Текст книги "Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики с таблицей"

Автор книги: Всеволод Беллюстин

сообщить о нарушении

Текущая страница: 12 (всего у книги 15 страниц)

Шестидесятеричныя дроби.

Древніе халдеи, образованность которыхъ исходитъ изъ глубины вѣковъ и позволяетъ прослѣдить свои пути далѣе, чѣмъ на 1000 лѣтъ до Р. X., издавна любили считать по копамъ, т.-е. группами по 60. Почему они остановились именно на этомъ числѣ,—теперь рѣшить, конечно, нелегко, но выборъ этотъ надо считать чрезвычайно удачнымъ, такъ какъ число 60 обладаетъ массой дѣлителей и, слѣдов., рѣже приводитъ къ дробямъ, чѣмъ большинство другихъ чиселъ, и позволяетъ дѣлать много упрощеній. Халдеи примѣняли шестидесятеричный счетъ вездѣ: и въ торговыхъ дѣлахъ, и въ научныхъ выкладкахъ, особенно же въ любимой своей наукѣ, которая многимъ обязана ихъ трудамъ,—въ астрономіи. Привычка къ числу 60 сама собой перешла и на дроби, и вотъ у халдеевъ явились шестидесятеричныя дроби, т.-е. со знаменателемъ 60, 3600 = 60. 60, 216000 = 60. 60. 60. Эти дроби примѣнены были въ астрономіи къ дѣленію времени, такъ что часъ сталъ дѣлиться на 60 равныхъ частей (минутъ), минута на 60 секундъ, секунда на 60 терцій и т. д. Всѣ простыя дроби халдеями обыкновенно приводились въ шестидесятыя доли и даже, напр., ⅔ они выражали не иначе, какъ черезъ ⁴⁰/₆₀.

Отъ халдеевъ шестидесятеричныя доли перешли къ индусамъ и арабамъ, и также къ грекамъ. Особенно онѣ были разработаны греческими учеными, жившими въ Александріи въ первые вѣка по Р. X. Знаменитый астрономъ Клавдій Птоломей (во II в. по Р. X.), система котораго держалась болѣе тысячи лѣтъ и признавалась въ свое время геніальнымъ твореніемъ, писалъ, обыкновенно, шестидесятеричныя дроби безъ знаменателя. Для этого онъ цѣлыя числа подчеркивалъ горизонтальной чертой, шестидесятыя доли отмѣчалъ значком ′, 3600-ыя значком ″, 216000-ыя доли значкомъ ‴ и т. д., смотря по ихъ разряду. И это дѣлалось не только при измѣреніи времени и при градусахъ дуги, но и въ мѣрахъ длины и въ другихъ мѣрахъ. Такъ, напр., Птоломей выражаетъ сторону правильнаго вписаннаго десятиугольника черезъ – 37 4′ 55″, при діаметрѣ круга, равномъ 120. Это значитъ, что если діаметръ составляетъ 120, то сторона равняется

такихъ же единицъ (по порядку, принятому въ настоящее время въ геометріи, сторону эту можно выразить въ десятичныхъ дробяхъ чрезъ 0,30902, при діаметрѣ, равномъ единицѣ).

Горизонтальная черта, которой подчеркивались цѣлыя чиcла, была замѣнена впослѣдствіи знакомъ °, и самимъ долямъ были присвоены названія: минуты, секунды, терціи и т. д. Что значатъ эти слова? Минута значитъ «доля», и долго послѣ Птоломея, болѣе тысячи лѣтъ, всевозможныя доли всегда назывались минутами (minutae). Къ слову минута присоединялось, обыкновенно, слово прима (prima), и выраженіе «minuta prima» обозначало первыя доли, иначе сказать доли перваго порядка, т.-е. со знаменателемъ 60. Далѣе шли доли со знаменателемъ 3600, онѣ назывались минутами секундами, т.-е. долями второго порядка, такъ какъ 3600 = 60·60. Потомъ слѣдовали минуты терціи, доли третьяго порядка, у которыхъ знаменатель 60·60·60.

