Текст книги "Большая Советская Энциклопедия (ОП)"

Операторов теория

Опера'торов тео'рия , часть функционального анализа , посвященная изучению свойств операторов и применению их к решению различных задач. Понятие оператора – одно из самых общих математических понятий.

  Примеры:

  1) Отнеся каждому вектору (x₁ , x₂ , x₃ ) вектор (x’₁ , x’’₂ , x’₃ ) так, что x’_i= a_i1 x₁ + a_i2 x₂ + a_i3 x₃ (i = 1, 2, 3; a_i1 , a_i2 , a_i3 – фиксированные числа), получим некоторый оператор.

  2) Операция (оператор) дифференцирования D [f (t )] = f’ (t ) относит каждой дифференцируемой функции f (t ) её производную f’ (t ).

  3) Операция (оператор) определённого интегрирования I =

  4) Отнеся каждой функции f (t ) её произведение j(t ) f (t ) на фиксированную функцию j(t ), снова получаем оператор.

  Общая О. т. возникла в результате развития теории интегральных уравнений, решения задач на нахождение собственных функций и собственных значений для дифференциальных операторов (см., например, Штурма – Лиувилля задача ) и др. разделов классического анализа. О. т. установила тесные связи между этими разделами математики и сыграла важную роль в их дальнейшем развитии. Ещё до возникновения общего понятия оператора операторные методы широко применялись в решении различных типов дифференциальных уравнений, обыкновенных и с частными производными (см. Операционное исчисление ). О. т. представляет собой основной математический аппарат квантовой механики (см. Операторы в квантовой теории).

  Операторы в линейных пространствах . Чаще всего встречаются операторы, действующие в линейных нормированных пространствах (см. Линейное пространство ), в частности в функциональных пространствах, т. е. отображения у = А (х ) линейного пространства R или его части в некоторое линейное пространство R' (возможно, совпадающее с R ). Этот класс операторов охватывает такие важнейшие понятия, как числовые функции ,линейные преобразования евклидова пространства, дифференциальные и интегральные операторы (см. ниже) и т.д. Наиболее изученными и важными для приложений являются линейные операторы. Оператор называется линейным, если A (ax+ by ) = aА (х ) + bА (у ) для любых элементов х , у пространства R и любых чисел a, b. Если пространства R и R' нормированы, а отношение   нормы А (х ) к норме х ограничено, то линейный оператор A называется ограниченным, а верхнюю грань отношения  его нормой. Ограниченность линейного оператора равносильна его непрерывности, т. е. тому, что А (Х_п ) ® А (х ), когда Х_п ® х . Оператор дифференцирования (пример 2) представляет собой один из важнейших примеров неограниченного (а следовательно, и не непрерывного) линейного оператора. См. также Линейный оператор .

  Приведённые выше примеры 1—4 представляют собой примеры линейных операторов. Дальнейшие примеры линейных операторов:

  5) Пусть k (s , t ) – непрерывная функция двух переменных, заданная в квадрате a £ s £ b , а £ t £ b . Формула

  определяет линейный интегральный оператор, называется оператором Фредгольма.

  6) Каждой абсолютно интегрируемой на всей прямой функции f (t ) поставим в соответствие функцию

называется Фурье преобразованием исходной функции. Это соответствие также представляет собой линейный оператор.

  7) Левую часть линейного дифференциального уравнения

можно рассматривать как результат применения некоторого оператора, ставящего в соответствие функции x (t ) функцию j(t ). Такой оператор носит название линейного дифференциального оператора. Простейшим частным случаем линейного дифференциального оператора является оператор дифференцирования.

  Примеры нелинейных операторов:

  8) Пусть A [f (t )] = f ² (t ); определённый т. о. оператор является нелинейным.

  9) Пусть

  (F – некоторая ограниченная непрерывная функция). Соответствие g ® h , определяемое этой формулой, представляет собой нелинейный интегральный оператор.

  Действия над операторами . Пусть дан оператор

у = А (х ),

  причём никакие два разных элемента х и х' не переходят в один и тот же элемент у . Тогда каждому образу у отвечает его единств. прообраз х . Это соответствие называется обратным оператором и обозначают

х = А^–1 (у ).

  Построение обратного оператора эквивалентно решению уравнения у = А (х ) относительно х (отыскание неизвестного прообраза по данному образу).

