Текст книги "Великая Теорема Ферма"

Автор книги: Саймон Сингх

сообщить о нарушении

Текущая страница: 12 (всего у книги 23 страниц)

Открывшееся противоречие было прямым следствием работы с аксиомами, которые до того предполагались самоочевидными и достаточными для построения остальной математики. Один из выходов заключался в создании дополнительной аксиомы, которая запрещала бы любому множеству быть членом самого себя. Такая аксиома позволила бы одолеть парадокс Рассела, поскольку устраняла бы вопрос о том, включать или не включать в каталог каталогов, не содержащих ссылки на самих себя, сам каталог каталогов.

Следующее десятилетие Рассел занимался анализом того, что составляет самую суть математики, – ее аксиом. В 1919 году он в соавторстве с Альфредом Нортом Уайтхедом опубликовал первый из трех томов «Principia Mathematica». В этой книге они предприняли успешную попытку решить проблему, вызванную парадоксом Рассела. В течение следующих двадцати лет многие математики использовали «Principia Mathematica» в качестве руководства по возведению безупречного здания математики, и к 1930 году, когда Гильберт вышел в отставку, он мог быть уверен в том, что математика находится на верном пути к выздоровлению. Казалось, мечта Гильберта о непротиворечивой логике, достаточно мощной для того, чтобы ответить на любой вопрос, близится к осуществлению.

Но в 1931 году никому не известный двадцатипятилетний математик опубликовал статью, которая навсегда расстроила надежды Гильберта. Курт Гёдель заставил математиков признать, что математика никогда не станет логически совершенной. Неявно в его работе содержалась и та мысль, что некоторые проблемы математики, например, Великая теорема Ферма, могут оказаться неразрешимыми.

Курт Гёдель родился 28 апреля 1906 года в Моравии, входившей тогда в состав Австро-Венгерской империи, а ныне образующей часть Чехии. В раннем детстве Гёдель перенес несколько заболеваний, самым серьезным из которых был приступ ревматизма в шестилетнем возрасте. Дыхание смерти, которое Гёдель ощутил в столь нежном возрасте, привело к мучительной ипохондрии, которой он страдал всю жизнь. В восьмилетнем возрасте, читая медицинский учебник, Гёдель убедился, что у него слабое сердце, хотя ни один из врачей не находил тревожных симптомов. Позднее, уже в конце жизни, Гёдель ошибочно решил, что его хотят отравить, и, отказавшись от приема пищи, уморил себя голодом.

Еще в детстве Гёдель обнаружил необычайные способности к естественным наукам и математике, и за свою пытливую натуру получил семейное прозвище «господин Почему» (der Herr Warum). Гёдель поступил в Венский университет, так и не сделав выбор между математикой и физикой, но вдохновленный зажигательными и страстными лекциями профессора Ф. Фуртвенглера по теории чисел, решил посвятить себя числам. Лекции были тем более необычными, что Фуртвенглер, парализованный от шеи и ниже, вынужден был читать их, сидя в инвалидной коляске, без конспектов, а его ассистент производил выкладки на доске.

К двадцати с небольшим годам Гёдель стал штатным сотрудником математического факультета, но вместе со своими коллегами нередко участвовал в заседаниях Венского кружка – группы философов, собиравшихся для обсуждения наиболее значительных проблем современной логики. Именно в тот период у Гёделя сложились идеи, подорвавшие самые основания математики.

В 1931 году Гёдель опубликовал свою работу «Über formal unentscheidbare Satze der Principia Mathematica und verwandter Systeme» 5, в которой содержались его так называемые теоремы о неразрешимости. Когда весть о теореме Гёделя достигла Америки, великий математик Джон фон Нейман тотчас же заменил часть своего курса о программе Гильберта обсуждением революционной работы Гёделя.

Гёдель доказал, что попытка создания полной и непротиворечивой математической системы – задача заведомо невыполнимая. Идеи Гёделя можно кратко сформулировать в двух утверждениях. [14]14
  Обе теоремы относятся к достаточно богатой математической теории (например, к аксиоматике Пеано теории целых чисел или системе аксиом Цермело–Френкеля). Следует иметь в виду, что здесь приводятся не точные формулировки теорем, а их популярная интерпретация.


[Закрыть]

Первая теорема о неполноте

Если аксиоматическая теория непротиворечива, то существуют теоремы, которые не могут быть ни доказаны, ни опровергнуты.