Шестидесятеричныя дроби, какъ мы уже сказали, служили не только для геометріи и астрономіи, но являлись преобладающими во всѣхъ наукахъ и даже въ практической жизни. Онѣ стали терять свое значеніе только тогда, когда начали вводиться десятичныя дроби, приблизительно около ХVІ в. по Р. X. Кромѣ того, въ торговыхъ разсчетахъ нѣкоторую конкуренцію имъ составляли обыкновенныя дроби, которыя носили названіе «простонародныхъ», а также унціи, изучавшіяся во всѣхъ латинскихъ школахъ.

Десятичныя дроби.

Первые намеки на десятичныя дроби можно прослѣдить у творцовъ ариѳметики,—индусовъ. Они пользовались ими при извлеченіи квадратныхъ корней, въ тѣхъ случаяхъ, когда корень не извлекается точно; тогда они прписывали столько паръ нулей, сколько желательно имѣть лишнихъ знаковъ въ корнѣ. Индусы писали десятичныя дроби со знаменателями, и имъ не удалось распространить общей десятичной нумераціи также и на дроби. Заслуга въ этомъ отношеніи принадлежитъ арабамъ, и въ частности тѣмъ арабамъ, которые жили въ Испаніи. Между 1130 и 1150 г. по Р. X. появилось въ Толедо сочиненіе «Практическая ариѳметика алгоризма», принадлежащее Іоанну Севильскому. У него уже замѣтны явственные слѣды десятичныхъ дробей, и при томъ съ такимъ характеромъ, какой онѣ носятъ у насъ.

Послѣ Іоанна Севильскаго десятичныя дроби какъ-то стушевываются, тѣмъ болѣе, что тѣ времена были не особенно благопріятны вообще для западно-европейской науки. Но идея не пропала, и ее мы видимъ возрожденной у Кардана (XVI ст.). Между прочимъ, онѣ стали примѣняться въ тригонометріи для вычисленія синусовъ. Кр-мѣ того, стали ими пользоваться при дѣленіи съ остаткомъ, чтобы выразить отвѣтъ точнѣе и дать въ частномъ не только цѣлыя числа, но и рядъ долей съ десятичными знаменателяии. Грамматеусъ въ 1523 году совѣтуетъ примѣнять десятичныя дроби къ такому случаю. Пусть требуется сравнить ⅝ съ ⅔ и узнать, которая величина больше. Тогда мы къ каждому числителю приписываемъ по нулю, иначе сказать—раздробляемъ въ десятыя доли, и дѣлимъ на знаменателя, получимъ 62½ и 66⅔, слѣд., вторая величина болѣе первой.

Честь полнаго введенія десятичныхъ дробей и ихъ толковаго объясненія приписывается Симону Стевину изъ Брюгге (въ Бельгіи), жившему съ 1548 по 1620 г. Заглавіе его сочиненія такое: «La disme ensignant facilement expédier par nombres entiers sans rompouz tous comptes se rencontrans aux affaires des hommes». Вмѣсто запятой, отдѣляющей цѣлыя числа отъ долей, это сочиненіе рекомендуетъ ставить нуликъ. заключенный въ скобки. Точно также и у долей былъ при каждомъ разрядѣ значекъ, напр., 34,7605 писалось слѣдующимъ образомъ: 34 (°) 7 (¹) 6 (²) 0 (³) 5 (⁴). Съ такимъ обозначеніемъ десятичныя дроби входили и въ дѣйствія. Положимъ, требовалось умножить 0,0426 на 0,28; тогда вычисленіе располагалось такъ:

Сочиненіе Стевина появилось первоначально въ 1585 г. на фламандскомъ нарѣчіи, а потомъ уже оно было переведено и на французскій языкъ. Десятыя, сотыя и т. д. доли назывались долями первыми, вторыми и т. д. (primes, secondes). Стевинъ ясно видѣлъ, что десятичныя дроби были бы особенно полезны въ томъ случаѣ, если бы вездѣ была принята десятичная система мѣръ; поэтому онъ энергично настаивалъ на введеніи десятичной системы мѣръ. Впрочемъ, его сочиненіе не сдѣлалось извѣстнымъ за предѣлами отечества, и, напр., въ Германіи заслуга введенія десятичныхъ дробей приписывается Бейеру (1563—1625).

