Текст книги "Истина в пределе. Анализ бесконечно малых"

Автор книги: Антонио Дуран

сообщить о нарушении

Текущая страница: 10 (всего у книги 12 страниц)

Charta volans и «ведущий математик»

Лейбниц ответил на Commercium epistolicum почти год спустя в форме анонимного письма против Ньютона, озаглавленного Charta volans – «Летучий листок». В письме выдвинуты обвинения в плагиате в адрес Ньютона. В частности, указывалось, что он создал метод флюксий на основе изложенного в письмах Лейбница, отправленных в ответ на Epistolae prior и Epistolae posterior.

Лейбниц составил план Charta volans после того, как получил письмо Иоганна Бернулли, где сообщалось о выпуске Commercium и выдвигались обвинения в плагиате в адрес Ньютона. Лейбниц процитировал письмо Бернулли в Charta volans, приписав авторство неизвестному «ведущему математику».

Иоганн Бернулли сыграл очень важную роль в споре. Его поведение было отчасти противоречивым: он настраивал Лейбница против его оппонента и в то же время сохранял нейтральный тон в письмах к Ньютону и его друзьям. Когда Лейбниц включил в Charta volans цитату из письма Бернулли (хотя тот просил не вовлекать его в спор с Ньютоном), его двойная игра раскрылась. После того как Лейбниц вольно или невольно допустил такую бестактность, особенно четко стало понятно, какую игру вел Бернулли, когда в декабре 1715 года тот опубликовал второе письмо, где назвал имя «ведущего математика» из Charta volans.

О поведении Иоганна Бернулли в ходе спора можно судить по его переписке с Ньютоном в 1719 году и по тому, как он объясняет письмо «ведущего математика», которое Лейбниц включил в Charta volans. В этом письме говорилось: «Я не знаю, как это произошло, однако после того как несколько лет назад произошел этот ожесточенный спор между геометрами Британии и Германии, к стыду математической науки, я, не будучи ни британцем, ни немцем, а швейцарцем, был далек от того, чтобы принять чью-то сторону, поскольку я редко по своей воле участвую в спорах других, и потерял ваше расположение, о чем ходят различные слухи. <…> Посему у меня нет сомнений, достопочтенный сэр, что вам сообщили множество лжи и выдумок обо мне, которые повредили моей репутации в ваших глазах либо уничтожили ее вовсе. <…> Я отзывался с похвалой о вас и ваших открытиях всякий раз, когда на то представлялась возможность: чего же более мог сделать тот, кто считает ваши заслуги величайшими? Я восторженно превозносил их при каждом удобном случае в моих письмах, речах, классах и беседах, что могут подтвердить мои адресаты и слушатели. <…> Вне всяких сомнений, ошибаются те, кто сообщил, что я являюсь автором писем, в которых, возможно, ваше имя упоминается в недостаточно почтительном тоне, однако умоляю вас, знаменитый сэр, во имя всего святого для человечества, чтобы вы уверились в том, что подобные анонимные письма приписываются мне по ошибке. Поскольку не в моих привычках публиковать без подписи то, что я не желаю и не осмеливаюсь признавать своим».

В декабре 1719 года Бернулли, думая, что, возможно, ему удастся получить доступ к документам покойного Лейбница и рассказать всем о письме, которое Лейбниц процитировал в Charta volans и в котором Бернулли действительно отзывается о Ньютоне не в самой лестной форме, он снова пишет Ньютону с несравненным нахальством: «Не помню, чтобы я писал господину Лейбницу в тот день, хотя и не могу отрицать этого, поскольку не располагаю копиями всех писем, написанных мною. Однако если бы среди многочисленных писем, написанных ему, было бы найдено письмо, отправленное точно в этот день и год, то я со всей уверенностью утверждал бы, что ничего из содержащегося в письме никоим образом не пошатнет вашу репутацию. И я никогда не давал разрешения [Лейбницу], и он публиковал определенные письма, в особенности те, которые пришлись бы вам не по душе, против моей воли и желания».

Лев точит когти

Ньютон собственноручно полностью переписал всё Charta volans, словно оскорбления Лейбница заряжали его некой энергией и обостряли желание мстить. Он хотел лично ответить на Charta volans и в 1714 году подготовил ответ. Однако в конечном итоге это письмо не было отправлено, и Ньютон предпочел настроить Кейля против Лейбница.