  Если A₁ и А₂ – два оператора, отображающих R в R' , то их суммой А = A₁ + A₂ называется оператор, определяемый равенством А (х ) = A₁ (x ) + A₂ (x ). Если оператор A₁ переводит R в R' , а A₂ переводит R' в R” , то результат их последовательного применения представляет собой оператор, отображающий R в R” ; его называют произведением A₂A₁ операторов A₁ и A₂ . Если, в частности, рассматриваются операторы, переводящие некоторое линейное пространство в себя, то сумма и произведение двух таких операторов всегда определены. Результат последовательного применения п раз одного и того же оператора А есть n -я степень Aⁿ этого оператора. Например, n -я степень оператора дифференцирования есть оператор n -kpaтного дифференцирования Dⁿ [f (t)] = f ⁽ⁿ⁾ (t). Произведение lА оператора А на число l определяется формулой

(lА )(х ) = lА (х ).

Оператор Е , переводящий всякий элемент х в самого себя, называется единичным. Нулевым называется оператор О , переводящий каждый элемент в нуль. Очевидно, что при любом А справедливы равенства: AE = EA = А и А+О = О + А = А , далее, если, А^–1 существует, то А^–1А = AA^–1 = Е (следует заметить, что для двух произвольных операторов А и В произведения AB и BA , вообще говоря, не равны между собой).

  С помощью операций сложения, умножения операторов и умножения операторов на числа можно определить многочлены от линейного оператора, а путём предельного перехода, понимаемого соответствующим образом, – и более сложные функции от оператора. Например, если D – оператор дифференцирования, то e^D означает оператор, определяемый формулой

,

  имеющий смысл для тех f (t ), для которых ряд справа сходится. Для аналитических функций сумма этого ряда равна f (t + 1), т. е. e^D – оператор сдвига, переводящий f (t ) в f (t + 1).

  Линейные операторы в гильбертовом пространстве . Наиболее полно О. т. разработана для случая линейных операторов в гильбертовом пространстве . Пусть А – ограниченный линейный оператор в гильбертовом пространстве H . Комплексное число l называется собственным значением оператора А , если существует такой элемент х ¹ 0 из H , что А (х ) = lх ; при этом х называется собственным вектором оператора А , отвечающим данному собственному значению. Число l называется регулярной точкой оператора А , если оператор (А + lЕ )^–1 существует, определён на всём Н и ограничен; остальные значения l называется точками спектра оператора А . Каждое собственное значение принадлежит спектру, их совокупность образует точечный спектр, остальную часть спектра называется непрерывным спектром. Тот факт, что спектр линейного оператора, вообще говоря, не исчерпывается его собственными значениями, представляет собой характерную черту линейных операторов в бесконечномерном пространстве, отличающую их от линейных преобразований конечномерного евклидова пространства.

  Оператор А * называется сопряжённым к А , если скалярное произведение (Ax , у ) = (х , А *у ) для всех х и у из Н . Оператор А называется самосопряжённым, если А = А* , и унитарным, если А* = А^–1 . Самосопряжённые и унитарные операторы представляют собой важнейшие и наиболее полно изученные классы линейных операторов в гильбертовом пространстве. Их теория является обобщением теории самосопряжённых и унитарных линейных преобразований n -мерного евклидова пространства. См. также Спектральный анализ (математический).

  Одним из простейших классов ограниченных линейных операторов в гильбертовом пространстве являются вполне непрерывные операторы. Оператор А называется вполне непрерывным, если он переводит всякое ограниченное множество из Н в компактное (см. Компактность ). Спектр вполне непрерывного оператора состоит из конечного или бесконечного счётного числа собственных значений и не имеет отличных от нуля предельных точек. Каждому l ¹ 0 отвечает лишь конечное число линейно независимых собственных функций. Непрерывный спектр отсутствует.

  Самосопряжённый вполне непрерывный оператор А имеет хотя бы одно собственное значение, причём в Н можно выбрать полную ортогональную систему элементов, состоящую из собственных функций оператора А .

  Неограниченные операторы . Понятие ограниченного линейного оператора оказывается во многих случаях слишком узким. Поэтому возникла необходимость рассматривать т. н. неограниченные операторы. Соответствующее, более общее, определение гласит: оператор А называется линейным неограниченным оператором в гильбертовом пространстве Н , если: 1) соответствие у = А (х ) определено для всех х , принадлежащих некоторому линейному многообразию W, называемому областью определения оператора A ; 2) А (aх + by ) = aА (х ) + bA (y ).

