Текст книги "Мир математики. т 40. Математическая планета. Путешествие вокруг света"

Автор книги: Микель Альберти

сообщить о нарушении

Текущая страница: 7 (всего у книги 8 страниц)

Одинаково ли понимается случайность во всех странах мира? Ответить на этот вопрос нелегко. В некоторых культурах считается, что случайность находится в руках богов и представляет собой выражение их воли. Чтобы узнать волю богов, верующие бросают камни, кости или изучают внутренности животных. В других культурах случайность сводится к количественной оценке возможных исходов, определяемой на основе составных элементов события, как, например, в лотереях или игре в кости.

Так или иначе, азартные игры встречаются практически повсеместно и не зависят от преобладающей доктрины – детерминизма или недетерминизма.

На следующей фотографии изображены две игральные кости с индонезийского острова Ломбок. Они в действительности представляют собой волчки, на которых нарезаны четыре грани, как на игральных кубиках. Во время игры волчки вращаются и падают на одну из четырех граней. Однако не все грани волчка различны – на двух противоположных гранях изображена монета, на двух других – инкрустированы кусочки перламутра. При броске любой из этих двух костей возможны всего два исхода. Обозначим их П (перламутр) и М (монета).

Игральные кости с острова Ломбок (Индонезия).

На одной из игральных костей на гранях М выгравирована еще одна фигура – медный выпуклый диск. Равновероятны ли возможные исходы? Изучив форму игральных костей, можно предположить, что нет: одни грани тяжелее других, поэтому вероятность выпадания граней отличается. Но окончательный ответ можно получить только одним способом: раскрутить игральную кость несколько раз и зафиксировать результаты. Из 20 бросков М выпало только в двух случаях. Тот, кто ставит на М, будет выигрывать редко. После нескольких бросков становится понятно, что эта игральная кость не удовлетворяет основному требованию азартной игры – возможные исходы неравновероятны. Делать ставку в такой игре нет смысла, так как исход можно предугадать с уверенностью в 80 %.

Дадду (Индонезия и Малайзия)

Дадду – азартная игра в кости, в которую играют в Индонезии, а также в Малайзии, где она называется селебор. В дадду играют двумя одинаковыми кубиками, грани которых раскрашены следующим образом.

В игре участвуют четыре игрока, которых мы обозначим А, В, С и D. Кости переходят от игрока к игроку по часовой стрелке. Возможны три исхода: оттонг (выигрыш: В), мате (проигрыш: П) или эланг (переход хода: X).

Игру начинает игрок А. Если А выигрывает (В), то бросает кости снова. Если А проигрывает (П) или же не выигрывает и не проигрывает (X), то ход переходит к В. Если В выигрывает (В), то А проигрывает, если В проигрывает (П), А выигрывает (В). Если В не выигрывает и не проигрывает (X), кости возвращаются игроку А. Игра продолжается до тех пор, пока один из двух игроков, А или В, не проиграет. Далее в игру вступает С, и победитель играет с ним. После того как в этой паре определится победитель, он играет с D, и так далее. Игра может продолжаться бесконечно – условия ее завершения определяют сами игроки. Игроки делают ставки, как правило, равной величины.

Вероятности того, что первый игрок выиграет (В), проиграет (П) или передаст кости следующему игроку, равны:

Построим дерево вероятностей:

В этой игре вероятность выигрыша А постепенно устанавливается в районе 50 %.

Здесь основную роль играет соотношение трех вероятностей:

P(B) = 5/36 = P(П) => p = q.

P(X) = 26/36 => r = 1 – 2p

Вероятность выигрыша А по ходу игры постепенно приближается к 50 %:

Бола адил (остров Нуса Лембонган)

В эту азартную игру играют на вогнутой квадратной доске размером 7 х 7 = 49 клеток. Игроки бросают шарик на доску так, что он несколько раз отскакивает от краев и останавливается в углублении одной из клеток, которая и будет выигрышной. Центральная клетка имеет номер 20. В остальных 48 клетках нарисованы фигуры (круг, треугольник или крест) разных цветов (черного, желтого, зеленого или красного).

Фигуры одного цвета располагаются на диагоналях, как показано на следующей фотографии.

Доска для игры в бола адил.

Каждая фигура каждого цвета повторяется на доске четыре раза. Следовательно, на 48 клетках изображены 16 кругов (4 черных, 4 красных, 4 желтых и 4 зеленых), 16 треугольников и 16 крестов. Ставки делаются на дополнительной доске размером 3 х 4 = 12 клеток, пронумерованных от 1 до 12.

Доска для ставок в игре бола адил.