Вторая теорема о неполноте

Непротиворечивость теории не может быть доказана теми методами, которые в ней формализуются.

 По существу, первая теорема Гёделя утверждает, что какая бы система аксиом ни использовалась, всегда найдутся вопросы, на которые математика не сможет найти ответ, – полнота недостижима. Что еще хуже, вторая теорема Гёделя утверждает, что математики никогда не смогут быть уверены в том, что их выбор аксиом не приведет к противоречию, – непротиворечивость никогда не может быть доказана. Гёдель показал, что программа Гильберта неосуществима.

Через несколько десятилетий в своей книге «Портреты по памяти» Бертран Рассел описывал свое впечатление от открытия Гёделя так: «Я жаждал определенности так же, как другие жаждут обрести религиозную веру. Мне казалось, что найти определенность в математике можно с большей вероятностью, чем где-нибудь еще. Но я обнаружил, что многие математические доказательства, которые, в соответствии с ожиданиями моих учителей, мне надлежало принять за истинные, обременены ошибками и что, если определенность действительно может быть обнаружена в математике, то произойдет это в новой области математики с более надежными основаниями, чем те, которые считались надежными прежде. По мере того, как работа продвигалась, мне постоянно приходила на ум басня о слоне и черепахе. Построив слона, на котором мог покоиться математический мир, я обнаружил, что слон нетвердо стоит на ногах, и приступил к построению черепахи, которая удержала слона от падения. Но черепаха оказалась не более надежной, чем слон, и после двадцати с лишним лет напряженнейшего труда я пришел к заключению, что нет ничего, что я бы не сделал, дабы придать математическому знанию непоколебимость».

Вторая теорема Гёделя утверждает, что невозможно доказать непротиворечивость аксиом, но это не обязательно означает, что аксиомы противоречивы. Многие математики все еще верят в глубине сердца, что их математика останется непротиворечивой, но не могут это доказать. Через много лет выдающийся специалист по теории чисел Андре Вейль заметил: «Бог существует потому, что математика непротиворечива, а дьявол существует потому, что мы не можем доказать это».

В действительности, и формулировка и доказательство теорем неполноты Гёделя крайне сложны. Например, строгая формулировка первой теоремы неполноты имеет следующий вид:

Каждому ω-непротиворечивому рекурсивному классу κ формул соответствует такой рекурсивный класс ζ знаков r, что ни ν Gen r, ни Nеg(Gеn r) не принадлежит Flg(k) (где ν – свободная переменная класса r).

К счастью, подобно тому, как история с библиотекарем помогает понять парадокс Рассела, первую теорему о неполноте Гёделя можно проиллюстрировать на другой логической аналогии, которая принадлежит Эпимениду и известна под названием парадокса критянина, или парадокса лжеца. Эпименид был критянином, который воскликнул:

Я лжец!

Парадокс возникает, когда мы попытаемся определить, истинно или ложно утверждение Эпименида. Посмотрим, что произойдет, если предположить, что это утверждение истинно. Из истинного утверждения следует, что Эпименид лжец. Но мы приняли предположение о том, что он высказал истинное утверждение, и, следовательно, Эпименид не лжец. Мы приходим к противоречию.

Теперь предположим, что утверждение Эпименида ложно. Из ложности утверждения следует, что Эпименид не лжец. Но мы приняли предположение, что он высказал ложное утверждение. Следовательно, Эпименид лжец, и мы снова приходим к противоречию. Таким образом, что бы мы не предположили об истинности утверждения Эпименида, мы неизменно приходим к противоречию. Следовательно, утверждение Эпименида не истинно и не ложно.

Гёдель нашел новую интерпретацию парадокса лжеца и ввел понятие доказательства. Результатом его новаций стало следующее утверждение:

Это утверждение не имеет никакого доказательства.

Если бы это утверждение было ложным, то оно было бы доказуемым, но это противоречило бы самому утверждению. Следовательно, во избежание противоречия, утверждение должно быть истинным. Но это утверждение не может быть истинным в силу самого утверждения (о котором мы теперь знаем, что оно должно быть истинным).

Поскольку Гёделю удалось записать это утверждение в математических обозначениях, он смог доказать, что в математике существуют утверждения, которые истинны, но истинность их не может быть доказана, – так называемые неразрешимые утверждения. Для программы Гильберта это было смертельным ударом.

