Текст книги "Большая Советская Энциклопедия (БЕ)"

Бесконечность в математике

Бесконе'чность в математике. «Математическое бесконечное заимствовано из действительности, хотя и бессознательным образом, и поэтому оно может быть объяснено только из действительности, а не из самого себя, не из математической абстракции» (Энгельс Ф., Анти-Дюринг, 1966, с. 396). Материальная основа математического бесконечного может быть понята только при условии, что оно рассматривается в диалектическом единстве с конечным. Каждая математическая теория связана обязательным для неё требованием внутренней формальной непротиворечивости. Поэтому возникает вопрос о том, как соединить это требование с существенно противоречивым характером действительности: Б. «Уничтожение этого противоречия было бы концом бесконечности» (там же, с. 47). Ответ на этот вопрос заключается в следующем. Когда в теории пределов рассматриваются бесконечные пределы lim a_n = ¥, или в теории множеств – бесконечные мощности, то это не приводит к внутренним формальным противоречиям в указанных теориях лишь потому, что эти различные специальные виды математических Б. являются лишь крайне упрощёнными, схематизированными образами различных сторон Б. действительного мира.

  Задачи настоящей статьи ограничиваются указанием на различные подходы к Б. в математике, освещаемые подробнее в других статьях.

  1) Представление о бесконечно малых и бесконечно больших переменных величинах является одним из основных в математическом анализе. Предшествовавшая современному подходу к понятию бесконечно малой концепция, по которой конечные величины составлялись из бесконечно большого числа бесконечно малых «неделимых» (см. «Неделимых» метод ), трактовавшихся не как переменные, а как постоянные и меньшие любой конечной величины, может служить одним из примеров незаконного отрыва бесконечного от конечного: реальный смысл имеет только разложение конечных величин на неограниченно возрастающее число неограниченно убывающих слагаемых.

  2) Совсем в другой логической обстановке Б. появляется в математике в виде «несобственных» бесконечно удалённых геометрических образов (см. Бесконечно удалённые элементы ). Здесь, например, бесконечно удалённая точка на прямой а рассматривается как особый постоянный объект, «присоединённый» к обычным конечным точкам. Однако неразрывная связь бесконечного с конечным обнаруживается и здесь, хотя бы при проектировании из центра, лежащего вне прямой, при котором бесконечно удалённой точке оказывается соответствующей прямая, проходящая через центр проектирования и параллельная основной прямой а.

  Аналогичный характер имеет пополнение системы действительных чисел двумя «несобственными» числами +¥ и -¥, соответствующее многим запросам анализа и теории функций действительного переменного. Можно подойти с такой же точки зрения и к пополнению ряда натуральных чисел 1, 2, 3,..., трансфинитными числами w, w + 1,..., 2w, 2w + 1,.... В связи с различием между переменными бесконечно малыми и бесконечно большими величинами, с одной стороны, и «несобственными» бесконечно большими числами, рассматриваемыми как постоянные, – с другой, возникли термины «потенциальная» Б. (для первых) и «актуальная» Б. (для вторых). В этом первоначальном понимании (о другом, современном понимании, см. ниже) спор между сторонниками актуальной и потенциальной Б. можно считать законченным. Бесконечно малые и бесконечно большие, лежащие в основе определения производной (как отношения бесконечно малых) и интеграла (как суммы бесконечно большого числа бесконечно малых) и примыкающих сюда концепций математического анализа, должны восприниматься как «потенциальные». Наряду с этим в надлежащей логической обстановке в математику вполне закономерно входят и «актуальные» бесконечно большие «несобственные» числа (и даже во многих различных аспектах: как количественные и порядковые трансфинитные числа в теории множеств, как несобственные элементы + ¥ и -¥ системы действительных чисел и т.д.).

  В математике приходится иметь дело с двумя способами присоединения к числовой системе бесконечных «несобственных» элементов.

