Текст книги "Истина в пределе. Анализ бесконечно малых"

Автор книги: Антонио Дуран

сообщить о нарушении

Текущая страница: 3 (всего у книги 12 страниц)

Вычисление квадратуры и кубатуры

Вернемся в начало XVII века и расскажем подробнее о методах анализа бесконечно малых, ставших основой математического анализа. Начнем с методов вычисления площадей и объемов, или, говоря языком той эпохи, расчета квадратур и кубатур.

Из всех методов, появившихся в первой трети этого столетия для решения подобных задач, наиболее важным был метод неделимых, предложенный учеником Галилея, преподавателем Болонского университета Бонавентурой Кавальери (1598– 1647). В одном ряду с ним стоят только методы вычисления объема, разработанные Кеплером, которые использовались австрийскими виноделами при изготовлении бочек.

Можно сказать, что в основе метода неделимых лежали принципы, предложенные еще Архимедом. Кавальери рассматривал площади фигур как множество линий, объемы – как множество плоских сечений. Множество линий, образующих плоскую фигуру, Кавальери называл omnes linae («все линии»). Стало возможным сравнение площадей любых двух плоских фигур путем сравнения соответствующих им omnes linae: согласно Кавальери, «фигуры относятся друг к другу, как все их линии, взятые по любой регуле», как показано на иллюстрации.

Метод Кавальери был применим не только для расчета площадей, но также для расчета объемов тел. Он попытался разработать целую теорию неделимых, которая позволила бы доказать полученные им результаты без использования понятия бесконечности (как строили свои доказательства древнегреческие математики). Однако в его рассуждениях очевидно используется актуальная бесконечность. Это стало определенным преимуществом, так как именно явное присутствие бесконечности привело к тому, что метод Кавальери оказался более гибким, пусть и менее строгим, чем метод исчерпывания, к которому прибегали греки. С помощью своего метода неделимых Кавальери вычислил площадь фигур, ограниченных параболой общего вида xⁿ для n = 3, 4, 5, 6 и 9. Тем самым он намного опередил Архимеда, который провел расчеты площади лишь для параболы и спирали, которым соответствовала функция х².

По сравнению с открытыми позднее способами вычисления площадей и объемов метод неделимых Кавальери обладает рядом недостатков: он недостаточно общий, слишком зависит от геометрических рассуждений, не говоря уже о логической небезупречности. Однако этот метод позволил найти новые квадратуры и кубатуры и превзойти результаты, полученные древнегреческими математиками.

Кроме того, недостатки этого метода вскоре удалось преодолеть. Так, Эванджелиста Торричелли (1608—1647), друг Кавальери, мастерски использовал этот метод и нашел различные строгие доказательства в стиле древнегреческих математиков, а Ферма, Паскаль и Валлис, а также Роберваль (1602—1675) и его метод бесконечно малых преобразовали геометрический метод Кавальери в алгебраический, благодаря чему он стал более общим и его стало возможно применять более широко.

^{Фрагмент мраморной статуи Бонавентуры Кавальери, хранящейся в Академии искусств Милана. Ученый изображен размышляющим над бесконечно малыми величинами.}

Перед рассказом о том, как Валлис усовершенствовал метод Кавальери, остановимся на личности Грегуара де Сен-Венсана (1584—1667), иезуита, ученика Христофора Клавия и придворного учителя короля Испании Филиппа IV. По поручению папы Григория XIII Сен-Венсан разработал новый календарь и поощрял занятия математикой среди иезуитов. Он совершил значимые открытия во многих областях. Так, он расширил геометрический метод интегрирования, который позднее оказал влияние на работы Паскаля. Однако эта работа была опубликована с заметным опозданием – лишь в 1647 году, хотя была завершена в конце 1620-х годов. К тому времени Сен-Венсан стал уделять больше внимания алгебраическим методам, разработанным под влиянием аналитической геометрии. Он также был автором работы о геометрических рядах, которую Гюйгенс рекомендовал к изучению Лейбницу. Результаты, полученные в этой работе, Сен-Венсан использовал в обсуждении знаменитой апории Зенона об Ахиллесе и черепахе. Он указывал, что Зенон не учел, что отрезки, которые нужно пройти Ахиллесу, образуют геометрическую прогрессию со знаменателем 1/2 и, несмотря на то что эта прогрессия имеет бесконечное множество членов, ее сумма является конечной. Однако наиболее значимым вкладом Сен-Венсана, на наш взгляд, является обнаружение связи между логарифмами и площадью фигуры, ограниченной гиперболой. Выражаясь языком той эпохи, он доказал, что если длина интервалов возрастает геометрически, то площадь фигуры увеличивается арифметически, что показано на иллюстрации.

