Текст книги "Мир математики. т 40. Математическая планета. Путешествие вокруг света"

Автор книги: Микель Альберти

сообщить о нарушении

Текущая страница: 1 (всего у книги 8 страниц)

Микель Альберти
«Мир математики»
№ 40
«Математическая планета.
Путешествие вокруг света»

Посвящается Пилар

Предисловие

Каждый народ и каждая культура характеризуются присущими только им верованиями, ритуалами, представлениями о мире, социальной организацией. К таким же «особым приметам» относятся язык, литература, гастрономия, система торговли, технологии, архитектура и – почему бы и нет? – математика.

Мы рассматриваем эту науку как продукт, создаваемый западной культурой в специальных учреждениях – университетах и исследовательских центрах. Но профессионалы и любители занимаются математикой не только в научных учреждениях и не только в рамках академической среды.

История известной нам математики является частью европейского культурного контекста. Но опирается эта наука на неакадемические пласты, существовавшие задолго до нашей современной культуры. Исследователи-антропологи не углублялись в математические дебри, ограничиваясь простой фиксацией системы счисления и счета. Западные колонизаторы, прибывая на новые земли, также не слишком интересовались математикой коренного населения – они лишь видели, как туземцы применяют свои знания на практике в рамках своей культуры.

Говоря сейчас о математике, мы имеем в виду конкретные инструменты, возникшие у разных народов независимо друг от друга для решения практических задач. Все народы производят подсчеты и измерения, определяют местоположение и занимаются проектированием. Этноматематика охватывает весь перечень математических инструментов, созданных разными народами для решения определенных задач.

Эти задачи характерны для всех культур, и логично думать, что именно в них берет начало математическая мысль, присущая самым разным народам. Конечно, этноматематика очень далека от знакомой нам академической науки. Можно сказать, что она более сырая, неограненная и опирается не на строгие академические принципы и формальные доказательства, а скорее на практический опыт. И именно поэтому этноматематика не лишена логики.

В общих чертах цель нашего исследования заключается в том, чтобы пролить свет на туземную математику разных народов, описать способы ее применения, включить ее в систему формальных математических знаний, а затем развить и применить в образовательных целях. Где лучше всего знакомиться с примерами этноматематики? И как поступать с найденными образцами?

Чтобы ответить на эти вопросы, потребуется совершить математическое путешествие вокруг света, – путешествие, направленное в глубь времен и в разные культуры. Вы узнаете, что разные народы создали собственные системы счета и методы вычислений. Туземные приспособления для счета вроде инкских кипу и китайского абака стали прообразами современных вычислительных машин.

В архитектуре и орнаментации главную роль играет пространственная организация – как двумерная, так и трехмерная, поскольку она определяет строение узоров и принципы их повторения. Более того, по характерным геометрическим узорам можно легко идентифицировать народ или культуру – например, с помощью симметрии, которая с доисторических времен до наших дней является универсальной парадигмой выражения культуры на всем земном шаре.

Важнейшее значение в культурном контексте имеет игра, подразумевающая принятие, изучение и использование ряда правил, которые определяют логику игры и служат основой для обоснования ее результатов и происходящих во время игры действий. Именно игры отражают представления о случайности, присущие конкретной культуре.

Некоторые народы очень тесно включают математику в свою социальную жизнь. Наблюдая за неким ритуалом, мы можем считать увиденное театральной постановкой, танцем или геометрической картиной, но для непосредственных участников церемонии все их действия слиты в единое целое. Впрочем, в нашей книге мы не будем обсуждать, верит ли туземец в то, что занимается математикой. Мы поговорим о том, как выглядят действия туземца с нашей точки зрения.

В конце вы найдете ответы на заданные выше вопросы, связанные с этноматематикой. Человечество – это ведь математический вид, и вся математика нашего мира – по сути, не более чем этноматематика.

