Текст книги "Великая Теорема Ферма"

Автор книги: Саймон Сингх

сообщить о нарушении

Текущая страница: 6 (всего у книги 23 страниц)

Рождение проблемы

Судебные обязанности Ферма поглощали значительную часть его времени, а те скудные часы досуга, которые все же оставались, Ферма целиком посвящал математике. Отчасти это объяснялось тем, что во Франции XVII века не поощрялись светские связи судей.

Считалось, что друзья и светские знакомые судей сами могут оказаться под судом, и тогда личные связи могут помешать осуществлению правосудия. Изолированный от остальной части высшего общества Тулузы, Ферма мог сосредоточиться на своем любимом занятии.

Фронтиспис перевода «Арифметики» Диофанта выполненного Клодом Гаспаром Баше и опубликованного в 1621 году. Эта книга во многом вдохновила Ферма на его исследования

Не сохранилось никаких документальных свидетельств того, что у Ферма был учитель математики, который поощрял своего способного ученика. Наставником и учителем Ферма стала «Арифметика» Диофанта. В «Арифметике» теория чисел, как было принято во времена Диофанта, излагалась в виде ряда задач и их решений. В действительности Диофант развернул перед Ферма картину целого тысячелетия, заслуживающего осмысления со стороны математика. В одной «Арифметике» Ферма мог найти все, что было известно о числах благодаря трудам последователей Пифагора и Евклида. Теория чисел замерла после варварского сожжения Александрии, но Ферма преисполнился решимости возродить изучение самой фундаментальной из всех математических дисциплин.

Книга, вдохновившая Ферма, была латинским переводом «Арифметики», выполненным Клодом Гаспаром Баше де Мезириаком, считавшимся самым ученым человеком во всей Франции. Блестящий лингвист, поэт и знаток классических языков и литературы, Баше питал любовь к математическим задачам-головоломкам. Его первой публикацией был сборник занимательных задач под названием «Problemes plaisans et delectables qui se font par les nombres» [2]2
  Задачи занимательные и приятные, связанные с числами. (фр.)


[Закрыть]. В сборнике были задачи о переправах через реку, переливании жидкостей и несколько фокусов с отгадыванием задуманного числа. Одна из задач ставила вопрос о подборе гирь: «Каков наименьший набор гирь, который позволит взвесить любой груз весом от 1 до 40 кг?»

Баше нашел остроумное решение задачи, показывающее, что удовлетворить ее требованиям можно, располагая набором всего лишь из четырех гирь. Решение Баше приводится в Приложении 4.

Хотя Баше был в математике всего лишь дилетантом, его интерес к задачам-головоломкам был настолько велик, что позволил ему осознать: задачи, приведенные в «Арифметике» Диофанта, – не просто головоломки и требуют более глубокого изучения. Баше поставил перед собой задачу перевести труд Диофанта и опубликовать его с тем, чтобы вдохнуть в методы греческих математиков новую жизнь. Следует иметь в виду, что подавляющее большинство достижений древних математиков было полностью забыто. Высшую математику не изучали даже в самых крупных европейских университетах, и только благодаря таким ученым, как Баше, она стала быстро возрождаться. Публикация в 1621 году выполненного Баше латинского перевода «Арифметики» Диофанта была его вкладом в начало второго золотого века в истории математики.

В «Арифметике» собраны сотни задач, и каждую из них Диофант снабдил подробным решением. Ферма не перенял столь высокий уровень доступности. Его совсем не интересовало создание учебника для будущих поколений. Он жаждал лишь одного – получить удовлетворение от решенной им задачи. Изучая задачи и решения Диофанта, Ферма черпал в них вдохновение и стал помышлять о том, чтобы самому заняться решением аналогичных и более тонких задач. Ферма записывал для себя лишь самое необходимое для того, чтобы убедиться в правильности полученного решения, и не заботился о том, чтобы изложить остальную часть доказательства. Чаще всего сделанные им торопливые записи отправлялись прямиком в мусорную корзину, после чего Ферма спокойно переходил к следующей задаче. К счастью для нас, опубликованный Баше латинский перевод «Арифметики» имел широкие поля, и иногда Ферма торопливо записывал на них ход своих рассуждений и свои комментарии. Эти заметки на полях стали бесценными, хотя и несколько отрывочными, документальными свидетельствами некоторых наиболее блестящих выкладок Ферма.