Открытия в области квантовой физики во многом оказались схожи с этой работой Гёделя. За четыре года до того, как Гёдель опубликовал свою работу о неразрешимости, немецкий физик Вернер Гейзенберг открыл принцип неопределенности. Подобно тому, как Гёдель открыл предел, до которого математики могут доказывать свои теоремы, Гейзенберг обнаружил, что существует предел, до которого физики в принципе могут производить измерения свойств. Например, если они хотят измерить точное положение объекта, то скорость того же объекта им удастся измерить лишь со сравнительно большой погрешностью. Связано это с тем, что для измерения положения объекта последний необходимо «обстрелять» фотонами света, но для того, чтобы точно определить положение объекта, фотоны света должны обладать огромной энергией. Но если объект бомбардировать фотонами высокой энергии, то собственная скорость объекта будет испытывать сильнейшие возмущения и станет неопределенной. Следовательно, пытаясь точно определить положение объекта, физики вынуждены поступиться точным знанием его скорости.

Принцип неопределенности Гейзенберга проявляется только на атомных масштабах, когда измерения с высокой точностью приобретают решающее значение. Следовательно, значительная часть физики может продолжать развиваться по-прежнему, в то время как квантовые физики занимаются изучением глубоких вопросов относительно пределов знания. То же самое происходит и в мире математики. В то время как логики ведут доступные пониманию лишь посвященных дискуссии о неразрешимости, остальная часть математического сообщества продолжает свои исследования, не обращая внимание на то, что происходит у логиков. Хотя Гёдель доказал, что существуют некоторые недоказуемые утверждения, в математике существует предостаточно доказуемых утверждений, и его открытие не обесценило доказанных в прошлом теорем. Кроме того, многие математики были убеждены в том, что неразрешимые утверждения Гёделя существуют только в самых «темных» областях математики, находящихся где-то на ее периферии, и что такие неразрешимые утверждения, возможно, никогда не встретятся ни одному математику. Ведь Гёдель утверждал лишь, что такие утверждения существуют, но не привел ни одного из них в качестве примера. Но в 1963 году предсказанный Гёделем теоретический кошмар стал реальностью.

Пауль Коэн, двадцатидевятилетний математик из Стэнфордского университета, разработал метод, позволяющий проверять разрешимость того или иного вопроса. Метод Коэна работает в некоторых весьма специальных случаях, но тем не менее Коэн был первым, кому удалось обнаружить конкретные неразрешимые вопросы. Совершив это открытие, Коэн немедленно вылетел в Принстон. Он хотел, чтобы правильность его работы проверил сам Гёдель. К тому времени Гёдель был тяжело болен (диагноз медиков гласил: паранойя). Он лишь слегка приоткрыл дверь, вырвал из рук Коэна бумаги и захлопнул дверь. Через два дня Коэн получил приглашение в дом Гёделя на чай – знак того, что маэстро скрепил доказательство печатью своего авторитета. Особый драматизм ситуации придало то обстоятельство, что некоторые из неразрешимых вопросов занимают в математике центральное место. По иронии судьбы, Коэн доказал неразрешимость одной из двадцати трех проблем Гильберта – гипотезы континуума.

Работа Гёделя, дополненная неразрешимыми проблемами Коэна, стала тревожным посланием всем математикам, профессионалам и любителям, которые продолжали свои попытки доказать Великую теорему Ферма. А что, если Великая теорема Ферма неразрешима?! А вдруг Пьер де Ферма заблуждался, когда утверждал, что располагает доказательством? Если так, то доказательство Великой теоремы Ферма может оказаться не просто трудным, а невозможным. Если Великая теорема Ферма неразрешима, то математики столетиями пытались найти доказательство, которое не существует.

Интересно заметить, что если бы Великая теорема Ферма оказалась неразрешимой, то отсюда следовало бы, что она истинна. Причина заключается в следующем. Великая теорема Ферма утверждает, что уравнение

xⁿ + yⁿ = zⁿ

при n, бóльших 2, не имеет решений в целых числах. Если бы Великая теорема Ферма оказалась ложной, то доказать ее было бы можно, предъявив решение (контрпример). Это означало бы, что Великая теорема Ферма разрешима. Итак, если бы теорема была ложной, то это противоречило бы ее неразрешимости. Но если бы Великая теорема Ферма была истинной, то столь определенный способ ее доказательства не обязательно существовал бы, т. е. она могла бы быть неразрешимой. Следовательно, может оказаться, что Великая теорема Ферма истинна, но не существует способа доказать ее.

