Текст книги "Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики с таблицей"

Автор книги: Всеволод Беллюстин

сообщить о нарушении

Текущая страница: 11 (всего у книги 15 страниц)

Сокращеніе дробей и приведеніе къ одному знаменателю.

Умѣнье сокращать дроби восходитъ довольно далеко и замѣчается у математиковъ, жившихъ еще до Р. X. Самымъ простымъ способомъ былъ тотъ, который практикуется и у насъ, т. е. дѣленіе числителя и знаменателя на одно какое – нибудь небольшое число, въ родѣ 2, 3, 5 и т. д. Эвклидъ (за 300 л до Р. X.) въ совершенствѣ знаетъ способъ послѣдовательнаго дѣленія, т.е. когда большее число дѣлится на меньшее, меньшее на первый остатокъ, первый на второй и т. п. до тѣхъ поръ, пока не будетъ найденъ общій дѣлитель. Этотъ способъ разработанъ былъ Эвклидомъ въ геометріи и имъ же предлагается для сокращенія дробей. Въ трудѣ ученаго Боэція (въ VI ст. по Р. X.) рекомендуется послѣдовательное вычитаніе, какъ средство для сокращенія дробей; при этомъ, схоже съ Эвклидомъ, меньшее число отнимается отъ большаго столько разъ, сколько можно, первый остатокъ отнимается отъ меньшаго числа, второй остатокъ отъ перваго и т. д. до тѣхъ поръ, пока, подобно Эвклиду, не будетъ найдено общаго дѣлителя, на котораго затѣмъ и остается раздѣлить числителя и знаменателя. Кромѣ того, въ средніе вѣка составлялись довольно длинныя таблицы для сокращенія дробей; въ нихъ выписывалось подробно, на какихъ именно производителей можетъ разлагаться каждое изъ составныхъ чиселъ. Былъ и еще пріемъ довольно своеобразный. Требуется, положимъ, сократить ¹⁴/₂₁. Для этого помножаемъ числителя и знаменателя дроби на такое число, чтобы новый числитель содержалъ въ себѣ прежняго знаменателя; въ нашемъ примѣрѣ достаточно помножить 14 на 3, получится 42, дѣлимъ это число на 21; будетъ 2, а весь отвѣтъ составить ⅔. Этотъ способъ можетъ и теперь иногда пригодиться, напр., въ устномъ счетѣ.

Въ старинныхъ русскихъ ариѳметикахъ сокращеніе называлось такъ: «уменьшеніе долямъ». Это выраженіе неправильно, потому что величина дроби при сокращеніи не измѣняется и, слѣд., не уменьшается, а уменьшается только числитель и знаменатель; такимъ образ., здѣсь сама дробь смѣшивается съ ея членами, а это вовсе не одно и то же. Подобный неправильнйй терминъ встрѣчается еще и сейчасъ въ нѣмецкой литературѣ: verkleinern – уменьшеніе, вмѣсто слова сокращеніе.