Одно из открытий Ферма касается так называемых дружественных чисел, тесно связанных с совершенными числами, так восхитившими Пифагора двумя тысячами лет раньше. Дружественными числами называются два числа, каждое из которых равно сумме делителей другого числа. Пифагорейцы совершили необычайное открытие, установив, что 220 и 284 – дружественные числа. Делителями числа 220 служат числа 1, 2, 4,5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110, а их сумма равна 284. С другой стороны, делителями числа 284 служат числа 1, 2, 4, 71, 142; их сумма равна 220.

Пару чисел 220 и 284 стали считать символом дружбы. Мартин Гарднер в книге «Математические новеллы» [3]3
  Гарднер М. Математические новеллы. – М.: Мир, 1974; гл. 28 «Краткий трактат о бесполезной красоте совершенных чисел».


[Закрыть] рассказывает о том, что в Средние века имели хождение талисманы с выгравированными на них числами 220 и 284, якобы способствующими укреплению любви. Некий арабский нумеролог сообщает об обычае вырезать числа 220 и 284 на плодах, один из которых влюбленный съедал сам, а другой давал съесть предмету своей страсти, как своего рода математическое средство усиления любовного влечения. Первые теологи отмечали, что в Книге Бытия Иаков отдает в подарок брату своему Исаву 220 животных – «двести коз, двадцать козлов». По мнению теологов, число животных, равное одному из чисел, образующих дружественную пару, свидетельствует о любви Иакова к Исаву.

Помимо 220 и 284 других дружественных чисел не было известно вплоть до 1636 года, когда Ферма обнаружил пару 17 296 и 18 416. И хотя это открытие нельзя назвать важным, оно свидетельствует о том, что Ферма хорошо знал натуральные числа и любил «играть» с ними. Ферма стал своего рода законодателем моды на нахождение дружественных чисел. Декарт открыл третью пару (9 363 584 и 9 437 056), а Леонард Эйлер продолжил список дружественных чисел до 62-й пары. Интересно отметить, что Декарт и Эйлер «проглядели» гораздо меньшую пару дружественных чисел. В 1866 году шестнадцатилетний итальянец, тезка великого скрипача, Никколо Паганини открыл пару 1184 и 1210.

В XX веке математики обобщили понятие дружественных чисел и занялись поиском так называемых «общительных» чисел – замкнутых циклов из трех и более чисел. Например, в тройке чисел

(1 945 330 728 960; 2 324 196 638 720; 2 615 631 953 920)

делители первого числа в сумме дают второе число, делители второго в сумме дают третье число, а делители третьего числа в сумме дают первое число. Самый длинный из известных циклов состоит из 28 общительных чисел, первое из которых равно 14 316.

Хотя открытие новой пары дружественных чисел сделало Ферма своего рода знаменитостью, его репутация выросла еще больше благодаря серии решенных им трудных задач.

Например, Ферма заметил, что число 26 «стиснуто» между числами 25 и 27, одно из которых представляет собой квадрат (25 = 5² = 5·5), а другое – куб (27 = 3³ == 3·3·3). Ферма занялся поиском других чисел, зажатых между квадратом и кубом, но найти ничего так и не удалось. Родилось подозрение, что число 26 единственное. После многодневных напряженных поисков Ферма удалось выстроить сложное доказательство, не оставлявшее сомнений в том, что 26 – действительно единственное число, заключенное между квадратом и кубом. Предложенная им цепочка логических доводов убедительно свидетельствовала, что ни одно другое число не обладает этим свойством.