Из любопытства

Заметка на полях «Арифметики» Диофанта, сделанная рукой Пьера де Ферма, породила одну из самых трудных головоломок в истории математики. Несмотря на триста лет блистательных провалов и предположение Гёделя о том, что возможно, охота идет за несуществующим доказательством, проблема Ферма по-прежнему неудержимо привлекала некоторых математиков. Великая теорема Ферма была математической сиреной, манившей гениев только для того, чтобы вдребезги разбить их надежды. Всякий математик, решивший заняться Великой теоремой Ферма, рисковал напрасно потратить свои наиболее активные годы. Но тот, кому удалось бы совершить решающий прорыв, вошел бы в историю, как человек, нашедший решение самой трудной задачи в мире.

Великая теорема Ферма захватила помыслы поколений математиков по двум причинам. Во-первых, ими двигало неудержимое желание продемонстрировать свое превосходство. Великая теорема Ферма была неоспоримым критерием, и всякий, кто сумел бы ее доказать, добился бы успеха там, где потерпели неудачу Коши, Эйлер, Куммер и многие другие математики. Подобно тому, как сам Ферма получал величайшее удовольствие от решения задач, ставивших в тупик его современников, тот, кому удалось бы найти доказательство Великой теоремы Ферма мог бы порадоваться тому, что сумел решить проблему, которая несколько веков возвышалась неприступной крепостью перед математическим сообществом. Во-вторых, каждый, кому удалось бы ответить на вызов Ферма, мог бы испытать чувство неслыханного удовлетворения от того, что сумел решить труднейшую головоломку. Восторг, получаемый от решения сложнейшей проблемы теории чисел, доступной только пониманию посвященных, мало чем отличается от простой радости от решения тривиальных головоломок Сэма Лойда. Один математик как-то поведал мне, что удовольствие, получаемое им от решения математических проблем, имеет много общего с удовольствием, получаемым от решения кроссвордов. Заполнение последних пустых клеточек особенно трудного кроссворда всегда приносит удовлетворение – но какую же радость должен испытывать тот, кто после многих лет безуспешных попыток решить головоломку, которую до него не удавалось решить никому в мире, все-таки сумел найти решение.

По этим же самым причинам Эндрю Уайлс оказался околдованным волшебными чарами Великой теоремы Ферма: «Те, кто занимаются чистой математикой, любят вызов. Они в восторге от нерешенных проблем. Когда Вы занимаетесь математикой, Вами овладевает это великое чувство. Вы начинаете с проблемы, которая представляет для вас полную загадку. Вы не можете ее понять – настолько она сложна, Вы не имеете ни малейшего понятия о том, как к ней подступиться. Но вот, наконец, Вам удается решить ее, и Вас охватывает непередаваемое ощущение ее красоты, изящества и соразмерности деталей и целого. Самыми коварными следует считать те задачи, которые кажутся простыми, но на самом деле оказываются необычайно трудными. Великая теорема Ферма – самый прекрасный пример такого рода проблем. Она выглядит так, будто доказательство должно существовать, и к тому же обладает особенной загадочностью: Ферма утверждал, что нашел ее доказательство».

Математика находит многочисленные приложения в науке и технике, но не они служат главным стимулом развития. Ученых вдохновляет радость открытия. Г. Г. Харди в своей книге «Апология математика» попытался объяснить эту особенность науки и оправдать свою деятельность чистого математика:

«Я только хочу сказать, что если шахматная задача, грубо говоря, «бесполезна», то столь же бесполезна и значительная часть самой лучшей математики… Я никогда не делал ничего «полезного». Ни одно из моих открытий ни на йоту не изменило (и вряд ли изменит), прямо или косвенно, в лучшую или в худшую сторону, прелести мира. Если судить по практическим меркам, то ценность моей математической жизни равна нулю, но в любом случае вне математики она и вовсе бессодержательна. У меня только один шанс избежать вердикта полной бесполезности – если люди сочтут, что мне удалось создать нечто, достойное быть созданным. То, что я создал кое-что, не подлежит сомнению, – вопрос лишь в том, насколько ценно то, что я создал».

В основе стремления решить любую математическую проблему лежит главным образом любопытство, а наградой служит простое, но огромное удовлетворение. Математик Э.Ч. Титчмарш однажды сказал: «От того, что мы знаем, что некоторое число иррационально, нет никакой практической пользы, но если мы можем знать нечто, то не знать этого становится невыносимо».

