Текст книги "Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики с таблицей"

Автор книги: Всеволод Беллюстин

сообщить о нарушении

Текущая страница: 14 (всего у книги 15 страниц)

Цѣпное правило.

Начало цѣпного правила можно прослѣдить у индусовъ, именно, оно содержится въ ариѳметикѣ индуса Брамегуиты, относящейся къ VII ст. по Р. X. Въ Германіи оно встрѣчается раньше всѣхъ у Адама Ризе (въ XVI ст.); распространенію его особенно способствовалъ голландецъ Ванъ-Реесъ (1740 г.), по его имени и правило часто на-зывается правиломъ Рееса, другія его названія – Kettenregel на нѣмецкомъ языкѣ и Règle conjonte на французскомъ.

Прямой цѣлью, для которой и придумано цѣпное правило, является переводъ мѣръ одной системы въ мѣры другой, при посредствѣ мѣръ еще какой-нибудь третьей системы. Возьмемъ такую задачу:

сколько флориновъ стоятъ 8 центнеровъ, если въ центнерѣ 100 фунтовъ, въ фунтѣ 32 лота, каждые 6 лотовъ стоятъ 42 крейцера, 60 крейцеровъ стоятъ одинъ флоринъ?

Конечно, эту задачу можно рѣшить простыми дѣленіями и умноженіями, можно ее рѣшить черезъ пропорціи, но изобрѣтатели цѣпного правила не довольствовались этимъ и хотѣли дать такой пріемъ, по которому человѣкъ могъ бы работать, какъ машина, почти не разсуждая и не давая себѣ отчета. По цѣпному правилу задача пишется такъ:

X флор.—8 центн.

1 центн.—100 фун.

1 фун.—32 лота.

6 лот.—42 крейц.

60 крейц—1 флоринъ.

Затѣмъ пишется прямо формула отвѣта, а для этого достаточно перемножить числа праваго ряда и сдѣлать это числителемъ и произведеніе лѣвыхъ чиселъ сдѣлать знаменателемъ, будетъ тогда

Въ XIII в. и позже въ Италіи условія подобныхъ задачъ располагались иначе, именно не двумя вертикальными столбцами, а двумя горизонтальными строками; получается такое расположеніе:

42 кр. 6 лот. 100 ф. 1 центн.

1 фл. 60 кр. 32 лот. 1 ф. 8 центр.

Затѣмъ проводилась ломанная линія между множителями числителя той дроби, которая должиа выражать отвѣтъ, и такая же линія между множителями знаменателя: слѣдов. долженъ получиться чертежъ:

Онъ представляетъ подобіе цѣпи, и благодаря ему самое правило названо цѣпнымъ.

Совершенно справедливо замѣчаютъ противники Ванъ-Рееса, что цѣпное правило не только не полезно для начальнаго обученія, но даже вредно. Оно, подобно многимъ другимъ правиламъ, стремится внести механичность и уничтожить свободное сужденіе при выборѣ способа; оно пригодно, пожалуй, для людей, которымъ часто надо переводить мѣры изъ одной системы въ другую, но оно неумѣстно для общеобразовательной школы, такъ какъ вноситъ спеціальный техническій элементъ.

Итальянская практика.

Странное названіе, чуждое нашимъ учебникамъ! Что же это за правило?

До XIX столѣтія оно обязательно было во всѣхъ ариѳметикахъ. Какъ показываетъ самое заглавіе, итальянская практика обязана своей разработкой итальянцамъ (главнымъ образомъ Тартальѣ), и ка-сается она пріемовъ, вызванныхъ практикой и приложимыхъ на практикѣ. Происхожденіе ея слѣдующее. Въ то время, какъ средневѣковая ариѳметика старалась изъ всѣхъ силъ напичкать ученика всевозможными готовыми правилами, по которымъ, какъ по шаблону, можно было рѣшать любой вопросъ, не затрудняя себя придумываніемъ способовъ, въ это время, въ противовѣсъ такому направленію, природная человѣческая смѣтливость, естественная пытливость и ничѣмъ неуничтожаемая потребность думать – искали себѣ выхода, находили его въ изобрѣтеніи оригинальныхъ пріемовъ, которые болѣе соотвѣтствовали характеру каждаго вопроса, облегчали и упрощали его. Такимъ образомъ, итальянская практика – это собраніе искусственныхъ пріемовъ, отчасти письменныхъ, иногда устныхъ, нерѣдко простонародныхъ, которые здравымъ человѣческимъ разсудкомъ противопоставляются заученнымъ формуламъ сухой науки. Склонность къ такимъ пріемамъ живетъ во всякомъ народѣ, и итальянцы нѣсколько опередили остальныхъ только потому, что ихъ роль коммерсантовъ и посредниковъ скорѣе дала выходъ природнымъ задаткамъ.

