Текст книги "Эйнштейн. Его жизнь и его Вселенная"

Автор книги: Уолтер Айзексон

сообщить о нарушении

Текущая страница: 19 (всего у книги 58 страниц) [доступный отрывок для чтения: 21 страниц]

Математика

Когда Эйнштейн вернулся из Праги в Цюрих в июле 1912 года, один из первых визитов он нанес своему другу Марселю Гроссману – составителю конспектов, которыми пользовался и Эйнштейн, когда пропускал математические классы в Цюрихском политехникуме. По двум геометрическим курсам в Политехникуме Эйнштейн получил 4,25 из 6. Гроссман, напротив, по обоим геометрическим курсам получил высший балл – 6, написал диссертацию по неевклидовой геометрии, опубликовал семь статей по этой теме. В 1912 году он занимал пост декана математического факультета⁷.

Эйнштейн сказал ему: “Гроссман, ты должен помочь мне, или я сойду с ума”. Он объяснил, что ему нужен математический аппарат, с помощью которого можно было бы описать гравитационное поле, а возможно, даже установить законы, которым оно подчиняется. Эйнштейн вспоминал о реакции Гроссмана на этот призыв: “Он мгновенно загорелся”⁸.

До тех пор научный успех Эйнштейна основывался на его уникальном чутье, позволявшем ему ощущать основные физические законы природы, а найти лучшее математического описание этих законов казалось ему менее сложным и интересным делом, и он оставлял это другим. Например, подобную задачу в отношении специальной теории относительности выполнил его цюрихский коллега Минковский.

Но к 1912 году Эйнштейн пришел к выводу, что математика может быть полезным инструментом не только для описания законов природы, но и для их открытия. Математика была сценарием, по которому действует природа. “Основная идея общей теории относительности состоит в том, что гравитация возникает из кривизны пространства – времени, – говорит физик Джеймс Хартл. – Гравитация – это и есть геометрия”⁹.

“Сейчас я работаю исключительно над проблемами гравитации, и мне кажется, что с помощью здешнего друга-математика я смогу преодолеть все трудности, – писал Эйнштейн физику Арнольду Зоммерфельду, – у меня возникло огромное уважение к математике, наиболее сложные разделы которой я до сегодняшнего дня по своему невежеству считал чистым излишеством!”¹⁰

После разговора с Эйнштейном Гроссман отправился домой, чтобы подумать о проблеме, и, когда просмотрел соответствующую литературу, вернулся к Эйнштейну и порекомендовал ему неевклидову геометрию[48]48
  Первую неевклидову геометрию (геометрию пространств с отрицательной кривизной) построил Н. И. Лобачевский (1829). Риман в 1854 году построил геометрию пространств с произвольной кривизной, и она включала в себя и геометрию Евклида, и геометрию Лобачевского. В отличие от пространств Евклида или Лобачевского, являющихся бесконечными, пространство постоянной положительной кривизны имеет конечный объем, оно замкнуто.


[Закрыть], которая была разработана Бернгардом Риманом¹¹.

Риман (1826–1866) был вундеркиндом, который в возрасте четырнадцати лет изобрел вечный календарь и подарил его родителям. Он продолжил учебу в крупном германском центре математической науки – Геттингене – под руководством Карла Фридриха Гаусса, первым заинтересовавшегося геометрией искривленных поверхностей. Эту тему Гаусс предложил Риману в качестве диссертационной, и результаты этой работы впоследствии изменили не только геометрию, но и физику.

Геометрия Евклида описывает плоские поверхности, а на искривленных поверхностях она перестает быть справедливой. Например, сумма углов треугольника, нарисованного на плоской странице, равна 180°. Но посмотрите на глобус и представьте себе треугольник, образованный экватором в качестве основания, меридианом, проходящим от экватора к Северному полюсу через Лондон (долгота 0°) в качестве одной боковой стороны, и меридианом, проходящим от экватора к Северному полюсу через Новый Орлеан (долгота 90°), в качестве второй боковой стороны. Если вы посмотрите на этот треугольник, вы увидите, что все три его угла прямые, что, конечно, невозможно в плоском мире Евклида.

