Текст книги "По следам бесконечности"
Автор книги: Виктор Комаров
сообщить о нарушении
Текущая страница: 1 (всего у книги 13 страниц)
Виктор Комаров
ПО СЛЕДАМ БЕСКОНЕЧНОСТИ
ВМЕСТО ПРЕДИСЛОВИЯ
Человечество успешно осваивает космос. Все дальше от Земли уходят космические аппараты, все глубже в таинственные недра Вселенной проникают современные телескопы и радиотелескопы. Уже сегодня научному исследованию доступна колоссальная область пространства с поперечником около 20 миллиардов световых лет[1]1
Световой год – расстояние, которое световой луч при скорости около 300 тысяч километров в секунду преодолевает в течение земного года.
[Закрыть].
Проведенные в последнее время исследования космических объектов, расположенных у границ наблюдаемой Вселенной, показывают, что с увеличением расстояния число таких объектов постепенно уменьшается. На расстояниях порядка 8-10 миллиардов световых лет их совсем мало…
И невольно с новой силой возникает вечный вопрос, издавна волнующий мыслителей и ученых: бесконечна ли Вселенная?..
Среди естественнонаучных проблем есть проблемы, исследование которых тесно связано с развитием всего естествознания и человеческой мысли вообще. Каждый серьезный успех, достигнутый в процессе их изучения, открывает новые горизонты, способствуя прогрессу земной цивилизации.
К числу подобных проблем относится и проблема бесконечности, в частности бесконечности Вселенной.
Бесконечность, одно из самых удивительных научных понятий, неизменно привлекает внимание человека. Выть может, это объясняется тем, что в повседневной жизни нам всегда приходится иметь дело только с конечными величинами, с конечным числом тех или иных объектов. Бесконечность манит человека своей необычностью и даже таинственностью. И дело не только в том, что бесконечность трудно, а точнее – невозможно себе представить. Бесконечные множества обладают многими свойствами, которые противоречат нашему привычному опыту.
Бесконечность породила в науке парадоксальные ситуации, которые состоят в том, что признание ее существования вызывает, казалось бы, непреодолимые трудности, а отказ от нее ведет к трудностям еще большим.
И тем не менее бесконечность – это вполне реальное свойство или совокупность свойств окружающего нас мира, и как всякое реально существующее свойство она доступна научному познанию и может быть изучена как качественно, так и количественно. С бесконечностью встречаются и бесконечность изучают не только математика, но и физика, и астрономия, и философия.
По существу, идея бесконечного пронизывает всю историю познания человеком окружающего мира и своего места в нем.
С обыденной точки зрения бесконечность – это нечто чрезвычайно расплывчатое, аморфное, ускользающее, лишенное четкой определенности, не допускающее ни точного измерения, ни сопоставления. Бесконечность – и этим все сказано…
В действительности же науке известны различные и притом совершенно конкретные типы бесконечности. Прежде всего это практическая бесконечность. Речь идет о таких больших величинах, которые формально хотя и конечны, по в рамках той иди иной задачи фактически настолько велики или малы, что воспринимаются как практически бесконечные. Скажем, с точки зрения ядерной физики расстояние в один микрон бесконечно велико, а с точки зрения астрономии расстояние в один сантиметр бесконечно мало. С такого рода бесконечностью современному естествознанию приходится встречаться в большинстве физических приложений математики. Поэтому ее можно еще назвать физической.
Однако практическая, или физическая, бесконечность – это все-таки еще не бесконечность в строгом значении этого слова. Наиболее простая и, если можно так сказать, наглядная бесконечность – бесконечность чисел натурального ряда. К ней примыкает так называемая теоретико-множественная бесконечность, то есть разного рода множества, содержащие бесконечное число элементов.
В геометрии и астрономии рассматривается метрическая бесконечность – такие пространственные многообразия, площади или объемы которых нельзя выразить конечным числом.
Существует и еще один бесконечный процесс – бесконечное приближение числовой последовательности к некоторому пределу. И это не только чисто математическая конструкция. С такого рода процессами наука встречается и в природе. Скажем, можно как угодно близко подойти к абсолютному нулю температуры или к скорости света в пустоте, но мы никогда в реальном физическом процессе не достигнем этих мировых констант в точности.
Возможен и такой тип бесконечности, как бесконечная делимость. Например, бесконечная делимость пространства и времени.
Один из важнейших типов бесконечности, являющийся предметом философского анализа и исследования, – неисчерпаемость реального мира. С одной стороны, это бесконечность числа физических явлений и условий, которые реализуются в природе, а с другой – бесконечный характер процесса познания мира человеком.