Если клетка угадана верно, ставка умножается на 10. Можно ставить на одну или более клеток – в этом случае на 10 умножается не вся ставка, а лишь ее часть, соответствующая клетке, где остановился шарик. Предположим, что игрок поставил 30 тысяч рупий, разделив ставку между клетками под номером 4 (черный треугольник) и 8 (черный круг). Если шарик остановится на клетке, где изображен черный круг, игрок получит 130 тысяч рупий – в 10 раз больше, чем ставка в этой клетке (15 тысяч рупий). Вероятность выигрыша при ставке на каждую клетку равна:

P = 1/49 = 2,04%

Если шарик останавливается в центральной клетке под номером 20, все ставки уходят в банк. При ставках игроки не учитывают этот исход, так как клетки в таблице для ставок имеют номера от 1 до 12. С точки зрения игрока, ставящего на одну из 12 клеток, вероятность выигрыша равна:

Р = 1/12 = 8,33 %.

Однако реальная вероятность несколько меньше, так как в таблице ставок не учитывается возможный выигрыш банка:

Р = 4/49 = 8,16 %.

Рассмотрим таблицу ставок и попытаемся ответить, в каком случае выигрыш вероятнее: если мы поставим на два числа по горизонтали или по вертикали? Какая комбинация выиграет с большей вероятностью – 1–2 или 1–5? Комбинация 1–2 выигрывает, если выпадает красный или зеленый треугольник. Комбинация 1–5 выигрывает, если выпадает треугольник или круг красного цвета. Так как красных треугольников столько же, сколько зеленых (по 4), и столько же, сколько черных кругов и черных треугольников (по 4), вероятность выигрыша будет одинаковой:

Р(1,2) = Р(1,5) = 8/49 = 16,3 %.

Игроки понимают, что ставить на единственный исход слишком рискованно, и чаще ставят сразу на два числа.

Несколько вопросов, связанных с игрой, имеют отношение к доске, на которую бросают шарик. Первый вопрос касается формы самой доски: почему она квадратная? Второй вопрос имеет отношение к числу клеток: почему размер доски равен 7 x 7? Почему доска не имеет форму прямоугольника, треугольника, шестиугольника или круга? Разве нельзя играть на квадратной доске, разделенной на 25, 36 или 100 клеток?

Форма доски влияет на траекторию движения шарика, которая определяется направлением броска и отскоками от краев доски. Вопрос о форме доски относится к геометрии, вопрос о числе клеток – к алгебре. Теоретически возможны неслучайные броски, например когда траектория шарика представляет собой квадрат, соединяющий середины сторон доски. Такая траектория возможна в случае, когда мы бросаем шарик из любой точки над одной из сторон доски под углом в 45° к ней.

Но все это лишь теория – благодаря вогнутой форме клеток всякий раз, когда шарик не прокатывается точно по центру клетки, он отклоняется от траектории. В результате траектория оказывается случайной, и исход броска предугадать нельзя. Именно поэтому траектории, подобные ломаной линии, изображенной на доске серого цвета на рисунке ниже, невозможны.

Смоделировать траекторию шара на доске чисто математическими методами нельзя, для этого следует учесть физические факторы, в частности силу трения и силы, обусловленные вогнутой формой клеток, под действием которых траектория шарика при прохождении над клеткой меняется. Необходимость учитывать множество переменных крайне усложняет задачу, и можно считать, что исход игры является случайным.

Вопрос о числе клеток на доске, как мы уже говорили, относится к алгебре. Так как дано три фигуры и четыре цвета, образующие 12 сочетаний, и к ним нужно добавить еще одну клетку (когда шарик попадает на нее, все ставки уходят в банк), число клеток С должно быть на единицу больше числа, кратного 12:

Учитывая, что доска должна иметь квадратную форму, С также должно быть квадратом натурального числа. Искомый результат достигается, если мы рассмотрим квадраты чисел, кратных 6, увеличенные или уменьшенные на единицу:

(6·λ ± 1)² = 36·λ² ± 12λ + 1 = 12λ·(3λ ± 1) + 1 = 1 + число, кратное 12.

Число клеток на доске может быть и другим, но в этом случае вероятность выигрыша будет либо слишком низкой (при С > 49), либо слишком высокой (С = 25).

Игра кпелле

В своей книге «Африка считает» Клаудия Заславски описывает игру, распространенную в народе кпелле. Игра начинается с того, что 16 камушков раскладываются в два ряда по восемь. Один из игроков загадывает камень, после чего другой игрок должен угадать, какой камень выбрал первый. Для этого он может не более четырех раз спросить, в каком из двух рядов находится выбранный камень. После каждого ответа второй игрок может переставлять камни из ряда в ряд.