Ответ Ньютона на Charta volans носил название Account. Это анонимное письмо представляло собой сжатое изложение Commercium epistolicum и было опубликовано на английском языке в «Философских записках» в 1715 году. Также сохранились рукописи этого письма, собственноручно написанного Ньютоном, которые более или менее близки к опубликованной версии. Это письмо – прекрасное доказательство одержимости, которую Ньютон испытывал в наиболее ожесточенный период спора, с 1712 по 1716 год, а также некоторое время после смерти Лейбница. Ньютон чувствовал неутолимое желание изложить свою версию событий, снова и снова выступить против Лейбница. Ньютон как одержимый писал письма, меморандумы, заметки, которые редактировал снова и снова, исправляя отдельные фразы то тут, то там, добавляя цитаты и вставляя всё новые оскорбления. Практически все эти документы (многочисленные варианты писем, которые он так и не отправил) были опубликованы в приложениях к его трудам, выпущенным после смерти оппонента. Эти письма словно немые свидетели того, как трудно было Ньютону сдерживать свой гнев.

Предполагалось, что Account будет опубликован без подписи, хотя лишь немногие сомневались в том, кому принадлежит авторство. Этот документ – длинное, жесткое и клеветническое письмо, направленное против Лейбница. Ньютон считал, что документов, процитированных в Commercium epistolicum, недостаточно, поэтому переиначил их по-своему и, таким образом, аргументировал свои нападки на Лейбница и его друзей.

На трех последних страницах Account Ньютон ведет речь о критиках его теории тяготения, которую, согласно Лейбницу, Ньютон описал как таинственное и загадочное свойство, подобное тому, которым схоласты объясняли движение тел. Ньютон понимал, что в его трудах не раскрывалась природа гравитации, и был недоволен тем, что сила тяготения в его теории действовала на расстоянии и даже в пустоте, однако не хотел отступаться от своей концепции. Он объясняет это в приложении ко второму изданию «Начал»: «Причину же этих свойств силы тяготения я до сих пор не мог вывести из явлений; гипотез же я не измышляю. Все же, что не выводится из явлений, должно называться гипотезою; гипотезам же метафизическим, физическим, механическим, скрытым свойствам не место в экспериментальной философии. <… > Довольно того, что тяготение на самом деле существует и действует согласно изложенным нами законам. Этого вполне достаточно для объяснения всех движений небесных тел и моря».

БОГ – НЕ ЧАСОВОЙ МАСТЕР

Помимо спора о том, кто первым открыл математический анализ, в ноябре 1715 – октябре 1716 года (Лейбниц умер в ноябре 1716-го) разгорелся интересный философский спор между Сэмюелом Кларком и Лейбницем о метафизике и естественной философии. Поводом к спору послужила высказанная Лейбницем критика метафизической стороны теории тяготения и роли Бога в ньютоновской философии, В этом споре Ньютон встал на сторону Кларка (однако не инструктировал его так, как Кейля), но всегда жаловался, что Лейбниц хотел перевести спор о первенстве открытия анализа в метафизическую плоскость, где немецкий математик чувствовал себя намного увереннее: «Ньютон не слишком успешен в метафизике»,– сказал как-то Лейбниц. Лейбниц заострял внимание на фрагментах «Оптики», из которых следовало, что Бог должен вмешиваться в движение небесных тел, чтобы звезды не упали друг на друга и чтобы планеты Солнечной системы не сходили с орбит, подобно тому как часовщик время от времени подводит часы. Он жестко критиковал эту позицию: «Господин Ньютон и его последователи имеют прекрасное мнение о Божьем творении, Они считают, что Бог должен время от времени подводить свои часы, иначе они остановятся. Это Божье творение столь несовершенно, что требуется помощь извне, чтобы настроить или починить его, подобно тому как поступает со своим творением часовой мастер».

Лейбниц пытался ответить на Account, изложив свою версию событий под заглавием Historia et origo calculi differentialis, однако вскоре увидел, что ему не удастся составить столь же полный, подробный и изобилующий письмами и документами труд, как ньютоновский Commercium. Об этом он говорит в присущей ему манере на первых страницах Historia et origo: «Будучи в отъезде, когда это было опубликовано моими противниками, вернувшись два года спустя, я был занят другими делами и не смог ни получить обратно моих старых писем, ни ознакомиться с теми из них, где сам он рассказывает о том, что произошло уже более 40 лет назад. У меня не сохранилось копий старых писем и других ваших рукописей».

Нужно признать, что составить столь подробный труд, основанный на старых документах, Лейбницу было намного сложнее, чем Ньютону. Среди множества причин отметим неимоверный объем корреспонденции, отправленной Лейбницем в течение всей жизни, который был на порядок больше, чем у Ньютона. Поэтому совершенно убедительным выглядит оправдание Лейбница, где он указывает, что не смог найти своих писем: «Чтобы подробным образом ответить на труд, опубликованный против меня… мне пришлось бы отыскать мои старые письма, некоторые из которых утеряны. Помимо этого, во многих случаях я не сохранял черновиков. Другие письма похоронены под горой бумаг, для упорядочения которых мне потребуется много времени и терпения».