Таким образом, проблема бесконечности – это очень сложная комплексная проблема. Понятие бесконечности имеет богатое и разнообразное содержание. И на разных этапах развития науки различные ее области выдвигают на первый план те или иные типы бесконечности.
Итак, бесконечность вовсе не условная математическая конструкция – она отражает реальные свойства окружающего нас мира. И не случайно чуть ли не вся история математики, физики и астрономии самым тесным образом переплетается с исследованием проблемы бесконечного.
Одним из фундаментальных вопросов науки, непосредственно связанных с проблемой бесконечности, является вопрос о геометрических свойствах Вселенной.
Великие философы древности пытались решить этот вопрос с помощью сравнительно простых и, казалось бы, на первый взгляд неопровержимых логических рассуждений.
Представим себе, говорили они, что у Вселенной есть край и человек достиг этого края. Стоит ему только вытянуть руку – и она окажется за границами Вселенной. Но тем самым рамки материального мира раздвигаются еще на некоторое расстояние. Тогда можно будет приблизиться к новой границе и повторить ту же операцию еще раз. И так без конца. Значит, Вселенная не может иметь границ.
«Нет никакого конца ни с одной стороны у Вселенной, ибо иначе края непременно она бы имела», – писал Лукреций Кар в своей поэме «О природе вещей».
И действительно, если необычайно трудно, почти невозможно представить себе пространство, которое в любом направлении простирается безгранично далеко, то еще труднее вообразить обратное, то есть что у Вселенной где-то существует край, есть граница. Ведь в таком случае действительно возникает вполне естественный вопрос: а что находится дальше?
Однако обращение к «очевидности» не может служить основанием для серьезных научных выводов. Мы многого не можем себе представить, но это само по себе еще ничего не доказывает. Что же касается рассуждения Лукреция, то оно хотя внешне и логично, но на самом деле опирается на наши привычные земные представления. При этом молчаливо предполагается, что они справедливы везде и всегда. Между тем весь опыт познания природы убедительно доказывает, что так называемая «наглядность» весьма ненадежный советчик при решении научных вопросов.
Можно вспомнить хотя бы о тех возражениях, которые вызывала в свое время идея кругосветного путешествия, выдвинутая Магелланом. Ее противники как раз основывали все свои возражения на наглядности. Как можно, восклицали они, двигаясь все время по прямой в одном направлении, вернуться в ту же точку?! Возможность такого результата противоречила общепринятым житейским представлениям, противоречила обыденному здравому смыслу. Но, как известно, действительность подтвердила предположение Магеллана.
Аналогичные возражения встретила идея антиподов: если Земля шарообразна, то как могут люди жить на другой ее стороне – ведь им приходится ходить вниз головой?!
«…Здравый человеческий рассудок, – писал Фридрих Энгельс, – весьма почтенный спутник в четырех стенах своего домашнего обихода, переживает самые удивительные приключения, лишь только он отважится выйти на широкий простор исследования»[2]2
К. Маркс и Ф. Энгельс. Соч., т. 20, стр. 21.
[Закрыть].
Здравый смысл – порождение конкретной исторической эпохи, он отражает фактически достигнутый уровень знаний. Но мир бесконечно разнообразен, а наши знания о нем всегда относительны – они имеют определенные границы применимости. Где пролегают эти границы – заранее неизвестно. И потому нередко совершаются попытки применять существующие научные представления к описанию– таких явлений, которые на самом деле им не подвластны. Так возникают заблуждения – незнание, временно принимаемое за знание.
Это и есть здравый смысл, соответствующий определенному уровню развития науки: «знания плюс заблуждения».
Таким образом, здравый смысл – явление относительное, временное, он включает в себя не только знание, но и заблуждения. И, следовательно, на него нельзя полагаться при решении научных проблем, в особенности сложных научных проблем.
Поэтому не удивительно, что представления о бесконечности с развитием науки не раз претерпевали весьма серьезные изменения. Это в особенности относится к представлениям о бесконечности Вселенной, история развития которых напоминает увлекательный детективный роман с неожиданными загадками и непредвиденными поворотами.
Исходная версия древних, основанная на наглядности и здравом смысле, версия, казавшаяся несомненной и очевидной, затем начисто опровергается. Но вскоре выясняет ем несостоятельность и новой версии и происходит возврат к первоначальному выводу, хотя и выступающему в новом качестве. После этого совершается вновь крутой поворот, а «под занавес» выясняется, что истина не похожа ни на одно из обсуждавшихся предположений.