Самъ Бейеръ такимъ образомъ излагаетъ путь, которымъ онъ дошелъ до мысли о десятичныхъ дробяхъ: «въ свободное отъ своей службы (Бейеръ былъ врачомъ) время любилъ я иногда заняться астрономіей и математикой; и я обратилъ вниманіе на то, что техники и ремесленники, когда измѣряютъ какую-нибудь длину, то очень рѣдко и лишь въ исключительныхъ случаяхъ выражаютъ ее въ цѣлыхъ числахъ одного наименованія; обыкновенно имъ приходится или брать мелкія мѣры, или обращаться къ дробямъ; точно также астрономы измѣряютъ величины не только въ градусахъ, но и въ доляхъ градусовъ, т. е. въ минутахъ, секундахъ и т. д.; но мнѣ кажется, что ихъ дѣленіе на 60 частей не такъ удобно, какъ дѣленіе на 10, на 100 частей, потому что въ послѣднемъ случаѣ гораздо легче складывать, вычитать и вообще производить ариѳметическія дѣйствія; мнѣ кажется, что десятичныя доли, если бы ихъ ввести вмѣсто шестидесятеричныхъ, пригодились бы не только для астрономіи, но и для всякаго рода вычисленій». Для наглядности Бейеръ дѣлитъ прямую линію на 10 равныхъ частей и называетъ каждый отрѣзокъ примой, т.-е. первой долей, или долей перваго порядка; и каждая прима дѣлится, въ свою очередь, на 10 равныхъ частей и даетъ 10 секундъ, т.-е. долей второго порядка; изъ секун-ды получается 10 терцій и т. д. Такимъ образомъ ясно видно, что Бейеръ воспользовался для десятичныхъ дробей тѣми же названіями, какія были въ употребленіи въ шестидесятеричныхъ дробяхъ. Такое же заимствованіе сдѣлалъ онъ и въ записываніи дробей, потому что, напр., 123, 459872 Бейеръ пишетъ такъ:

т.-е. приводя доли въ трехразрядные классы, или же, наконецъ,

—здѣсь отмѣченъ римской цифрой VI только послѣдній разрядъ. По этой системѣ 0,000054 пишется такъ:

VI

54.

Для умноженія дается такое правило: поставь надъ послѣднимъ справа разрядомъ отвѣта такой значекъ, который равнялся бы суммѣ значковъ множимаго и множителя, стоящихъ надъ ни ми съ праваго края; всѣ остальные разряды произведенія опредѣлятся по этому крайнему разряду. Примѣръ:

VI

124 385

умножить на

IV

643

; умноживъ 124385 на 643, получимъ въ отвѣтѣ 79979555. и остается только поставить надъ послѣдней цифрой справа значекъ X, потому что VІ+IV = Х. Результатъ можно прочитать такъ: 79979555 десятаго порядка (десятыхъ скрупуловъ, по выраженік Бейера). Для дѣленія дается такое правило: сдѣлай такъ, чтобы в дѣлимомъ было столько же знаковъ, сколько и въ дѣлителѣ, или даже больше; если въ дѣлимомъ мало знаковъ, то припиши столько нулей, сколько тебѣ нужно, и это не измѣнитъ величины дроби. Потомъ произведи дѣленіе, какъ будто бы это были цѣлыя числа, и у послѣдняго разряда отвѣта поставь справа такой значекъ, который бы равнялся разности значковъ дѣлимаго и дѣлителя. Если при дѣленіи получится остатокъ, и если надо частное найти точнѣе, то можно приписывать къ дѣлимому нуль за нулемъ, сколько угодно разъ, и въ результатѣ получатся разряды, которыхъ номеръ постепенно понижается на единицу. Въ концѣ своей брошюры Бейеръ говоритъ подробно о томъ, какъ изъ десятичныхъ дробей можно получить шестидесятеричныя, и наоборотъ; также о томъ, какъ примѣнять десятичныя дроби къ рѣшенію задачъ.