Гаусс и другие математики разработали различные типы геометрий, которые описывали поверхность сферы и других криволинейных поверхностей. Риман пошел дальше: он нашел способ описания поверхности независимо от того, как изменяется ее геометрия, – даже если при переходе из одной точки в другую поверхность превращалась из сферической в плоскую и потом в гиперболическую. А потом он пошел еще дальше и не ограничился исследованием кривизны двумерной поверхности, а, опираясь на работу Гаусса, нашел, как математически можно описать кривизну трехмерного и даже четырехмерного пространства.

Это сложная для понимания математическая концепция. Мы еще можем представить себе кривую линию или поверхность, но трудно представить искривленное трехмерное пространство и еще труднее – искривленное четырехмерное пространство. Но для математиков обобщение понятия кривизны на разные измерения является несложным делом – по крайней мере выполнимым. Оно выполняется с помощью введения метрики, которая определяет способ расчета расстояния между двумя точками в пространстве.

На плоской поверхности любой старшеклассник, изучавший алгебру, зная всего две нормальные координаты X и Y, с помощью старины Пифагора может вычислить расстояние между точками.

Но представьте себе плоскую карту (карту мира, например), которая представляет собой проекции полусфер земного шара на плоскость. Местность вблизи полюсов растянута, и измерение расстояний становится более сложным. Если взять две пары точек с одинаковыми расстояниями между ними, но расположенные в разных местах карты, фактические расстояния между двумя соответствующими точками в Гренландии и вблизи экватора нужно вычислять по-разному. Риман разработал способы, позволяющие математически вычислить расстояние между точками в пространстве независимо от того, каким образом оно искривлено и искажено¹².

Для этого он использовал характеристику, называемую тензором. В евклидовой геометрии используются векторы – характеристики, которые имеют как величину, так и направление (например, и скорость, и сила являются векторами), и таким образом, для их описания требуется больше одного простого числа. В неевклидовой геометрии, где пространство искривлено, для его характеристики нам нужен какой-то более сложный геометрический объект, который определяется с помощью упорядоченного набора (матрицы) большего количества чисел (компонентов). Эти объекты называются тензорами.

Метрический тензор является математическим инструментом, который показывает, как рассчитать расстояние между точками в данном пространстве[49]49
  Вот как это работает. Если вы в какой-то момент находитесь в определенной точке искривленного пространства и хотите знать расстояние до бесконечно близкой соседней точки, то это может оказаться сложным делом, если в вашем распоряжении есть только теорема Пифагора и вы знаете лишь некоторые правила обычной геометрии. Расстояние до близкой точки, расположенной к северу от нашей, возможно, будет вычисляться не так, как расстояние до точки, расположенной к востоку, или до точки, расположенной выше исходной. Вам нужно для каждой точки пространства изготовить что-то вроде таблички с ее характеристиками, чтобы вы могли определять расстояние до каждой из этих близлежащих точек. В четырехмерном пространстве – времени на вашей табличке с перечнем показателей нужно изобразить десять чисел, позволяющих определить все параметры, касающиеся пространственно-временных расстояний до ближайших точек. Вам нужна такая табличка для каждой точки в пространстве – времени. Но, как только вы ими обзавелись, вы сможете определить расстояние вдоль любой кривой: для этого просто нужно, пользуясь этими табличками, сложить все расстояния вдоль каждого бесконечно малого отрезка кривой, по которой вы проходите. Эти таблички с перечнем показателей образуют метрический тензор, который является не чем иным, как полем в пространстве – времени. Другими словами, это то, что определено в каждой точке, но может в них принимать разные значения. Я благодарен профессору Джону Д. Нортону за помощью в написании этого раздела. – Прим. авт.


[Закрыть]. Для двумерных карт метрический тензор имеет три компоненты. Для трехмерного пространства он имеет шесть независимых компонент. А когда вы переходите к нашему знаменитому четырехмерному пространству, называемому пространством – временем, метрический тензор определяется уже десятью независимыми компонентами.