Работа над книгой была бы невозможной без помощи тех, кто изучает разные культуры и народы. Поэтому мы хотели бы поблагодарить госпожу Ибу Кетут за помощь в изучении даров, которые преподносят своим божествам туземцы острова Бали (Индонезия). Мы выражаем особую благодарность Камини Дандапани из Ченнаи (штат Тамилнад, Индия) за фотографии, которые помогают объяснить математические идеи, связанные с изображением узоров колам. Тесное сотрудничество и совместная работа с Долос Гиша и Жоаном Серра из L’art ORL Vitrall (Сабадель, Испания) помогли нам понять математические законы, действующие в мире витражей. Мы благодарны всем, кого упомянули выше, за то, что они помогли нам пролить свет на математические идеи и математическую деятельность, которая обычно протекает незаметно.

Глава 1
Этнические корни математики

Математика – спутница культуры

Слово «математика» во многих языках пишется с большой буквы. Эту дисциплину изучают во всем мире практически одинаковыми методами и почти по одной и той же программе. Во всех школах, институтах и университетах планеты учат и учатся считать, изучают теорему Фалеса и теорему Пифагора, решают задачи при помощи уравнений и систем уравнений и описывают самые разные явления с использованием математических моделей. Это представление о Математике охватывает и ее применение в других дисциплинах, более или менее тесно связанных с наукой.

В Математике используются все более сложные инструменты и устройства. Если Платон, решая задачи на построение, довольствовался линейкой и циркулем, то современная наука немыслима без передовых технологий, начиная от калькулятора и заканчивая сложнейшими компьютерными программами.

Математике присуща универсальность, всеобщность, но эта всеобщность прежде всего носит институциональный и априорный характер. Она формулируется в академических учреждениях и координируется посредством образовательных проектов. Грубо говоря, Математика, которую учат и преподают на востоке и западе, к северу и к югу от экватора, практически одинакова.

Но всеобщность Математики всех народов и культур мира проявляется и еще одним способом: развитие математических идей и методов происходит повсеместно.

С этой точки зрения математика представляет собой межкультурный феномен, и здесь ее следует писать уже с маленькой буквы. Автором этой идеи стал Алан Бишоп в 1991 году. Из его книги «Приобщение к математической культуре. Обучение математике с точки зрения культуры» («Mathematical Enculturation. A Cultural Perspective on Mathematics Education») мы узнали о том, какую роль играет математика как часть культуры и важнейший элемент механизма ее передачи.

Стереотип культурного человека, практически не знающего математики или избегающего этой строгой науки, должен уйти в прошлое. Понятие культуры неявно подразумевает множество контекстов, среди которых непременно найдется место и для математики. Да и может ли существовать народ или культура без нее? Конечно же, нет.

Культура – это совокупность знаний, которые накапливаются людьми с течением времени, характеризуют их образ жизни и помогают выживать. Группы людей, изолированные друг от друга, могут сформировать разные культуры. Эти различия проявляются в социальных связях, в архитектуре жилища, пищевых пристрастиях, механизмах выживания, мифах, страхах и так далее. Со временем в каждой культуре формируются системы общественной и политической организации, язык, представления о мире, ритуалы и верования, технологии и другие проявления, включающие музыку, танцы, орнаменты.

Все эти процессы происходили всегда и практически повсеместно, но Запад узнал о них лишь несколько веков назад. До XV века европейцам ничего не было известно об Американском континенте, и они едва ли представляли, что происходит за пределами региона, который сегодня называется Европой. О том, что находится за Индией, европейцы узнали только из рассказов Марко Поло, совершившего путешествие в Сипангу (ныне Китай). Они не знали ни об Океании, ни о Тихом океане. Остров-континент Австралия на самых первых картах назывался Terra Incognita – «неизвестная земля».

И тем не менее уже несколько тысяч лет назад все эти земли, неизвестные европейцам, были заселены людьми с собственными системами знаний. Эти люди общались на самых разных языках, некоторым даже была известна письменность. Они жили в домах, построенных при помощи орудий труда, позволявших обрабатывать природные материалы – дерево, бамбук, глину, листья и так далее. Часто эти люди проводили свободное время за игрой в камешки, которые определенным образом укладывались в углубления, проделанные в деревянных досках. Часто они путешествовали и торговали с соседями на суше и в открытом море.

Эти народы знали, как нужно жить. Никто не усомнится в том, что они умели охотиться, строить дома, готовить пищу, путешествовать по морю, творить, говорить и играть. А также им были известны счет, вычисления и измерения. Но если каждый народ способен создать собственные, присущие только ему проявления культуры, например систему верований, представления о мире, архитектуру, систему торгового обмена или искусство, разве не может таким же продуктом культуры оказаться и математика?