Скоро и англійскій авторъ I. Неппиръ (Nepper) спѣшитъ подѣлиться съ своими читателями свѣдѣніями о новыхъ дробяхъ. Въ его книжкѣ (1626 г.) дробь пишется такъ: 28°6’7’’5’’’ и читается такъ: 28 цѣлыхъ 6 примъ 7 секундъ 5 терцій. Кромѣ того, разряды иногда у него раздѣляются точками; 27°:0’:5’’ и т. п. Сложеніе и вычитаніе идетъ у него обыкновеннымъ порядкомъ, такъ же, какъ и у насъ; вотъ примѣръ сложенія;

При умноженіи не считается необходимымъ, чтобы цифры одинаковыхъ разрядовъ стояли другъ подъ другомъ; надо умножать такъ. какъ будто бы это были все цѣлыя числа, и потомъ слѣдуетъ отсчитать съ правой стороны столько разрядовъ, сколько ихъ вмѣстѣ въ обоихъ производителяхъ; это будутъ скрупулы – десятичныя доли. Примѣры:

Въ первомъ примѣрѣ множимое раздроблено въ десятыя доли, множитель въ сотыя, произведеніе поэтому содержитъ 2671 цѣлую единицу, 6 десятыхъ, 9 сотыхъ и 5 тысячныхъ. Во второмъ примѣрѣ мы видимъ запятую между цѣлыми и десятыми. Введеніе ея приписывается извѣстному астроному Кеплеру (1571—1630).

Правило дѣленія слѣдующее: дѣлить надо, какъ цѣлыя числа, и кромѣ того надо вычесть изъ значка дѣлимаго значекъ дѣлителя, тогда остатокъ опредѣлитъ собой значекъ частнаго. Примѣръ: раздѣлить 5' 7" на 8° 6' 5" 6'". Рѣшеніе:

Въ ариѳметикѣ Беклера (1661) десятичныя дроби примѣняются только къ мѣрамъ длины, поверхности и объема; поэтому имъ дается названіе геометрическихъ долей. Цѣлыя отдѣляются отъ долей запятой или черточкой; кромѣ того, употребляются еще отмѣтки: для сажени 0, для фута 1, для дюйма 2 и для линіи 3; у послѣдней доли ставится значекъ, который опредѣляетъ ея разрядъ, и отдѣляется этотъ значекъ скобкой. Примѣръ: 123,6543 (4; это значитъ 123 сажени, 6 футовъ, 5 дюймовъ, 4 линіи и 3 точки. Какъ видно, Беклеръ проэктируетъ ввести десятичную зависимость между мѣрами, т. е. считать въ сажени 10 футовъ, въ футѣ 10 дюймовъ и т. д. Сочиненіе англичанина Вингата (1668) еще болѣе приблизило теорію десятичныхъ дробей къ тому виду, какой она имѣетъ сейчасъ. Онъ примѣняетъ дроби къ тригонометріи, къ вычисленію сложныхъ процентовъ и къ дѣйствіямъ съ именованными числами. Онъ хорошо видитъ всю громадную пользу, которая получилась бы для науки, если бы всѣ мѣры были приведены къ десятичной системѣ, иначе сказать всякая мѣра содержала бы въ себѣ ровно 10 слѣдующихъ низшихъ. Разряды десятичныхъ дробей идутъ, по мнѣнію Вингата, такъ же безпредѣльно, какъ и разряды цѣлыхъ чиселъ, такъ что за десятыми долями, сотыми, тысячными идутъ десятитысячныя, стотысячныя, милліонныя и т. д. до безконечности. Знаменателя десятичной дроби вполнѣ возможно не писать, если только условиться отдѣлять цѣлое число отъ десятыхъ долей точкой или запятой. Вингатъ пишетъ по нашему 285,82 или 285.82, но у него вмѣсто 0,5 встрѣчается .5 и вмѣсто 0,25 пишется .25, слѣд., цѣлыхъ онъ въ этомъ случаѣ не пишетъ. Три первыхъ дѣйствія онъ проходитъ совершенно аналогично съ нами, а для дѣленія у него взятъ такой порядокъ: къ дѣлимому можно приписать сколько угодно нулей и по-томъ произвести дѣйствіе такъ, какъ если бы это были цѣлыя числа; чтобы опредѣлить значеніе первой цифры частнаго, по которой уже можно разсчитать и всѣ остальные разряды, стоитъ только подписать дѣлителя подъ тѣми же разрядами дѣлимаго, которые были отчеркнуты для перваго дѣленія; подъ какимъ разрядомъ дѣлимаго находятся единицы дѣлителя, таковъ и будетъ высшій разрядъ частнаго. Примѣръ: 2,34 : 52,125. Дѣлимъ 23400000 на 52125 и получаемъ 448. Теперь подписываемъ 52,125 подъ 2,34 такъ, чтобы дѣлитель стоялъ подъ тѣмъ числомъ, которое на него дѣлилось въ первый разъ, именно