Приведеніе дробей къ одному знаменателю встрѣчалосъ еще у древнихъ египтянъ, хотя они предпочитали обходиться безъ него. Общимъ знаменателемъ у нихъ не всегда было наименьшее кратное число; напр., чтобы привести къ одному знаменателю дроби ¹³/₁₅ и ⁷/₂₀, они не брали обязательно числа 60 и не замѣняли данныхъ дробей чрезъ 52/60 и 21/60; они пользовались знаменателемъ и 120 и 300 и т. п., и выражали предыдущія дроби чрезъ ¹⁰⁴/₁₂₀ и ⁴²/₁₂₀, ²⁶⁰/₃₀₀ и ¹⁰⁵/₃₀₀. Мало того, знаменателемъ выбиралось иногда такое число, которое вовсе не дѣлилось на данныхъ знаменателей. Попытаемся, напр., привести дроби ¹³/₁₅ и ⁷/₂₀ къ общему знаменателю 30, тогда получится ²⁶/₃₀ и 10½ тридцатыхъ, такъ какъ тридцатыя доли въ полтора раза мельче двадцатыхъ. Такимъ образомъ, мы видимъ, что древніе египтяне не стѣснялись формой числителя и допускали дробныхъ числителей. Это указываетъ на значительное пониманіе ими свойствъ дробей: они, слѣд., вникали въ ихъ смыслъ, умѣли обращаться съ ними свободно и увѣренно и примѣняли ихъ, смотря по удобству, къ различнымъ особенностямъ задачъ. Средневѣковая ариѳметика уступаетъ въ этомъ отношеніи древней. Въ ней гораздо больше механизма, заученныхъ правилъ, строго очерченныхъ пріемовъ, и поэтому гораздо меньше свободнаго соображенія. Это обусловливается общимъ отпечаткомъ средневѣковой науки, какъ исключительно ремесленной, сухой, не позволяющей вникать въ суть и вертѣвшейся на формахъ. Въ XVI в. по Р. X. учебники относительно этого говорили кратко и внушительно: «перемножъ крестъ-накрестъ, затѣмъ перемножь знаменателей!» Косой крестъ считался даже знакомъ приведенія дробей къ одному знаменателю, потому что онъ лучше всего указывалъ порядокъ вычисленія: достаточно числителя первой дроби помножить на знаменателя второй, а числителя второй дроби на знаменателя первой, – это будутъ числители, общимъ же знаменателемъ будетъ произведеніе данныхъ знаменателей. Похоже на это, и знакомъ дѣленія дробей служилъ въ то время косой крестъ, потому что и при дѣленіи надо множить крестъ на крестъ, т.-е. числителя одной дроби на знаменателя другой.

Механическое правило, по которому дроби приводятся къ одному знаменателю, касалоеь не только двухъ дробей, но и нѣсколькихъ. Дано, напр., выразить въ одинаковыхъ доляхъ ⁴/₁₅, ⁷/₂₀, ⁹/₂₅. Тогда составляли сперва произведеніе 15 на 20 и приводили первыя двѣ дроби въ такой видъ: ⁸⁰/₃₀₀, ¹⁰⁵/₃₀₀. Потомъ составляли произведеніе 300 на 25 и получали общимъ знаменателемъ число 7500, такъ что 3 данныхъ дроби превращались уже въ ²⁰⁰⁰/₇₅₀₀, ²⁶²⁵/₇₅₀₀, ²⁷⁰⁰/₇₅₀₀. Знаменатель, какъ видимъ, возросъ до значительной величины, и все оттого, что математики не научились пользоваться наименьшимъ кратнымъ данныхъ знаменателей. У Магницкаго дроби ⅔, ¾, ⁵/₆, ⁴/₅ приведены къ знаменателю 360, вмѣсто того, чтобы имъ имѣть общаго знаменателя 60; у него получаются такіе отвѣты: ²⁴⁰/₃₆₀, ²⁷⁰/₃₆₀, ³⁰⁰/₃₆₀, ²⁶⁸/₃₆₀ послѣ ряда длинныхъ вычисленій, занимающихъ цѣлую страницу книги. Даже въ ариѳметикѣ Степана Румовскаго (С.-Петерб., 1760 г.) дроби ⅓ и ²/₉ приводятся къ обще-му знаменателю 27, а не 9, какъ это сдѣлали бы мы. Изъ всего этого видно, что правило, по которому общ. знаменателемъ должно служить наименьшее кратное, является сравнительно новымъ правиломъ и замѣнялось прежде тѣмъ порядкомъ, что общій знаменатель составлялся прямо перемноженіемъ данныхъ знаменателей.

Дѣйствія надъ простыми дробями.

Въ настоящее время принято во всѣхъ учебникахъ, чтобы дѣйствія надъ дробями шли въ такомъ порядкѣ: сложеніе, вычитаніе, умноженіе и дѣленіе. Прежде было иначе: старинные авторы предпочитали начинать съ умножевія и дѣленія, и потомъ уже они переходили къ сложенію и вычитанію; при этомъ они руководствовались тѣмъ, что для умноженія и дѣленія не надо приводить къ общему знаменателю и, слѣд., эти два дѣйствія гораздо легче тѣхъ двухъ.