Математика, которую может создать народ или группа людей, называется этноматематикой. Этот термин придумал бразильский математик и преподаватель Убиратан д’Амброзио в конце 1980-х. В истории человечества существовало и существует множество народов и культур, и присущие им математические идеи превращают наш мир в мир этноматематики.

* * *

РОДИТЕЛИ ЭТНОМАТЕМАТИКИ

Связь между математикой и культурой была отмечена уже в первых антропологических исследованиях, среди которых выделяются труды Гэя и Коула о народе кпелле в Либерии. Однако само понятие «этноматематика» и совокупность знаний, которые сегодня объединены этим термином, определили профессора Алан Бишоп (Соединенное Королевство) и Убиратан д'Амброзио (Бразилия). Немалую роль также сыграли работы Паулуса Жердеса (Мозамбик), Марсии Ашер (США) и Клаудии Заславски (США).

Убиратан д’Амброзио родился в Сан-Паулу и получил степень доктора математики в местном университете. Затем он продолжил исследования на кафедре математики Брауновского университета города Провиденс, штат Род-Айленд (США).

Алан Бишоп – почетный профессор факультета преподавания австралийского Университета Монаша, однако свою научную карьеру он начал в Кембридже (Соединенное Королевство). Этот ученый – советник ЮНЕСКО в области преподавания математики, техники и науки.

Убиратан д'Амброзио.

* * *

Математика с большой буквы в том виде, в каком она известна в нашей культуре, уходит корнями глубоко в прошлое, на тысячи лет назад. Как и вся культура в целом, эта наука сформировалась на основе множества идей, созданных разными народами. Она включает заимствования у шумеров, древних египтян и греков, арабов, индийцев и китайцев, так что, по сути, вся наша Математика уходит корнями в этноматематику. Она представляет собой результат культурного обмена, происходившего в древние времена. Математика не появилась в каком-то конкретном месте в определенное время, а распространена по всей планете.

Достаточно выйти из дома, чтобы увидеть, как люди повсюду занимаются математикой, причем далеко не всегда используя для этого академические понятия и методы. Особенности артефакта, изображенного на фотографии, бросаются в глаза даже при беглом осмотре. И некоторые из них имеют математический характер.

Урна в городе Морелья испанской провинции Кастельон.

На фотографии изображена каменная стена, а рядом с ней расположен металлический предмет, в котором мы узнаем урну для мусора. Урна имеет цилиндрическую форму со скругленной нижней частью. Для красоты в ней проделаны два ряда отверстий: отверстия в верхней части урны имеют форму кругов, отверстия в нижней части – форму шестиугольников. Они находятся на одинаковом расстоянии друг от друга, и на каждый круг приходится по два шестиугольника. Также на урну нанесены пометки мелом. Мы видим семь групп из четырех перечеркнутых параллельных линий.

Теперь, хорошо рассмотрев этот предмет, сформулируем некоторые гипотезы.

Во-первых, культура, способная создать подобный предмет, знакома с технологиями обработки металлов. Эти технологии позволяют формовать металлы и проделывать в них отверстия заданного вида, расположенные определенным образом.

Изображенный на фотографии предмет, по всей видимости, изготовлен не вручную, а механическим способом, так что возможны его точные копии. Надписи, напротив, сделаны от руки. Автор надписей, должно быть, досчитал до пяти как минимум семь раз, то есть подсчитал 35 единиц. Что именно он хотел сосчитать, мы никогда не узнаем. Также есть вероятность, что он не производил подсчеты, а чертил линии бессознательно – как мы порой неосознанно стучим ногой по полу в такт музыке, отсчитывая ритм.

Все эти предположения неизбежно основаны на сходстве культур. Мы узнаем в предмете на фотографии урну. Но кто это – «мы»? Жители города Морелья в провинции Кастельон, где сделана фотография? Испанцы? Европейцы? Узнает ли в этом предмете урну туарег из Мали, саам из Лапландии или собиратель риса с филиппинского острова Лусон? Скорее всего, нет. Они наверняка определили бы, что предмет изготовлен из металла, имеет форму цилиндра и в нем проделаны отверстия в форме кругов и шестиугольников. Они также смогли бы сосчитать, сколько отверстий каждого типа проделано в этом предмете, но, вполне возможно, использовали бы при этом совсем другие термины и числа, чем мы. Особенно если они обучались счету у старших членов семьи, а не у школьных учителей.

