Текст книги "Большая Советская Энциклопедия (ОП)"
Автор книги: Большая Советская Энциклопедия
Жанр:
Энциклопедии
сообщить о нарушении
Текущая страница: 5 (всего у книги 22 страниц)
Операторы
Опера'торы в квантовой теории, математическое понятие, широко используемое в математическом аппарате квантовой механики и квантовой теории поля и служащее для сопоставления определённому вектору состояния (или волновой функции) y др. определённых векторов (функций) y'. Соотношение между y и y' записывается в виде y' = 
y, где 
– оператор. В квантовой механике физическим величинам (координате, импульсу, моменту количества движения, энергии и т.д.) ставятся в соответствие О. 
(О. координаты, О. импульса и т.д.), действующие на вектор состояния (или волновую функцию) y, т. е. на величину, описывающую состояние физической системы.
Простейшие виды О., действующих на волновую функцию y(х ) (где х – координата частицы), – О. умножения (например, О. координаты 
,
, 
y =
– постоянная Планка). Если y – вектор, компоненты которого можно представить в виде столбца чисел, то О. представляет собой квадратную таблицу – матрицу .
В квантовой механике в основном используются линейные операторы . Это означает, что они обладают следующим свойством: если 
y1 = y'1 и 
y2 = y'2 , то 
(c1 y1 + c2 y2 ) = c1 y'1 + c2 y'2 , где c1 и с2 – комплексные числа. Это свойство отражает суперпозиции принцип — один из основных принципов квантовой механики.
Существенные свойства О. 
определяются уравнением 
yn = ln yn , где ln – число. Решения этого уравнения yn называется собственными функциями (собственными векторами) оператора 
. Собственные волновые функции (собственные векторы состояния) описывают в квантовой механике такие состояния, в которых данная физическая величина L имеет определённое значение ln . Числа ln называется собственными значениями О. 
, а их совокупность – спектром О. Спектр может быть непрерывным или дискретным; в первом случае уравнение, определяющее y n , имеет решение при любом значении ln (в определённой области), во втором – решения существуют только при определённых дискретных значениях ln . Спектр О. может быть и смешанным: частично непрерывным, частично дискретным. Например, О. координаты и импульса имеют непрерывный спектр, а О. энергии в зависимости от характера действующих в системе сил – непрерывный, дискретный или смешанный спектр. Дискретные собственные значения О. энергии называются энергетическими уровнями.
Собственные функции и собственные значения О. физических величин должны удовлетворять определённым требованиям. Т. к. непосредственно измеряемые физич. величины всегда принимают веществ. значения, то соответствующие квантовомеханич. О. должны иметь веществ. собств. значения. Далее, поскольку в результате измерения физич. величины в любом состоянии y должно получаться одно из возможных собств. значений этой величины, необходимо, чтобы произвольная волновая функция (вектор состояния) могла быть представлена в виде линейной комбинации собств. функций (векторов) yn О. этой физич. величины; др. словами, совокупность собств. функций (векторов) должна представлять полную систему. Этими свойствами обладают собств. функции и собств. значения т.н. самосопряжённых О., или эрмитовых операторов .
С О. можно производить алгебраич. действия. В частности, под произведением О. 
1 и 
2 понимается такой О. 
=
y = y’’, если 
2 y = y’ и 
1 y’ = y’’. Произведение О. в общем случае зависит от порядка сомножителей, т. е .
1
Уравнения квантовой механики могут быть формально записаны точно в том же виде, что и уравнения классической механики (гейзенберговское представление в квантовой механике), если заменить физические величины, входящие в уравнения классической механики, соответствующими им О. Всё различие между квантовой и классической механикой сведется тогда к различию алгебр. Поэтому О. в квантовой механике иногда называют q -числами, в отличие от с -чисел, т. е. обыкновенных чисел, с которыми имеет дело классическая механика.