Камни необязательно должны быть одинаковыми – для удобства их можно раскрашивать в разные цвета.

Чтобы одержать победу, нужно правильно переставлять камни после каждого ответа на вопрос. Допустим, что первый игрок выбрал камень под номером 13, но мы этого не знаем. Мы видим два ряда камней и спрашиваем: в каком ряду выбранный камень? Первый игрок ответит: в нижнем. Поменяем местами камни, стоящие на нечетных местах.

Повторив вопрос, мы узнаем, что теперь выбранный камень находится в верхнем ряду. Так как ранее камень располагался в другом ряду, мы знаем, что он принадлежит группе {9, 11, 13, 13}. Теперь переставим половину камней из этой группы, к примеру поменяем местами

Наш соперник ответит, что камень по-прежнему находится в первом ряду. Следовательно, он выбрал камень под номером 13 или 13. Переставим один из двух этих камней, например поменяем местами 13 и 5.

Выбранный нашим противником камень оказался во втором ряду, следовательно, мы можем ответить: камень номер 13.

Стратегия игры заключается в том, чтобы после каждого ответа менять местами в два раза меньше камней: сначала четыре, затем два и, наконец, один. Ответ на четвертый вопрос укажет решение. Эта стратегия работает потому, что исходные шестнадцать камней в начале игры уже разделены на два ряда. Когда противник говорит, в каком ряду находится выбранный камень, мы сразу же исключаем половину камней. Следовательно, если наша стратегия гарантирует, что после каждого ответа число вариантов уменьшается вдвое, мы обязательно придем к единственному решению:

16/2 = 8 —> 8/2 = 4 —> 4/2 = 2 —> 2/2 = 1

Геометрические жилища

Несколько десятков тысяч лет назад человек решил покинуть природные укрытия и найти себе приют под крылом геометрических форм. Вместо того чтобы жить в пещерах, он обработал доступные природные материалы, придав им постоянную форму, и построил себе жилье. Форма жилища постепенно усложнялась.

Большинство современных домов представляют собой многогранники, чаще всего – прямоугольные призмы. Десятки и сотни семей в городах всего мира живут в колоссальных гексаэдрах, установленных вплотную друг к другу. Люди также живут или до недавнего времени жили в домах, где в явном или неявном виде присутствовал круг – дома имели форму цилиндра, конуса и даже сферы. Основная характеристика обитаемого гексаэдра – прямые углы: стены домов должны быть перпендикулярны земле и друг другу. Помещения в домах, а также большинство предметов мебели воспроизводят такую же модель. Многие столы, стулья, шкафы, стеллажи и кровати имеют форму гексаэдров, благодаря чему они идеально располагаются в любом месте комнаты. Более мелкие предметы, например лампы, отличаются большим разнообразием форм.

Также характерной особенностью народов и культур является объединение жилищ в группы. В некоторых культурах жилища располагаются в форме прямоугольника или круга, в других – не подчиняются какой-либо закономерности.

Примеры жилищ круглой формы можно встретить во всем мире. Коническую форму имеют дома трулли в итальянском Альберобелло на юго-востоке Италии, шалаши у многих африканских народов, типи североамериканских индейцев или дома народа кумби с острова Флорес и народа атони с острова Тимор. Иглу эскимосов, построенные из льда, имеют форму полусферы. В других жилищах цилиндрическая форма сочетается с конической крышей – подобная конструкция типична для многих регионов Африки, например такие дома строит народ кикуйю, живущий в Кении.

Клаудия Заславски объясняет, как строятся традиционные дома народа джагга, живущего на склонах горы Килиманджаро. Сначала на помощь зовут самого высокого человека среди всех знакомых. Он ложится на землю и вытягивает руки в стороны. Радиус будущего дома будет составлять 2–3 размаха его рук. Это расстояние откладывается на веревке, которую привязывают к колышку. Затем, держа конец веревки в руках, совершают полный оборот вокруг колышка и чертят на земле окружность. Высота дверей будет равна размаху рук человека, ширина – длине окружности его головы, измеренной при помощи веревки.

Хотя принято считать, что типи североамериканских индейцев имеют коническую форму, они, по сути, представляют собой многогранники и в действительности имеют форму пирамиды. Несколько длинных кольев, воткнутых в землю в форме круга (они определяют вершины многоугольника достаточно правильной формы), сходятся в вершине хижины. Эти колья – ребра пирамиды – накрываются шкурами. Типи можно легко разобрать и перенести на новое место.

Типи – традиционное жилище североамериканских индейцев.