2,34000

52,125

и такъ какъ единицы дѣлителя оказались подъ сотыми долями дѣлимаго, то первая цифра частнаго 448, т. е. 4, выражаетъ собой сотыя доли и, слѣд., результатъ дѣйствія долженъ быть такой: 0,0448. Иногда нужно бываетъ при этомъ способѣ приписать съ лѣвой стороны дѣлимаго нѣсколько нулей, потому что иначе дѣлитель не можетъ помѣститься подъ дѣлимымъ. Примѣръ—0,0758 : 0,000064, тогда для удобства мы напишемъ такъ: 0000,0758 и выведемъ изъ этого, что при дѣленіи на 0,000064 высшій разрядъ частнаго составитъ тысячи, такъ какъ единицы дѣлителя оказались подъ тысячами дѣлимаго. И дѣйствительно, если произвести вычисленіе, то получится въ отвѣтѣ 1184,375.

Если сопоставить всѣ способы, какими писались десятичныя дроби въ математ. работахъ ХVIII вѣка, то получится всего пять видоизмѣненій, и если по нашему пишется 0,784, то у Бейера

III

784

, у Неппира 0°7'8"4'", у Вингата .784, у Беклера 784 (3 и у Валлиса 0<784.

Мы разсмотрѣли до сихъ поръ, кѣмъ и какъ было положено начало десятичнымъ дробямъ, и какіе успѣхи онѣ сдѣлали въ XVII столѣтіи. Въ слѣдующеvъ вѣкѣ, въ ХVIII-мъ, шестидесятеричныя дроби мало по малу исчезаютъ, и ихъ мѣсто занимаютъ десятичныя дроби. Напр., въ ариѳметикѣ нѣмецкаго педагога Париціуса, въ первомъ изданіи, которое вышло въ 1706 году, разсматриваются дроби шестидесятеричныя, но во второмъ изданіи этой же ариѳметики онѣ уже замѣнены десятичными. Впрочемъ Париціусъ, подобно Беклеру, примѣняетъ десятичныя дроби только къ мѣрамъ длины. Самое трудное изъ дѣйствій – дѣленіе онъ производитъ по такому правилу: надо дѣлить, какъ цѣлыя числа, а чтобы узнать номеръ разряда частнаго, надо изъ номера дѣлимаго вычесть номеръ дѣлителя. Вотъ примѣръ. 4269342 (5 : 321 (2 (согласно нашему обозначенію это было бы 42,69342 : 3,21).

При такомъ пріемѣ получается въ отвѣтѣ двѣ дроби: десятичная 3 и обыкновенная⁴²/₃₂₁, такъ какъ въ остаткѣ получилось 42.