Мы будемъ держаться общепринятаго порядка и поэтому скажемъ сперва нѣсколько словъ о сложеніи. Изъ его особенностей отмѣтимъ только ту, которая касается сложенія нѣсколькихъ дробей. Для этого, обыкновенно, складывали сперва только двѣ дроби, сумму ихъ сокращали, если только она сокращается; потомъ къ ней прикладывали третью дробь и сумму опять сокращали, если только можно, и т. д. Если сложеніе до послѣдней дроби. Въ XVI ст. по Р. X. умѣли, впрочемъ, складывать нѣсколько дробей сразу, но тогда ужъ принимали за общаго знаменателя произведеніе всѣхъ знаменателей. Для облегченія сложенія придумывались особенныя таблицы, въ которыхъ были помѣщены суммы наиболѣе употребительныхъ долей. Напр.: итальянецъ Леонардо Фибонначи (въ XIII ст. по Р. Хр.) даетъ въ своемъ учебникѣ таблицу сложенія дробей, у которыхъ знаменателемъ служатъ числа: 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10.

Вычитаніе. Древніе египтяне замѣняли вычитаніе дробей сложеніемъ. Вмѣсто того, чтобы привести дроби къ одному знаменателю и потомъ вычесть числителей, какъ это вездѣ дѣлается, они задавались вопросомъ: какое число надо прибавить къ меньшему данному числу, чтобы получить большее данное? Напр., сколько недостаетъ до единицы у

(египтяне, обыкновенно, пользовались только основными дробями, т.-е. съ числителями, равными единицѣ); они рѣшали этотъ вопросъ слѣдующимъ образомъ: общій знаменатель 45, складываемъ 11¼, 5½, ⅛, 4½, 1½, 1, будетъ всего 23 ½¼⅛; до ⅔ не хватаетъ

; всего до 1 не хватаетъ ⅓ ¹/₉¹/₄₀ —это есть отвѣтъ. Читатель, навѣрное, понялъ, что здѣсь между дробями пропущены знаки сложенія: египтяне ихъ и не ставили и полагали, что достаточно написать дроби рядомъ, чтобы принять ихъ за слагаемыя.

Умноженіе. Умножить какое-нибудь количество на правильную дробь значитъ найти такую долю этого количества, какая выражается множителемъ. Это такъ ясно и понятно. Тѣмъ не менѣе нахожденіе частей числа почему-то отдѣлялось и отдѣляется отъ умноженія и принимается за какое-то особенное вычисленіе, которое должно яко бы предшествовать 4 ариѳм. дѣйствіямъ. Почему все это такъ, и гдѣ кроется корень недоразумѣнія, – объяснить трудно, такъ какъ исторія ариѳметики не даетъ надежнаго ключа къ разгадкѣ. Но любопытно сопоставить это дѣло съ другимъ недоразумѣніемъ, которое нѣсколько вѣковъ тому назадъ особенно авторитетно выставлялось на первый планъ, считаясь чѣмъ то непреложнымъ, а въ настоящее время оно оставлено и забыто. Касается оно слѣдующаго. Въ вычисленіяхъ съ дробными числами, кромѣ чиселъ цѣлыхъ и дробей, встрѣчались еще такъ наз. доли отъ долей; это были длинныя формулы, состоящія изъ огромнаго ряда дробей, которыя не подлежали упрощенію и въ сыромъ видѣ входили въ дѣйствіе. Лучше всего пояснить это на примѣрѣ: сложить ⅔ отъ ⁴/₅ отъ ⁵/₆ съ ⅞ отъ ⁹/₁₀, или еще: изъ 10 вычесть 3⅔ отъ 2½ отъ ⁴/₅. Ясно, что здѣсь невычисленныя формулы, и что прежде чѣмъ складывать или вычитать, надо привести слагаемыя или же уменьшаемое съ вычитаемымъ въ обработанный видъ. Получится ⅔ отъ ⁴/₅⁵/₆= ⁴⁰/₉₀ = ⁴/₉;

