Текст книги "Невероятно – не факт"

Автор книги: Александр Китайгородский

сообщить о нарушении

Текущая страница: 10 (всего у книги 17 страниц)

Вероятность – дирижёр движения

Теория броуновского движения была создана Альбертом Эйнштейном в том же году, в котором была опубликована его первая статья по теории относительности.

В качестве образа модели явления, которую обсчитал (прошу прощения – это научный жаргон) Эйнштейн, можно предложить футбольный мяч, залетевший в часы «пик» на центральный рынок страны Лилипутии. «Огромный» мяч мешает базарной сутолоке. Спешащие лилипутяне беспорядочно толкают его во все стороны.

Наглядно представив себе эту фантастическую картину, вы, конечно, согласитесь с тем, что уравновешивание молекулярных щелчков, которые получает броуновская частичка, будет несовершенным. Для того чтобы частичка пришла в движение, надо, чтобы перевес ударов, нанесённых с какой-нибудь стороны, превосходил удары, пришедшиеся на противоположную её сторону. Если частичка очень большая (доли миллиметра – это много в мире молекул), то колебания (физики предпочитают термин «флуктуации») давления на неё «слева» и «справа» будут незначительными и броуновское движение не обнаружит себя. Если же размер частички «подходящий», то случайности в распределении толчков слева и справа, сверху и снизу приведут к легко наблюдаемому её движению.

Если верить в существование молекул, то приведённое истолкование броуновского движения достаточно легко приходит в голову. Качественное объяснение, которое мы привели, в той или иной форме высказывалось рядом исследователей до Эйнштейна.

Но самые умные разговоры о явлении ещё не составляют теории. От теории требуются количественные предсказания.

Что же может и должно быть подсчитано?

За отдельными скачками броуновской частицы следить трудно. Поэтому Эйнштейн поставил перед собой вопрос: какова вероятность найти частичку через одну секунду (или десять секунд или сто секунд) на том или ином расстоянии от исходной точки.

Представьте себе, что имеется лишь одна броуновская частица и она светится. За частичкой наблюдает фотоаппарат, затвор которого открывается на мгновение через каждую секунду. Съёмка ведётся всё время на одну и ту же пластинку. Через какое-то время пластинка проявляется. На что будет похожа картина, которую мы увидим? Согласно теории Эйнштейна фотография должна совпадать с результатом стрельбы по мишени. Посмотрите на приведённый рисунок. Это не итог стрелковых испытаний, а отчёт об опытном исследовании броуновского движения. Точки показывают места, где находилась частица в моменты наблюдения.

Трудно придумать более яркое доказательство общности математического основания, на котором покоятся случайности столь разного происхождения. Математик скажет – разве это не доказывает, что молекулярная физика есть глава теории вероятностей. Физик согласится с тем, что пригодились рассуждения об игральных костях.

Можно обработать результаты наблюдений и таким образом, что появится наша хорошая знакомая гауссова кривая.

Наложим на снимок сетку параллельных линий. Одна из линий должна проходить через начальную точку. Теперь сосчитаем число точек, попавших между нулевой и плюс первой линией (плюс – значит вправо), плюс первой и плюс второй и т.д. Такой же подсчёт проведём для левой части снимка. Получили таким способом числа, пропорциональные вероятности отклонения броуновской частицы на разные расстояния вправо и влево от начальной точки.

Можно убедиться в том, что результат подсчёта не зависит от того, как ориентирована сетка, наложенная на снимок, поскольку в танце броуновской частицы (так же, как в ошибках стрелка) все направления отклонения равновероятны.

Остаётся построить график: по горизонтальной оси отложим величины отклонения, а по вертикали – число точек.

Полученная кривая ничем не отличается от гауссовой кривой, на которую ложатся отклонения от среднего роста призывников, отклонения от средней оценки качества фильма «Великолепная семёрка».

Ещё раз повторим: когда речь идёт о поведении случайной величины, математика не нуждается в том, чтобы мы ей сказали, чем интересуемся: физикой, биологией, эстетикой или игрой в карты.