Теперь пришло время рассказать о Джоне Валлисе (1616—1703), одном из основателей Лондонского королевского общества и главе кафедры геометрии в Оксфорде с 1649 года. Возможно, этот пост был пожалован ему за то, что он расшифровал перехваченные сообщения роялистов во время Гражданской войны в Англии. В библиотеке Валлиса были двуязычные издания трудов греческих авторов (на латинском и греческом языках), в том числе Архимеда. Валлис также был автором грамматики английского языка (1653).

Он видоизменил метод неделимых Кавальери, присвоив им числовые значения. Таким образом, на смену геометрическим преобразованиям при вычислении площадей фигур пришли арифметические расчеты. Кроме того, Валлис ввел примитивную операцию, подобную переходу к пределу. Валлис достаточно свободно использовал бесконечные процессы (стоит напомнить, что именно он является автором знака бесконечности ∞, который мы используем и поныне), сделав тем самым еще один шаг от безупречной логической строгости к открытию новых, более мощных методов. Степень этих изменений можно увидеть, если обратить внимание на названия трудов Кавальери и Валлиса: труд Кавальери носил название Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota, книга Валлиса – Arithmetica infinitorum. Труд Валлиса отличается общим характером арифметических и алгебраических расчетов по сравнению с частными геометрическими доказательствами Кавальери; он также полностью использует широкие возможности бесконечности, в то время как Кавальери вынужден формулировать строгие и логичные доказательства в древнегреческом стиле, что, безусловно, накладывало свои ограничения. Показательным для того времени является следующий комментарий Валлиса относительно недостаточной логической строгости его метода: «Этот метод является в высшей степени еретическим, однако его можно подтвердить с помощью хорошо всем известного метода вписанных и описанных фигур, что излишне, поскольку частые повторения отвлекают читателя. Любой сведущий в этом предмете может выполнить такое доказательство». Это один из немногих случаев, когда в книге фигурирует термин «доказательство». Будучи под впечатлением от созданного им арифметического метода, с помощью неполной индукции и интуиции Валлис смог рассчитать площадь всех парабол вида x^r, где r – любое рациональное число, не равное —1. Более того, ему удалось найти удивительную формулу для расчета числа π:

Арифметические методы Валлиса для вычисления площадей оказали огромное влияние на Ньютона, который подтвердил, что идеи о биноме и других основных понятиях математического анализа возникли у него после тщательного изучения книги Валлиса во время учебы в Кембридже. Сам Валлис предложил любопытную родословную анализа бесконечно малых.

1. Метод исчерпывания (Архимед).

2. Метод неделимых (Кавальери).

3. Арифметика бесконечного (Валлис).

4. Метод бесконечных рядов (Ньютон).

Центры тяжести

С расчетом площади и объема тесно связана задача об определении центра тяжести. В конце XVI века, после того как был обнаружен труд Архимеда «О равновесии плоских фигур», некоторые математики начали уделять внимание решению подобных задач. Среди них были два переводчика трудов Архимеда на латынь Франческо Мавролико (1494—1575) и Федерико Коммандино (1509—1575), а также Симон Стевин, который систематизировал и упростил методы Архимеда.

Несколько позднее появились работы швейцарского математика Пауля Гюльдена (1577—1643), который повторно открыл теорему об объемах тел вращения и центрах тяжести, известную как теорема Гюльдена, хотя она упоминается еще в «Собрании» Паппа Александрийского: «Объем тела вращения равен площади фигуры, умноженной на длину окружности, радиусом которой служит расстояние от оси вращения до центра тяжести фигуры». Гюльден вел ожесточенный спор с Кавальери (оба они были иезуитами) о методе неделимых: швейцарец обвинял Кавальери, с одной стороны, в плагиате кеплеровских идей, с другой – в отсутствии логической последовательности при рассмотрении площади как совокупности отрезков. Гюльдену удалось привести простое и элегантное геометрическое построение, где метод неделимых Кавальери вел к противоречию. Однако доказательство Гюльдена, которое он привел для своей теоремы, изобиловало метафизическими рассуждениями и было еще более спорным, чем методы Кавальери. Последний не замедлил указать на это в ответ на нападки Гюльдена.