⁵/₆ отъ ⅞ отъ ⁹/₁₀ =

, теперь эти дроби возможно сложить, и въ суммѣ будетъ

Такъ же и во второмъ примѣрѣ приведемъ сперва вычитаемое къ должному виду и тогда уже произведемъ дѣйствіе; 3½×2½×

= 7⅓, 10 – 7⅓ = 2⅔. Совершенно нельзя понять, къ чему требовалось математикамъ затруднять сложеніе и вычитаніе дробей особенными правилами, какъ обращаться съ долями долей, а между тѣмъ эти правила разсматривались на нѣсколькихъ страницахъ, занимавшихъ много параграфовъ, требовали большого количества упражненій и приносили только вредъ, такъ какъ на нихъ безъ пользы уходило много времени и труда. Теперь уже наши дѣти не изучаютъ отдѣльныхъ правилъ, какъ складывать или вычитать доли долей, и въ этомъ отношеніи имъ легко. Будемъ же надѣяться, что подобно этому отдѣлу исчезнетъ въ учебникахъ и другой лишній отдѣлъ – нахожденіе частей цѣлаго, и присоединится туда, гдѣ ему настоящее мѣсто, т. е. къ умноженю дробей.

Замѣтимъ, что вычисленія съ долями долей очень древняго происхожденія, они ведутъ свое начало отъ греческаго математика Герона (во II ст. до Р. X.). Были выработаны спеціальные пріемы, какъ обозначать часть дробнаго числа. Напр., у арабовъ примѣнялось такое обозначеше:

,которое должно показывать ⁴/₅ отъ ³/₇ отъ ⅝, т.-е. окончательно ³/₁₄. У Леонардо Фибонначи (въ XIII ст. по Р. X.) формула

равна, согласна нашему порядку,

всего 22²⁴/₃₅, а формула

равна

Вотъ какая путаница вносилась этимъ отдѣломъ совершенно безъ всякой нужды. Также и въ русскихъ матем. сборникахъ XVII—XVIII в. этотъ отдѣлъ давалъ не мало сбивчивости. Онъ назывался «выниманіе дробовое» или «вычитаніе доли изъ долей». Его нельзя было смѣшивать съ другимъ дѣйствіемъ, которому придано созвучное заглавіе, т.-е. съ «вычитаніемъ въ доляхъ», гдѣ разсматривается наше вычитаніе дробныхъ чиселъ. Составителю учебника приходилось не мало разъяснять, что-бы предостеречь ученика отъ смѣшиванiя вычитанія и нахожденія части, такъ что предъ вычитаніемъ помѣщено было отдѣльное разъясненіе «о разумѣніи, что есть доли изъ долей».

Обратимся теперь къ чистому умноженію дробей, какъ отдѣльному дѣйствію. Обособляться оно стало только въ средніе вѣка, и тогда ему придано было названіе «умноженіе», древняя же математика ограничивалась только нахожденіемъ простѣйшихъ частей числа, тѣмъ болѣе, что даже и въ цѣлыхъ числахъ она стремилась привести умноженіе къ сложенію. У Бернелинуса, ученика римскаго папы Сильвестра II (въ XI в.), умноженіе ¹/₃₆ на ⅓ совершается по римскимъ образцамъ слѣдующимъ образомъ: ¹/₃₆ обращается въ доли фунта; въ фунтѣ 12 унцій, слѣд., унція равна ¹/₁₂, а такъ какъ въ унціи 24 скрупула, то дробь ¹/₃₆ обратилась въ 8 скрупуловъ; ⅓ равна ⅓ фунта, т.-е. 4 унціямъ; множимъ теперь ⅓ фунта на ⅓ унціи, т -е. на 8 скрупуловъ, и получается ¹/₉ унціи, иначе сказать 2⅔ скрупула, а такъ какъ 2 скрупула составляютъ особою мѣру, которая называется «emisescla», то окончательный отвѣтъ представится въ видѣ 1⅓ «emisescla». Да, можно сказать, что способъ Бернелинуса очень и очень нелегокъ.