* * *

КОНЦЕНТРИЧЕСКИЕ ОКРУЖНОСТИ ВОЗРАСТОМ 6 ТЫСЯЧ ЛЕГ

Лос-Мильярес – это название археологического городища медного века, которое располагалось возле современной Альмерии (Испания) и дало название одноименной культуре, распространенной по всей южной части Пиренейского полуострова. На керамических изделиях, найденных в Лос-Мильярес, можно видеть геометрический орнамент. Так, на глиняной чашке, представленной на фотографии, изображены концентрические окружности, напоминающие глаза, и несколько параллельных равноудаленных лучей. Глаза, по всей видимости, были символом этой культуры, так как их можно увидеть на большинстве артефактов, найденных в городище.

Глиняная чашка из городища Лос-Мильярес в Альмерии.

* * *

Совсем другое дело – попытаться определить значение символов на следующей фотографии. Она была сделана у входа в подземное жилище в городе Галера в Гранаде. Представители нашей культуры узнают в этих символах цифры. Хотя рядом с ними не указано никакого знака действия, числа расположены так же, как при умножении столбиком – этот метод все мы изучали в школе. Речь и в самом деле идет об умножении, в чем можно убедиться, умножив 150 на 12,– результат, как и на фотографии, будет равен 1800.

Вход в подземное жилище в Гэлере (Гэанада).

А что вы скажете о следующей фотографии, на которой изображен фасад гостиницы Catalonia Plaza на площади Испании в Барселоне?

Рассмотрев ее, можно предположить, что каменные облицовочные плиты на фасаде были созданы на основе известного тождества, так как квадраты окон состав лены из двух квадратов разного размера и двух равных прямоугольников. Если а – сторона меньшего квадрата, b – сторона большего квадрата, то прямоугольники будут иметь размеры а х Ь, а все окно будет представлять собой квадрат со стороной а + Ь. Следовательно,

(а + b)² = а² + 2аЬ + Ь².

Однако математические идеи той или иной культуры можно заметить не только в дизайне или архитектуре, но и во множестве других проявлений. Основные из них приведены в таблице.

Проявления культуры

1. Общение: Язык, письменность, символы

2. Верования: Философия, космология, религия, ритуалы, толкование снов

3. Окружение: Определение местоположения, флора, фауна, геология

4. Труд: Сельское хозяйство, животноводство, охота, рыболовство

5. Технологии: Орудия труда, ремесла, оружие, системы мер

6. Архитектура: Жилища, места отправления культа, могилы, поселения

7. Питание: Еда, питье, гастрономия

8. Одежда: Наряды, аксессуары

9. Обмен: Торговля, экономика, рынок, наследство

10. Искусство: Музыка, танец, литература, живопись, скульптура

11. Досуг: Игры, ставки, спорт

12. Отношения: Общественные отношения, родственные связи

Любая культура проявляется посредством определенных практик, которые мы будем называть культурными практиками. Во многих из них неявно присутствуют математические идеи, часто скрытые, или «замороженные», как говорит мозамбикский профессор Паулус Жердес. Раскрыв и «разморозив» эти идеи, мы сможем познакомиться с математикой разных народов и культур. Помимо этой тайной математики, в культурных практиках могут присутствовать и более очевидные математические идеи, которые можно выявить, если понять, как мыслят носители исследуемой культуры, частью которой является «тайная» и «явная» математика.

Чтобы обнаружить этноматематику культуры, можно следовать разными путями. Так как математике присущи объективность, строгость и точность в действиях с числами и фигурами, то, изучив культурные практики и проявления, для которых характерны эти черты, мы обнаружим сокрытые в этой культуре математические идеи.

Масштабные архитектурные сооружения древнего мира и их основные элементы (круг, квадрат, трапеция).