Расчет угла наклона касательной

Методы анализа бесконечно малых, связанные с расчетами угла наклона касательной, наряду с задачами вычисления объемов и площадей относятся к числу задач, изучение которых привело к появлению математического анализа.

Само понятие касательной, «прямой, которая касается кривой в одной точке», вызвало множество трудностей, так как с помощью аналитической геометрии Ферма и Декарта можно было с легкостью вводить новые кривые, и, как следствие, предметом изучения математиков стал широкий спектр различных кривых. В этом смысле интересный пример представляют логарифмы, появившиеся как средство упрощения операций умножения, деления и извлечения корня из больших чисел, что использовалось в астрономических наблюдениях. Это позволило составить очень точные таблицы положений звезд и небесных тел. В итоге была введена логарифмическая функция и соответствующая ей кривая, для которой можно вычислить ограниченную ею площадь, угол наклона касательной и так далее. Рост числа изучаемых кривых привел к тому, что старое определение касательной как прямой, которая касается кривой в одной точке, стало не вполне удобным. Кроме того, потребовались новые методы нахождения касательных к новым кривым. Следует упомянуть метод, предложенный Ферма, также применимый в задачах определения максимумов и минимумов и для спрямления кривых. В знак признания этих и других работ о квадратурах некоторые французские математики XVII века (французом был и Ферма) считали его создателем математического анализа. Важность этих результатов Ферма несколько преувеличена, но сам Ньютон в письме, найденном в 1934 году, признавал, что в своих работах по математическому анализу он опирался на метод касательных Ферма: «Указание я получил из метода касательных Ферма. Применив его к абстрактным уравнениям прямым и обратным способом, я придал этому методу общий характер». Как бы то ни было, Ферма, «король среди любителей», как называл его шотландский математик и писатель Эрик Темпл Белл, имея в виду его непрофессиональные занятия математикой, занимает почетное место в истории науки. Это право он заслужил не только за предполагаемое доказательство своей знаменитой теоремы, для которого оказались «слишком узки» поля книги.

Другие математики, помимо Ферма, также разработали новые методы для определения углов наклона касательных, но практически во всех использовались бесконечно малые величины. Так, можно упомянуть Роберваля и его кинематический метод для нахождения касательной к спирали, который также использовали Галилей, Торричелли и Архимед. Заслуживает упоминания Декарт и его метод, представленный в труде «Геометрия», а также Барроу, Худде, де Слюза и их псевдодифференциальные методы. Все они обладали схожими недостатками: они были в достаточной степени применимы к алгебраическим кривым, но требовали изменений для каждой конкретной кривой, что было чрезвычайно сложно, а иногда и вовсе невозможно сделать для трансцендентных кривых. Все эти методы были унифицированы с помощью дифференциала, введенного Лейбницем, и флюксии, введенной Ньютоном. Эти понятия были близки к современной производной.

В середине этого же столетия возник важный класс задач, имевший большое историческое значение, в которых требовалось определить кривую по известным свойствам ее касательной. Первую задачу такого типа сформулировал юрист и ученик Декарта Флоримон де Бон (1601—1652). Возможно, самой известной из предложенных им задач является задача о нахождении кривой с постоянной подкасательной. Эту задачу не удалось решить самому Декарту, и вся слава досталась Лейбницу: как вы увидите чуть позже, он привел решение в первой в истории книге по анализу бесконечно малых и тем самым продемонстрировал всю мощь созданного им метода.