Ферма сообщил об уникальном свойстве числа 26 математическому сообществу и бросил вызов, предложив доказать это. Ферма открыто признал, что располагает доказательством установленного им свойства. Вопрос был в том, хватит ли у других математиков сообразительности, чтобы справиться с предложенной задачей? Несмотря на простоту формулировки, решение задачи (доказательство утверждения) оказалось чрезвычайно трудным – можно сказать, недружественным по отношению к тем, кто пытался найти его, и Ферма доставляло особое удовольствие подтрунивать над английскими математиками Валлисом и Дигби, которые в конце концов были вынуждены признать свое поражение.

События развивались так, что величайшей «заявкой» Ферма на непреходящую славу оказался еще один вызов, брошенный им всему остальному миру. Но это была случайная задача-головоломка, не предназначавшаяся для публичного обсуждения.

Заметка на полях

При чтении II-й книги «Арифметики» Ферма наткнулся на целую серию наблюдений, задач и решений, связанных с теоремой Пифагора и пифагоровыми тройками. Например, Диофант рассматривал существование особых троек, образующих так называемые «хромые треугольники», у которых две более короткие стороны x и y отличаются по длине только на единицу (например, x = 20, y = 21, z = 29 и 202 + 212 = 292).

Ферма был поражен разнообразием и обилием пифагорейских треугольников. Он знал, что за много веков до него Евклид доказал (общий ход предложенного Евклидом доказательства см. в Приложении 5), что число пифагоровых троек бесконечно велико. Возможно, Ферма просматривал в очередной раз подробное изложение теории пифагоровых троек у Диофанта и прикидывал, нельзя ли сказать что-нибудь новое по этому поводу. Записывая то так, то эдак уравнение Пифагора, Ферма все старался заметить нечто такое, что ускользнуло от древних греков. Внезапно ему пришла в голову гениальная мысль, обессмертившая имя «князя любителей»: Ферма придумал уравнение, очень похожее на уравнение Пифагора, но не имевшее ни одного решения в целых числах! Именно об этом уравнении и узнал десятилетний Эндрю Уайлс, заглянув в книгу Белла, взятую в публичной библиотеке на Милтон-роуд.

Вместо уравнения Пифагора x² + y² = z² Ферма занялся рассмотрением его варианта x³ + y³ = z³. Ферма всего лишь изменил степень на единицу, но его новое уравнение, насколько можно было судить, вообще не допускало никаких решений в целых числах. «Методом проб и ошибок» нетрудно было обнаружить, что найти два куба, которые бы в сумме давали еще один куб, не так-то просто. Неужели произведенное Ферма незначительное изменение действительно превращает уравнение, допускающее бесконечно много решений в целых числах, в уравнение, не имеющее ни одного решения в целых числах?

Ферма подверг уравнение Пифагора еще большему изменению, попробовав заменить степень 2 на целые числа бóльшие 3, и обнаружил, что найти решение в целых числах каждого из этих уравнений столь же трудно. И Ферма решил, что вообще не существует трех целых чисел x, y, z, которые удовлетворяли бы уравнению

xⁿ + yⁿ = zⁿ, где n = 3,4,5…

На полях «Арифметики» Диофанта, рядом с задачей 8, Ферма оставил такое замечание: «Cubet autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere» [4]4
  Невозможно для куба быть записанным в виде суммы двух кубов, или для четвертой степени быть записанной в виде суммы двух четвертых степеней, или, в общем, для любого числа, которое есть степень больше двух, быть записанной в виде суммы двух таких же степеней. (лат.)


[Закрыть].

Фронтиспис издания «Арифметики» Диофанта опубликованного Клеманом-Самюэлем Ферма в 1670 году. В этом варианте были напечатаны и заметки на полях, оставленные отцом издателя – Пьером де Ферма

Рис. 6. Страница издания «Арифметики» Диофанта (1670 г.), содержащая знаменитое замечание Пьера де Ферма

Не было причин, по которым среди всех целых чисел не должно было бы существовать по крайней мере одной тройки целых чисел, удовлетворяющих уравнениям Ферма, тем не менее Ферма утверждал, что во всем бесконечном мире чисел нет ни одной «тройки Ферма». Утверждение было весьма необычным, но Ферма полагал, что располагает его доказательством. После первой заметки на полях, наметившей общие контуры теории, гений, любящий позабавиться над коллегами-математиками, начертал еще один комментарий, над которым впоследствии ломало голову не одно поколение математиков:

«Cuius rei demonstrationem mirabilem sane setex hanc marginis exiguitas non caparet» [5]5
  Я нашел поистине удивительное доказательство этого предложения, но поля здесь слишком узки для того, чтобы вместить его. (лат.)