  а) С проективной точки зрения на прямой находится одна «бесконечно удалённая точка». В обычной метрической системе координат этой точке естественно приписать абсциссу ¥. Такое же присоединение к числовой системе одной Б. без знака употребляется в теории функций комплексного переменного. В элементарном анализе при изучении рациональных функций

где Р (х ) и Q (x ) – многочлены, в тех точках, где Q (x ) имеет нуль более высокого порядка, чем Р (х ), естественно положить f (x ) = ¥. Для несобственного элемента ¥ устанавливаются такие правила действий:

  ¥ + а = ¥, если а конечно;

  ¥ + ¥ не имеет смысла;

  ¥ · а = ¥, если а ¹ 0;

  ¥ · 0 не имеет смысла.

  Неравенства с участием ¥ не рассматриваются: бессмысленно спрашивать, больше или меньше ¥, чем конечное а.

  б) При изучении действительных функций действительного переменного систему действительных чисел дополняют двумя несобственными элементами +¥ и -¥. Тогда можно положить, что -¥ < а < +¥ для любого конечного а, и сохранить основные свойства неравенств в расширенной числовой системе. Для +¥ и -¥ устанавливаются такие правила действий:

  (+¥) + а = +¥, если а ¹ - ¥;

  (-¥) + а = -¥, если а ¹ +¥;

  (+¥) + (-¥) лишено смысла;

  (+¥) ´·а = +¥, если а > 0;

  (+¥) ´ а = - ¥, если а < 0;

  (-¥) ´·а = -¥, если a > 0;

  (-¥) ´ а = +¥, если а < 0;

  (+¥) ´ 0 и (¥) ´ 0 лишены смысла.

  В каждом математическом рассуждении следует отдавать себе отчёт, пользуемся мы в нём настоящей (не расширенной) числовой системой или расширенной, и в каком именно из двух указанных смыслов.

  3) Основной интерес, но и основные трудности математического учения о Б. сосредоточиваются сейчас на вопросе о природе бесконечных множеств математических объектов. Следует, в частности, иметь в виду, что достигнутая ныне полная отчётливость и законченность теории бесконечно больших и бесконечно малых переменных величин заключается лишь в сведении всех трудностей этой теории к вопросу обоснования учения о числе, в которое существенно входит представление о Б. системы чисел. Утверждение о том, что у бесконечно мало, имеет смысл только при указании характера изменения у в зависимости от какого-либо другого переменного х; например, говорят, что у бесконечно мало при х ® а, если при любом e > 0 существует такое d > 0, что из |х – a | < d вытекает |у| < e. В самое это определение уже входит предположение, что функция y = f (x ) определена для бесконечного множества значений х (например, для всех действительных х, достаточно близких к а ). О бесконечных множествах в математике подробнее см. Множеств теория .

  В теории множеств терминам «актуальная» и «потенциальная» Б. придают обычно глубокий смысл, не имеющий ничего общего с наименованием каждой бесконечной мощности «актуально бесконечным числом». Дело в том, что бесконечные системы математических объектов (например, натуральных или действительных чисел) никогда не задаются простым перечислением, как это возможно для конечных систем объектов. Было бы очевидным абсурдом предполагать, что кто-либо «образовал» множество натуральных чисел, перечислив их фактически «все» одно за другим. На самом деле множество натуральных чисел изучают, исходя из процесса образования его элементов переходом от n к n + 1. В случае континуума действительных чисел уже рассмотрение одного его элемента – действительного числа – приводит к изучению процесса образования его последовательных приближённых значений, а рассмотрение всего множества действительных чисел приводит к изучению общих свойств такого рода процессов образования его элементов. В этом именно смысле сама Б. натурального ряда, или системы всех действительных чисел (континуумы), может характеризоваться как Б. лишь «потенциальная». Точке зрения потенциальной Б. противополагается взгляд на бесконечные множества как «актуально» заданные, независимо от процесса их образования. Выяснение вопроса о том, в какой мере и при каких условиях при изучении бесконечных множеств законно такое абстрагирование от процесса их образования, ещё нельзя считать законченным. См. Множеств теория , Логика , Математика .

  А. Н. Колмогоров.