  Важнейшим классом неограниченных линейных операторов в гильбертовом пространстве являются дифференциальные операторы. Многие задачи математической физики, в частности теории колебаний, приводят к задаче о разыскании собственных функций и собственных значений различных дифференциальных операторов. Например, цилиндрические функции ,Лежандра многочлены и т.д. представляют собой не что иное, как собственные функции определённых дифференциальных операторов.

  Нелинейные операторы . При изучении операторов предположение об их линейности играет весьма существенную роль. Однако в ряде случаев приходится рассматривать и нелинейные операторы. В частности, важное значение в механике и физике имеют нелинейные интегральные уравнения.

  Лит.: Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 3 изд., М., 1972; Данфорд Н., Шварц Дж. Т., Линейные операторы. Общая теория, пер. с англ., М., 1962.

Операторский транспорт

Опера'торский тра'нспорт в кинематографии и телевидении, предназначен для перемещения оператора и съёмочной аппаратуры в процессе киносъёмок либо телевизионных передач. О. т. применяется при съёмках в движении и для облегчения переходов от одной точки съёмки к другой. К средствам О. т. относятся операторские тележки (рис. 1 ), краны (рис. 2 , 3 ), в отдельных случаях – специально оборудованные автомобили, вертолёты, лодки, сани, плоты и др. Операторские тележки используются для перемещения точки съёмки по горизонтали с незначительным изменением (в пределах 1,5 м ) высоты установки киносъёмочного аппарата или телевизионной передающей камеры . Операторские краны применяются в тех случаях, когда необходимы значит. изменения положения точки съёмки в пространстве. В зависимости от высоты подъёма стрелы различают малые (до 2 м относительно уровня земли), средние (от 2 до 4 м ) и большие (свыше 4 м ) краны. Операторские краны изготавливают с электроприводом всех движений стрелы. Большие операторские автомобили обычно оборудуются на базе либо легковых автомобилей высшего класса, имеющих наиболее спокойный ход, либо легковых вездеходов, позволяющих вести съёмку при движении по плохим дорогам.

  Лит.: Головня Е. В., Киносъемки с движения, М., 1940; Григорьев В. И. Специальные приспособления и устройства для съемки динамических панорам, «Техника кино и телевидения», 1970, № 6.

  В. Б. Толмачев.

Рис. 3. Средний операторский кран, установленный на грузовом автомобиле.

Рис. 1. Операторская тележка с механизированным гидравлическим подъёмом штатива, на котором утановлен киносъёмочный аппарат.

Рис. 2. Малый операторский кран типа 2МКТ с пневмагидравлическим приводом.

Операторское искусство

Опера'торское иску'сство , кинематографический вид творчества; создание совместно с режиссёром и художником методами киносъёмки художественно-изобразительной формы кинофильма и телевизионного фильма. В зрительных образах раскрываются содержание и идея произведения, замысел кинодраматурга и режиссёра. В кадре – необычайно пластичной изобразительной форме – могут быть изображены предмет и его детали, явление и его отдельные элементы, переданы выразительность мимики и жеста, различные виды движения, его темп и скорость, выполнены оптические «укрупнения» и др. Сцены и эпизоды фильма представляют собой изобразительно-монтажную композицию, как бы «вертикальную картину», развёртывающуюся на экране, время показа каждого монтажного кадра ограничено, поэтому важно оптически организовать и направить внимание зрителя, создать «эффект присутствия». Для решения этой задачи применяются съёмки движущимся киносъёмочным аппаратом, особые ракурсы, эффекты освещения и киноперспективы, вариооптика (трансфокаторы). В зависимости от специфики отдельных сцен и эпизодов в О. и. используются принципы других изобразительных искусств и художественных жанров – живописи, графики, пейзажа, портрета, батального, бытового и исторического жанров. О. и. во многом определяет выразительность экранных образов. Основой операторского мастерства является художественное освещение объектов киносъёмки – актёрских мизансцен, архитектурных форм, декораций, интерьера. Обрисовывая светотенью пластические формы фигур, жест и мимику актёра, обозначая освещением место и время действия, оператор решает светотональную и цветовую композиции каждой сцены, «настроение» эпизода. Кинокамера воссоздаёт на экране цвет и фактуру материалов, объёмно-пластическую форму фигур в движении, поэтому применяются различные степени яркости освещения как в черно-белом, так и в цветном киноизображении с целью выявления объёмности предметов, создания иллюзии глубины пространства и др. Важная роль в О. и. принадлежит композиции кадра – одному из методов организации киноматериала, дающему возможность наиболее полно воплотить идеи и образы фильма; раздельно поставленные и снятые монтажные кадры координируются по развитию действия и по изобразительной форме: по движению объектов съёмки и киносъёмочного аппарата, по ракурсам, цвету, освещению, колориту и др.