Коническую форму типи придает крыша. Традиционные дома на индонезийских островах Флорес и Тимор представляют собой идеальные конусы, так как их коническая крыша опускается почти до самой земли. На самом деле эта крыша имеет пирамидальную форму, но она покрыта листьями, которые сглаживают ее очертания.

В африканских культурах дома в селениях и сообществах обычно располагаются в зависимости от их формы: прямоугольные жилища – в форме вытянутого прямоугольника, круглые дома – в форме окружности или эллипса.

Дверные косяки и внутренние стены некоторых традиционных африканских жилищ украшены орнаментами. На шкурах, покрывающих индейские типи, также изображают символы и узоры, служащие отличительным признаком племени.

Строить дома из льда непросто: эскимосы для этого используют ледяные блоки, укладывая их в форме полусферы. Однако купол иглу представляет собой геликоид: его радиус уменьшается по мере приближения к вершине, а размеры блоков, напротив, становятся больше.

План древнего Багдада представляет собой идеальный круг. Халиф аль-Мансур повелел построить этот город в VIII веке. В центре Багдада находились дворец халифа и мечеть. В двойной стене из необожженного кирпича, окружавшей город, были проделаны четверо ворот – по четырем сторонам света. Багдад был не единственным круглым городом на Ближнем Востоке. Возможно, аль-Мансур взял за образец более ранние города, в частности Гор (ныне Фирузабад), основанный царем Ардаширом из династии сасанидов в Иране в I веке.

Особый случай – народ тораджи с индонезийского острова Сулавеси. Их традиционные дома имеют прямоугольную форму и четко делятся на три уровня, однако характерный внешний вид им придает крыша, напоминающая седло. Важнейшей особенностью домов тораджи является их расположение, а также социальные и культурные функции. Дом в этой культуре – не просто жилище. Все традиционные дома тораджи обращены на север, поэтому во всех селениях дома расположены параллельными рядами. Против каждого дома – один или несколько амбаров для хранения риса. Торцы амбаров обращены на юг. В центре поселения находится площадь, на которой проводятся ритуалы и церемонии. У каждой семьи есть свой дом, где проходят семейные встречи и где находятся тела умерших до похорон.

План поселения тораджи (остров Сулавеси, Индонезия).

Размеры традиционных домов и амбаров тораджи определяют заранее в соответствии с соотношением 7:3. Строитель Мархин Мадои в своих заметках объяснил, как рассчитываются размеры домов.

Определение размеров традиционного жилища тораджи.

Это объяснение станет понятнее, если учесть ряд моментов, не указанных в заметках строителя:

Ширина = 300 см

7 – 1 = 6

6·22 см = 132 см => 300–132 = 168 => 168 /6 = 28

28 + 22 = 50

Элементы фасада: 50 + 150 + 300 + 150 +50 = 700 см.

Он приводит такие же рассуждения при расчете размеров сооружения шириной 4 м, но на этот раз использует значение в 24, а не 22 сантиметра:

Ширина = 400 см

6·24 см = 144 см => 400–144 = 256 => 256/6 = 42,6

42,6 + 24 = 66,5 (sic!)

Элементы фасада: 66,5 + 200 + 400 + 200 + 66,5 = 933

Наиболее понятное объяснение основано на том, что и дом, и амбар имеют прямоугольную форму, а длины их стен описываются соотношением 7:3. На этом прямоугольнике строится сетка размером 14 х 6 клеток. 14 длинных элементов фасада группируются так: 14-3 + 6 + 3 + 1. Если постройка имеет ширину 3 м, ее длина должна равняться 7 м.

x/300 см = 14/6 => x = 700 см

Это означает, что клетки сетки представляют собой квадраты со стороной 30 см. Длины 14 секций двух фасадов будут иметь размеры:

30 + 130 + 300 + 130 + 30 см.

Аналогично для ширины в 4 м. Следовательно, общая длина составит 9,33 м.

Элементы фасада будут иметь следующую длину:

66,6 + 200 + 400 + 200 + 66,6 см.

Народ хиваро населяет часть джунглей Амазонии на юго-востоке Эквадора в Южной Америке. Одна из характерных особенностей культуры хиваро – дома округлой формы. Хотя они имеют квадратное основание, полуокружности, расположенные вдоль двух противоположных сторон домов, придают им вытянутую форму, как показано на рисунке. Высота дома определяется высотой коньковой балки – горизонтальной перекладины, которая служит центральной осью крыши.

Дом хиваро – это не просто место, где можно укрыться от дождя или хранить вещи и орудия труда. Как и дома тораджи в Индонезии, на другом конце света, дома хиваро представляют собой масштабную модель мира. Внутри они разделены на две части – для мужчин и женщин, согласно их роли, отведенной им в культуре хиваро.