[Закрыть]. В этом – весь Ферма, все то, что особенно раздражало современных ему математиков. Из его собственных слов можно заключить, что он весьма доволен своим «поистине удивительным» доказательством, но ему и в голову не приходит дать себе труд написать подробности доказательства и уж тем более опубликовать его. Он так никому и не рассказал о своем доказательстве, но, несмотря на характерную для Ферма комбинацию лени и скромности, Великая теорема Ферма, как ее стали называть позднее, обрела неслыханную славу в грядущих веках.

Великая проблема, наконец, опубликована

Свое знаменитое открытие Ферма совершил в самом начале своей математической карьеры – около 1637 года. Примерно через тридцать лет, исполняя свои судебные обязанности в городе Кастре, Ферма тяжело заболел. 9 января 1665 года он подписал свой последний приговор и тремя днями позднее умер. Открытиям Ферма, все еще находившегося в изоляции от парижской математической школы и отнюдь не добрым словом поминаемого его разочарованными коллегами, грозило полное забвение. К счастью, старший сын Ферма, Клеман-Самюэль, сознававший все значение любимого увлечения отца, пришел к заключению, что его открытия не должны быть потеряны для всего мира. Всем, что мы знаем о замечательных открытиях Ферма в теории чисел, мы обязаны его сыну, и если бы не Клеман-Самюэль, загадка, известная под названием Великой теоремы Ферма, умерла бы вместе во своим создателем.

Пять лет Клеман-Самюэль собирал отцовские заметки и письма, изучал неразборчивые надписи на полях «Арифметики». Заметка на полях с формулировкой Великой теоремы Ферма была лишь одной из вдохновенных мыслей, начертанных на полях этой книги. Клеман-Самюэль взял на себя тяжкий труд опубликовать все эти заметки в специальном издании «Арифметики». В 1670 году он издал в Тулузе книгу под названием «Диофантова Арифметика, содержащая примечания П. де Ферма». В нее наряду с оригинальным текстом на древнегреческом языке и латинском переводом Баше вошли 48 примечаний, сделанных Ферма. Примечание, воспроизведенное на рис. 6, и было тем, которое стало впоследствии известно под названием Великой теоремы Ферма.

Когда «Примечания» Ферма стали известны более широкому научному сообществу, все поняли, что письма, которые он отправлял своим коллегам, были лакомыми кусочками из сказочного сокровища открытий. Примечания, сделанные рукой Ферма, содержат целую серию теорем. К сожалению, они были либо полностью лишены объяснений, либо сопровождались небольшим наброском доказательства. Часто в этих обрывках доказательств было достаточно изящных логических ходов, чтобы у математиков не оставалось сомнения в том, что Ферма располагал доказательствами. Что же касалось восполнения деталей, то оно всегда было вызовом, который математикам приходилось принимать.

Леонард Эйлер, один из величайших математиков XVIII века, предпринял попытку доказать одно из самых изящных примечаний Ферма – теорему о простых числах. Простым называется число, которое не имеет делителей – чисел, которые делили бы его без остатка, – кроме единицы и самого числа. Например, 13 – простое число, а 14 – не простое. Ни одно число не делит 13 без остатка, а 2 и 7 делят 14. Все простые числа подразделяются на числа, представимые в виде 4n+1, и числа, представимые в виде 4n–1, где n – некоторое целое число. Так, число 13 принадлежит к первой группе (13 = 4·3 + 1), а число 19 – ко второй группе (19 = 4·5–1). Теорема Ферма о простых числах утверждает, что простые числа первой группы всегда представимы в виде суммы двух квадратов (13 = 2² + 3²), в то время как простые числа второй группы никогда в виде суммы двух квадратов не представимы (19 =?² +?²). Это свойство простых чисел формулируется изящно и просто, но все попытки доказать, что им обладает любое простое число, наталкиваются на значительные трудности. Для Ферма это доказательство было всего лишь одним из многих доказательств, хранимых им «приватно», для Эйлера восстановить доказательство стало делом чести. В 1749 году, после семи лет работы и почти через сто лет после смерти Ферма, Эйлеру удалось доказать эту теорему о простых числах.