Тарталья различаетъ простую итальянскую практику и искусственную. Простой практикой рѣшаются вопросы не особенно сложные, которые относятся главн. обр. къ простому тройному правилу. Первый примѣръ: 8 килограммовъ саго стоятъ 3,80 марокъ., что стоятъ 12 килограммовъ саго? Для рѣшенія мы сперва высчитаемъ стоимость 4 килограммовъ, а для этого достаточно 3,80 марокъ раздѣлить пополамъ, потому что 4 килограмма составляютъ половину 8, и слѣд., цѣна ихъ составляетъ половину 3,80 марокъ, затѣмъ складываеиъ стоимость 8-ми килогр. и 4-хъ и получаемъ искомую цѣну 12-ти:

Приведемъ еще примѣръ, въ которомъ удобнѣе не складывать, а вычитать: 15 арш. матеріи стоятъ 16,80 рублей, что стоятъ 10 аршинъ матеріи?

Искусственная итальянская практика состоитъ въ слѣдующемъ. Если въ задачѣ встрѣчается какой-нибудь сложный множитель, то разбиваютъ его на слагаемыя и эти слагаемыя подбираютъ такъ, чтобы самое большое являлось кратнымъ остальныхъ, или вообще одно слагаемое содержало въ себѣ другое; когда намъ удалось такъ разложить, то мы умножимъ данное число на большее слагаемое, а всѣ остальныя произведенія получимъ дѣленіемъ и именно воспользуемся свойствомъ, что во сколько разъ меныне множитель, во столь-ко же разъ меныпе и произведеніе. Примѣръ: сколько прибыли получится съ 9000 руб. по 4% за 1 годъ 2 м. 24 д? Въ этомъ случаѣ вычисляемъ сперва прибыль за 1 годъ, потомъ за ¹/₆ года, т.-е. за 2 мѣсяца, для этого дѣлимъ годовую прибыль на 6, потомъ вычисляемъ за 20 дней – они составляютъ ⅓ двухъ мѣсяцевъ, потомъ за 4 дня, т.-е. за ¹/₅ двадцати дней; въ концѣ всѣ полученныя прибыли складываемъ. Тарталья даетъ подобнымъ задачамъ такое расположеніе:

Еще примѣръ: найти прибыль съ 6000 р. по 4% за 1 г. 7 м. 9 дней.

Изъ этихъ примѣровъ можно понять, чѣмъ отличается итальянская практика отъ тройного правила: въ тройномъ правилѣ идетъ приведеніе къ единицѣ или, точнѣе сказать, къ простой единицѣ, здѣсь же вопросъ приводится къ сложной единицѣ, т. е. къ группѣ единицъ. Это виднѣе на такомъ примѣрѣ: 22 фунта стоятъ 10 руб., сколько стоятъ 33 ф.? По итальянской практикѣ не надо приводить этого вопроса къ 1 фунту, а удобнѣе привести прямо къ кратной части всего количества, къ 11 фун.; получимъ ихъ стоимость=5 р.; а потомъ остается 5 руб. повторить 3 раза.

Въ послѣднее время задачи на приведеніе къ кратной части и на сложеніе кратныхъ частей стали встрѣчаться въ нѣкоторыхъ задачникахъ, особенно для начальной школы. Это очень хорошо, потому что такіе вопросы развиваютъ сообразительность, даютъ просторъ выбору и обсужденію способовъ и вообще соотвѣтствуютъ истинной цѣли ариѳметики, какъ общеобразовательнаго учебнаго предмета, имѣющаго ввиду развить умъ, а не только снабдить ученика навыками счета.