Бесконечность в философии

Бесконе'чность в философии, понятие, употребляемое в двух различных смыслах: качественная Б., выражаемая в законах науки и фиксирующая универсальный (всеобщий) характер связей явлений; количественная Б., выступающая как неограниченность процессов и явлений (см. Бесконечность в математике).

  Проблема качественной Б. обсуждалась уже в антической философии, в частности в связи с космогонией и проблемами природы мышления. Но особое значение она приобрела в философии нового времени в связи с развитием естествознания и проблемами его логического обоснования (Р. Декарт, Дж. Локк, Г. Лейбниц). Глубокий философский анализ проблемы Б. дал Г. Гегель, различивший истинную (качественную) и «дурную» Б. как безграничное увеличение количества и связавший категорию Б. с характеристикой процессов развития. Эти идеи были материалистически переосмыслены марксизмом, подчеркнувшим диалектическую взаимосвязь Б. и конечного, противоречивую природу Б. Важное значение имело указание связи Б. с категорией всеобщего. Как писал Ф. Энгельс, «... форма всеобщности есть форма внутренней завершённости и тем самым бесконечности; она есть соединение многих конечных вещей в бесконечное» (Маркс К. и Энгельс Ф., Соч., 2 изд., т. 20, с. 548—49).

  Применительно к космологическим проблемам количественная Б. рассматривается обычно как Б. материального мира в пространстве и времени .

  Противоборствующими здесь являются, с одной стороны, религиозная и идеалистическая точка зрения, толкующая Б. как Б. бога, его вневременность или как продукт сознания, а с др. стороны, – точка зрения материализма, рассматривающего Б. как одно из свойств пространства и времени и исследующего её в опоре на результаты математики и космологии. По данным современной космологии, Вселенная (материальный мир, рассматриваемый лишь в аспекте пространственно-временного распределения масс) бесконечна в пространстве и времени, а её пространственные и временные характеристики по отдельности могут быть и конечными, и бесконечными, в зависимости от выбора системы отсчёта.

  В физике Б. рассматривается как Б. «вглубь» в связи с проблемой структуры элементарных частиц .

  Лит.: Философия естествознания, в. 1, М., 1966, с. 28, 191—207; Наан Г. И., Понятие бесконечности в математике, физике и астрономии, М., 1965; его же. Типы бесконечного, в кн.: Эйнштейновский сборник 1967, М., 1967; Зельманов А. Л., О бесконечности материального мира, в кн.: Диалектика в науках о неживой природе, М., 1964.

  И. С. Алексеев.

Бесконечный ряд

Бесконе'чный ряд (матем.), см. Ряд .

Бесконтактная система управления электроприводом

Бесконта'ктная систе'ма управле'ния электроприво'дом , электромеханическая система автоматического управления, которая не содержит замыкающих и размыкающих контактов в электрических цепях, питающих электропривод. В системах управления электроприводом стремятся избежать замыкания и размыкания электрических цепей контактами, т.к. они снижают надёжность и технико-экономические показатели электроприводов. Электрические контакты изнашиваются, подгорают, иногда привариваются, искрят, создают шум и радиопомехи. Основные достоинства Б. с. у. э. – надёжность, долговечность, снижение пожарной опасности, шумов и радиопомех, повышение быстродействия и снижение затрат труда на обслуживание электроприводов.

  На практике наиболее широко применяют Б. с. у. э., использующие бесконтактные электрические аппараты , основными элементами которых служат тиристоры , а также транзисторы и магнитные усилители , работающие в ключевом режиме. Включение и отключение тока в главных цепях управления мощных электродвигателей часто выполняются узлами (системами) «управляемый преобразователь-двигатель» (рис. 1 ). Электрические цепи, соединяющие преобразователь и двигатель, в этом случае не размыкаются. Преобразователь получает электрические сигналы управления и регулирует электрическое напряжение и силу тока в двигателе. Б. с. у. э., выполняющие командные, защитные, счётные и др. операции, состоят из бесконтактных преобразователей малой мощности, реле, датчиков и логических элементов.

