы обнаружить признаки математического анализа, скрытые за завесой геометрии».
Анализ флюксий Ньютона вообще не упоминается в «Началах», за исключением леммы II книги II, что мы уже указывали в главе 3. В этой лемме Ньютон вкратце излагает современные правила вычисления производной. Он приводит примечание к этой лемме, где цитирует Лейбница и явно заявляет права на создание математического анализа. Так Ньютон отреагировал на первую публикацию Лейбница, посвященную анализу бесконечно малых. Это примечание звучит следующим образом: «В письмах, которыми около десяти лет тому назад я обменивался с весьма искусным математиком Г.Г. Лейбницем, я ему сообщал, что я обладаю методою для определения максимумов и минимумов, проведения касательных и решения тому подобных вопросов, одинаково приложимою как для членов рациональных, так и для иррациональных, причем я ее скрыл, переставив буквы следующего предложения: «Data aequatione quotcunque fluentes quantitae involvente fluxiones invenire et vice versa» («Когда задано уравнение, содержащее любое число переменных количеств, найти флюксии, и наоборот»). Знаменитейший муж отвечал мне, что он также напал на такую методу, и сообщил мне свою методу, которая оказалась едва отличающейся от моей, и то только терминами и начертанием формул. Основа обоих метод содержится в этой лемме». Ньютон написал это примечание с целью заявить право первенства на открытие анализа, однако так как ранее он не публиковал ничего по этому вопросу, в отличие от Лейбница, а письма, которыми обменивались Ньютон и Лейбниц, были известны лишь узкому кругу его друзей, примечание было понято как знак того, что Ньютон признает за Лейбницем право первенства.
Французское издание «Метода флюксий», датированное 1740 годом.
В конце 1691 года, спустя четыре года после выхода «Начал», в кругах, близких к Ньютону и Лейбницу, стали циркулировать слухи о том, чему именно Лейбниц научился у Ньютона. Так, Фатио де Дюилье писал Гюйгенсу: «Господин Ньютон, несомненно, является первооткрывателем дифференциального исчисления, так как оно было ему известно еще до того, как господин Лейбниц получил о нем первое представление. Более того, это представление он мог получить лишь после того, как увидел записи господина Ньютона. Поэтому я крайне удивлен тем, что господин Лейбниц не упоминает об этом в журнале Acta». Фатио вернулся к этой теме 5 февраля 1692 года: «Не сомневаюсь, что публикация писем [Epistolae prior и Epistolae posterior] повлечет за собой унижение для господина Лейбница, так как он опубликовал свои правила дифференциального исчисления лишь по прошествии достаточного времени после их получения и сделал это без упоминания о господине Ньютоне. Они были представлены в виде переделки того, что получил господин Ньютон, и если мы сравним их, то не сможем отделаться от мысли, что разница между ними такова же, как между совершенным оригиналом и грубой и несовершенной копией».
Учитывая написанное Фатио, можно считать, что именно он положил начало спору, хотя весьма вероятно, что он написал Гюйгенсу то, что в это же время говорили Ньютону другие.
ПЕРВЫЕ ИЗВИНЕНИЯ
В 1693 году Ньютон и Лейбниц вновь обменялись письмами. Лейбниц написал Ньютону в марте (это, возможно, было вызвано известием о том, что Ньютон собирается опубликовать рукопись, о чем Лейбницу сообщил Гюйгенс). Ответ Ньютона последовал в октябре. Эта переписка была краткой и с научной точки зрения не идет ни в какое сравнение с письмами от 1676 года. Отметим несколько фрагментов из письма Ньютона. С одной стороны, оно начинается с теплого приветствия: «Я не ответил вам сразу по получении вашего письма, поскольку оно выскользнуло у меня из рук, затерялось среди прочих бумаг, и до вчерашнего дня я не мог отыскать его. Это огорчило меня, поскольку я очень ценю вашу дружбу и уже много лет считаю вас одним из первых геометров столетия, что признавал всякий раз, когда мне предоставлялась на то возможность». Первый абзац завершается благородным признанием, которое по прошествии лет полностью обесценилось и утратило смысл: «Ожидаю, что не написал ничего такого, что могло бы прийтись вам не по нраву, и если, по вашему мнению, что-то заслуживает цензуры, пожалуйста, без колебаний сообщите мне об этом в письме, так как я больше ценю своих друзей, чем математические открытия».
Пять лет спустя мы услышим аналогичные упреки в адрес Ньютона. В письме, датированном 15 августа 1696 года, Иоганн Бернулли писал Лейбницу: «Не знаю, изобрел ли Ньютон свой метод после того, как увидел ваше исчисление, особенно когда вижу, чем вы поделились с ним до того, как он опубликовал свой метод». В этом письме впервые допускается возможность того, что Ньютон заимствовал результаты Лейбница.