Фальшивое правило.

Существовало и такое правило, и не только существовало, но пользовалось громаднымъ вниманіемъ. По крайней мѣрѣ, у Магницкаго особая 4-я часть его ариѳметики была посвящена правиламъ „фальшивымъ или гадательнымъ“, въ то время, какъ въ 1-й части шли дѣйствія надъ цѣлыми числами, во 2-й надъ дробями, въ 3-й помѣщено тройное правило и въ 5-й и послѣдней о „прогрессіи и радиксахъ (т. е. корняхъ) квадратныхъ и кубичныхъ". Что же это за фальшивое правило, и почему у него такое странное названіе? Магницкій какъ бы предвидитъ подобный вопросъ и потому объясняетъ успокоительно:

«фальшивая правила, сирѣчь не истинная положенія, зане чрезъ два не истинная положенія изобрѣтаетъ самое оно желаемое истинное число».

 Объяснимъ это правило на общеязвѣстной задачѣ о гусяхъ, кстати она и помѣщена въ ариѳметикѣ Румовскаго (1760 г.), какъ примѣръ фальшиваго правила. Задача такая:

«летѣло стадо гусей, на встрѣчу имъ летитъ одинъ гусь и говоритъ: здравствуйте, сто гусей, а тѣ ему отвѣчаютъ: нѣтъ, насъ не сто гусей, а если бы насъ было еще столько, сколько есть, да еще полъ-столька, да четверть-столька, да еще ты одинъ гусь съ нами, тогда насъ было бы ровно сто гусей. Сколько ихъ было?»

Рѣшеніе такое: положимъ, во-первыхъ, что гусей было хоть двадцать; сочтемъ теперь, что составитъ столько, да полъ столько, да четверть столько, да еще одинъ, и выйдетъ всего гусей 20 + 20 + 10 + 5 + 1 = 56; а ихъ надо 100, слѣдовательно не достаетъ 44-хъ. Положимъ теперь, во-вторыхъ, что гусей было 24, и сосчитаемъ опять итогъ, выйдетъ 24 + 24 + 12 + 6 + 1=67, не достаетъ до 100 33-хъ. Итакъ, первое предположеніе было 20, недостатокъ 44, второе предположеніе 24, недостатокъ 33. Теперь слѣдуетъ перемножить накрестъ 20 24 и изъ большаго произведенія

20 24

   X

44 33

вычесть меньшее, т.-е. 44 · 24 – 20 · 33 = 1056 – 660= 396 и этотъ остатокъ 396 раздѣлить на разницу между обоими недостатками 44 – 33, получится 396 :11 = 36, вѣрный отвѣтъ задачи. Общее правило выражается такъ: надо принять для вопроса задачи какое-нибудь произвольное значеніе, высчитать тотъ результатъ, который получится, когда подставимъ въ задачу это произвольное число, затѣмъ высчитать погрѣшность; точно также берется второе произвольное значеніе и вычисляется второй результатъ и вторая погрѣшность; тогда

Способъ фальшиваго правила былъ извѣстенъ индусамъ и арабамъ еще въ IX в. по Р. X., при чемъ выводъ его принадлежитъ, по всей вѣроятности, индусамъ. Въ латинскихъ рукописяхъ Парижской библіотеки говорится, что индусское сочиненіе, относящееся къ этому предмету, было переведено въ XII в. на еврейскій языкъ испанскимъ евреемъ Авраамомъ бэнъ-Эзра. Съ еврейскаго языка это сочиненіе было переведено впослѣдствіи на латинскій. У арабскихъ писателей фальшивое правило пользовалось широкимъ распространеніемъ, и объ немъ говорятъ всѣ арабскіе математики.