В случае Великой теоремы Ферма недостатка в любопытстве не было. Работа Гёделя о неразрешимости внесла элемент сомнения в вопрос о том, разрешима ли проблема Ферма, но истинных фанатиков Великой теоремы Ферма это ничуть не разочаровало. Гораздо более разочаровывающим было то, что с 30-х годов математики исчерпали все имевшиеся у них методы, а новых методов появилось явно недостаточно.

Вторая мировая война обусловила гигантский скачок в развитии со времен изобретения логарифмической линейки. И следующим этапом в направлении доказательства теоремы Ферма стало развитие вычислительной техники и криптографии.

Подход с позиций грубой силы

Когда в 1940 году Г.Г. Харди заявил о том, что самая первоклассная математика в основном бесполезна, он тут же был вынужден добавить, что это не обязательно плохо: «Настоящая математика не оказывает влияния на ведение войн. Никто еще не открыл ни одного применения теории чисел в военных целях». Вскоре выяснилось, что Харди заблуждался.

В 1944 году Джон фон Нейман в соавторстве с Оскаром Моргенштерном написал книгу «Теория игр и экономическое поведение», в которой ввел придуманный им термин «теория игр». Фон Нейман попытался использовать математику для описания структуры игр и того, как люди играют в них. Он начал с шахмат и покера, а затем попытался построить модели более сложных игр – таких, как экономика. После второй мировой войны корпорация RAND оценила потенциал идей фон Неймана и пригласила его принять участие в разработке стратегии холодной войны. С той поры математическая теория игр стала основным средством, с помощью которого генералы проверяют разрабатываемые ими стратегии, рассматривая вооруженные конфликты как усложненный вариант шахматных партий. Простой иллюстрацией применения теории игр к анализу военных операций служит задача о труэли.

Труэль аналогична дуэли, но с тремя участниками вместо двух. Однажды утром м-р Блэк, м-р Грей и м-р Уайт вздумали решить конфликт труэлью на пистолетах. Стрелять условились до тех пор, пока в живых не останется только один из участников. М-р Блэк стрелял хуже всех. В цель он попадал в среднем лишь один раз из трех. М-р Уайт стрелял лучше всех – без промаха. Чтобы уравнять шансы участников труэли, м-ру Блэку разрешено стрелять первым, за ним должен стрелять м-р Грей (если он останется в живых), затем мог стрелять м-р Уайт (если он еще будет жив).

Далее все начиналось снова, и так до тех пор, пока в живых не останется только один из участников труэли. Вопрос: в кого должен выстрелить м-р Блэк, производя свой первый выстрел? Вы можете попытаться ответить на этот вопрос, опираясь на свою интуицию, но лучше все же, если ваш ответ будет основан на теории игр. Решение задачи см. в Приложении 9.

Большое значение в военное время приобрела математическая теория криптографии – наука о конструировании и «взламывании» кодов. Во время второй мировой войны союзники поняли, что математическая логика может оказаться полезной для дешифровки немецких радиограмм, если только вычисления проводить достаточно быстро. Требовалось автоматизировать математические вычисления, чтобы их могла производить машина, и более других способствовал раскрытию немецких кодов английский математик Алан Тьюринг.

В 1938 году Тьюринг вернулся в Кембридж после стажировки в Принстонском университете. Он стал свидетелем того переполоха, который вызвали теоремы Гёделя о неразрешимости, и принял участие в попытках спасти осколки мечты Гильберта.

 В частности, Тьюринг захотел выяснить, существует ли способ, позволяющий определить, какие проблемы разрешимы и какие неразрешимы, и попытался разработать метод, дающий ответ на этот вопрос. В те времена вычислительные устройства были весьма примитивными и, по существу, бесполезными, когда дело касалось серьезных задач. Поэтому Тьюринг основывал свои идеи не на реальных компьютерах, а на представлении о некоторой воображаемой машине, способной неограниченно производить вычисления.

Все, что требовалось Тьюрингу для исследования абстрактных логических проблем, – гипотетическая машина, снабженная бесконечной воображаемой лентой, разделенной на клетки, и способная неограниченно производить вычисления. Тьюринг и не подозревал, что предложенная им воображаемая автоматизация решения гипотетических проблем в конечном счете приведет к перевороту в выполнении реальных вычислений на реальных машинах.