Итак, Эйнштейн получил гауссову кривую для вероятности найти частичку на том или ином расстоянии от начального положения. Центр кривой лежит в исходной точке, то есть вероятнее всего найти частичку там, где она была. Если построить гауссовы кривые для разных промежутков времени, прошедших с начала наблюдения, то мы увидим, что с возрастанием промежутка времени между последовательными снимками положения броуновской частицы кривые будут все более расплывчатыми: через тысячу секунд частичку можно найти почти где угодно. Однако для времени порядка одной секунды кривая будет достаточно узкой.

Главным количественным результатом теории является полученная Эйнштейном формула полуширины кривой. Для данного промежутка времени она однозначно связана с температурой, коэффициентом вязкости и числом Авогадро. (Число Авогадро – это обратная величина массы атома водорода, которая равняется 1,6·10грамма. Число Авогадро, равное 6·10, имеет, очевидно, смысл числа атомов водорода в одном грамме.) Вид кривой (а значит, и её полуширину) нам даёт опыт; коэффициент вязкости всегда легко измерить; температура опыта известна. Таким образом возникает возможность определить число Авогадро. Если проделать опыты для разных жидкостей, разных температур, разных частиц и показать, что всегда получается одно и то же число, то, конечно, не останется ни одного скептика, который бы упрямо твердил: «Не верю в молекулы».

Нокаутировал скептиков Жан Перрен. Произошло это в 1909 году. Семнадцать лет спустя (большой перерыв, наверное, связан с войной) Перрен получил за эти замечательные исследования высшую награду учёного – Нобелевскую премию.

Прежде чем перейти к подробному описанию экспериментов Перрена, я хочу закончить рассказ об этом частном вопросе забавной деталью: Эйнштейн не знал о существовании броуновского движения. Обдумывая молекулярно-кинетические представления, он сообразил, что взвешенная в жидкости частичка должна быть индикатором теплового движения молекул.

Век нынешний и век минувший

Теперь мне хочется рассказать о том, как трудился Перрен. Готовясь писать эти строки, я отыскал работу Перрена, опубликованную в 1908 году во французских «Анналах физики и химии», и прочитал её с огромным удовольствием и завистью. Хотел бы я заниматься научными исследованиями в то время или, вернее, не в то время, а в той творческой атмосфере. Очень мне нравится стиль рабочей жизни физика конца XIX и начала XX века.

Статья Перрена занимает 98 страниц. Она написана в спокойной, неторопливой манере. Попробуйте написать сейчас статью размером более 10—12 страниц, и вы увидите недоумение на лице секретаря редакции любого научного журнала. «Вы что, – вскинется он, – открыли ещё одну теорию относительности?.. Все равно укладывайтесь в нормы».

Вот небольшой отрывок из статьи Перрена, характерный для научных журналов того времени:

«Явление броуновского движения можно показать целой аудитории, но эта проекция несколько затруднительна, и я считаю небесполезным подробно остановиться на тех условиях, которые дали мне удовлетворительный результат. Получают изображение электрической дуги (а лучше солнечное изображение), задерживая посредством сосуда с водой большую часть тепловых лучей. Отражённые взвешенными частицами лучи, как и при прямом наблюдении, проходят через объектив иммерсионной системы и окуляр сильного увеличения, горизонтально отклоняются призмой полного внутреннего отражения и дают изображения зёрнышек на экране находящегося перед аудиторией матового стекла (предпочтительнее с расчерченными для большей ясности квадратиками). Таким образом свет лучше используется, чем при обычном экране, рассеивающем большую часть лучей в направлениях, где нет ни одного наблюдателя. Полезное увеличение (линейное) можно довести до 8—10 тысяч.

Особенно тщательным нужно быть с приготовлением эмульсии. В том небольшом числе опытов проектирования картины на экран, которые были до сих пор проделаны, величина диаметра зёрнышек была порядка микрона. Уже на расстоянии трех метров становилось трудным видеть их изображение (по крайней мере это так при освещении электрической дугой), каково бы ни было освещение. С дальнейшим уменьшением размера зёрнышек они становятся менее видными, и мы приходим к парадоксальному на первый взгляд заключению, что лучше проектировать большие, чем малые, зёрнышки. Действительно, броуновское движение крупных зёрнышек менее значительно, но оно остаётся вполне достаточным, чтобы можно было проследить за всеми существенными особенностями явления.