Альхваризми (въ IX в. по Р. X.) даегь слѣдующій примѣръ: «найти такое число, что если отнять отъ него ⅓ и ¼ его, то въ остаткѣ будетъ 8»; положимъ, что число будетъ 12, тогда остатокъ вышелъ бы 5, вмѣсто 8, т.-е. на 3 меньше; пусть число 24, тогда остатокъ оказался бы больше настоящаго на 2, теперь въ формулѣ рѣшенія намъ придется сложить 2 произведенія, о которыхъ говорилось выше въ правилѣ, а не вычесть одно изъ другого, и это потому, что въ задачѣ одинъ отвѣтъ больше настоящаго, а другой меньше его (24.3 +12.2) : (3 + 2) = 19¹/₅. О фальшивомъ правилѣ много говоритъ также Леонардо Фибонначи, итальянскій математикъ 13 ст. Въ русскихъ математическихъ рукописяхъ XVII в. это правило извѣстно подъ такимъ именемъ: «статья цифирная именуется вымышленая или затѣйчивая. Высокаго остропамятнаго разума и умнаго прилежаніе ея-же нѣціи фальшивою строкою нарекоша, иже ни малымъ чѣмъ погрѣшается».

Сущность фальшиваго правила лучше всего объясняется алгебраически. Возьмемъ одно уравненіе первой степени съ однимъ неизвѣстнымъ: ax+b = 0. Примемъ x равнымъ произвольному количеству k₁; подставивъ k₁ вмѣсто х, пусть мы получимъ во второй части вмѣсто нуля т₁, такъ что ak₁ + b = n₁ т.-е. ошибка оказалась во второй части на n₁. Дадимъ иксу другое произвольное значеніе k₂, и пусть вторая часть обратится въ n₂, такъ-что ошибка второй части уравненія будетъ n₂. Теперь мы получимъ такую систему:

то образуется слѣдующее выраженіе для неизвѣстнаго:

Изъ этой формулы выходитъ: n₁x– n₂x= n₁k₂– n₂k₁, или n₁(x-k₂)=n₂(x-k₁) откуда получается пропорція: n₁: n₂=(х-k₁) : (х-k₂), т. е. ошибки неизвѣстныхъ пропорціональны ошибкамъ уравненій. Этой пропорціей и устанавливается связь между фальшивымъ правиломъ и способомъ пропорцій.

Фальшивое правило вводилось во всѣ учебники ариѳметики до начала 19-го вѣка и считалось необходимой ихъ частью и однимі изъ самыхъ важныхъ отдѣловъ. Оно встрѣчается, между прочимъ, въ ариѳметикѣ Безу, переведенной на русскій языкъ В. Загорскимъ въ 1806 году. Въ настоящее время это правило совершенно исключено изъ ариѳметическаго курса, и его нигдѣ найти нельзя. Двѣ причинь содѣйствовали его исключенію. Во-первыхъ, выводъ его можетъ быті сдѣланъ только алгебраически и, слѣдовательно, въ ариѳметикѣ онъ не можетъ быть объясненъ ученикамъ и требуетъ отъ нихъ прямого заучиванія; во вторыхъ, никакой учебникъ не разграничивалъ, какія задачи можно рѣшать фальшивымъ правиломъ, и какихъ нельзя имі рѣшать; а, между тѣмъ, это существенно важно, потому что, еслі примѣнить правило къ тому, къ чему оно непримѣнимо, то выйдетъ конечно, одно печальное недоразумѣніе. На самомъ дѣлѣ это правило можетъ имѣть силу только для тѣхъ задачъ, гдѣ вся задача сводится къ умноженіямъ и дѣленіямъ неизвѣстнаго.

Прочія правила: смѣшенiя, дѣвичье и другiя.

Правило смѣшенія было въ употребленіи, очевидно, очень давно, такъ какъ потребности въ смѣшеніи лѣкарствъ и какихъ – нибудь составовъ, а также въ сплавленіи металловъ имѣли мѣсто еще въ древнемъ мірѣ. Формулы смѣшенія были найдены, вѣроятно, отчасти путемъ опыта, отчасти алгебраическими выкладками; потомъ онѣ были перенесены въ ариѳметику, запоминались учениками и примѣнялись къ рѣшенію задачъ.