И это перечисление еще далеко не полно отражает содержание того мастерски закрученного повествования, главным героем которого является Бесконечность.
Это она вызвала, например, кризис в основаниях математики, поставила труднейшие, до сих пор нерешенные задачи перед физикой элементарных частиц.
Даже сам вопрос о существовании и свойствах бесконечного породил множество удивительных проблем и столкнул ученых лицом к лицу с неразрешимыми парадоксами.
И совершенно прав был выдающийся математик XIX столетия Давид Гильберт, когда писал: «С давних пор никакой другой вопрос так глубоко не волновал человеческую мысль, как вопрос о бесконечности. Бесконечное действовало на разум столь же побуждающе и плодотворно, как едва ли действовала какая-либо другая идея…»
История изучения бесконечности тесно связана с принципиальными, поворотными моментами развития естествознания. И проследить почти такую же долгую, как сознательное существование человечества, полную драматических событий жизнь этой замечательной идеи не только в высшей степени интересно, но и весьма поучительно. Ведь история выдающихся научных идей – это не просто музей, где покрываются пылью любопытные экспонаты, относящиеся к различным эпохам. Опыт истории науки дает ключ к пониманию характера происходящих в ней процессов, помогает не только постичь «связь времен», но и понять внутренние закономерности движения научной мысли, заглянуть в ее будущее, значительно облегчает объективную оценку вновь возникающих идей и теорий, составляющих последнее слово науки.
«Изучение прошлого, в том числе и научной мысли, всегда приводит к введению в человеческое сознание нового», – отмечал выдающийся советский ученый академик В. И. Вернадский.
Наука – это не только история открытий, не только свод законов природы и правил для решения различных задач. Ото нечто неизмеримо большее. Уже сами поиски новых путей в науке требуют иногда отказа от того способа мышления, который утвердился вместе с общепризнанными привычными научными теориями и сделался своеобразной монополией, стал частью здравого смысла. Поэтому результаты подобных поисков необыкновенно поучительны и обладают далеко идущими последствиями.
Казалось бы, проблема бесконечного принадлежит к числу самых абстрактных научных проблем, имеющих весьма отдаленное отношение к практической деятельности людей и их повседневной жизни.
На самом же деле история изучения бесконечности – это не только история создания новых страниц математики, астрономии и физики, это, по существу, история развития человеческой мысли.
А от ученых исследование бесконечности требовало и требует дерзкого полета воображения, оригинальности мышления, способности преодолевать гнет традиционных представлений, умения раздвигать рамки общепризнанных теорий и прокладывать новые неизведанные пути.
Эта книга – рассказ об истории развития одной из самых поразительных научных идей – идеи бесконечности.
Но идеи не рождаются и не развиваются сами по себе – это также рассказ о тех людях, которые двигали ее вперед.
Глава I. РОЖДЕНИЕ ИДЕИ
Неизведанными путями
Бесконечность – объективное свойство окружающего нас мира. Но человек познает бесконечность, сталкиваясь при этом с весьма сложными проблемами, парадоксальными ситуациями, многочисленными противоречиями, с удивительными фактами, вступающими в конфликт с привычным здравым смыслом.
Впрочем, с не меньшими трудностями приходится сталкиваться ученым и при решении многих других фундаментальных научных задач. И, пожалуй, самая большая сложность в процессе познания окружающего нас мира состоит в том, что исследователю никогда не удается поставить последнюю точку и посчитать миссию науки в изучении того или иного вопроса полностью завершенной.
Разумеется, основные, главные черты любого явления будут рано или поздно обнаружены и исследованы, но в принципе даже отдельный, единичный предмет – и тот бесконечно разнообразен во всех своих бесчисленных связях и отношениях.
«Стакан есть, бесспорно, и стеклянный цилиндр и инструмент для питья, – говорил В. И. Ленин. – Но стакан имеет не только эти два свойства или качества или стороны, а бесконечное количество других свойств, качеств, сторон, взаимоотношений… со всем остальным миром. Стакан есть тяжелый предмет, который может быть инструментом для бросания. Стакан может служить как пресс-папье, как помещение для пойманной бабочки, стакан может иметь ценность, как предмет с художественной резьбой или рисунком, совершенно независимо от того, годен ли он для питья, сделан ли он из стекла, является ли форма его цилиндрической или не совсем, и так далее и тому подобное».[3]3
В. И. Ленин. Полн. собр. соч., т, 42, стр. 289.
[Закрыть]
Энгельс также неоднократно подчеркивал, что научное познание ни в коем случае не заключается в погоне за вечными истинами.