Для создания математического анализа обязательно (и неизбежно) требовалось признать, что задачи о касательной и о квадратуре являются обратными друг другу. Говоря современным языком, необходимо было показать, что дифференцирование и интегрирование – взаимно обратные операции. Именно в этом заключается основная теорема анализа, которая неспроста носит это название. Этот факт был известен Ферма, Торричелли и прежде всего Барроу, однако по причинам, о которых мы расскажем позднее, они не поняли всю его важность для решения задач, его значимость как связующего элемента двух классов задач – о касательных и квадратурах. Основная теорема анализа указала математикам путь, которым нужно следовать: выделять общее и наиболее значимое из множества частных случаев.

^{Исаак Барроу был учителем Ньютона. Его работы лежат в основе анализа бесконечно малых.} 

Исаак Барроу (1630—1677) был одним их тех гигантов, о которых говорил Ньютон в письме Роберту Гуку в феврале 1676 года: «Если я видел дальше других, то потому, что стоял на плечах гигантов» (из главы 3 вы узнаете, что эта фраза допускает еще одно, достаточно нелицеприятное толкование). Барроу был учителем Ньютона в Кембридже и первым лукасовским профессором математики. Он оставил этот пост в 1669 году (его заменил Ньютон), занялся богословием (он был англиканским пастором с 1660 года) и стал духовником короля Англии Карла II. Возможно, он подошел ближе всех к открытию математического анализа, за исключением Ньютона и Лейбница. Ему не хватало самой малости – знаний аналитической геометрии. Барроу создал метод нахождения касательных, очень похожий на вычисление производной. Кроме того, он добился важных результатов при решении задач по расчету площадей, а также доказал, что задачи нахождения касательной и задачи на вычисление площади являются обратными. Возможно, он руководствовался идеями Торричелли, с которым познакомился во время путешествия во Францию, Италию, Германию, Голландию и Константинополь, когда ему пришлось по религиозным мотивам покинуть Англию, где в то время правил Оливер Кромвель. Его доказательство приводится в лекции X его книги Lectiones geometricae. Оно является чисто геометрическим и выполняется для монотонных кривых. В нем также используется старое определение касательной как прямой, которая касается кривой в единственной точке.

Чего же не хватило Барроу, чтобы открыть анализ бесконечно малых? Ему требовалось перейти от частной задачи нахождения касательной к общей задаче определения изменения функции, то есть ввести понятие, эквивалентное понятию флюксии у Ньютона или, с небольшими отличиями, понятию дифференциала у Лейбница, а также разработать алгоритм расчетов (правила нахождения производной). Однако для этого Барроу требовалась аналитическая геометрия: она позволила бы описать кривые (геометрические объекты) с помощью формул (алгебраических объектов) и перейти от задачи нахождения касательной к задаче определения производной функции. Алгебраические методы были также обязательными для создания правил вычисления производных. С другой стороны, без сведения процесса нахождения кривой (вычисления производной) к простому алгоритмическому методу с возможностью инвертирования (то, что мы называем вычислением первообразной) тот факт, что задачи нахождения касательной и определения квадратуры являются взаимно обратными, был бы не слишком полезен. По этой причине Барроу не осознал всю значимость доказанного им утверждения. Барроу не нравилась алгебраизация геометрии, выполненная Ферма и Декартом, что в итоге стоило ему авторства математического анализа. Он оставил этот почетный титул Лейбницу и Ньютону.

Математический анализ появился во время научной революции, продолжавшейся весь XVII век, и решающую роль в этом сыграли два ученых первой величины: Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц. О математическом анализе можно говорить тогда, когда обобщены два базовых понятия (прообразы современной производной и интеграла), разработаны алгоритмы их вычисления (правила вычисления производной) и показано, что эти понятия являются взаимно обратными (это утверждение сегодня известно как основная теорема анализа). Для решения задач нахождения касательной, максимумов и минимумов, квадратуры, центра тяжести и других, которыми занимались предшественники Лейбница и Ньютона, достаточно использовать эти базовые понятия, должным образом интерпретированные, и применять алгоритм их вычисления, основанный на правилах, о которых мы рассказали в главе 1.

Глава 3.
Ньютон, последний из волшебников

День 13 июля 1936 года стал поворотным в изучении биографии Исаака Ньютона и его наследия. В этот и последующий день на аукционе «Сотбис» было продано 332 лота: рукописи, письма и другие документы, принадлежавшие Ньютону. Запутанная история рукописей Ньютона не лишена очарования, так как она открывает перед нами истинный портрет ученого, более сложный и многогранный, чем было принято считать в XVIII и XIX веках.