Нужно, следовательно, уметь приготовить частички, размер которых был бы равен нескольким микронам. Мы увидим в дальнейшем, что это было желательным не только для получения проекций, но и для выяснения некоторых пунктов в процессе экспериментального исследования. Я укажу дальше, как мне удалось получить большие совершенно сферические зёрнышки мастики, или гуммигут. С такими зёрнышками при совершенной темноте в зале можно наблюдать броуновское движение на расстоянии 8—10 метров от экрана».

Как член редколлегии научных журналов, могу уверить читателя, что абзац такого рода был бы безжалостно сокращён. Более того, редактор наверняка сказал бы секретарю что-нибудь вроде: «Вы передайте, пожалуйста, этому, как ему, Перрену, чтобы в другой раз он не включал в свои статьи всякие излишние подробности. В конце концов, надо беречь бумагу и время редактора».

Такая реакция имеет простую причину. Редакции давно уже отвыкли от мысли, что научные статьи пишутся авторами для того, чтобы читатель мог бы внимательно проследить за всеми шагами работы автора и повторить её. Они считают, что задача статей – сообщить научному миру, что «это автор уже сделал, а вы делайте что-нибудь другое»; и он, автор, не обязан объяснять в деталях, каким образом получены те или иные результаты. Помощь другим исследователям не входит в задачу современных научных статей. В них должны быть: постановка вопроса, пути решения задачи в общих чертах и более или менее подробно полученные результаты.

Нужно сказать, что в 99 случаях из 100 рассказывать читателям, каким именно способом были добыты результаты современного научного исследования, пожалуй, и правда не стоит. Получаются они стандартными методами и на аппаратуре стоимостью в сотни тысяч рублей, в устройстве которой далеко не всякий автор разбирается. И стоит ли в таком случае описывать и этот стандартный метод, и эту аппаратуру, на которой уже были получены тысячи подобных результатов? Вот почему право на 98 страниц в журнале не получит сейчас ни один автор. Что же касается вполне оригинальных исследований, то они, увы, могут и потонуть в потоке стандартных статей.

Разный стиль статей 1908-го и нынешних годов отражает совершенно разный стиль работы.

Полистаем статью Перрена. На семи страницах с полным уважением к истории вопроса даётся качественное объяснение броуновского движения на основе молекулярно-кинетической гипотезы. На следующих шестнадцати страницах изложены имевшиеся к тому времени доказательства молекулярно-кинетической гипотезы. В конце этого введения автор рассказывает, почему ему кажется, что исследование броуновского движения может дать серьёзное, если не решающее, подтверждение молекулярно-кинетической гипотезы. Какова, собственно говоря, цель исследования? – спрашивает Перрен. Она состоит в том, чтобы измерить какую-то величину, характеризующую движение молекул.

Но молекулы движутся очень быстро. Промежуток времени, малый с нашей житейской точки зрения, огромен для молекулы. За доли секунды она успеет столкнуться с миллиардами соседей и миллионы раз изменить свою скорость от малой до большой. Но непредставимо большое число перемен равносильно постоянству. Средняя скорость, а вместе с ней и средняя энергия молекулы в данную секунду, в следующую секунду и в любую другую, будет одной и той же. Средняя энергия! Вот она, величина, характеризующая движение молекулы. Но какая-то одна молекула не «лучше» и не «хуже» других, все они в любом веществе находятся в одинаковых условиях, и, значит, неизменны во времени скорость и энергия не только какой-то одной молекулы, но равны между собой и средние кинетические энергии всех молекул. При этом совершенно безразлично, идёт ли речь о чистом веществе, или о смеси, или о жидкости, в которой взвешены частицы эмульсии. Так как крупная частица находится среди молекул, то она «подравнивает» свою среднюю кинетическую энергию к энергии молекул.

Но масса броуновской частицы во много раз превосходит массу молекулы, и потому скорость её много меньше скорости молекул. А как известно, кинетическая энергия любой частицы равна половине произведения массы её на квадрат скорости. Следовательно, если броуновская частица в миллион раз тяжелее молекулы, то её средняя скорость в тысячу раз меньше скорости молекул. Предположив равенство средней кинетической энергии зёрнышка эмульсии и средней кинетической энергии молекулы («Можно не спешить с утверждением этого положения, но гипотеза достаточно вероятна», – говорит Перрен), приходим к заключению, что «измерение движения броуновской частицы равносильно измерению движения молекулы».