У Фибонначи (XIII ст. по Р. X.) подъ вліяніемъ арабскихъ и индусскихъ образцовъ нѣтъ вычисленія съ унціями, и дѣло идетъ просто съ отвлеченными долями. Фибонначи пользуется такимъ способомъ. Сперва онъ перемножаетъ числителей, а потомъ получившееся число дѣлитъ на перваго знаменателя и, затѣмъ, уже это частное дѣлитъ на второго знаменателя.

Петръ Рамусъ, знаменитый французскій математикъ и философъ XVI столѣтія, даетъ въ главѣ о дробяхъ, какъ и въ другихъ отдѣлахъ математики, много свѣжихъ и новыхъ мыслей. Онъ особенно настаиваетъ на томъ, что ученикамъ надо объяснять правила, а не только принуждать выучивать ихъ наизусть, и что правила надо выводить, а не только примѣнять готовыя къ примѣрамъ. Однако, самъ Рамусъ, вслѣдствіе той туманности, которую придавали ариѳметикѣ его предшественники, не всегда одинаково ясно и удачно ведетъ свое изложеніе, такъ что въ случаѣ умноженія дробей мы находимі, у него такой запутанный выводъ: «дано умножить ¾ на ⅔, это значитъ найти ¾ части отъ дроби ⅔; разсуждаемъ по тройному правилу—1 относится къ 3, какъ 2 къ 6, и 1 относится къ 4, какъ 3 къ 12, слѣдовательно, отвѣтъ будетъ : ⁶/₁₂ это и есть произведеніе ⅔ на ¾».

Русскіе математики XVII и XVIII в. слѣдовали въ главѣ объ умноженіи западно-европейскiмъ образцамъ. Они разсматривали 3 случая: a) умноженіе дроби на цѣлое, b) умноженіе дроби на дробь и c) умноженіе смѣшанныхъ чиселъ. Въ концѣ, въ такъ наз. «строкѣ генераль» давалось общее правило перемноженія дробей. Неизмѣняемость произведенія при перестановкѣ производителей объяснялась въ такихъ выраженіяхъ:

«вѣдаи доли изъ доли умноженіе, какъ ⅓ изъ ¼ умножаи придетъ ¹/₁₂ такожъ ¼ изъ ⅓ то-жъ ¹/₁₂».

 Знакъ при умноженіи дробей всегда употреблялся такой: одна горизонтальная черта проводилась отъ числителя къ числителю, а другая отъ знаменателя къ знаменателю, и это служило хорошимъ знакомъ дѣйствія, такъ какъ этимъ обозначался порядокъ вычисленія.

Замѣчательно мѣсто у Магницкаго, въ которомъ онъ трактуетъ объ умноженіи простыхъ дробей. Здѣсь явственно вылилась вся нетребовательность по отношенію ко всякимъ выводамъ и объясненіямъ. Достаточно сообщить правило, а кромѣ него что же еще надо? такъ, навѣрное, думаетъ Магницкій, и мы не можемъ отказать себѣ въ томъ, чтобы не привести отрывка изъ его ариѳметики. Стр. 54

«Мултипликаціо или умноженіе въ доляхъ. Что въ семъ предѣленіи достоитъ вѣдати. Впервыхъ подобаетъ вѣдати яко во умноженіи нѣсть потреба да сравняеши доли къ единакому знаменателю: но яковы доли дадутся, таковы и умножати числители чрезъ чиелители, и знаменатели чрезъ знаменатели, якоже ⅜ чрезъ ¼. 3 чрезъ 1 будетъ 3, а 8 чрезъ 4, будетъ 32, и еже отъ числителей произыдетъ напиши надъ чертою, а отъ знаменателей произведеное напиши подъ чертою и будетъ ³/₃₂».

Итакъ, въ ариѳметикѣ дается только правило, безъ вывода, зато послѣ правила идетъ цѣлый рядъ примѣровъ, всего 60 номеровъ, съ отвѣтами, и предлагается заняться продѣлываніемъ этихъ примѣровъ, чтобы, такъ сказать, набить руку въ этомъ правилѣ.