О. можно не только умножать, но и возводить в степень, образовывать из них ряды и рассматривать функции от О. Произведение эрмитовых О. в общем случае не является эрмитовым. В квантовой механике используются и неэрмитовы О., важным классом которых являются унитарные операторы . Унитарные О. не меняют норм («длин») векторов и «углов» между ними. Неизменность нормы вектора состояния даёт возможность интерпретации его компонент как амплитуд вероятности равным образом в исходной и преобразованной функции. Поэтому действием унитарного О. описывается развитие квантовомеханической системы во времени, а также её смещение как целого в пространстве, поворот, зеркальное отражение и др. Выполняемые унитарными О. преобразования (унитарные преобразования) играют в квантовой механике такую же роль, какую в классической механике играют канонические преобразования (см. Механики уравнения канонические ).
В квантовой механике применяется также О. комплексного сопряжения, не являющийся линейным. Произведение такого О. на унитарный О. называются антиунитарным О. Антиунитарные О. описывают преобразование обращения времени и некоторые др.
В теории квантовых систем, состоящих из тождественных частиц, широко применяется метод квантования вторичного , в котором рассматриваются состояния с неопределённым или переменным числом частиц и вводятся О., действие которых на вектор состояния с данным числом частиц приводит к вектору состояния с измененным на единицу числом частиц (О. рождения и поглощения частиц). О. рождения или поглощения частицы в данной точке х ,
Лит . см. при статьях Квантовая механика ,Квантовая теория поля .
В. Б. Берестецкий.
Операций исследование
Опера'ций иссле'дование , научный метод выработки количественно обоснованных рекомендаций по принятию решений. Важность количественного фактора в О. и. и целенаправленность вырабатываемых рекомендаций позволяют определить О. и. как теорию принятия оптимальных решений. О. и. способствует превращению искусства принятия решений в научную и притом математическую дисциплину. Термин «О. и.» возник в результате буквального перевода американского выражения operations research, являющегося модификацией английского operational research, введённого в конце 30-х гг. 20 в. как условное наименование одного из подразделений британских ВВС, занимавшегося вопросами использования радиолокационных установок в общей системе обороны.
Описание всякой задачи О. и. включает задание компонент (факторов) решения (которые можно понимать как его непосредственные последствия; обычно, хотя и необязательно, компоненты решения являются численными переменными), налагаемых на них ограничений (отражающих ограниченность ресурсов) и системы целей. Всякая система компонент решения, удовлетворяющих всем ограничениям, называется допустимым решением. Каждой из целей соответствует целевая функция, заданная на множестве допустимых решений, значения которой выражают меру осуществления цели. Сущность задачи О. и. состоит в нахождении наиболее целесообразных, оптимальных решений. Поэтому задачи О. и. обычно называются оптимизационными.
Некоторые наиболее важные и разработанные задачи О. и. получили название моделей О. и. Они обычно выделяются содержательной терминологией и имеют специфические методы решения. К их числу относятся транспортная задача , задача размещения, теория надёжности , близкая к ней теория замены оборудования, теория расписаний (называется также теорией календарного планирования), теория управления запасами и теория сетевого планирования . Одной из моделей О. и. считается массового обслуживания теория , хотя ещё не все её задачи приобрели оптимизационный характер.
Среди задач О. и. выделяются те, в которых имеется одна целевая функция, принимающая численные значения. Теория таких задач называется математическим программированием (или оптимальным программированием). Им противостоят задачи с несколькими целевыми функциями или с одной целевой функцией, но принимающей векторные значения или значения ещё более сложной природы. Эти задачи называются многокритериальными. Они решаются путём сведения (часто условного) к задачам с единственной целевой функцией либо на основе использования игр теории .
Принятие решений происходит на основе информации, поступающей к принимающему решение субъекту. Поэтому задачи О. и. естественно классифицировать по их теоретико-информационным свойствам. Если субъект в ходе принятия решения сохраняет своё информационное состояние, т. е. никакой информации не приобретает и не утрачивает, то принятие решения можно рассматривать как мгновенный акт. Соответствующие задачи О. и. называется статическими. Напротив, если субъект в ходе принятия решения изменяет своё информационное состояние, получая или теряя информацию, то в такой динамической задаче обычно целесообразно принимать решение поэтапно («многошаговые решения») или даже развёртывать принятие решения в непрерывный во времени процесс. Значительная часть теории динамических задач О. и входит в динамическое программирование .