Леонардо Фибонначи въ ХIII в. даетъ такіе пріемы, которые надо признать совершенно механическими; и вся забота ѳго направлена только къ тому, чтобы расположить данныя числа какъ слѣдуетъ; задачи у него раздѣляются на 2 вида, тѣхъ самыхъ, какіе сейчасъ и у насъ: въ первомъ видѣ узнается, какого достоинства выйдегъ смѣсь, если извѣстно количество смѣшиваемыхъ веществъ и ихъ достоинство; въ второмъ видѣ надо опредѣлить, сколько слѣдуетъ взять каждаго вещества, чтобы получить смѣсь такого достоинства, какое требуетса. У Леонардо встрѣчаются задачи на смѣшеніе нѣсколькихъ сортовъ, и есть примѣры болѣе отвлеченнаго характера, въ такомъ родѣ: «Стоимость 30, количество 30, стоимость единицы– 3, 2, ½ рѣшеніе: I:III =1 : 4, II : III = 1 : 2, положимъ на I съ III всего 15 единицъ, изъ нихъ 3 на I, 12 на III; на II съ III кладемъ тоже 15 единицъ, изъ которыхъ 5 на II, и 10 на III; всего тогда получится на I=3, на II=5 и на III =22». Эта задача, какъ видно, неопредѣленная.

Въ 15—16 вѣкѣ задачи на смѣшеніе рѣшались нѣсколько иначе, чѣмъ мы ихъ рѣшаемъ; онѣ приводились къ тройному правилу, и для каждаго неизвѣстнаго составлялась отдѣльная строка, отдѣльная пропорція.

Въ русскихъ учебникахъ XVII вѣка правилу смѣшенія соотвѣтствовала «статья о нечисти во всякихъ овощахъ и въ товарехъ», въ ней говорилось о смѣшеніи чистаго товара съ нечистымъ и о сплавѣ золота, серебра и мѣди. У Магницкаго статья «третья надесять» въ тройномъ правилѣ, подъ заглавіемъ «о соединеніи вещей», начинается прямо съ задачи, безъ всякаго предисловія и объясненія: «Нѣкій винопродавецъ имяше четыре разныя вины, ихъ же продаяше разною цѣною, по 10 алтынъ, по 8 алтынъ, по 6 алтынъ и по 5 алтынъ по 2 денги галенокъ, и хощетъ отъ тѣхъ разноцѣнныхъ винъ бочку наліяти въ 80 галенковъ, чтобы галенокъ былъ цѣною въ 6 алтынъ 4 денги, и вѣдательно есть, колико галенковъ котораго вина вліяти достоитъ во ону бочку, придетъ 16, 8, 16, 40. Зри како изобрѣтати:

По толику галенковъ таковыхъ разныхъ винъ въ бочкѣ оной вина его же цѣна по 20 коп. галенокъ»

Понятно, зачѣмъ Магницкій помѣщалъ задачи на смѣшеніе, и зачѣмъ онѣ были въ старинныхъ ариѳметикахъ: учебникъ считался тогда сборникомъ всевозможныхъ правилъ, пригодныхъ для разныхъ житейскихъ случаевъ, къ нему, какъ къ какому-нибудь справочнику, и обращались за указаніями и искали практическаго отвѣта. Теперь же техника и ремёсла, равно какъ и гражданская жизнь, настолько развились и расширились, что нечего и думать сообщить ученику запасъ предписаній на всевозможные житейскіе случаи. Кромѣ того, смѣшеніе примѣняется теперь не настолько часто, чтобы считать его употребительнымъ дѣйствіемъ и пріучать къ нему учениковъ и ученицъ изъ разныхъ классовъ общества и изъ разныхъ состояній. Такимъ образомъ, практическое значеніе правила смѣшенія можно считать въ настоящее время за нуль, особенно если имѣть ввиду задачи второго рода. Но и образовательное, развивающее его значеніе тоже очень не велико, потому что тѣ же задачи второго рода, по самой своей сущности, принадлежатъ алгебрѣ, съ большимъ удобствомъ и пониманіемъ рѣшаются въ ней, въ ариѳметикѣ же онѣ явдяются какимъ-то оторваннымъ кускомъ и потому не могутъ быть проработаны вполнѣ сознательно. Гораздо лучше было бы и для учениковъ и для науки, если бы задачи второго рода на смѣшеніе были отнесены къ алгебрѣ.