Риман развил концепцию метрического тензора, обычно обозначаемого символом gμν (произносится как джи-мю-ню). Он имеет шестнадцать компонентов, десять из которых независимы друг от друга и могут быть использованы для определения и описания расстояний в искривленном четырехмерном пространстве – времени¹³.

В работе по обобщению теории относительности Эйнштейн с Гроссманом стали использовать и тензор Римана, и другие тензоры, введенные итальянскими математиками Грегорио Риччи-Курбастро и Туллио Леви-Чивитой. Полезное свойство этих тензоров состоит в том, что они общековариантны, и это свойство оказалось важным, поскольку их общековариантность означает, что отношения между их компонентами остаются постоянными, даже когда происходят произвольные изменения или вращения системы координат в пространстве – времени. Другими словами, компоненты этих тензоров могут подвергаться множеству преобразований, связанных с изменениями системы отсчета, но основные закономерности, определяющие соотношения компонент тензора, должны оставаться неизменными¹⁴.

Когда Эйнштейн формулировал свою общую теорию относительности, главной его целью было найти математические уравнения, описывающие два взаимодополняющих процесса.

1. Нужно определить закон движения материи при воздействии на нее гравитационного поля.

2. Нужно определить, как искривится пространство – время под действием гравитационного поля, создаваемого в нем материей.

Его невероятно проницательная догадка состояла в том, что гравитация может быть определена как кривизна пространства – времени, и поэтому ее можно описать метрическим тензором. На протяжении более трех лет он будет судорожно искать правильные уравнения для того, чтобы связать воедино геометрические и физические характеристики¹⁵.

Годы спустя, когда его младший сын Эдуард спросит, чем он так знаменит, Эйнштейн ответит, используя простой образ для описания его грандиозной идеи о том, что гравитация – это искривление самой ткани пространства – времени. “Когда слепой жук ползет по поверхности изогнутой ветки, он не замечает, что в действительности движется по искривленной поверхности, – скажет он. – Мне повезло заметить то, что не заметил жук”¹⁶.

“Цюрихский блокнот”, 1912 год

Начиная с лета 1912 года Эйнштейн бился над выводом уравнения гравитационного поля, используя тензоры Римана и Риччи, а также некоторые другие. По записям в его блокноте, проливающим свет на ход его мыслей, можно проследить за первым этапом этих трудных поисков. Этот “Цюрихский блокнот” на протяжении нескольких лет расшифровывался и разбирался по косточкам командой ученых, в числе которых были Юрген Ренн, Джон Д. Нортон, Тильман Зауэр, Мишель Янссен и Джон Стэчел¹⁷.

В своих попытках решить проблему Эйнштейн использовал два подхода. В первом он применял так называемую физическую стратегию, с помощью которой пытался построить правильные уравнения исходя из набора требований, продиктованных его пониманием физики. В то же время он использовал и “математическую стратегию” – пытался вывести правильные уравнения из более формальных математических требований, используя тензорный анализ, как ему и рекомендовал Гроссман и другие математики.

“Физическая стратегия” Эйнштейна началась с его стремления обобщить принцип относительности так, чтобы он был применим для наблюдателей, двигающихся ускоренно или перемещающихся произвольным образом. Любое уравнение гравитационного поля, которое он собирался вывести, с его точки зрения, должно было удовлетворять следующим физическим требованиям.

• В частном случае слабых и статических гравитационных полей оно должно было удовлетворять ньютоновской теории. Другими словами, при определенных нормальных условиях его теория должна была бы сводиться к известным ньютоновским законам тяготения и уравнениям движения.

• Оно должно удовлетворять законам сохранения классической физики, в первую очередь – законам сохранения энергии и импульса.

• Оно должно было удовлетворять принципу эквивалентности, согласно которому наблюдения, произведенные равномерно ускоренным наблюдателем, и наблюдения, произведенные наблюдателем, покоящимся в соответствующем гравитационном поле, должны быть эквивалентны.

С другой стороны, в своей “математической стратегии” Эйнштейн сосредоточился на том, чтобы, используя общие математические свойства метрического тензора, найти уравнение гравитационного поля, которое обладало бы общей ковариантностью (по крайней мере приближенно).