Соотношение между информационным состоянием субъекта и его истинным («физическим») состоянием может быть различным. Если информационное состояние охватывает целое множество истинных состояний (субъект знает, что он находится в одном из состояний этого множества, но более точно определить своё истинное состояние не может), то задача принятия решения называется неопределённой и решается методами теории игр. Если информационное состояние состоит из нескольких истинных состояний, но субъект, кроме того, знает («априорные») вероятности каждого из истинных состояний, то задача называется стохастической (вероятностной) и решается методами стохастического программирования. Наконец, если информационное состояние совпадает с истинным, то задача называется детерминированной.
При решении детерминированных задач важную роль играет аналитический вид ограничений и целевой функции. Так, если целевая функция есть линейная форма компонент решения, а ограничения описываются линейными неравенствами, то задача относится к линейному программированию . Остальные детерминированные задачи рассматриваются в нелинейном программировании, в котором естественно выделяются выпуклое программирование и квадратичное программирование. Если по условиям задачи компоненты решения могут принимать лишь целые значения, то задачу относят к целочисленному (дискретному) программированию. Семейство задач, зависящих от параметра, иногда объединяют в одну задачу параметрического программирования. Особым частным случаем детерминированных задач является нахождение минимакса (и максимина).
Первоначально О. и. было связано с решением задач военного содержания, но уже с конца 40-х гг. сфера его приложений стала охватывать разнообразные стороны человеческой деятельности. О. и. используется для решения как чисто технических (особенно технологических), так и технико-экономических задач, а также задач управления на различных уровнях. Применение О. и. в практических оптимизационных задачах даёт значительный экономический эффект: по сравнению с традиционными «интуитивными» методами принятия решений увеличение выигрыша от использования оптимальных решений при одинаковых затратах около 10%.
Лишь отдельные задачи О. и. поддаются аналитическому решению и сравнительно немногие – численному решению вручную. Поэтому рост возможностей О. и. тесно связан с прогрессом электронной вычислительной техники. В свою очередь потребности в решении задач О. и. влияют на рост и состав парка вычислительных машин. Т. к. для задач О. и. характерно большое количество числовых данных, составляющих их условия, для решения этих задач особенно приспособлены вычислительные машины, обладающие большой памятью. Практическое применение О. и. встречает ряд трудностей, возникающих уже при составлении задачи О. и. как модели и особенно при указании целевой функции. Серьёзными могут оказаться математические, в частности вычислительные, затруднения при нахождении оптимального решения задачи.
В СССР и др. странах во многих университетах, высших технических учебных заведениях и институтах повышения квалификации читаются курсы по О. и.
Издаются специальные журналы: «Operational Research Quarterly» (L., с 1950), «Operations Research» (Balt., с 1952), «Naval Research Logistics Quarterly» (Wash., с 1954), «Revue française de recherche opérationnelle» (P., с 1956).
Международная федерация обществ О. и. (International Federation of Operational Research Societies – IFORS) каждые три года созывает международные конгрессы (первый был проведён в 1957 в Лондоне).
Лит.: Морз Ф. М., Кимбелл Д. Е., Методы исследования операций, пер. с англ., М., 1956; Кофман А., Фор P., Займемся исследованием операций, пер. с франц., М., 1966; Черчмен Ч. У., Акофф Р., Арноф Л., Введение в исследование операций, пер. с англ., М., 1968; Акофф Р., Сасиени М. В., Основы исследования операций, пер. с англ., М., 1971; Вентцель Е. С., Исследование операций, М., 1972; Вагнер Г. М., Основы исследования операций, т. 1—3, пер. с англ., М., 1972—73; Operationsforschung. Mathematische Grundlagen, Methoden und Modelle, Hrsg. von W. Dück, М. Bliefernich, Bd 1—3, В., 1971—1973.
Н. Н. Воробьёв.