По существу, любое научнее открытие – это то, о чем вчера еще люди даже не подозревали и благодаря чему завтра они будут смотреть на мир уже в чем-то изменившимся взглядом.
Совсем недавно, лет десять-пятнадцать назад на страницах научно-популярных журналов, на лекциях и. даже на ученых дискуссиях звучала такая, например, категорическая фраза:
– Вселенная бесконечна в пространстве и во времени.
И еще добавлялось, что усомниться в этом равносильно признанию религиозных взглядов. Если Вселенная конечна – значит, за ее пределами находится царство божие, а если она имела начало – значит, ее сотворил бог.
– Утверждение, о котором идет речь, по существу, не имеет смысла, – говорит эстонский академик Густав Иоганнович Наан. – Ведь точно не определено, ни что такое Вселенная, ни что такое бесконечность, ни что такое, наконец, бесконечность Вселенной.
Но если дело, действительно, обстоит так – как же подступиться к бесконечности? И можно ли подступиться вообще?
– По-моему, при знакомстве с бесконечностью, – поясняет академик, – люди обычно переживают три стадии. Сперва кажется, что все совершенно ясно, что и проблемы-то вообще никакой пет и все проще пареной репы– Вселенная бесконечна и баста. Но вскоре приходит второй этап, когда начинают задумываться, а что же такое бесконечность? Тогда наступает состояние, которое даже получило специальное название: «хорре инфините» – «ужас бесконечного». Этот ужас связан прежде всего с неисчерпаемостью, недостижимостью, ненасытностью бесконечности. Ну и, наконец, третий этап – когда, несмотря на своеобразный характер бесконечности, ее все же начинают изучать строго научными методами.
Даже многие математики утверждают, что когда они начинают всерьез размышлять о бесконечности – мутится рассудок.
– Есть такой афоризм, – улыбается Наан, – когда меня никто не спрашивает, что такое бесконечность, мне кажется, я знаю, что это такое. Но стоит задуматься, как выясняется, что знаю не так уж много.
Но как же в таком случае быть с проблемной бесконечности Вселенной?
Как-то на одном из научных семинаров, посвященных проблемам современной астрономии, один молодой ученый заметил, что на том уровне развития науки, который достигнут сегодня, ситуацию лучше всего охарактеризовать примерно так:
– Мы знаем, что Вселенная бесконечна, но не знаем, в каком смысле…
Тогда это заявление вызвало оживленную дискуссию. Одни утверждали, что подобная фраза всего лишь «парадокс ради парадокса», что на самом деле за этим утверждением ничего не стоит.
Другие, наоборот, поддерживали автора парадоксального высказывания. Они говорили, что по мере развития науки все отчетливее выясняется, что мир, окружающий нас, значительно сложнее, чем это представлялось еще сравнительно недавно. И. свойства его сосредоточены не только в противоположных полюсах, но и заполняют все необозримое пространство между ними. Вот почему все чаще и чаще развитие научных знаний ставит нас перед невозможностью простого выбора одной из взаимоисключающих крайностей. А значит, и проблему бесконечности Вселенной мы не можем считать полностью решенной – она таит в себе еще много неясного, нераскрытого, немало всяких неожиданностей.
Наконец, были и такие, кто утверждал, что обсуждаемое высказывание неверно по существу. Хотя мы, само собой разумеется, знаем далеко не все, по знаем уже достаточно много.
Как же все обстоит в действительности?
В этом мы и постараемся разобраться, проследить развитие идеи бесконечности в естествознании и философии от древних времен до наших дней.
Конечное и бесконечное
Если даже в наш век – век атомной энергии, кибернетики и освоения космоса, век величайшей научно-технической революции – ученый испытывает при встрече с бесконечностью столь серьезные затруднения, то какие же сложные и неожиданные задачи ставило ее изучение перед нашими предшественниками?
Некий исследователь, изучавший жизнь отсталых племен Бразилии, вспоминает, как однажды он спросил у одного туземца, велика ли деревня соседнего племени?
Вместо ответа туземец взял палку и начертил на песке несколько кругов – что-то около полутора десятков. На самом же деле в деревне было больше сотни домов. Но туземец умел считать лишь до шести, а все, что превосходило это число, представлялось ему неисчислимым, Изобразив пятнадцать кругов, он по-своему был точен: ведь пятнадцать больше шести, а все, что больше шести, есть «много». Нарисуй туземец девять или двенадцать, или двадцать семь кругов, смысл его ответа не изменился бы – жилищ много.