Чтобы частное состояло только изъ одной десятичной дроби, Париціусъ совѣтуетъ приписывать къ дѣлимому постепенно нули, до тѣхъ поръ, пока, наконецъ, дѣленіе не выйдетъ безъ остатка. Если же оно безъ остатка никакъ не выходитъ, то Париціусъ рекомендуетъ совсѣмъ бросить небольшой остатокъ, по латинской пословицѣ «minima non curat praetor», т.-е. «о пустякахъ не стоитъ толковать». Періодическія дроби принадлежатъ уже 19-му вѣку.

Непрерывныя дроби.

Непрерывныя дроби. Еще у египтянъ встрѣчаемъ мы дроби, у которыхъ числитель не цѣлое число; онъ самъ представляетъ изъ себя дробь, напр.

это значитъ 2 вооьмушки и еще сверхъ того треть восьмушки. Так-же и у римлянъ нерѣдко ножно было встрѣтить

унціи, т. е. 1 двѣнадцатую и еще ½ двѣнадцатой,

Такимъ образомъ и въ древнемъ мірѣ идея непрерывныхъ дробей была ясна и доступна: дроби эти основаны на томъ, что числитель можетъ быть не только цѣлое число, но и смѣшанное.

Греческій математикъ Архимедъ примѣнялъ непрерывныя дроби къ извлеченію квадратныхъ корней и выражалъ этими дробями приближенныя величины корней. Арабскій ученый Алькальцади (въ XV в. по Р. X.) даетъ нѣкоторые намеки на восходящія непрерывныя дроби; онъ примѣняетъ ихъ къ дѣленію съ остаткомъ и обозначаетъ ими дробное частное. Напр., требуется раздѣлить 253 на 280, и такъ какъ 280 разлагается на производителей 5, 7 и 8, то мы сперва дѣлимъ 253 на 8, будетъ 31⅝, потомъ полученное дѣлимъ на 7, будетъ

и, наконецъ, дѣлимъ на 5, будетъ

а это, обыкновенно, прѳдставляется такъ:

и составляетъ восходящую непрерывную дробь. Нисходящей же дробью была бы такая:

или, если написать ее яснѣе, то

вычислить ее можно такъ:

Лордъ Брункеръ, англичанинъ, представилъ (въ 1655 г.) въ видѣ непрерывной дроби величину π/4 = 0, 78539316... (π показываетъ отношеніе длины окружности къ длинѣ ея діаметра). Гюйгенсъ въ 1682 году далъ подробное объясненіе того, какъ съ помощью непрерывныхъ дробей можно приводить къ легкимъ числамъ трудныя несократимыя дроби. Полную теорію непрерывныхъ дробей далъ Леонгардъ Эйлеръ, нѣмецкій ученый 18 в.

Пропорціи, прогрессіи и извлеченіе корней.

Не только въ одной ариѳметикѣ, но и почти во всѣхъ другихъ наукахъ идетъ постоянная разработка вопроса, что должно служить ихъ содержаніемъ, и изъ чего долженъ слагаться ихъ матеріалъ. Въ зависимости отъ способовъ изслѣдованія и отъ пріемовъ обученія содержаніе учебнаго предмета то увеличиваетея, то уменьшается, то замѣняется другимъ. Ариѳметика не мало за свою многовѣковую жизнь потерпѣла измѣненій. Началась она съ вычисленій надъ цѣлыми числами, потомъ къ ней присоединились дроби и именованныя числа, затѣмъ рядъ другихъ отдѣловъ и среди нихъ пропорціи, прогрессіи и извлеченіе корней. Поговоримъ о нихъ въ отдѣльности.