Преемники Магницкаго, т.-е. составители русскихъ учебниковъ XVIII и даже ХІХ в., не оказались счастливѣе его въ этомъ случаѣ. Они тоже или не даютъ никакихъ объясненій умноженія дробей, или даютъ объясненія спутанныя и трудныя. Такъ, въ ариѳметикѣ Адодурова (1740 г.) про умноженіе дробей объясняется на 29 страницахъ, при чемъ объясненіе дано очень растянутое, многословное и малоубѣдительное. У Румовскаго (1760 г.) передъ дробями расположены пропорціи, и умноженіе дробей выводится изъ общаго свойства пропорцій, именно, что произведеніе крайнихъ членовъ равно произведенію среднихъ членовъ. И сами пропорціи являются для учениковъ темнымъ мѣстомъ, а ужъ про выводъ изъ нихъ и говорить нечего, особенно когда онѣ идутъ на буквахъ, какъ это видимъ у Румовскаго. Порядочное изложеніе встрѣчаемъ мы у Загорскаго (1806 г.), но уже у Павла Цвѣткова (1834 г.) опять тянется старая пѣсня. «Какъ множится дробь на дробь?» спрашиваетъ онъ, и отвѣчаетъ:

«При умноженіи дробей на дроби надлежитъ множить числітелей на числителей, а знаменателей на знаменателей».

Этимъ заканчивается § 34, и авторъ уже болѣе не желаетъ возвращаться къ подобному скучному вопросу, къ которому, вдобавокъ, никакъ еще не придумать подходящаго объясненія. И это въ то время, когда Цвѣтковъ для болѣе легкаго вопроса, для умноженія дроби на цѣлое, находитъ нужнымъ и возможнымъ дать толковое объясненіе.

Да, умноженіе на дробь и въ старину, и еще теперь является однимъ изъ самыхъ больныхъ мѣстъ начальной ариѳметики.

Дѣленіе. Дѣленіе дробей шло все время правильнымъ путемъ, безъ скачковъ и отклоненій въ сторону. Еще древніе египтяне вполнѣ логично заключали, что дѣленіе обратно умноженію, и что поэтому его можно привести къ умноженію. По своей привычкѣ къ основнымъ дробямъ, т.-е. съ числителемъ, равнымъ единицѣ, они и дѣленіе разсматривали съ точки зрѣнія этихъ дробей. Примѣръ: 2 : 1⅓ ¼. Здѣсь египтяне ставили вопросъ: на какое чиоло надо помножить выраженіе 1⅓ ¼, иначе сказать 1 + ⅓ + ¼, чтобы получить въ произведеніи 2? Для этого помножаемъ количество 1⅓ ¼ на ⅔ ⅓ ¹/₆¹/₁₂, и получаемъ ²⁸⁵/₁₄₄; при этомъ отдѣльно помножается множимое число на ⅔, на ⅓, на ¹/₆ и на ¹/₁₂, съ такимъ расчетомъ, чтобы каждое слѣдующее произведеніе было вдвое меньше предыдущаго. Такъ какъ ²⁸⁵/₁₄₄ отличается отъ даннаго числа 2 на ³/₁₄₄, т.-е. на ¹/₇₂¹/₁₄₄, то остается рѣшить вопросъ: на какое число надо умножить 1 ⅓ ¼, или ²⁸⁸/₁₄₄, чтобы получить сперва ¹/₁₄₄? Очевидно, на ¹/₂₂₈. Чтобы получить ¹/₇₂, надо умножить на ¹/₁₁₄ Такимъ образомъ, послѣ довольно запутаннаго вычисленія получается итогъ: ⅔ ⅓ ¹/₆¹/₁₂¹/₁₁₄¹/₂₈₈, который и считался у египтянъ вполнѣ нормальнымъ, какъ составленный изъ основныхъ дробей (дробь ⅔ у нихъ тоже признавалась основной, это единственная изъ дробей съ числителемъ 2, у нея даже былъ свой спеціальный знакъ).