Дѣвичье правило. Оригинальное и странное названіе, получившееся оттого, что прежде (впрочемъ бываетъ это и теперь) задачи располагались и назывались не по способамъ ихъ рѣшенія, а по внѣшнему виду. Къ дѣвичьему правилу относились задачи, въ которыхъ говорилось о дѣвицахъ. Правда, всѣ онѣ въ cтарыхъ сборникахъ пріурочивались къ одному типу, именно къ отдѣлу неопредѣленныхъ задачъ. Типической задачей можеть служить слѣдующая, заимствованная изъ Адама Ризе, составившаго учебникъ въ XVI ст. «26 персонъ издержали вмѣстѣ 88 марокъ, при чемъ мужчина издерживалъ по 6 марокъ, женщина по 4 и дѣвушка по 2; сколько было мужчинъ, женщинъ и дѣвушекъ?» Адамъ Ризе учитъ рѣшать такимъ образомъ: пусть, говоритъ онъ, всѣ 26 персонъ были бы дѣвушки, тогда онѣ издержали бы 2.26=52 марки, слѣдовательно, остается 88 – 52 = 36 марокъ. Разложимъ теперь 36 на такія два слагаемыхъ, чтобы одно состояло изъ четверокъ, другое изъ паръ, напримѣръ, 8 четверокъ и + 2 пары, или 5 четверокъ + 8 паръ, или еще 2 четверки + 14 паръ; такое расположеніе удобно тѣмъ, что 32 марки въ первомъ случаѣ мы отнесемъ на долю мужчинъ и 4 марки на долю женщинъ и расчислимъ такъ: мужчина тратитъ больше дѣвушки на 4 марки, ихъ можно принять всего 8 человѣкъ, такъ какъ 32:4 = 8; женщина тратитъ больше дѣвушки на 2 марки, и женщинъ можно полагать 2, потому что 4: 2=2; слѣдовательно, получается въ отвѣтѣ 8 мужчинъ, которые заплатятъ вмѣстѣ 48 марокъ, 2 женщины—8 марокъ и 16 дѣвушекъ 32 марки, всего 88 марокъ. Другой рядъ отвѣтовъ можно бы получить, съ помощью этого же способа, такой: 5 мужч., 8 женщ. и 13 дѣвушекъ; и много другихъ рѣшеній, такъ какъ эта задача неопредѣленная.

Первая неопредѣленная задача на латинскомъ языкѣ изъ тѣхъ, которыя дошли до насъ, содержится въ сборникѣ Алькуина (въ VIII ст. по Р. X.) и выражается такъ: «100 шеффелей раздѣлить между мужчинами, женщинами и дѣтьми и дать при этомъ мужчинѣ по 3 шеффеля, женщинѣ по 2 и ребенку по ½ шефф.» Рѣшеніемъ этой задачи могло бы быть, напр., 24, 40 и 36; у Алькуина дано 11, 15, 74. Кромѣ названія «дѣвичье», это правило имѣло иногда титулъ «слѣпого» правила и опять по той же самой причинѣ, именно, что въ неопредѣлешшхъ задачахъ этого рода упоминалось о слѣпцахъ. Кстати скажемъ, что были и другія курьезныя правила, въ родѣ правила «крокодиловъ», правила «роговъ» и т. п., и назывались они по той своей особенности, что въ задачахъ, которыя являлись характеристичными, упоминалось про крокодидовъ, рога и т. д.

Многое множество тѣхъ задачъ, которыми наполняются современные намъ сборники, идутъ изъ глубокой древности, пережили многія тясячелѣтія и терпѣливо переписываются однимъ составителемъ изъ другого.