В сокровищнице полученных Ферма результатов встречаются различные теоремы – от фундаментальных до чисто занимательных. Математики судят о важности теоремы по тому, какое влияние она оказывает на остальную математику. Во-первых, теорема считается важной, если она представляет собой некую универсальную истину, то есть если она верна для всей группы чисел. В случае теоремы Ферма о простых числах, теорема верна не только для некоторых простых чисел, а для всех простых чисел. Во-вторых, важная теорема должна раскрывать какую-нибудь более глубоко лежащую истину об отношениях между числами. Теорема может быть трамплином для создания целого сонма других теорем и даже стимулом для развития новых областей математики. Наконец, теорема считается важной, если существование целых областей исследования может оказаться под угрозой из-за отсутствия одного-единственного логического звена. Многие математики исходили бессильными слезами при мысли, что могли бы получить важный результат, если бы могли восстановить одно недостающее звено в цепочке логических рассуждений.

Поскольку математики используют теоремы как ступени, ведущие к другим результатам, было чрезвычайно важно доказать каждую из анонсированных Ферма теорем. Использовать Великую теорему только потому, что, по утверждению Ферма, он располагал ее доказательством, было невозможно. Прежде чем пустить Великую теорему в дело, ее необходимо было доказать со всей строгостью, иначе последствия могли быть самыми ужасными. Например, представьте себе математиков, которые приняли одну из теорем Ферма на веру. Эта теорема была бы включена ими как отдельный элемент в целую серию других, более обширных, доказательств. Со временем эти более обширные доказательства были бы включены в еще более обширные доказательства, и т. д. В результате появились бы сотни теорем, которые бы опирались на истинность той самой недоказанной, принятой на веру, теоремы. Но что если Ферма ошибся, и недоказанная теорема в действительности ложна? Все теоремы, в доказательствах которых была бы использована ложная теорема, также оказались бы ошибочными, и огромные разделы математики рухнули бы. Теоремы – фундамент математики: если истинность теорем установлена, то, опираясь на них, можно возводить, пребывая при этом в полной безопасности, новые теоремы. Необоснованные (недоказанные) идеи имеют бесконечно меньшую ценность и называются гипотезами. Любая логика, опирающаяся на гипотезу, сама гипотетична.

Ферма утверждал, что располагает доказательством любого из своих примечаний, поэтому для него все они были теоремами. Но до тех пор, пока математическое сообщество в целом не восстановит каждое доказательство, все утверждения, содержащиеся в примечаниях, рассматриваются лишь как гипотезы. На протяжении последних 350 лет Великую теорему Ферма правильнее было бы называть Великой гипотезой Ферма.

За прошедшие столетия одно за другим были доказаны все утверждения Ферма, содержавшиеся в примечаниях на полях «Арифметики» Диофанта, и только Великая теорема Ферма упорно не поддавалась усилиям математиков. Ее даже стали называть «последней теоремой Ферма», так как она осталась последним его примечанием, которое требовалось доказать. Триста лет все попытки найти ее доказательство одна за другой терпели поражение. Великая теорема ферма обрела известность как самая трудная «головоломка» математики. Но всеми признанная трудность проблемы не обязательно означает, что Великая теорема Ферма важна в том смысле, в каком это понимается выше. Великая теорема Ферма, по крайней мере вплоть до самого последнего времени, не удовлетворяла нескольким критериям: казалось, что если бы ее удалось доказать, то это не привело бы ни к какому сколько-нибудь заметному прогрессу в развитии теории чисел и не способствовало бы доказательству других гипотез.