Операционализм
Операционали'зм , операциональный эмпиризм, философская концепция операциональной перестройки языка науки. О. возник в связи с важнейшими открытиями в физике в начале 20 в., поставившими вопросы о природе физических понятий, об их отношении к эксперименту, о таких определениях понятий, которые гарантировали бы эти понятия от пересмотра при появлении новых экспериментальных фактов. Концепция О. была впервые намечена английским физиком Н. Кэмпбеллом (см. Campbell N., Physics. The elements, Camb., 1920). В работах П. У. Бриджмена 1920-х гг. О. оформляется как идейное течение, претендующее на роль философско-методологические основы теоретического естествознания и общественных наук. Начав с философской критики традиционного взгляда на формулы размерности как на выражение «субстанциальных свойств» физических величин и опираясь на установленную им зависимость размерностей от операций измерения (см. Размерностей анализ ), Бриджмен перенёс идею операционального определения понятий в методологию науки и в теорию познания в качестве общего принципа: «непогрешимое» определение понятий достигается не в терминах свойств, а в терминах операций опыта. Например, понятие длины, определяемое через абстракцию как общее свойство равных отрезков, – неоперациональное, «плохое»; оно превращает в реальность свойство, которое не верифицируется (см. Верификация ) в опыте; напротив, метрическое понятие длины – операциональное, «хорошее»; опыт даёт нам только числовую оценку отрезка, которая может быть вычислена решением уравнения или определена измерением.
Предметные и смысловые значения понятий, согласно О., должны устанавливаться только на основе верификации фраз, содержащих соответствующие понятия, или путём уточнения ответов на вопросы. Во всех этих случаях с понятием соотносят некоторые экспериментальные, в частности измерительные, или мысленные (вербальные), в частности вычислительные («карандашно-бумажные»), операции, фактическое выполнение которых, или мысленное их прослеживание, позволяет «шаг за шагом» выявить смысл понятия и т. о. гарантировать его непустоту.
Подчёркнутая О. идея связи значения понятия с совокупностью действий, в системе которых формируется это значение, характерна для повседневной практики и сама по себе не является новой. Известным аналогом операциональных определений в научной практике могут служить конструктивные, или алгоритмические, определения математики (в арифметике – правила вычислений, в геометрии – правила построений и т.п.). Указав на важность этой связи для теоретического естествознания, О. поставил перед ним задачу конструктивной перестройки в духе той, которая произошла в математике в связи с уточнением понятия алгоритма. При этом сведение к операциональному уровню рассматривается операционалистами как единственно правильный подход к оценке и построению естественнонаучной теорий.
Предложенное самим Бриджменом субъективистское толкование операционального подхода, приводящее по существу к отрицанию объективного содержания – пусть даже и операционально определённых – понятий, оказалось, однако, в противоречии с собственной задачей О. по уточнению научных понятий, поскольку вопрос об их точности теряет смысл при игнорировании объективных границ точности. Теряет смысл и первостепенный для О. вопрос об опытной основе знания, когда недооценивают, как это делают операционалисты, самостоятельную, «руководящую» по отношению к опыту, роль абстракций и абстрактного мышления, в особенности же, когда игнорируют вопрос о «непостороннем» характере тех или иных данных опыта – наблюдений, экспериментов и пр. – по отношению к абстрактным понятиям и моделям, образующим связующее звено в сети операциональных описаний. Многие естественнонаучные теории (классическая механика , общая относительности теория и др.) обязаны своим появлением не операциональному уточнению известных понятий и соответствующих им данных опыта (например, путём более точных измерений), а «устранению» тех, вообще говоря, вполне осмысленных представлений опыта, которые противоречат принципиально новым понятиям и моделям этих теорий. Например, одним из доводов в пользу геоцентрической системы Птолемея служил повседневный опыт и соответствующие ему понятия о движении небесных тел, но, как заметил Коперник, это был опыт «посторонний» для гелиоцентрической модели Вселенной. Таким же посторонним стал «наш повседневный» опыт плоского (евклидова) пространства для эйнштейновской теории тяготения .
Операциональный эмпиризм оказал значительное влияние на методологию теоретического естествознания, в особенности на методологию физики (А. Эддингтон, Великобритания; Ф. Франк, Г. Маргенау, США, и др.) и психологии (её бихевиористского направления – Дж. К. Пратт, Б. Скиннер, С. Стивенс, США, и др.; см. Бихевиоризм ). Абсолютизация операционального анализа привела многих сторонников О. к своего рода «операциональному догматизму».
Лит.: Пшелэнцкий М., О так называемых операционных определениях, в кн.: Studia Logica, t. 3, Warsz., 1955; Хилл Т. И., Современные теории познания, пер. с англ., М., 1965; Горский Д. П., Операциональные определения и операционализм П. Бриджмена, «Вопросы философии», 1971, № 6; Кемпфер Ф. А., Путь в современную физику, пер. с англ., М., 1972. См. также лит. при ст. Бриджмен П. У.