Процесс работы шел в обоих направлениях: Эйнштейн проверял уравнения, которые он выводил из своих физических принципов, на соответствие свойству ковариантности, а с другой стороны, анализировал уравнения, включающие тензоры, которые выводились на основании изящных математических формулировок, и проверял, отвечают ли они физическим требованиям. “Страница за страницей блокнота заполнялась формулами в попытке подойти к решению проблемы и с той и с другой стороны, – говорит Джон Нортон, – здесь он пишет выражения, диктуемые физическими требованиями предельного перехода к ньютоновским уравнениям и законами сохранения энергии – импульса, там он пишет выражения, естественным образом вытекающие из ковариантности тензоров Риччи и Леви-Чивиты”¹⁸.

Но в какой-то момент его постигло разочарование. Не получалось одновременно удовлетворить обоим наборам требований, по крайней мере так показалось Эйнштейну. Он не смог получить результаты в рамках одной стратегии, удовлетворяющие требованиям другой стратегии.

Используя математическую стратегию, Эйнштейн получил несколько очень изящных уравнений. По совету Гроссмана он использовал тензор, введенный Риманом, а затем модифицированный Риччи. Наконец, к концу 1912 года, он получил уравнение поля, включающее этот тензор. Оно оказалось довольно похожим на то знаменитое уравнение, окончательный вид которого он в итоге получил в ноябре 1915 года. Другими словами, в своем цюрихском блокноте он подошел довольно близко к правильному решению¹⁹.

Но тогда Эйнштейн счел выводы неправильными и забросил свои черновые записи на два с лишним года. Почему? Среди прочих причин – потому что он думал (не совсем правильно), что полученное уравнение в слабом и статическом поле не приводит к законам Ньютона. Когда он попытался переписать уравнение по-другому, оно перестало соответствовать требованиям закона сохранения энергии и импульса. И если он накладывал условия на координаты, которые позволяли уравнению удовлетворить одному из требований, они оказывались несовместимыми с условиями, необходимыми для удовлетворения другого требования²⁰.

В результате Эйнштейн стал меньше полагаться на математическую стратегию. Об этом решении он впоследствии пожалеет. Когда он в конце концов вернется к математической стратегии и она блистательно докажет свою успешность, он с тех пор всегда будет прославлять достоинства – и научные, и философские – математического формализма²¹.

Теория Entwurf и ведро Ньютона, 1913 год

А пока, в мае 1913 года, отложив уравнения, полученные с помощью математической стратегии, Эйнштейн и Гроссман подготовили проект альтернативной теории, основанной скорее на физической стратегии. Уравнения, на которых была построена эта теория, соответствовали требованиям закона сохранения энергии – импульса и переходили в законы Ньютона в слабом статическом поле.

Даже при том, что эти уравнения, похоже, не удовлетворяли поставленному условию общековариантности, Эйнштейн и Гроссман чувствовали, что это было самое лучшее, что они могли сделать на тот момент. Название статьи с изложением этой теории отражает ее предварительный характер: в переводе оно звучит как “Проект обобщенной теории относительности и теории гравитации”, сокращенно – Entwurf. Это немецкое слово в переводе как раз и означает “проект, набросок”²².

В течение нескольких месяцев после создания теории Entwurf Эйнштейн чувствовал одновременно и радость, и опустошенность. “Несколько недель назад я наконец решил проблему, – писал он Эльзе, – это смелое обобщение и теории относительности, и теории гравитации. Теперь я должен дать себе немного отдохнуть, иначе мне капут”²³.

Тем не менее он вскоре начал размышлять над тем, что же он сотворил. И чем больше он размышлял над своей теорией Entwurf, тем больше понимал, что его уравнение не удовлетворяло не только условиям общековариантности, но и просто условиям широкой ковариантности. Другими словами, уравнения для наблюдателей в произвольных ускоренных системах координат могут не всегда совпадать.