Ярче всего эти идеи проявляются в архитектуре, ремеслах, технологиях, торговле и играх. Заострив внимание на практиках, необходимых для проявления культурных феноменов, Алан Бишоп выделил шесть универсальных математических действий, общих для всех народов: счет, измерение, определение местоположения, проектирование, игра и объяснение. Там, где производятся подсчет, измерение, определение местоположения, проектирование или объяснение, там, где идет игра, возможно, претворяются в жизнь математические идеи, присущие конкретной группе, народу или целой культуре. Познать эти идеи – значит познать этноматематику.

Когда речь заходит об этноматематике, возникает вопрос: заслуживает ли эта дисциплина внимания или же она представляет собой всего лишь набор занимательных рассказов о путешествиях в экзотические уголки Земли? Чтобы ответить на этот вопрос, отметим несколько важных моментов. Некоторые народные математические практики не только упрощают решение традиционных задач, но и позволяют четче понять математические идеи, присущие исключительно научному миру.

Также следует учитывать, что этноматематика не пользовалась такой же благосклонностью исследователей, как академическая Математика с большой буквы. Как заметил профессор Жердес и его коллеги, западная колонизация в немалой степени затруднила развитие этноматематики и даже стала причиной ее замалчивания.

Наше понимание математики необязательно должно совпадать с пониманием индейца навахо, хиваро или маори. Возможно, что в этих культурах математика не имеет четких границ, и даже если подобные границы существуют, они необязательно будут в точности соответствовать границам нашей математики. Это же справедливо и для других проявлений культуры. Так, танцы в честь божества туземные народы считают молитвой или знаком признательности, а не обычным проявлением художественного творчества.

Когда мы говорим об этноматематике, то понимаем под математикой все то, что относится к ней в нашей культуре, все, что на самом базовом уровне характеризуется объективностью, строгостью, точностью, количественным и геометрическим выражением.

Камни, кости и глина

Математические идеи были присущи даже доисторическим народам. Конечно, мы не можем точно знать, о чем думали кроманьонцы, неандертальцы или их предки, но свидетельства их существования, дошедшие до наших дней, позволяют нам хотя бы предполагать, какие математические идеи они использовали.

В 2003 году в пещере Бломбос в ЮАР был обнаружен брусок охры возрастом примерно 72 тысячи лет с геометрическими узорами.

Петроглиф из пещеры Бломбос (ЮАР).

Узор имеет примерно 60 мм в длину, его ширина не превышает 2 мм. Он состоит из двух рядов треугольников, образованных параллельными прямыми. Воспроизведем этот узор, чтобы лучше понять его геометрическую подоплеку.

Возможно, неровная поверхность камня или недостаточно совершенная технология помешали автору точнее изобразить узор, который мы сегодня назвали бы треугольной сеткой.

По расположению линий можно сказать, что треугольники были нарисованы не по отдельности, а пересечением трех рядов параллельных отрезков. Первый ряд образуют три горизонтальных параллельных отрезка, второй – восемь параллельных отрезков, наклоненных влево, третий – девять параллельных отрезков, наклоненных вправо.

Мы никогда не узнаем, имел ли автор узора представление о том, что такое «прямая», «отрезок», «угол», «параллельность» или «симметрия». Мы также никогда не узнаем, был ли этот узор эмблемой или символом чего-то или кого-то, имел ли он какое-то практическое значение или попросту его автор таким образом утолял тягу к прекрасному. Однако действия древнего «живописца» говорят, что он (или она) сознательно или бессознательно руководствовался перечисленными математическими понятиями. Ему помешали ограничения, накладываемые реальностью, и отсутствие подходящих технологий, но, как бы то ни было, этот узор – свидетельство существования математической мысли еще в доисторические времена.

К намного более позднему периоду относится кость бабуина с зарубками, найденная в 1960 году на стоянке Ишанго в тогдашнем Бельгийском Конго (ныне Демократическая Республика Конго). Ее возраст оценивается примерно в 20 тысяч лет. Изначально считалось, что кость использовалась для счета, так как на ней в несколько рядов сделаны зарубки, расположенные на одинаковом расстоянии друг от друга.

Кость Ишанго в двух ракурсах (Брюссельский музей естественных наук).

На кость в три ряда нанесены зарубки, сгруппированные следующим образом.

Столбец А: 11 + 13 + 17 + 19 = 60.