Однако точно измерить среднюю энергию движения броуновской частицы тоже не так просто. Скорость взвешенной пылинки практически прямому измерению не поддаётся.

Что же делать?

Образцовое исследование

Если бы прямые измерения движения молекул были возможны, то не нужна была бы молекулярно-кинетическая теория. Это, кстати, относится и к любой области знания: как только появляется нужда во введении в науку каких-то параметров, не поддающихся непосредственной оценке, обязательно нужна теория. Сумей мы измерить этот параметр непосредственно, можно было бы обойтись без теории и жить совершенно спокойно. К этому стремлению – обойтись без теории – мы ещё вернёмся. Сейчас же заметим, что именно по поводу молекулярно-кинетических представлений яростно звенели шпаги представителей двух крайних точек зрения: феноменологистов, требовавших, чтобы из наук было решительно изгнано все, что не поддаётся непосредственному измерению, в том числе и молекулы, и механицистов, полагавших, что можно сформулировать законы движения невидимых частичек и из этих законов вывести все сущее.

Будем следовать тем, кто «верит» в молекулы. Задумаемся над тем, как поставить косвенный опыт, с помощью которого можно доказать «действительность» молекул.

Допустим, нам нужны сведения о средней скорости молекул. Но молекулы не видны. Обращаемся тогда с надеждой на успех к теории. Она же, как мы только видели, предполагает, что средняя энергия броуновской частицы должна равняться средней энергии молекулы. А броуновская частица видна в микроскоп. Значит, достаточно измерить…

И всё же нас ждут опять огорчения – прямой опыт по измерению скорости броуновской частицы так же невозможен, как и молекулы. Что делать? Необходимо ещё раз обратиться к теории и посмотреть, нет ли в ней таких соотношений, в которых с одной части знака равенства ( = ) фигурировала бы нужная нам средняя кинетическая энергия частицы, а с другой – величины, которые достаточно легко измерить непосредственно. Величайший дар хорошего экспериментатора – уметь находить такие соотношения. Отсюда, кстати, следует, что хороший экспериментатор должен хорошо знать и теорию.

Перрен блестяще использовал все возможности, которые представляет броуновское движение частиц эмульсии для нахождения параметров молекулярного движения и для проверки законов молекулярно-кинетической теории.

Рассматривая свою эмульсию в микроскоп с увеличением в 8—10 тысяч раз так, как это описано в длинной цитате, которую мы приводили, Перрен увидел, что плотность зёрнышек убывает с высотой. «Мне пришла в голову мысль, – пишет он, – что зёрнышки эмульсии под влиянием веса должны распределиться как молекулы воздуха в зависимости от высоты». Исследователь описывает, и довольно подробно, что на вершине горы воздух разрежен, а вблизи земной поверхности плотность его максимальна. Такая подробность в изложении этого обстоятельства сначала раздражает, а потом вспоминаешь, что самолётов тогда ведь не было, и читатель Перрена не видел ни разу, как при подъёме вверх движется стрелка альтиметра; эти читатели не были пассажирами Аэрофлота и не ощущали боли в ушах, которая весьма материально свидетельствует о законе изменения давления, а значит, и плотности воздуха с высотой.

Истинно, жизнь полна противоречий. Одни и те же факты могут огорчать и радовать. Только что я завидовал тысяча девятьсот восьмому году, а теперь выражаю полное удовлетворение тем, что приходится иметь дело с современными образованными и квалифицированными читателями: для объяснения им какого-либо явления совсем не приходится тратить много слов и времени.

Польстив читателю, перехожу к факту, который был использован Перреном для измерения средней энергии молекул и числа Авогадро.