Несмотря на начавшуюся войну, Тьюринг продолжал свои исследования в Кингс Колледже до 4 сентября 1940 года, когда размеренной жизни его кембриджского дома внезапно пришел конец. Тьюринг был командирован в Правительственную школу кодов и шифров, в задачу которой входила расшифровка данных вражеских радиоперехватов. Еще в довоенные годы немцы предприняли значительные усилия для разработки великолепной системы шифрования, и достигнутые ими успехи в этой области стали предметом особых забот британской разведки, которая до того с легкостью расшифровывала вражеские радиограммы. В официальной истории войны, выпущенной издательством Ее Величества под названием «Британская разведка во второй мировой войне», состояние дел в 30-х годах описывается следующим образом:

«В 1937 году было установлено, что в отличие от своих японских и итальянских аналогов, германская армия, германский военно-морской флот, возможно, германские военно-воздушные силы вместе с другими государственными организациями, вроде железных дорог и СС, использовали для всех нужд, кроме тактических коммуникаций, различные версии одной и той же шифровальной системы – шифровальной машины «Энигма», выпущенной на рынок в 20-е годы. Надежность ее немцы повышали, внося различные усовершенствования. В 1937 году Правительственной школе кодов и шифров удалось раскрыть устройство менее модифицированной и менее надежной модели машины «Энигма», используемой германскими, итальянскими и испанскими вооруженными силами. Не считая этого случая, «Энигма» до сих пор выдерживала все попытки раскрыть ее устройство. Весьма вероятно, что эти попытки будут продолжены».

Шифровальная машина «Энигма» состояла из клавиатуры, соединенной с шифровальным узлом. Шифровальный узел содержал три отдельных ротора. Положения роторов определяли, как шифруется каждая литера на клавиатуре. Раскрыть код «Энигма» было так трудно потому, что число внутренних состояний, в которых могла находиться машина, было необычайно велико. Во-первых, три ротора в машине можно было выбирать из пяти, заменять и переставлять, чтобы сбить с толку тех, кто попытается раскрыть код. Во-вторых, каждый ротор мог находиться в одном из двадцати шести. различных положений. Все это означало, что машина может находиться более чем в миллионе различных состояний. Кроме перестановок букв, производимых роторами, соединения на плате в тыльной стороне машины можно было менять вручную, что позволяло устанавливать машину более чем в 1,5·10²⁰ возможных состояний. Чтобы еще больше увеличить надежность, три ротора постоянно изменяли ориентацию так, что после кодирования и передачи одной буквы при кодировании следующей буквы машина устанавливалась в новое состояние. Например, набрав на клавиатуре «DODO», мы получим кодированное сообщение «FGTB», так как хотя буквы «D» и «O» встречаются в сообщении дважды, кодируются они всякий раз по-другому.

Машины «Энигма» были взяты на вооружение германской армией, военно-морским флотом и военно-воздушными силами, а также использовались на железных дорогах и в других правительственных учреждениях. Подобно всем системам кодов того времени, «Энигма» имела слабое место: получатель должен был знать, как установлена машина отправителя. Для обеспечения безопасности установку «Энигмы» требовалось менять ежедневно. Один из способов, позволявших отправителю ежедневно менять код и сообщать его получателю, заключался в публикации установок машины на каждый день в секретной кодовой книге. Риск при такой системе состоял в том, что англичане могут захватить какую-нибудь немецкую подводную лодку и захватить кодовую книгу с ежедневными установками машины на следующий месяц. Альтернативный подход, который использовался на протяжении большей части войны, состоял в том, чтобы установка машины на текущий день сообщалась в преамбуле к сообщению и декодировалась с помощью кода на предыдущий день.

Когда разразилась вторая мировая война, штат Правительственной школы кодов и шифров в основном состоял из специалистов по древним языкам и лингвистов. Но вскоре британское министерство иностранных дел осознало, что специалисты по теории чисел имеют более высокие шансы подобрать ключ к немецким кодам, и тогда самые лучшие английские специалисты по теории чисел были собраны в новом здании Правительственной школы кодов и шифров в Бличли парке – викторианском здании в Бличли, в графстве Бакингхэмпшир. Тьюрингу пришлось оставить свои воображаемые машины с бесконечной лентой, разделенной на клетки, и бесконечным временем на обработку информации и заняться практической проблемой с конечными ресурсами и весьма сжатыми сроками.