М. М. Новосёлов.
Операционное время
Операцио'нное вре'мя , время, затрачиваемое на выполнение операции производственной . Рассчитывается методами технического нормирования. Его главной задачей в условиях социалистического производства является обеспечение быстрого роста производительности труда. Поэтому при нормировании О. в. изучаются и выявляются все явные и скрытые потери рабочего времени, разрабатываются организационно-технические мероприятия, обеспечивающие ликвидацию этих потерь, а также проектируются и внедряются нормы времени , основанные на передовой организации труда.
Операционное исчисление
Операцио'нное исчисле'ние , один из методов математического анализа, позволяющий в ряде случаев посредством простых правил решать сложные математические задачи. О. и. имеет особенно важное значение в механике, автоматике, электротехнике и др. В основе метода О. и. лежит идея замены изучаемых функций (оригиналов) некоторыми др. функциями (изображениями), получаемыми из первых по определённым правилам (обычно, изображение – функция, получаемая из данной Лапласа преобразованием ). При такой замене оператор дифференцирования р = 
интерпретируется как алгебраическая величина, вследствие чего интегрирование некоторых классов линейных дифференциальных уравнений и решение ряда др. задач математического анализа сводится к решению более простых алгебраических задач. Так, решение линейного дифференциального уравнения сводится к более простой, вообще говоря, задаче решения алгебраического уравнения; из алгебраического уравнения находят изображение решения данного уравнения, после чего по изображению восстанавливают само решение. Операции нахождения изображения по оригиналу (и наоборот) облегчаются наличием обширных таблиц «оригинал – изображение».
Для развития О. и. большое значение имели работы английского учёного О. Хевисайда. Он предложил формальные правила обращения с оператором р = 
и некоторыми функциями от этого оператора. Пользуясь О. и., Хевисайд решил ряд важнейших задач электродинамики. Однако О. и. не получило в трудах Хевисайда математического обоснования, многие его результаты оставались недоказанными. Строгое обоснование О. и. было дано с помощью интегрального преобразования Лапласа. Если при этом преобразовании функция f (t ), 0 £ t < + ¥, переходит в функцию F (z ), z = x+iy :
f (t ) ® F (z ),
то производная
f (t ) ® zF (z ) – f (0) (*)
и интеграл
.
Следовательно, оператор дифференцирования р переходит в оператор умножения на переменную z , а интегрирование сводится к делению на z . В след. краткой таблице даны (при t ³ 0 ) примеры соответствия
| оригинал ® | изображение |
| f (t ) | F (z ) |
| 1 | 1/z |
| t n | n !/z n+1 (n > 0 – целое) |
| е lt | 1/(z – l) |
| cos wt | z /(z 2 + w2 ) |
| sin wt | w/(z 2 + w2 ) |
Пример. Найти методом О. и. решение у = f (t ) линейного дифференциального уравнения
у” – у' – 6у = 2e 4t
при начальных условиях
y0 = f (0) = 0 и y '=f ’(0) = 0.
Переходя от искомой функции f (t ) и данной функции 2e4t к их изображениям F (z ) и 2/(z – 4) (см. табл.) и применяя формулу (*) для изображения производных, получим
z2F (z ) – zF (z ) – 6F (z ) = 
,
или
F (z ) = 
.
Откуда (опять по таблице)
y = f (t ) = 
Другой путь обоснования О. и. предложен польским математиком Я. Микусиньским (1953), опиравшимся на понятие функционального кольца. Для обоснования методов О. и. можно воспользоваться теорией обобщённых функций. Имеются различные обобщения О. и. Существует многомерное О. и., основанное на теории кратных интегралов. Созданы О. и. дифференциальных операторов, отличных от оператора р = 
, например B = 
. Эти теории также основываются на изучении функциональных колец, в которых надлежащим образом определено понятие произведения функций.
Лит.: Диткин В. А., Прудников А. П., Справочник по операционному исчислению, М., 1965; их же, Операционное исчисление, М., 1966; Микусинский Я., Операционное исчисление, пер. с польск., М., 1956; Штокало И. 3., Операционное исчисление, К., 1972.
В. А. Диткин.