Слава Великой теоремы Ферма обусловлена исключительно тем, что доказать ее необычайно трудно. Есть и еще один дополнительный стимул: «князь любителей» заявил, что располагает доказательством этой теоремы, над восстановлением которой с тех пор ломали голову поколения профессиональных математиков. Небрежные замечания Ферма на полях принадлежавшего ему экземпляра «Арифметики» Диофанта читались как вызов всему миру. Ферма доказал свою Великую теорему, удастся ли какому-нибудь математику превзойти или сравняться с ним по блеску ума?

Г.Г. Харди обладал весьма своеобразным чувством юмора. Как-то раз он задумался, что в математическом наследии прошлого могло бы сравниться с Великой теоремой Ферма по тщетности всех попыток найти доказательство. К найденному им аналогу Великой теоремы Ферма Харди обращался всякий раз, когда ему приходилось преодолевать страх перед морскими путешествиями. Для него это было своего рода страхованием от несчастного случая. Если Харди предстояло пересечь Атлантический океан на борту лайнера, он предварительно посылал кому-нибудь из коллег телеграмму следующего содержания:

ДОКАЗАЛ ГИПОТЕЗУ РИМАНА ТЧК ПОДРОБНОСТИ ПО ВОЗВРАЩЕНИИ ТЧК

Гипотеза Римана – проблема, которой математика «больна» с XIX века. Логика Харди состояла в том, что Бог не даст ему утонуть потому, что тогда математики устремились бы в погоню за еще одним неуловимым призраком.

Великая теорема Ферма – задача невероятно трудная, и тем не менее ее можно сформулировать так, что она станет понятной даже школьнику. Ни в физике, ни в химии, ни в биологии нет ни одной проблемы, которая формулировалась бы так просто и определенно и оставалась нерешенной так долго. В своей книге «Великая проблема» Э.Т. Белл высказал предположение, что возможно, наша цивилизация подойдет к концу прежде, чем удастся доказать Великую теорему Ферма. Доказательство Великой теоремы Ферма стало самым ценным призом в теории чисел, и поэтому не удивительно, что поиски его привели к некоторым наиболее захватывающим эпизодам в истории математики. В эти поиски оказались вовлеченными величайшие умы на нашей планеты, за доказательство назначались огромные премии. Из-за Великой теоремы Ферма люди дрались на дуэли, а некоторые, отчаявшись найти доказательство, даже кончали с собой.

Статус Великой головоломки вышел за рамки замкнутого мира математики. В 1958 году Великая теорема Ферма проникла даже в легенду о Фаусте. В сборнике «Как иметь дело с дьяволом» была опубликована новелла Артура Порджеса «Дьявол и Саймон Флэгг». В ней дьявол обращается к профессору математики Саймону Флэггу с предложением задать ему, дьяволу, какой-нибудь вопрос. Если дьяволу удастся найти ответ за двадцать четыре часа, то он получает душу Саймона. В случае неудачи дьявол обязуется уплатить Саймону 100000 долларов. Саймон задает дьяволу вопрос: «Верна ли Великая теорема Ферма?» Дьявол исчезает и носится по свету, собирая по крохам все достижения математики. На следующий день он возвращается и признает свое поражение: «Вы выиграли, Саймон, – сказал дьявол, почтительно глядя на профессора. – Даже мне не под силу выучить всю математику, которая необходима для решения столь трудной задачи за столь короткое время. Чем глубже я погружаюсь в проблему, тем труднее она становится. Неединственное разложение на множители, идеальные числа… Да что зря говорить! Знаете, – признался дьявол, – даже самые лучшие математики на других планетах, а они, должен вам сказать, намного опередили ваших, не решили ее. Взять хотя бы того парня на Сатурне, что очень похож на гриб на ходулях. Он в уме решает дифференциальные уравнения в частных производных. Так даже он не справился с этой задачей».