Криптография представляет собой борьбу умов между составителем кода и тем, кто пытается этот код разгадать. Составитель кода видит свою задачу в том, чтобы каждое исходящее от отправителя сообщение было закодировано настолько надежно, чтобы раскодировать его было невозможно даже в том случае, если оно будет перехвачено противником. Однако существует верхний предел для количества возможных математических манипуляций, поскольку сообщения должны доходить до получателя быстро и эффективно. Сила германского кода «Энигма» заключалась в том, что кодируемое сообщение подвергалось кодировке на нескольких уровнях с очень высокой скоростью. Тот, кто стремился раскрыть, или «взломать», код, видел свою задачу, в том, чтобы взять перехваченное сообщение и разгадать код, причем скорость расшифровки была весьма существенна: германское сообщение, содержащее приказ потопить британский корабль, должно было быть декодировано до того, как корабль потонет.

Тьюринг возглавил группу математиков, в задачу которых входило воссоздать точную копию машины «Энигма». Все свои абстрактные идеи предвоенной поры Тьюринг воплотил в устройстве, которое теоретически могло методично, одну за другой, перебирать все возможные установки машины «Энигма» до тех пор, пока код не окажется раскрытым. Для проверки всех потенциально возможных состояний машины «Энигма» математики из Бличли парка использовали британские машины около двух метров в высоту и примерно столько же в ширину, работавшие на электромеханических реле. Непрестанное тиканье реле стало причиной, по которой эти машины получили свое прозвище – их стали называть бомбами. Несмотря на максимальное по тем временам быстродействие, «бомбы» не могли перебрать за разумное время все гигантское количество возможных вариантов установки «Энигма», поэтому группе Тьюринга предстояло найти способы, позволяющие существенно сократить число перестановок, по крохам собирая любую информацию, которую можно было извлечь из перехваченных сообщений.

Одно из существенных достижений группы из Бличли парка стало осознание того, что машина «Энигма» никогда не кодировала букву самой буквой, т. е. если отправитель набирал на клавиатуре литеру «R», то машина потенциально могла отправить любую другую букву (в зависимости от установки машины), кроме буквы «R». Это, на первый взгляд незначительное, обстоятельство позволило резко сократить время, необходимое для того, чтобы декодировать сообщение. Немцы нанесли ответный удар, ограничив длину предаваемых сообщений. Все сообщения неизбежно содержат в себе какие-то зацепки, позволяющие «взломщикам кодов» декодировать сообщения. Чем длиннее сообщение, тем больше зацепок оно содержит. Установив предельный объем для всех сообщений – не более 250 знаков, немцы надеялись компенсировать «нежелание» машины «Энигма» кодировать букву той же буквой.

Чтобы взломать германские коды, Тьюринг часто пытался отгадать в сообщениях ключевые слова. Если ему это удавалось, то декодирование остальной части сообщения многократно ускорялось. Например, если взломщики кода подозревали, что сообщение содержит сводку погоды (метеоданные часто передавались в кодированных сообщениях), то они могли предположить, что в сообщении содержатся такие слова, как «туман» или «скорость ветра». Если их догадка оправдывалась, то они быстро декодировали остальное сообщение и тем самым могли судить об установке «Энигмы» на день передачи сообщения. Тогда в этот день и другие, более ценные, сообщения декодировались без труда.

Если же слова о состоянии погоды не удавалось отгадать, то англичане пытались представить себя на месте немецких операторов, работавших с «Энигма», и отгадать какие-то другие ключевые слова. Оператор по рассеянности мог назвать получателя по имени или обладать какими-то известными взламывателю кода любимыми словечками. Если все попытки декодировать сообщения оказывались безуспешными, и германский радиообмен протекал бесконтрольно, Правительственная школа кодов и шифров прибегала, как рассказывают, даже к такой экстравагантной мере, как обращение к командованию Королевскими ВВС с просьбой произвести минирование какого-нибудь германского порта. Комендант порта немедленно посылал кодированное сообщение, которое англичане перехватывали. В подобных случаях взломщики кодов могли быть уверены, что в сообщении непременно содержатся такие слова, как «мины», «опасность для захода кораблей», «пеленгация мест падения мин». Декодировав такое послание, Тьюринг устанавливал установку «Энигма» на тот день, и дальнейший радиообмен немцев уже легко поддавался декодированию.