Сохранилось огромное количество рукописей, писем и других документов Ньютона, несмотря на то что, по его собственным словам, в последние месяцы жизни он сжег большую часть писем, а также некоторые статьи невысокого качества, которые не хотел передавать потомкам. Возможно, это и в самом деле было так, но стоит отметить, что Ньютон окружил себя ореолом тайн и загадок, что сделало его практически легендарной фигурой. Взять хотя бы удивительную и всем известную историю с яблоком, принесшую ему славу гения. Сам Ньютон рассказал эту историю Уильяму Стьюкли незадолго до своей смерти. Это одна из четырех дошедших до нас версий; источником их всех является сам Ньютон, которому на тот момент было уже за семьдесят.

Вот что пишет Стьюкли: «После обеда установилась теплая погода, мы вышли в сад и пили чай в тени яблонь. Он [Ньютон] сказал мне, что мысль о гравитации пришла ему в голову, когда он точно так же сидел под деревом. Он находился в созерцательном настроении, когда неожиданно с ветки упало яблоко. “Почему яблоки всегда падают перпендикулярно земле? – подумал он. – Почему не в сторону и не вверх, а всегда к центру земли?” Очевидно, причина состоит в том, что земля притягивает его. Вещество должно обладать силой притяжения, и центр притяжения к Земле должен находиться в центре Земли, а не где-либо еще. Поэтому яблоко падает перпендикулярно земле в направлении ее центра. <…> Существует сила, которую мы будем именовать гравитацией, простирающаяся на всю Вселенную»,

Однако вернемся к истории с рукописями. После смерти Ньютона, который не оставил завещания, произошла размолвка между восемью возможными наследниками – потомками двоих дочерей и сына матери Ньютона от второго брака с протестантским священником Барнабой Смитом. За исключением любимой племянницы Ньютона Кэтрин Бартон и ее супруга Джона Кондуита, остальные наследники хотели без промедлений получить доход от наследства, поэтому в июле 1727 года, вскоре после смерти ученого, его библиотека была продана некоему Джону Хаггинсу за 300 фунтов – на 30 фунтов больше изначально объявленной стоимости. Также были проданы все бумаги Ньютона, которые были готовы к публикации.

^{Иллюстрация к истории о яблоке, после которой, как говорят, у Ньютона и родилась идея о теории всемирного тяготения.} 

Документы и рукописи Ньютона, которые не удалось продать, перешли к дочери супругов Кондуит, которую также звали Кэтрин. В 1740 году она вышла замуж за виконта Лаймингтона. Далее бумаги перешли к их сыну, который стал графом Портсмутским – отсюда и название «Портсмутская коллекция», под которым часто упоминают наследие Ньютона. В 1872 году было начато составление первой описи бумаг Ньютона, для чего они были переданы в Кембриджский университет. Результаты описи были опубликованы в 1888 году, после чего все документы вернулись в семью графа Портсмутского, за исключением статей по математике, писем, книг и других документов, которые были подарены университету семьей графа.

Остальные бумаги, как мы уже упоминали, были проданы на аукционе «Сотбис» в 1936 году. К ним относились все рукописи об алхимии, химии и по вопросам, связанным с британской казной; все материалы, собранные Джоном Кондуитом для будущей биографии Ньютона; объемная переписка, юношеские дневники, рукописи о хронологии, богословии и об анализе бесконечно малых, два удивительной красоты портрета и посмертная маска. Всё это было продано в течение двух дней за сумму, слегка превышавшую 9000 фунтов. Нетрудно представить, каково было разочарование нового графа Портсмутского, который выставил наследство на продажу, так как остро нуждался в деньгах. Экономист Джон Мейнард Кейнс приобрел личные документы и рукописи по алхимии, хронологии, истории и богословию, после чего передал их Королевскому колледжу Кембриджа. Большая часть рукописей по богословию была приобретена востоковедом Абрахамом Яхудой (он выменял некоторые документы у Кейнса), который завещал их Национальной библиотеке Израиля в Иерусалиме, куда они поступили в 1966 году, после того как были улажены все спорные вопросы с наследством.