Его доверие к теории не укрепилось и после того, как они с его старым другом Мишелем Бессо, приехавшим к нему в гости в июне 1913 года, стали анализировать следствия из теории Entwurf. Они исписали более пятидесяти страниц – каждый из них примерно по двадцать пять – выкладками, составляющими результаты их размышлений. В этих записях содержался анализ того, может ли теория Entwurf объяснить некоторые любопытные наблюдения по аномалиям в орбите планеты Меркурий²⁴.

С 1840-х годов ученые интересовались небольшим, но необъяснимым изменением орбиты Меркурия: на протяжении многих лет перигелий Меркурия (перигелий – точка на эллиптической орбите планеты, в которой планета находится ближе всего к Солнцу) смещался – немного, всего примерно на 43 угловые секунды в течение каждого столетия, – по сравнению с тем положением, которое должно было получиться из законов Ньютона. Сначала астрономы думали, что Меркурий притягивает какая-то неизвестная планета. Похожие предположения привели в свое время к открытию Нептуна. Французский астроном, обнаруживший аномалию в орбите Меркурия, даже подсчитал, где такая планета должна находиться, и назвал ее Вулканом. Но Вулкана там не оказалось.

Эйнштейн надеялся, что, если гравитационные уравнения поля из его новой теории относительности применить к Солнцу, они смогут объяснить аномалии орбиты Меркурия. К сожалению, в результате долгих расчетов и исправления ошибок они с Бессо получили для отклонения перигелия Меркурия значение, равное 18 угловым секундам за столетие, что больше чем вдвое отличалось от экспериментального значения. Такое плохое соответствие убедило Эйнштейна в том, что публиковать расчеты для Меркурия не следует, но не убедило отказаться от теории Entwurf, по крайней мере пока.

Эйнштейн и Бессо также размышляли над тем, можно ли в уравнениях теории Entwurf рассматривать вращение как форму относительного движения. Другими словами, представьте себе, что наблюдатель вращается и при этом испытывает действие сил инерции. Возможно ли это считать еще одним случаем относительного движения, то есть отличается ли вращение наблюдателя от той ситуации, когда он находится в состоянии покоя, а остальная часть Вселенной вращается вокруг него?

Самый известный мысленный эксперимент на эту тему был описан Ньютоном в третьем томе Principia. Представьте себе висящее на веревке ведро, которое мы начинаем вращать. Сначала поверхность воды в ведре остается неподвижной и плоской, но вскоре трение о стенки ведра увлекает воду за собой, и поверхность становится вогнутой. Почему? Потому что силы инерции выталкивают крутящуюся воду наружу, и она поднимается вверх по стенкам ведра.

Да, но, если мы подозреваем, что все движение относительно, мы спросим: относительно чего вращается вода? Не относительно ведра, потому что поверхность воды становится вогнутой, когда она вращается вместе с ведром, но продолжает вращаться внутри ведра в течение некоторого времени и тогда, когда оно уже остановилось. Возможно, вода крутится относительно окружающих тел, создающих гравитационные силы, таких как Земля?

Но представьте себе, что ведро крутится в далеком космосе, где нет ни силы тяжести, ни выделенных точек отсчета. Или представьте себе, что оно крутится в пространстве, где, кроме него, ничего нет. Будут ли все еще действовать силы инерции? Ньютон полагал, что будут, поскольку ведро вращается относительно абсолютного пространства.

Когда в середине XIX века кумир молодого Эйнштейна Эрнст Мах стал публиковать свои работы, в них он развенчал понятие абсолютного пространства и стал утверждать, что инерция существует, потому что вода вращается по отношению к остальной части материи во Вселенной. На самом деле, говорил он, те же эффекты наблюдались бы, если бы ведро покоилось, а остальная часть Вселенной вращалась бы вокруг него²⁵.

Эйнштейн надеялся, что этот эффект, названный им “принципом Маха”, будет для общей теории относительности одним из пробных камней. Он обрадовался, когда, проанализировав уравнения теории Entwurf, пришел к выводу, что они как будто действительно предсказывали тождественность последствий для случаев, когда ведро вращается относительно Вселенной и когда оно неподвижно, а остальная часть Вселенной вращается вокруг него.