Столбец В: 3 + 6 + 4 + 8 + 10 + 5 + 5 + 7 = 48.

Столбец С: 11 + 21 + 19 + 9 = 60.

В столбце А записаны простые числа от 10 до 20. Сумма чисел в ряду равна 60 – это число имело очень большое значение, так как выступало основанием системы счисления в культурах Месопотамии, на землях между реками Тигр и Евфрат, 15 тысяч лет спустя. 60 – очень удобное число, так как оно имеет 12 делителей, среди них – шесть первых натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60. В столбце В записаны числа и кратные им (3 и 6, 4 и 8, 5 и 10). К этим числам приписано 7, чтобы общая сумма была равной еще одному числу, кратному 12, а именно 48. В столбце С записана последовательность нечетных (но не простых) чисел, которые в сумме также дают 60.

Случайно ли суммы чисел в трех столбцах равны 60, 48 и 60? Значит ли это, что тем, кто сделал зарубки, уже были известны понятия кратности и делимости, которые проявляются в парах чисел 3 и 6, 4 и 8, 5 и 10? Означает ли это, что авторы резьбы имели представление о неделимых, или простых, числах, в частности 3, 5, 7, 11, 13 и 19? Ответить на эти вопросы непросто, особенно если учесть, что зарубки имеют разную длину, а некоторые из них прерываются. Что означает прерывистая линия – одну единицу или две? А может, у того, кто сделал зарубки, просто дрогнула рука?

Наиболее вероятный математический феномен, который можно отметить при изучении зарубок на кости Ишанго, заключается в установлении соответствия «один к одному» между зарубками и какими-то другими объектами. Такое соответствие составляет основу счета.

Именно в этом заключается важнейшее отличие этих зарубок от петроглифа из южноафриканской пещеры Бломбос. Зарубки на кости Ишанго, по всей видимости, подчиняются не геометрической, а числовой закономерности. Петроглиф из пещеры Бломбос, напротив, описывается не числами, а законами геометрии.

Намного позже, чем южноафриканский петроглиф и конголезская кость с зарубками, на Европейском континенте было создано сооружение, в котором сочетаются числа и геометрия. Речь идет о мегалите Стоунхендж в долине Солсбери в Соединенном Королевстве. Стоунхендж имеет круговую структуру и состоит из четырех концентрических окружностей, образованных менгирами высотой в несколько метров, а сочетание дольменов и менгиров образует более сложную общую структуру.

Концентрические окружности Стоунхенджа (Соединенное Королевство).

Внешняя окружность мегалита диаметром 30 метров образована огромными камнями в форме прямых призм, которые сверху изначально были покрыты перекладинами. Внутри этой окружности расположена еще одна, состоящая из блоков меньшего размера, которые, в свою очередь, заключают в себе фигуру в форме подковы. Внутри этой подковы находится плита – алтарный камень. Стоунхендж, окруженный круглым рвом диаметром чуть больше 100 метров, был возведен примерно в 2500 году до н. э., хотя древнейшая часть сооружения датирована 3100 годом до н. э.

Цель строительства Стоунхенджа неизвестна. Среди приписываемых ему функций выделим три наиболее вероятных: место отправления культа, захоронение и астрономическая обсерватория. Следует отметить, что в те времена, когда был построен Стоунхендж, в дни летнего солнцестояния лучи солнца прочерчивали главную ось сооружения. На закате того же дня лучи солнца указывали ось так называемого Вудхенджа – памятника, расположенного неподалеку от Стоунхенджа, где были найдены многочисленные кости животных и другие предметы, которые, возможно, использовались во время религиозных или культовых церемоний.

Стоунхендж отличается от приведенных выше примеров тем, что имеет круглую форму. И все же существуют некоторые черты, которые роднят его с описанными выше культурными объектами: структура Стоунхенджа основана на ряде повторений, подчиняющихся общему закону, что придает сооружению особый характер. В петроглифе из пещеры Бломбос повторяются треугольники, на кости Ишанго – равноудаленные зарубки, в Стоунхендже – круги. Повторяющиеся круги Стоунхенджа образуют единую мощную структуру, так как имеют общий центр.