  Если напряжение на входных зажимах контактного (a) и бесконтактного (б) элементов систем управления электроприводами (рис. 2 ) равно или близко к нулю, то контакты 1' , 2', 3' реле 1, 2, 3 замыкаются, а транзистор Т оказывается запертым, и по обмотке управления ОУ протекает ток от источника питания Un. Если на один или несколько входов поступает сигнал в виде некоторого, например, отрицательного потенциала, реле обесточиваются, их контакты размыкаются, а транзистор открывается, и ОУ оказывается либо отключенной, либо зашунтированной малым внутренним сопротивлением открытого транзистора. При этом сила электрического тока уменьшается практически до нуля, но поступление тока в ОУ полностью не прекращается.

  Лит.: Зимин Е. Н., Преображенский В. И. и Соколов Н. Г., Элементы и схемы бесконтактного управления металлорежущими станками, М.—Л., 1966; Системы регулируемого электропривода металлорежущих станков. Сб. ст., М., 1967; Автоматизация производства и промышленная электроника, т. 1, М., 1962, с. 102.

  А. А. Сиротин.

Рис. 2. Элементы систем управления электроприводами: а – контактный; 1, 2, 3, – реле; б – бесконтактный; r – сопротивление, T – транзистор; Un – источник питания; OУ – обмотка управления.

Рис. 1. Блок-схема узла «бесконтактный управляемый преобразователь-двигатель»: U_d – напряжение; i_d – сила тока; n – частота вращения двигателя.

Бесконтактный электрический аппарат

Бесконта'ктный электри'ческий аппара'т, устройство, осуществляющее включение, отключение и переключение тока в электрической цепи не механическим замыканием (размыканием) контактов, а скачкообразным изменением внутреннего сопротивления управляемого элемента, включенного в цепь последовательно с нагрузкой. В качестве такого элемента применяют магнитные усилители с обратной связью, работающие в релейном режиме; полупроводниковые приборы , меняющие своё сопротивление в зависимости от силы тока управления; некоторые полупроводниковые сопротивления, изменяющие свои параметры при нагреве до определённой температуры, и др. В отличие от контактных аппаратов, в положении «отключено» через Б. э. а. протекает ток небольшой силы, обусловленный большим, но конечным внутренним сопротивлением управляемого элемента в закрытом состоянии. В положении «включено» это сопротивление резко уменьшается, но остаётся всё же в 10—50 раз больше переходного сопротивления контактного аппарата, вследствие чего Б. э. а. допускают значительно меньшие токовые перегрузки.

  Б. э. а. устанавливают в цепях защиты электрических сетей, в системах автоматического управления и регулирования и в слаботочных цепях электрических установок. Отсутствие в Б. э. а. замыкающих и размыкающих электрических контактов способствует их надёжной работе в химически агрессивных, взрывоопасных, пыльных, влажных и др. аналогичных средах. Применение полупроводниковых приборов повышает быстродействие Б. э. а. (до нескольких мксек ), увеличивает частоту циклов включений-отключений и удлиняет срок его службы. Для коммутации сильноточных электрических цепей часто применяют параллельное соединение Б. э. а. на полупроводниках с контактным выключателем. Б. э. а. в этом случае обеспечивает все преимущества бесконтактного включения (отключения), а контактный аппарат – длительное пропускание большой силы тока и термическую и динамическую устойчивость при коротких замыканиях.

  В. Т. Нежданов.

Бескрылая гагарка

Бескры'лая гага'рка (Pinguinus impennis), вымершая нелетающая птица семейства чистиковых. Близка к современным гагаркам . Длина тела до 70 см, крылья маленькие, хорошо приспособленные к гребле под водой. Питалась рыбой. Населяла Атлантическое побережье Европы, Северной Америки и Исландии. Зимой, видимо, доходила до Флориды и Средиземного моря. Добывали ради вкусного мяса; в 19 в. была полностью истреблена (в 1844 на острове Эльдей, близ Исландии, была убита последняя пара Б. г.).

Бескрылая гагарка.

Бескрылые

Бескры'лые, отряд птиц; то же, что киви .

Назад к карточке книги "Большая Советская Энциклопедия (БЕ)"