Следовательно, Historia et origo, в отличие от Account, является в большей степени результатом воспоминаний Лейбница. Возможно, Лейбниц планировал расширить и дополнить его, однако смерть, настигшая его в ноябре 1716 года, помешала ему завершить начатое. Historia et origo не была опубликована во время спора и увидела свет лишь 130 лет спустя, в 1846 году.

Как покровитель Лейбница стал королем Ньютона

Примечательные, но безуспешные попытки примирить Ньютона и Лейбница пред приняли Джон Чемберлен и аббат Конти в период с 1714 по 1715 год. Чемберлен и Конти очень отличались друг от друга. Первый был членом Королевского общества и политиком, переписывался с Лейбницем с 1710 года и поддерживал хорошие от ношения с Ньютоном. Антонио Конти, в свою очередь, был священником в городе Падуя, прибыл в Англию для наблюдения солнечного затмения и задержался на несколько лет. Он поддерживал хорошие отношения с Лейбницем и благодаря «пленительному» характеру завязал дружбу с Ньютоном. Ф. Мэнюэль пишет: «Конти был одной из тех пышных и ловких личностей интеллектуального мира XVIII века, стихоплетом, актером, переводчиком Расина и Поупа, любителем наук, дилетантом, который с одинаковой ловкостью интриговал принцесс и философов Англии, Франции, Германии и Италии». Интерес представляла его политическая деятельность в родной Падуе, где не было недостатка ни в принцессах, ни в философах.

^{Статуя аббата Конти, воздвигнутая в 1781 году.} 

С одной стороны, Чемберлена, имевшего связи в королевском дворе, беспокоило, что Лейбниц был советником герцога Брауншвейгского, который вскоре должен был переехать в Англию. Об этом он сообщил Ньютону в мае 1714 года: «Мне очень жаль, что я не смог встретиться с вами этим вечером, чтобы рассмотреть письмо о вас, которое мне отправил господин Лейбниц. <…> Согласен с тем, чтобы вы использовали это письмо по вашему разумению, но проявите должное благоразумие, какое следует проявить с этим человеком, поскольку Лейбница очень высоко ценят при дворе ганноверской династии». Вмешательство Чемберлена кончилось тем, что у них с Ньютоном возникли разногласия, и это стоило ему дружбы с математиком. Как пишет Вестфолл: «Благословенны примирители, ибо на них обращается вражда обеих сторон».

Восшествие Георга I, покровителя Лейбница, на трон Великобритании и Ирландии, по сути, не могло благоприятно сказаться на ходе спора: «С легкостью могу поверить, – писал Иоганн Бернулли, – что после того как ваш достопочтенный принц взойдет на трон Великобритании, Королевское общество выскажется против того, чтобы ваше имя было опубликовано в Commercium epistolicum. <…> Возможно, даже Кейль не хотел, чтобы его памфлет был опубликован, если бы предчувствовал перемены в британской политике, произошедшие несколько позднее».

Сам Кейль в письме к Ньютону, написанном в ноябре 1714 года спустя несколько месяцев после смерти королевы Анны, высказал некоторую озабоченность в связи с тем, что Лейбниц приедет в Англию вместе с новым королем: «Надеюсь, что господин Лейбниц… поступит осмотрительно и не покажется в Англии. Если же он сделает это, я убежден, что не встретит здесь много друзей». Лейбниц также ожидал, что король встанет на его сторону в споре. Правда, отношения со своим покровителем всегда складывались у него не лучшим образом, хотя к нему прекрасно относилась София, мать короля, и Каролина, жена его сына, которая при восшествии Георга на престол стала принцессой Уэльской. Однако король, по-видимому, не проявил ни малейшего интереса к спору Ньютона и Лейбница.

Тем не менее аббату Конти удалось, пусть и косвенно, сообщить об этом вопросе новому королю Англии Георгу I, а также представителям ганноверской династии при королевском дворе в Лондоне. Вместе с другими представителями знати на одной из встреч они изучили документы Ньютона, посвященные диспуту, и постановили, что Ньютон должен изложить свою версию событий в письме Лейбницу. Письмо должно было быть одобрено королем, а Лейбниц должен был в ответ направить свою версию. Таким образом, начался последний обмен письмами между Ньютоном и Лейбницем. Ситуация постепенно накалялась, и попытка примирить ученых чуть было не усугубила противостояние. Со смертью Лейбница 14 ноября 1716 года накал страстей несколько утих и вместе с тем исчезли немногие возможности уладить спор. Ньютон, продемонстрировав всю мстительность, после смерти Лейбница опубликовал их последнюю переписку и «Наблюдения» по поводу последнего письма Лейбница.