Напр., извѣстная задача о бассейнахъ, которые наполняются трубами, и изъ которыхъ вода выливается, пользовалась вниманіем уже во времена Герона Александрійскаго (во 2 в. до Р. X.). Метрдоръ, жившій при Константинѣ Великомъ, даетъ задачу съ 4 трубами изъ которыхъ 1-я можетъ наполнить бассейнъ въ день, 2-я—въ 5 3-я—въ 3 и 4-я—въ 4 дня. Эту же задачу мы видимъ и у индусовъ во времена математика Аріабгатты, въ 5 в. по Р. X. Она же встрѣчается въ русскихъ старинныхъ ариѳметикахъ, и она же помѣщается во всѣхъ новѣйшихъ сборникахъ. Точно также задача о собакѣ догоняющей зайца, имѣется уже въ сборникѣ Алькуина (въ 8 ст. по Р. X.). Заяцъ впереди собаки на 150 футовъ, и онъ пробѣгает 7 футовъ въ то время, какъ собака 9; для рѣшенія 150 предлагается раздѣлить пополамъ.

Рѣшеніе ариѳметическихъ задачъ всегда было несвободно от разныхъ недочетовъ, которые имѣютъ мѣсто и въ наше время и объясняются исторически. Во-первыхъ, даются ученикамъ иногда такія задачи, которыя псрежили самихъ себя и утеряли смыслъ, пс тому что времена измѣнились; примѣромъ можетъ служить задача о курьерахъ; теперь уже вездѣ телеграфы, телефоны, сообщенія по желѣзнымъ дорогамъ, и поэтому нѣтъ никакой надобности посылать конныхъ курьеровъ, это было 50—100 лѣтъ тому назадъ, а сейчас это анахронизмъ. Во-вторыхъ, рѣшеніе задачъ никакъ не можетъ освободиться отъ того элемента механичности, который сжился съ ним въ теченіе многихъ сотенъ лѣтъ. Прежде всякая школа была главнымъ образомъ школой спеціальной и имѣла ввиду сообщить ученику навыки и умѣнья, пригодные ему для извѣстной отрасли жизненной дѣятельности. Теперь, наоборотъ, школа проникла въ масс народа, сдѣлалась общедоступной и должна быть поэтому общеобразовательной, развивающей душевныя силы дѣтей и воспитывающей.

Съ этой точки зрѣнія не такъ важно количество задачъ, и не такъ важны ихъ отдѣлы, какъ важенъ путь ихъ рѣшенія. Надо чтобы рѣшеніе задачъ основывалось на соображеніи и развивало сообразительность, а не строило свою опору только на привычкѣ и простомъ запоминаніи.

Все вниманіе составителей сборниковъ должно сосредоточиваться на томъ, чтобы расположить работу строго послѣдовательно и систематично, съ переходомъ отъ простого къ сложному и отъ нагляднаго къ отвлеченному, безъ рѣзкихъ скачковъ отъ легкаго къ трудному. Если такъ расположить задачи, то ученикъ самъ, своимъ личнымъ мышленіемъ будетъ доходить до рѣшенія все болѣе и болѣе сложныхъ задачъ. Въ такомъ случаѣ учителю не придется на каждомъ шагу наставлять ученика и помогать ему: все дѣло учителя сосредоточится на подборѣ матеріала, расположеннаго цѣлесообразно. Методъ самостоятельнаго вывода—идеальный методъ въ математикѣ, и ему въ ней предстоитъ будущность.

Между тѣмъ, въ послѣдніе годы, отчасти подъ вліяніемъ строгихъ экзаменныхъ требованій, вошло въ моду дѣленіе ариѳметическихъ задачъ на мелкіе типы. Это вредное увлеченіе. Оно ведетъ къ выучкѣ и встряхиваетъ опять тѣ порядки, которые стали было затягиваться пылью сѣдой старины[9]9
  Изобрѣтеніемъ всевозможныхъ типовъ и многочисленныхъ правилъ отличился еще въ средніе вѣка германскій педагогь Видманнъ (въ 15 ст.). Съ него пошли эти порядки.


[Закрыть]. Не дробленіе на типы, главнымъ образомъ по внѣшнему виду, но строго постепенный подборъ сослужитъ службу при рѣшеніи задачъ, подводить же подъ типы—дѣло ученика, и тотъ, кто снимаетъ съ него эту работу мысли, тѣмъ самымъ лишаетъ его значительной части той пользы, какая происте-каетъ отъ занятій математикой.