Если бы не было теплового движения, то весь воздух лёг бы на поверхность земли, а частички эмульсии в каком-либо сосуде осели бы на дно. При наличии же теплового движения, возникает борьба двух сил: сила тяжести прижимает частицы к земле, а тепловое движение бросает их во все стороны, в том числе и вверх. Несмотря на полную беспорядочность движения, шансов у любой молекулы быть наверху все же меньше, чем быть внизу. Действительно, ударов от боковых, верхних и нижних соседок она получает одинаковое число, а сила тяжести действует только вниз. Поэтому частиц внизу должно быть больше, чем вверху.

Несложными и очень красивыми математическими выкладками можно доказать, что плотность частиц, будь то молекулы воздуха или частицы эмульсии, будет плавно убывать с высотой. При этом проявятся следующие довольно очевидные вещи: чем тяжелее частицы, тем больше их будет прижато к земле. Так в случае молекул воздуха падение плотности прослеживается до десятков километров; что же касается частиц эмульсии, то для них кривая плотности спадает так быстро, что на высоте всего лишь нескольких миллиметров, а то и нескольких микронов, шансы встретить заблудившиеся частицы практически равны нулю. Другое следствие – чем выше температура, тем медленнее спадает плотность – играло для Перрена меньшую роль.

Итак, первая идея опытов Перрена заключалась в следующем: изготовить эмульсию и, рассматривая её при большом увеличении, провести подсчёт зёрнышек, расположенных на разных высотах от дна сосуда. Если все это будет проделано, то станет возможной проверка гипотез, ибо теория имела достаточно простую формулу, которая позволяла вычислить среднюю энергию молекулы из результатов таких измерений, а именно, из отношения концентраций зёрен на двух высотах.

Говорить об этом легко и очень трудно сделать. С непреходящим удовольствием продолжал я читать статью Перрена. Описание того, как приготовлялись эмульсии для исследования, воспринимается как художественное произведение с захватывающим сюжетом. Какой огромный объём работы надо было проделать Перрену исключительно своими руками! Для образования взвешенных частичек было перепробовано множество веществ. Особенно подходящим оказался гуммигут, широко используемый художниками для акварели. Но и после отбора нужных веществ было не легче. Надо отделить однородную чистую фракцию от других. На центробежной машине выделить зёрнышки одной массы (а надо помнить, как капризны были в те годы эти машины). Или какого труда стоили аккуратнейшие измерения веса зёрнышек, проделываемые с помощью закона Архимеда; ведь нужно было подбирать такие жидкости, в которых зёрнышки не тонули бы и не всплывали, то есть чтобы плотность жидкости равнялась плотности зёрнышек.

Не менее интересны страницы, посвящённые измерению радиусов зёрнышек. Их значения нужно знать для вычисления энергии молекул, и Перрен для надёжности проделывает эти измерения тремя способами. Совпадение результатов измерений у него было совершенно изумительным: например, одним способом он получил значение, равное 0,212 микрона, другим способом – 0,213 микрона и третьим – 0,211 микрона. Перрен ничего не пишет о времени, которое он тратил на эти работы, но ясно, что только подготовительный этап занял много месяцев.

Как поступил бы исследователь наших дней, вознамерившийся провести опыты по определению числа Авогадро описываемым методом? Наверное, он заказал бы одной фирме приготовление нужной эмульсии, другому учреждению – отбор нужных зёрнышек, третьему – конструкцию микроскопа. Затем приспособил бы электронно-вычислительную машину для подсчёта зёрнышек, а научную статью написал бы в содружестве с пятью-шестью соавторами.

Перрен собрал свою установку сам и приступил (без чьей-либо помощи) к подсчёту зёрнышек. Делать это ему было также не легко.

Приготовив эмульсию, надо было ждать несколько часов, а то и дней, чтобы в эмульсии установилось равновесие и, кроме того, погибли все микробы. (В эмульсию довольно часто попадают протозории – очень активные существа, которые, двигаясь, взбалтывают зёрнышки. Приходится терпеливо ждать, когда они из-за недостатка пищи погибнут и выпадут на дно.) Только тогда можно начать измерения.

Просчитано было им очень много самых разных зёрнышек в самых разных жидкостях и по разной методике. Так, например, зёрнышки гуммигута радиуса 0,212 микрона помещались в ванночку высотой 100 микрон. Измерения делались в четырех горизонтальных слоях, располагавшихся в ванночке на высотах 5 микрон, 35 микрон, 65 микрон и 95 микрон от дна.