«Лейбниц умер – диспут окончен», – написал аббат Конти Ньютону 10 декабря 1716 года. Тем не менее он погрешил против истины: с уходом одного из оппонентов диспут не прекратился, так как наиболее ярые участники с обеих сторон – Джон Кейль, «обезьяна Ньютона», и Иоганн Бернулли, «ведущий математик», друг и ученик Лейбница, были живы (Кейль умер в 1721-м, Бернулли – в 1748 году). Не будем забывать и о Ньютоне, который пережил Лейбница на 10 лет, первые шесть из которых его сильнее всего заботил неоконченный диспут. Он продолжал писать всё новые и новые труды о праве на авторство математического анализа, о том, что говорилось в старых письмах и документах, о том, насколько подло поступали те, кто хотел воспользоваться его открытиями или критиковал его науку. Эти труды по большей части были неотредактированными, подобно множеству других работ Ньютона, посвященных математике, алхимии, богословию, истории… Ньютон собственноручно составил список наблюдений, поставив под сомнение и ревностно отцензурировав хвалебные слова Кристиана Вольфа в адрес Лейбница, опубликованные после его смерти в Acta eruditorum, и некролог Лейбницу, написанный Фонтенелем, секретарем Парижской академии наук.

«Мораль пуританского мира, – пишет Ф. Мэнюэль, – подобно любой христианской морали предписывает любить Бога и ближнего своего. К этим двум принципам Ньютон сводил всю религию. Однако в пуританстве также предписывалось искоренять зло. Любить и разрушать – такой была противоречивая догма».

Глава 6.
Укрощенные бесконечно малые

Бесконечности, большие и малые

Анализ бесконечно малых был наполнен бесконечно большими и бесконечно малыми величинами с самого момента создания, в течение первых трех четвертей XVII века, когда его продвинули вперед Ньютон и Лейбниц, равно как и позднее, в течение всего XVIII века. Бесконечно малая величина – это числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю. Так как она не является строго равной нулю, ее можно использовать в знаменателе дроби, а так как она является бесконечно малой, ее можно принять равной нулю, когда мы хотим упростить выражение. Бесконечно большая величина, в свою очередь, остается неизменной, когда мы прибавляем к ней обычное число. Иными словами, если N – бесконечно большая величина, то выполняется достаточно необычное равенство: N + 1 = N.

Разумеется, из-за этих необычных свойств существование бесконечно больших и бесконечно малых неоднократно ставилось под сомнение. Анализ бесконечно малых регулярно критиковался из-за того, что он был основан на бесконечно малых величинах. Критики задавались вопросом: как можно получить верный результат с помощью метода, в основе которого лежит понятие, столь нечеткое с точки зрения логики?

Математики, которые начали использовать бесконечно малые в XVII веке, – Кеплер, Кавальери, Ферма, Валлис, Паскаль, Барроу (этот список далеко не полон), много раз указывали, что подобные рассуждения приводил еще Архимед. Однако они не утруждали себя написанием строгих доказательств – в отличие от Архимеда. Известные в то время труды Архимеда были опубликованы в середине XVI века, и прошло почти 50 лет, прежде чем математики того времени смогли понять и применить его непростые методы. Архимед был наиболее цитируемым автором в течение всего XVII века. Как мы уже говорили в главе 2, математики этого периода очищали методы Архимеда от геометрической «оболочки» и приводили их в арифметическом и алгебраическом виде. Эти разделы математики набирали популярность в течение XVII века, особенно после открытия аналитической геометрии Декартом и Ферма. В то время математиков больше интересовали открытия, которые можно совершить, используя необычные свойства бесконечно малых, и они не тратили время на построение строгих геометрических доказательств.

Во многих случаях подобное пренебрежение строгостью объяснялось попросту нежеланием заниматься излишней работой: «Всё это можно доказать, используя архимедовы техники, однако это потребует больших усилий», – писал Кавальери в 1635 году.

Ньютон, Лейбниц и бесконечно малые

Даже создатели математического анализа не приводили исчерпывающих доказательств открытых ими методов. И Ньютон, и Лейбниц осознавали недостаток логики в своих работах и пытались каждый по-своему если не устранить, то хотя бы смягчить этот недостаток.