Пропорціи первоначально разрабатывались въ геометріи и занимали въ ней видное мѣсто, онѣ примѣнялиеь къ подобію фигуръ; и такъ какъ геометрія составляла любимый предметъ греческихъ математиковъ, то естественно вышло, что разработка пропорцій является заслугой греческихъ ученыхъ. Знаменитѣйшій геометръ Эвклидъ (III ст. до Р. X.), система котораго вдохновляла всѣхъ позднѣйшихъ геометровъ, и европейскихъ и азіатскихъ, и труды котораго считаются классичеекями и незамѣнимыми по настоящее время, далъ среди другихъ искусно разработанныхъ отдѣловъ отдѣлъ о пропорціяхъ. Вліяніе Эвклида на послѣдующія поколѣнія было громадно, и оно даетъ себя чувствовать и теперь, поэтому то направленіе, которое придалъ пропорціямъ Эвклидъ, преобладаетъ и теперь въ болышинствѣ учебниковъ. Вкратцѣ по отношенію къ ариѳметикѣ его можно охарактеризовать тѣмъ, что пропорціямъ отводится въ ариѳметикѣ болѣе высокое мѣсто, чѣмъ онѣ заслуживаютъ, и на нихъ болѣе обращаютъ вниманія, чѣмъ это должно было бы вызываться содержаніемъ ариѳметияи и ея цѣлями. Всякій, кто проходилъ ариѳметику въ школѣ и изучалъ пропорціи, вспомнитъ навѣрное, что этотъ отдѣлъ вызывалъ въ немъ недоумѣніе, казался какимъ-то чуждымъ и даже труднымъ. И дѣйствительно, пропорціи надо бы, по настоящему, исключить изъ курса элеиентарной ариѳметики и ввести въ составъ буквеиной, общейариѳметики, т.-е. теоріи чиселъ. Пропорціи не учатъ вычисленіямъ, которыя одни только и составляюгь матеріалъ элементарной ариѳметики, но онѣ излагаютъ нѣкоторыя общія свойства, которыя, въ силу своей общности, подлежатъ ариѳметикѣ не вычисляющей, а обобщающей, т.-е. теоріи чиселъ и алгебрѣ: тамъ ихъ естественное и законное мѣсто. Надо пожелать, чтобы глава о пропорціяхъ была исключена изъ ариѳметическаго курса средней школы. Въ геометріи она необходима, тамъ она пусть останется, и пусть геометрическое ученіе о пропорціяхъ послужитъ иачаломъ для алгебраическаго, какъ болѣе наглядное должно служить фундаментомъ для отвлеченнаго. Напрасно думаютъ иные, что пропорціи нужны для задачъ на тройное правило, на правило процентовъ и т. д. Всѣ эти задачи могутъ прекрасно обойтись безъ пропорцій и рѣшаться приведеніемъ къ единицѣ, а еще лучше различными искусственными упрощающиии пріемами, которые скорѣе ведутъ къ цѣли и могутъ болѣе изощрить мышленіе учениковъ. Практическая жизнь сильно суживаетъ примѣненіе пропорцій, сравнительно съ тѣыъ, какое имъ дается въ ариѳметикѣ, Напр., бываютъ въ ариѳметикѣ задачи: «1 арш. стоитъ 2 руб. Сколько стоятъ 1000 аршинъ»? Всякій торговый человѣкъ, даже неучившійся ариѳметикѣ, знаетъ, что при большихъ партіяхъ товара обязательно дѣлается уступка и слѣд. 1000 арш. обойдутся не въ 2000 руб., а нѣсколько дешевле. Подобныхъ задачъ, гдѣ расходится ариѳметіческая точность съ житейской практикой, можно привести массу, и поэтому не удивительно, если при нѣкоторой неосторожности ученики вмѣсто полезныхъ выводовъ получаютъ отъ цропорцій нѣчто сумбурное и несообразное, доходящее даже до извѣстныхъ курьезовъ, въ родѣ: «одинъ человѣкъ пройдетъ весь путь во столько-то времени, сколько времени потребуется, если пойдутъ вмѣстѣ два человѣка». Мы, конечно, смѣемся надъ несообразительностью маленькаго ученика, но мы несправедливы,когда объясняемъ нелѣпый отвѣтъ только тупостью ученика; нѣтъ, виноваты и мы, потому что заставляемъ изучать въ ариѳметикѣ отдѣлъ чуждый, отвлеченный, не вытекающій изъ предыдущихъ отдѣловъ.