Римскій способъ дѣленія дробей напоминаетъ собой римскій же способъ дѣленія цѣлыхъ чиселъ. Вотъ примѣръ Бернелинуса (въ XIII ст. по Р. X.). Раздѣлить 28 на 1¾. Дѣлится 28 не на 1¾, а на 2, т.-е. дѣлитель дополняется до цѣлаго числа, 28 : 2=14; теперь надо составить лишекъ или сдачу, которую слѣдуетъ возвратить дѣлимому; такъ какъ на каждую часть взято лишняго по ¼, то на всѣ 14 частей пришлось З½, дѣлимъ З½ на 2, будетъ въ частномъ 1, въ остаткѣ 1½; сдачи возвратится ¼, всего составится въ дѣлимомъ 1¾; дѣлимъ это количество на 1¾ и получимъ въ частномъ 1; такимъ образомъ, весь искомый результатъ будетъ 14 + 1 + 1 = 16.

Неморарій, математикъ среднихъ вѣковъ, современникъ Бернелинуса, пользуется для дѣленія аналогіей съ умноженіемъ и даетъ слѣдующій искусственный пріемъ. Задано раздѣлить ²/₃ на ⁴/₅. Тогда числитель и знаменатель первой дроби увеличивается въ 4 × 5 разъ и затѣмъ примѣняется правило: числителя раздѣлить на числителя, а знаменателя на знаменателя, подобно тому, какъ въ умноженіи дробей множатся числитель на числителя и знаменатель на знаменателя.

Получается формула:

Леонардо Фибонначи, итальянскій математикъ XIII вѣка, совѣтовалъ приводить дроби къ одному знаменателю и потомъ уже дѣлить, пользуясь аналогіей съ именованными числами, такъ какъ тамъ, обыкновенно, мѣры раздробляются въ одинаковое наименованіе, и затѣмъ полученныя числа дѣлятся. Примѣръ у Фибонначи слѣдующій:

Въ XVI ст. по Р. X. на сцену вышло новое правило дѣленія дробей: надо дѣлимое помножить на обращеннаго дѣлителя. Примѣръ: ¾ : ⅔. Для рѣшенія его множимъ ¾ на ³/₂, получимъ ⁹/₈, это и будетъ вѣрнымъ отвѣтомъ. Въ объясненіе этого правила, равно какъ и всѣхъ другихъ, авторы учебниковъ входить не любили. Они только ограничивались тѣмъ, что приводили самое правило и потомъ нѣсколько примѣровъ съ рѣшеніемъ. Ученики же запоминали правило и практиковались въ примѣненіи его къ вычисленіямъ.

Знакомъ дѣленія до XVIII ст. являлись, обыкновенно, двѣ перекрещивающихся черты, которыя шли отъ числителя первой дроби къ знаменателю второй и отъ знаменателя первой къ числителю второй. Только съ развитіемъ алгебры, когда потребовался общій знакъ дѣленія и для цѣлыхъ чиселъ и для дробей, стали обозначать это дѣйствіе такъ же въ дробяхъ, какъ и въ цѣдыхъ числахъ, т.-е. двумя точками.

Приведемъ еще неболыпой интересный отрывокъ, который хорошо показываетъ, къ какимъ хитростямъ нужно было прибѣгать средневѣковымъ ученымъ, когда имъ давался трудный примѣръ съ дробями. Въ Зальцбургскомъ (Австрія) сборникѣ, отноеящемся къ XVII вѣку^[1], надо было вычислить земной радіусъ по окружности земли. Извѣстно, что окружность въ 3¹/₇ раза больше своего радіуса, и поэтому, чтобы получить радіусъ земли, достаточно ея окружность раздѣлить на ²²/₇. Принимая окружность за 252000, составитель находитъ ⁷/₂₂ этого числа, т.-е. умноженіемъ на ⁷/₂₂ замѣняетъ дѣленіе на ²²/₇. Умноженіе же онъ ведетъ такъ. Сперва вычисляетъ ¹/₂₂ всего числа, получится 11454½, затѣмъ вычитаетъ эту величину изъ 252000, будетъ 240544½ ²¹/₂₂. Треть этого числа и составитъ искомый отвѣтъ, т.-е. земной радіусъ, такъ какъ ²¹/₂₂ : 3 = ⁷/₂₂.