Так, Ньютон попытался избежать использования бесконечно малых путем перехода к пределу, однако потерпел неудачу. Тем не менее его усилия стали источником вдохновения для Коши. Покажем, как следует понимать дробь ⁰/₀, получаемую при h = 0 в выражении

необходимом для определения производной f(x) функции f в точке х. Здесь мы позволим себе небольшой анахронизм. Сам Ньютон никогда не использовал понятие производной функции, равно как и не использовал подобные обозначения, а вместо этого употреблял понятие «исчезающая величина». Таким образом, разность f(x + h) – f(x) и само число h будут исчезающими величинами: обе они «исчезают», когда h становится равным нулю. «Последним отношением исчезающих величин» он называл значение вышеуказанной дроби при h = 0. Очевидно, что Ньютон имеет в виду переход к пределу, когда говорит о «последнем отношении исчезающих величин», чтобы обосновать неопределенность ⁰/₀, к которой сводится вышеприведенная дробь при h = 0. Однако он так и не дал этому методу строгого определения. Сам Ньютон осознавал этот недостаток и в объяснении прибегал к физическим аналогиям: «Вероятно, вы можете возразить, что последнего отношения исчезающих величин не существует, поскольку до того как величины исчезают, отношение не является последним, а когда величины исчезают, никакого отношения не существует. Однако, следуя этой же логике, можно отрицать, что тело, которое прибыло в определенную точку и остановилось в ней, не имеет последней скорости, поскольку до этого его скорость не была последней, а после того как тело прибыло в эту точку, его скорость равна нулю. Однако ответ на этот вопрос крайне прост. Под последней скоростью понимается скорость, с которой движется тело в самый момент прибытия, не раньше и не позже, то есть скорость, с которой тело прибыло в последнюю точку и с которой его движение прекратилось. Этим же образом под последним отношением следует понимать отношение величин не до того, как они исчезнут, и не после того, как они исчезнут, а отношение, при котором они исчезнут».

Бесконечно малые величины играли в математическом анализе Лейбница заметно большую роль. Например, они фигурировали в самом определении кривой, которым пользовался Лейбниц. Для Ньютона кривая была образована точкой в движении: «Полагаю математические величины не состоящими из очень малых частей, а описываемыми непрерывным движением. Кривые, таким образом, описываются и создаются не расположением частей, а непрерывным движением точек». Лейбниц же считал, что кривые состоят из отрезков прямой бесконечно малой длины: «Чтобы найти касательную, надо провести прямую, соединяющую две точки кривой, расположенных на бесконечно малом расстоянии, или продленную сторону многоугольника с бесконечным числом углов, который для нас равносилен кривой», – писал Лейбниц в 1684 году.

Понятие кривой еще более четко описывается в книге «Анализ бесконечно малых» маркиза Лопиталя (1696). Второй постулат книги звучит так: «Будем предполагать, что кривую линию можно считать состоящей из бесконечного числа бесконечно малых линий, или, что аналогично, многоугольником с бесконечным числом сторон, каждая из которых имеет бесконечно малую длину, а кривизна линии определяется углами между этими сторонами».

^{«Анализ бесконечно малых» маркиза Лопиталя, первая книга по анализу бесконечно малых Лейбница.} 

Лейбниц объяснял использование бесконечно малых подобно своим предшественникам: «Выбираются столь большие или столь малые величины, чтобы ошибка была меньше данной, так что различия с методом Архимеда заключаются лишь в способе записи, но наш метод более соответствует духу изобретательства». Лейбниц попал в самую точку: в то время ученых больше интересовали открытия, а не доказательства.

ЭДМУНД ГАЛЛЕЙ, НЕВЕРУЮЩИЙ

Книга Беркли «Аналитик» имела подзаголовок: «Трактат, адресованный неверующему математику». Этим «неверующим математиком», скорее всего, был астроном Эдмунд Галлей, который всегда славился атеистическими взглядами и как-то заставил больного отказаться от посещения епископа Беркли, убедив его в непрочности доктрин христианства. В своей книге Беркли хотел показать, что рассуждения анализа бесконечно малых столь же непрочны, как и религиозные догмы. Второй подзаголовок книги звучит так; …где исследуется, является ли предмет, принципы и заключения более отчетливо познаваемыми и с очевидностью выводимыми, чем религиозные таинства и положения веры». Он добавлял: «Извлеки бревно из глаза своего, и сможешь извлечь соринку из глаза брата твоего».

В своей книге Беркли также приводит ряд вопросов, над которыми полагается размышлять. Процитируем некоторые из них: «Вопрос 62. Разве непостижимые тайны не могут с большим правом допускаться в божественной вере, чем в человеческой науке? Вопрос 63. Разве те математики, которые резко выступают против непостижимых тайн, когда-либо критически исследовали собственные принципы?»