Можно предположить, что и для первобытных людей, которые, по свидетельству историков, чаще всего умоли считать только до трех, изредка до пяти, в лучшем случае до десяти, представление о том, что такое «много», было весьма неопределенным и расплывчатым.
Ведь жизнь, как правило, требовала от наших далеких предков лишь весьма несложных подсчетов. Что, в самом деле, приходилось им считать? Своих детей? Дни переходов от одной стоянки до другой? Не было ни денег, ни исчисления времени, ни счета дней в году… И когда люди встречались с большими количествами чего-то, туманное «много» их вполне удовлетворяло.
И все же, несмотря на всю неопределенность и расплывчатость, в этом «много» уже был заключен первый шаг к познанию бесконечности. Ведь «много» для первобытного человека – это то, что лежало за пределами его возможностей, то, чего он не мог, не в состоянии был сосчитать.
Еще один шаг к осознанию бесконечности, как ни покажется странным, был совершен нашими далекими предками в результате наблюдения жизни и смерти. Умирал соплеменник. Первобытным людям трудно было осознать в полной мере это событие, понять, что произошло. Еще вчера человек был, сидел рядом со всеми у костра, вместе со всеми ходил на охоту. И вот его нет…
Но в снах он и после этого являлся живущим, значит, продолжал жить. Невольно складывалось впечатление, что человек не умирает никогда. Хотя, разумеется, в те времена люди еще не могли всерьез задумываться над проблемой вечной жизни.
«Никогда» – оборотная сторона того, что обозначено словом «всегда». Должны были пройти еще долгие века, прежде чем человек сумел понять всю глубину, сложность и противоречивость этих понятий. Но впервые он столкнулся с ними уже на заре цивилизации.
Даже нашим современникам, привыкшим к абстрактным размышлениям и операциям с огромными числами, бесконечность представляется чем-то в высшей степени загадочным. Первобытные же люди мыслили конкретно. И все, что невозможно было представить, казалось им таинственным и непостижимым, приобретало в их глазах фантастический, а по существу религиозный смысл.
Между прочим, подобный источник религиозных взглядов, связанный с невозможностью наглядного представления тех или иных явлений природы, действовал на протяжении всей сознательной истории человечества. Существует он и по сей день.
И бесконечность как одно из самых абстрактных понятий, с которым когда-либо приходилось встречаться науке, играла в этом смысле не последнюю роль. Справедливо подметил немецкий исследователь Макс Мюллер, что «религия возникает из давления бесконечного на конечное». Это, разумеется, не единственная и не самая главная причина религиозных представлений, но тем не менее она действовала в прошлом, продолжает действовать и сейчас.
Уже в глубокой древности люди стали прибегать к помощи больших чисел. Хотя для их изображения они чаще всего использовали всевозможные сравнения.
На гробнице египетских жрецов, например, можно встретить надписи, относящиеся к XIV веку до нашей эры, где большие числа описывались так: «как число песку берега моря», «как вес горы, взвешенной на весах», «как листьев на деревьях».
В одной из индийских легенд о Будде рассказывается, будто бы еще в детстве он был подвергнут испытанию в математике и, постепенно переходя ко все более крупным числам, дошел до таких, которые изображали все песчинки, содержащиеся в миллионе (в переводе на современное исчисление) рек, подобных Гангу.
А вот с помощью какого сравнения описывает восточная притча вечность во времени: «Вот алмазная гора высотой в тысячу локтей. Раз в столетие прилетает птичка и точит свой клюв о гору. Когда она сточит всю гору, пройдет первое мгновение вечности».
В дальнейшем, с развитием математического счета, человек естественно и закономерно пришел к числовой бесконечности. Если прибавлять к единице единицу за единицей, мы будем получать все большие и большие числа. Но подобную операцию можно повторять сколько угодно раз. Значит, самого большого числа не существует? Значит, натуральный ряд не имеет, конца, он ничем не ограничен, он теряется где-то в необозримых числовых пространствах?..
Возможно, именно так, задумавшись над операцией последовательного прибавления единицы, наши предки однажды лицом к лицу столкнулись с проблемой коночного и бесконечного.
На первой ступени познание природы человеком носило созерцательный характер и было неотделимо от наглядных представлений о мире, от тех сведений, которые приносили об окружающем органы чувств и прежде всего зрение. Человек стремился выразить неизвестное через наблюдаемое известное, объяснить новые предметы через те, которые уже познаны. По мере дальнейшего развития науки развертывался обратный процесс – человек стал объяснять видимое через скрытое и невидимое.
Один из первых шагов в этом направлении совершили мыслители Древней Греции.