  Возникновение и развитие О. и. тесно связаны со становлением киноискусства . Самые ранние фильмы представляли собой «живые фотографии». Постепенно в разнообразных по жанрам кинолентах выявилось богатство возможностей и значение О. и. В выдающихся советских фильмах, снятых в 20-е гг., – «Броненосец “Потемкин”» (оператор Э. К. Тиссэ), «Мать» (оператор А. Д. Головня) и др., крупные планы, ракурсные съёмки, новаторские приёмы освещения были использованы для воспроизведения динамики революционные действия, создания образов людей революции. В стремлении к овладению новыми средствами выразительности для воплощения событий революционной истории и современности формировалась советская школа О. и. В 30-е гг. в кинокартинах «Земля» (оператор Д. П. Демуцкий), «Чапаев» (оператор А. И. Сигаев), трилогии о Максиме (оператор А. Н. Москвин), «Ленин в Октябре» и «Ленин в 1918 году» (оператор Б. И. Волчек) и др. О. и. достигло высокого художественного уровня в батальных сценах, живописного мастерства в кинопортрете и жанровых эпизодах. С середины 50-х гг. одновременно с внедрением новых систем кинематографа, в том числе широкоэкранного и широкоформатного, совершенствуются и изобразит. возможности О. и. Создаются художественно-значительные по операторскому решению и мастерству фильмы: «Отелло» (оператор Е. Н. Андриканис), «Летят журавли» (оператор С. П. Урусевский), «Иваново детство» (оператор В. И. Юсов), «Дневные звёзды» и «Чайковский» (оператор М. М. Пилихина), «Война и мир» (оператор А. А. Петрицкий), «У озера» (оператор В. А. Рапопорт), «Белая птица с чёрной отметиной» (оператор Ю. Г. Ильенко), «Освобождение» (оператор И. М. Слабневич), «Невестка» (оператор Х. К. Нарлиев), «Укрощение огня» (оператор С. А. Вронский) и многие др. Интенсивное развитие системы выразительных средств характерно и для телефильмов, в которых основное внимание сосредоточивается на возможности максимально глубоко и убедительно раскрыть внутренний мир человека; особенно показательны телефильмы «Адъютант его превосходительства» (оператор П. Н. Терпсихоров) и «Семнадцать мгновений весны» (оператор П. В. Катаев). Массовый характер, стремительный рост кинематографии и телевидения, расширение тематики и жанров фильмов определяют и рост требований к художественно-изобразительной культуре, её органическому подчинению идейной направленности произведения; большое значение приобретают все компоненты О. и. – портретные характеристики персонажей, светотональное и колористическое решение, фотографическое и техническое качество изображения и др. Метод социалистического реализма предоставляет деятелям советской школы О. и. возможности полного раскрытия творческой индивидуальности, применения новаторских приёмов киновыразительности как необходимого условия воссоздания действительности в ярких и убедительных художественных образах.

  Развитию О. и. в капиталистических странах большой ущерб наносили ремесленничество, стандартизация изобразительной формы, насаждавшиеся кинопредпринимателями, влияние антиреалистических тенденций, голливудских эстетических норм в выборе планов, композиций мизансцен, схем освещения. Однако лучшие представители О. и. стремились обогащать и совершенствовать своё мастерство, правдиво отражать жизнь, развивать прогрессивные традиции национального изобразительного искусства. Большой вклад в О. и. разных периодов развития кинематографа внесли операторы Германии, Франции, США, Италии, Мексики, Японии. Значительных успехов достигли мастера О. и. Польши и др. зарубежных социалистических стран.

  Лит.: Головня А., Свет в искусстве оператора, М., 1945; его же, Мастерство кинооператора, М., 1965; Косматов Л., Операторское мастерство, М., 1962; его же, Свет в интерьере, М., 1973; Ильин Р. Н., Изобразительные ресурсы экрана, М., 1973.

  А. Д. Головня.

Назад к карточке книги "Большая Советская Энциклопедия (ОП)"