В то же самое время в устройстве дома проявляются роли, которые должны исполнять члены семьи в обществе. В этой концепции центральный столб, подпирающий крышу, помимо очевидной практической функции, символизирует связь между землей и небом, верхним и нижним миром. Вокруг этого столба проходят традиционные празднования.

Технологии и математическая мысль

Сегодня в большинстве стран мира главным рабочим инструментом во многих сферах стал компьютер – разница состоит лишь в используемом программном обеспечении: представителям каждой профессии нужны собственные программы, очень часто узкоспециализированные. Использование компьютера является практически обязательным. Его роль так велика, что многие пользователи научились работать с ним самостоятельно, а некоторые даже сами пишут подпрограммы и скрипты, упрощающие работу.

Многие специалисты используют электронные таблицы Excel. Нет такой профессии, в которой не требовалось бы составлять отчеты, готовить счета, подводить баланс или вычислять члены пропорции. Часто человек, обучаясь работать с электронными таблицами, спустя много лет после окончания института вновь сталкивается с математикой. При этом представители многих профессий (например, в области дизайна или кулинарии) в студенческие годы даже не видели компьютеров.

Кладка кирпичей

Кладка – это конструкция из кирпичей, уложенных между двумя столбами или стенами. При качественной кладке предполагается, что от пола до потолка уложится целое число рядов кирпичей (то есть кирпичи не придется обрезать по высоте), при этом швы (раствор, скрепляющий кирпичи) должны иметь одинаковую ширину.

Эта задача решается умножением и делением. Ширина шва обычно составляет 1 см, но так как кирпичи нельзя ни сжать, ни расширить, размеры кладки можно изменить, только меняя ширину швов, – при необходимости можно прибавить или убавить 1 мм.

На практике кладка выполняется следующим образом. Нужно измерить высоту кирпича (h) и толщину шва (j) и сделать на деревянной рейке отметку на расстоянии d = h + j от одного из ее концов. Далее на рейке делаются отметки, соответствующие следующим значениям, вычисленным на калькуляторе: [d] + d, [d + d] + d, [d + d + d] + d, … Эта рейка с метками, нанесенными на одинаковом расстоянии, послужит шаблоном при кладке. Отметки нужны для того, чтобы не измерять значение d для каждого ряда кирпичей. Каменщики считают, что если результат вычислений имеет вид 5,8 см, то откладывать такое значение с помощью рулетки весьма неудобно. Намного удобнее отложить его один раз на деревянной рейке.

Наши рассуждения проиллюстрированы на следующем рисунке. Исходные данные таковы: Н (высота просвета), h (высота кирпича), х (высота шва) и n (число рядов кирпичей в кладке). Значение х обычно принимается равным примерно 1 см, но, как мы уже говорили, допустимы отклонения ±1 мм.

Расположение кирпичей в кладке.

Должно выполняться следующее соотношение:

С помощью электронных таблиц искомые значения (число кирпичей и толщина шва) определяются автоматически. В представленной ниже таблице Н = 3 м, h = 5 см. Выделены значения, ближайшие к тем, что используются в строительстве.

Новые функции, новые графики

Перед миром сегодня стоят вовсе не те проблемы, что несколько десятков или сотен лет назад. Одна из проблем современности – состояние окружающей среды. Ученые определили, что если мы не ограничим выбросы СO₂, то климат на нашей планете ухудшится. Решить эту проблему сложно, ведь выбросы СO₂ определяются не только работой промышленности, но и повсеместным использованием автомобилей, которые, как правило, оснащены двигателем внутреннего сгорания.

Производители транспортных средств работают над тем, чтобы автомобили наносили все меньший ущерб окружающей среде, и в этом достигнуты определенные успехи. В автомобильных каталогах часто приводятся специальные графики, объясняющие покупателям, насколько экологичен их будущий автомобиль. Эти графики выглядят следующим образом.

Сравнение объемов выбросов и мощности новых моделей автомобилей (обозначены белыми кругами) и моделей прошлых лет (обозначены серыми кругами).

Оптимальная модель имеет большую мощность и небольшой объем выбросов и отмечена в верхней левой части графика. Наихудшая модель, напротив, имеет малую мощность и большой объем выбросов СO₂; такой автомобиль будет отмечен в нижней правой части графика. В представленной ситуации новые модели лучше предыдущих, так как их мощность выше, а объем выбросов – меньше (облако белых кругов располагается выше и левее облака серых кругов). С другой стороны, каждая новая модель по отдельности лучше предыдущей (все белые круги располагаются левее или выше серых, обозначенных теми же буквами).