Можно пойти еще дальше и найти соотношение между диаметрами двух концентрических окружностей Стоунхенджа, которые равны примерно 30 и 24 м:

30 м/24 м = 5/4 = 1,25

Однако диаметры этих окружностей вполне можно принять равными 30,4 м и 24,1 м. В этом случае их соотношение будет таким:

Учитывая, что 1,26 – очень точное приближение кубического корня из 2, можно ли сделать вывод, что строителям Стоунхенджа были известны пропорции, а отношение диаметров окружностей действительно равно кубическому корню из 2?

Увы, никаких подтверждений этой гипотезы не существует.

Следует выделить три особенности Стоунхенджа: во-первых, он имеет уникальную геометрическую структуру, которая представляет собой ряд концентрических окружностей, во-вторых, в нем проявляется связь с астрономией, и, в-третьих, он служит примером того, как в сооружениях древней культуры проявляется геометрическая точность.

Еще до появления Стоунхенджа вавилоняне, жившие на землях между реками Тигр и Евфрат в Малой Азии почти за 2 тысячи лет до нашей эры, записывали свои мысли на глиняных табличках. Хотя использованные для этого петроглифы и имеют геометрический характер, их уже можно назвать знаками письменности. Многое из того, что нам известно о народах, населявших Месопотамию, – это не просто гипотезы, а результаты расшифровки древних записей.

В том же регионе примерно за 3 тысячи лет до нашей эры шумеры начали записывать слова с помощью идеограмм. Со временем эти идеограммы усложнялись, и спустя примерно тысячу лет из них образовалась система письма, которую мы сегодня называем клинописью. Клинопись начали использовать другие народы, и на ее основе был создан древний персидский алфавит.

Известно около двух тысяч символов клинописи, однако позднее использовалось не более 600. Далее представлены символы, которыми обозначались первые 39 чисел. По их форме четко видно, что вавилоняне использовали десятичную систему счисления.

Символы вавилонской системы счисления.

Однако вавилонская система счисления не сводилась к простой десятичной. На маленькой табличке YBC 729 изображен квадрат и две его диагонали. Рассмотрев рисунок, мы поймем, что вавилоняне использовали числа не только для счета.

Вавилонская глиняная табличка YBC 729.

Числа, приведенные на иллюстрации, могут обозначать длину отрезка, рядом с которым они записаны. Однако числа 42, 25 и 35, кажется, записаны далеко от стороны и диагонали квадрата. Каким соотношением связаны 30, 1, 24, 51, 10, 42, 25 и 35? Откуда взялись эти величины?

Предположим, что 30 единиц – это длина стороны с квадрата. Вычислим длину его диагонали D:

D = 30·√2 = 42,4264068…

Мы получили одно из чисел на табличке – 42. Однако вавилоняне использовали шестидесятеричную систему счисления. Переведем полученный результат в нее (необходимые действия можно выполнить на калькуляторе).

30·√2 —> 42°25′ 35,06".

Мы получили 42, 25 и 35. Можно смело предполагать, что тот, кто заказал или изготовил табличку, вычислил длину диагонали квадрата со стороной в 30 единиц и записал результат, найденный с удивительной точностью, в шести десятеричной системе счисления: 42°25′35″.

Осталось понять, откуда взялись числа 1, 24, 51 и 10. Что, если это частное, отношение между диагональю и стороной квадрата? Вычислим это отношение в шестидесятеричной системе счисления:

(D/c) = √2 – > 1°24′ 51,17".

Следовательно, число в шестидесятеричной системе, записанное над диагональю, – это приближенное значение квадратного корня из двух, вычисленное с удивительной точностью. Этот результат подтверждает предположение о том, что вавилоняне обладали знаниями геометрии и умели вычислять длину диагонали квадрата.

Как именно были получены указанные результаты, из таблички неясно. Из другой таблички под названием Плимптон 322 видно, что вавилонянам были знакомы пифагоровы тройки, и они умели вычислять пропорции между ними, то есть стороны прямоугольных треугольников и тригонометрические функции. Однако это вовсе не означает, что им была известна теорема Пифагора, не говоря уже о ее доказательстве. Как же тогда были получены приведенные выше результаты? Быть может, древние применяли итеративный метод, в котором последовательность приближений сходится к столь точному значению квадратного корня из 2?