По крайней мере, так в тот момент думал Эйнштейн. Они с Бессо сделали ряд очень сложных расчетов, чтобы проверить, так ли это в действительности. В блокноте Эйнштейн записал радостное восклицание по поводу, как ему показалось, успешного завершения этих расчетов: “Значит, это правильно”.

К сожалению, они с Бессо в этой работе сделали несколько ошибок. Спустя два года Эйнштейн в конце концов обнаружит эти ошибки и поймет, что, к несчастью, теория Entwurf на самом деле не удовлетворяет принципу Маха[50]50
  Принцип Маха – утверждение, согласно которому инертные свойства конкретного тела зависят от всех физических тел во Вселенной. В классической механике инертные свойства каждого тела (например, масса) не зависят от наличия остальных тел.


[Закрыть]. По всей вероятности, Бессо уже предупреждал его, что такое может быть. В записке, которую он написал, видимо, в августе 1913, Бессо предположил, что “вращательная метрика” на самом деле не является решением уравнений поля из теории Entwurf.

Но Эйнштейн, как следует из писем к Бессо, а также к Маху и другим ученым, проигнорировал, по крайней мере на тот момент, эти сомнения²⁶. Если эксперименты подтвердят теорию, то “ваши блестящие исследования по основам механики получат великолепное подтверждение, – написал Эйнштейн Маху через несколько дней после опубликования теории Entwurf, – поскольку тогда станет ясно, что инерция порождается взаимодействием тел в точном соответствии с вашими комментариями по поводу эксперимента с ведром Ньютона”²⁷.

Больше всего беспокоило Эйнштейна в справедливости теории Entwurf то, что ее математические уравнения не удовлетворяли принципу общековариантности, таким образом, опровергая его предположение о том, что законы природы одинаковы для наблюдателя, находящегося в ускоренном или произвольном движении, и для наблюдателя, движущегося с постоянной скоростью. “К сожалению, вся теория такая хитрая, что у меня все еще нет полной уверенности в ней, – писал он в ответ на теплое поздравительном письме от Лоренца, – сами уравнения гравитации, к сожалению, не удовлетворяют свойствам общей ковариантности”²⁸.

Вскоре он смог убедить себя хотя бы на некоторое время, что это было неизбежно. Отчасти он сделал это с помощью мысленного эксперимента, который стал называться “аргумент дырки”²⁹ и который, казалось, позволял предположить, что Святой Грааль – общековариантность уравнений гравитационного поля – недостижим или по крайней мере физически неинтересен. “Тот факт, что уравнения гравитации не обладают общековариантностью, сильно беспокоил меня некоторое время, но этого не избежать, – написал он другу. – Легко показать, что теория с уравнениями, удовлетворяющими свойству общековариантности не может существовать, если наложить требование, что математически поле полностью определяется материей”³⁰.

К тому времени очень немногие физики восприняли новую теорию Эйнштейна, а многие даже считали ее неправильной³¹. Эйнштейн был доволен уже тем, что, во всяком случае, тема теории относительности “привлекла должное внимание, – написал он своему другу Цангеру, – мне нравятся споры. Как пел Фигаро: “Если захочет барин попрыгать, я подыграю гитарой ему”[51]51
  Каватина Фигаро из оперы В. А. Моцарта “Женитьба Фигаро”.


[Закрыть]”³².

Несмотря на все это, Эйнштейн продолжал попытки спасти свой подход, который он использовал в теории Entwurf. Он смог найти способы, или как минимум думал, что смог, для достижения достаточной ковариантности уравнений, позволяющих удовлетворить большинству требований своего принципа эквивалентности гравитации и ускорения. “Мне удалось доказать, что гравитационные уравнения справедливы для произвольно движущейся системы отсчета, и таким образом, гипотеза об эквивалентности ускорения и гравитационного поля является абсолютно правильной, – писал он Цангеру в начале 1914 года. – Природа показывает нам только хвост льва. Но я не сомневаюсь, что хвост принадлежит льву и лев существует, даже если он не может показаться нам весь сразу. Мы видим из него примерно столько же, сколько и блоха, сидящая на нем”³³.