Прогрессіи. Прогрессіей, какъ извѣстно, называютъ рядъ чиселъ, расположенныхъ въ оцредѣленномъ порядкѣ уменьшенія или увеличенія. Напр., рядъ 2, 4, 6, 8, 10 и т. д. составляетъ ирогрессію, потому что входящія въ него числа все увеличиваются на 2; точно также прогрессіей будетъ называться и рядъ такой: 4, 2, 1, ½, ¼, ,⅛, 1/16, и такъ далѣе, потому что помѣщенныя здѣсь числа цостепенно все уменьшаютея вдвое. Въ старинныхъ учебникахъ ариѳметики прогрессіи считались необходимой главой и помѣщались въ нихъ всегда, и это было до средины прошлаго ХІХ-го вѣка. При этомъ, изложеніе часто отличалось неясностью и сбивчивостью, такъ что, напр., прогрессія смѣшивалась съ пропорціей, какъ у Магницкаго на стр. РОФ

«Что есть прогрессіо: Прогрессіо есть пропорціо, или подобенство числъ къ числамъ въ примноженіи или во уменьшеніи яковыхъ либо перечневъ и раздѣляются на три вида, иже суть: ариѳметическое, геометрическое и армоническое. О армоническомъ иди муссикiйскомъ нѣсть треба намъ глаголати. Въ ариѳметическомъ прогреесіи въ примножительномъ егда къ первому числу приложиши разнство тогда исполнится другое, егда же ко другому чнслу тожде разнство приложиши, тогда будетъ третіе число. А во умалительномъ прогрессіи аще вычтеши разнство отъ перваго числа останется другое, а отъ другого третье и прочая».

И т. далѣе.

 Въ иныхъ старинныхъ ариѳметивахъ къ прогрессіямъ еще присоединялось вычисленіе рядовъ. Такъ, напр., арабскiй математикъ Алькархи (въ XI в. по Р. Христ.) далъ правило, какъ вычислять сумму кубовъ ряда послѣдовательныхъ чиселъ, начиная съ единицы.

Примѣры на правило Алъкархи можно привести такіе:

1³ + 2³ + 3³ = (1 + 2 + 3)², такъ какъ 1 + 8 + 27 =6 X 6

1³+2³ + 3³ + 4³ + 5³ = (1 + 2 + 3 + 4 + 5)², такъ какъ 1 + 8 + 27 + 64 + 125 = 15 X 15

и т. д.

Въ настоящее время прогрессіи и ряды не встрѣчаются въ учебникахъ ариѳметики и не входятъ въ школьную программу по этому предмету. Теперь признано, что для полнаго объясненія этихъ отдѣловъ нужна общая количественная наука, а не частная, числовая, т.-е. не ариѳметика, а алгебра.

Извлеченіе корней до самаго послѣдняго времени входило въ составъ ариѳметики и содержалось даже въ нѣкоторыхъ учебникахъ 60-хъ годовъ прошлаго столѣтія, напр., въ задачникѣ, изданномъ департаментомъ народнаго просвѣщенія, имѣлись задачи на квадратные и кубическіе корни. Этотъ отдѣлъ, дѣйствительно, вполнѣ числовой, и процессъ извлеченія корня очень подходилъ бы къ курсу ариѳметики, но только въ томъ бѣда, что трудно провести хорошее объяененіе этого дѣйствія безъ помощи алгебры, поэтому теперь извлеченіе корней признается обыкновенно частью алгебры.

Умѣли извлекать корни индусскіе и арабскіе математики, также и греческіе ученые. Индусамъ и арабамъ были извѣстны начала алгебры и даже въ такой мѣрѣ, что они могли рѣшать квадратныя уравненія. Поэтому вполнѣ слѣдовало ожидать того, что уже въ ХІІ в. по Р. X. извлеченіе корней шло почти такъ же, какъ идетъ оно сейчасъ у насъ.