Через отверстия, просверлённые в стенке ванночки иглой, было сосчитано до 13 тысяч зёрнышек. В относительных числах (если принято за 100 число зёрен на нижнем уровне) результаты выглядели так: в нижнем слое 100, в следующем – 47, ещё в следующем – 22,6 и, наконец, в верхнем – 12. Если из этих чисел определить среднюю энергию молекулы, а затем обратным расчётом вычислить числа зёрен на высотах, которые указаны, то получатся числа: 100, 48, 23 и 11,1.

Вряд ли кому-либо сегодня (даже используя современную технику) удастся получить лучшее совпадение теории и опыта. Такое совпадение – а оно было получено в большом числе серий измерений – настолько убедительно, что сомнения в справедливости теории после этого представляются по меньшей мере смешными.

Из этих же данных удалось в превосходном согласии с измерениями другими методами определить и число Авогадро.

Как мы уже говорили выше, в 1906 году вышла в свет работа Эйнштейна, следуя которой можно было провести проверку молекулярно-кинетических воззрений и вычисления числа Авогадро совсем другим путём.

В той же статье Перрен проводит непосредственную проверку формул Эйнштейна. Эта его работа была особенно высоко оценена при присуждении ему Нобелевской премии. Кроме того, им проведено наблюдение за отдельным зёрнышком. На клетчатой бумаге фиксировалось положение этого зёрнышка через равные промежутки времени, сначала через каждые 30 секунд, потом через каждые 60, затем ещё через каждые 120 секунд. Точки, фиксировавшие мгновенные положения броуновской частицы, соединялись прямыми линиями. Характер зигзага был совершенно случайным. Но – так предсказывает теория Эйнштейна – для каждого из опытов, проведённых в одинаковых условиях, будет неизменной средняя длина отрезка, соединяющего два последовательных мгновенных положения. Эта средняя длина прочно связана с интересующими нас параметрами молекулярно-кинетической теории. Когда, используя формулу Эйнштейна, вычислили число Авогадро, то оно оказалось тем же, то есть 6·10.

Предпоследний параграф статьи Перрена назван утверждающе: «Действительность молекул». Первая фраза его звучит так: «Я считаю невозможным, чтобы на ум, освобождённый от предвзятости, крайнее разнообразие явлений, приводящих к одному результату, не оставило сильного впечатления, и я думаю, что отныне трудно было бы разумными доводами отстаивать гипотезы, враждебные признанию молекул».

Вот так работы Перрена, которые мы описали, явились окончательным и бесповоротным приговором противникам молекул.

Броуновское движение при этом сыграло свою коронную роль. Однако значение этого интересного явления, а также теории Эйнштейна не исчерпывается его служебной ролью прокурора в суде над феноменологистами.

Оно понадобилось математикам и физикам-теоретикам ещё и как образец идеально беспорядочного движения. Зигзагообразные последовательности прямых отрезков – следы реальной траектории броуновской частицы – могут быть не только зафиксированы на клеточной бумаге, но и засняты на фотоплёнку. Но беспорядок в движении молекул (частиц) столь идеален (я надеюсь, что читатель уже без противления воспримет утверждение, что идеальным может быть не только порядок, но и беспорядок), что совершенно аналогичный зигзаг можно получить с помощью электронно-вычислительной машины, а если не быть придирчивым, то подбрасыванием монетки. Достаточно условиться, что «герб» будет означать поворот вправо, а «цифра» – влево, и мы можем построить картину случайных отклонений от прямого пути.

Итак, повторим ещё раз: топтание на месте частицы эмульсии сравнивается с чередованием проигрышей и выигрышей игрока в «чёт и нечет». В теории вероятностей такие сопоставления – самый обычный приём. Почти любая задача физики, биологии, техники и т.д., требующая применения теории вероятностей, всегда может быть сформулирована на языке карточной или рулеточной игры либо игры в кости или монету.

Но роль теории вероятностей в молекулярной физике далеко выходит за рамки доказательства движения молекул и нахождения средней скорости молекул. Теория позволяет получить отчётливое представление о характере распределения молекул по скоростям.