Текст книги "А ну-ка, догадайся!"
Автор книги: Мартин Гарднер
Жанр:
Развлечения
сообщить о нарушении
Текущая страница: 6 (всего у книги 11 страниц)
4. ВЕРОЯТНОСТЬ
Парадоксы о случайном и ставках
Теория вероятностей играет настолько важную роль в современной науке, что ей непременно будет отводиться все большее место в элементарных курсах математики. Многие (начиная еще с Цицерона) видят в теории вероятностей путеводную нить, которая позволяет постичь хаос повседневной жизни. С утра и до вечера мы живем, подсознательно заключая пари о вероятности исхода того или иного события, крупного или незначительного.
Если квантовую механику считать последним словом в физике, то в основе всех фундаментальных законов природы лежит случай.
В теории вероятностей чаще, чем в большинстве других областей математики, встречаются результаты, противоречащие интуиции, а против решений иных задач восстает здравый смысл.
Представьте себе, например, что вы вызвали лифт. Казалось бы, кабина с равной вероятностью может прийти и снизу, и сверху.
Как ни парадоксально, те, кто так считает, заблуждаются. Вы пришли в незнакомую вам семью, где растут четверо детей. Казалось бы, с наибольшей вероятностью можно ожидать, что у счастливых родителей два мальчика и две девочки. Но те, кто так думает, также заблуждаются.
Приводимые ниже простейшие понятия теории вероятностей помогут вам постичь, почему при одновременном бросании 3 игральных костей шансы на выигрыш ниже шансов на проигрыш и почему различные удивительные совпадения в действительности не так уж удивительны (о последних речь пойдет в следующей главе).
Парадоксы для этой главы я отбирал, следя за тем, чтобы их можно было легко понять и промоделировать с помощью таких доступных «подручных средств», как монеты или игральные карты. Каждый из собранных в главе парадоксов решается путем перебора всех возможных исходов даже в тех случаях, когда задача допускает более простое и изящное решение. Избранный мной более громоздкий подход позволяет глубже и основательнее разобраться в существе задачи.
Хотя в конечном счете все сводится к вероятности только одного типа, обычно принято различать вероятности трех основных типов.
1. Классическая, или априорная, вероятность.Все исходы испытания, или опыта, предполагаются равновероятными. Если испытание имеет nравновероятных исходов и нас интересует вероятность наступления kиз них, образующих некоторое подмножество, то эта вероятность равна дроби k/n. Например, если вы бросаете игральную кость, изготовленную «честно», из однородного материала, то любая из шести граней выпадает равновероятно. С какой вероятностью выпадает четное число очков? Из 6 равновероятных исходов бросания игральной кости (выпадение 1, 2, 3, 4, 5 и 6 очков) четное число выпадает в 3 случаях (когда выпадает 2, 4 и 6 очков). Следовательно, вероятность выпадения при одном бросании четного числа очков равна 3/6 = 1/2
Иначе говоря, при одном бросании шансов за то, что выпадет четное число очков, ровно столько же, сколько за то, что выпадет нечетное число очков. Это честная игра (шансы на выигрыш и проигрыш равны).
2. Частота, или статистическая вероятность.Ее вводят, когда события априори неравновероятны. Лучшее, что можно сделать в таких случаях, – это многократно повторить или пронаблюдать интересующее нас событие и установить частоту различных исходов испытания. Например, если игральная кость каким-то образом утяжелена, но внешне не отличается от однородной, то вы бросаете ее несколько сот раз и по исходам бросаний заключаете, что вероятность выпадения, скажем, 6 очков составляет 7/10 вместо 1/6 для «честной» игральной кости.
3. Индуктивная вероятность.Под индуктивной вероятностью понимают меру правдоподобия, приписываемую ученым какой-нибудь закономерности или теории. Недостаточное знание явлений природы исключает введение классической вероятности, а эксперименты или наблюдения слишком редки и неопределенны для того, чтобы мы могли воспользоваться точными частотными оценками. Приведем пример индуктивной вероятности. Некий ученый, проанализировав все известные данные, пришел к заключению, что черные дыры скорее всего не существуют. Такого рода вероятностные оценки, неточные в силу самой своей природы, непрерывно изменяются по мере появления новых данных, подтверждающих или опровергающих исходную гипотезу.
Два последних парадокса в этой и в следующей главах затрагивают понятие индуктивной вероятности. Если вас заинтересуют парадоксы такого рода, то, прочитав о них побольше, вы погрузитесь в глубокие воды современной теории вероятностей и философии науки.
Ошибка игрока
У Джонсов пятеро детей – все девочки.
М-с Джонс.Надеюсь, наш следующий ребенок не будет девочкой.
М-р Джонс.Дорогая, после того как у нас родилось пять девочек, наш следующий ребенок непременно будет мальчиком. Верно ли это?
Многие игроки думают, будто в рулетку можно выиграть, если, дождавшись длинной серии выпадений на красное, поставить на черное. Эффективна ли такая система?
Эдгар Аллан По считал, что если два очка выпадают два раза подряд, то при следующем бросании кости вероятность того, что выпадет два очка, меньше 1/6. Верно ли это?
Ответив утвердительно на любой из трех приведенных выше вопросов, вы попадете в ловушку, известную под названием «ошибка игрока». В каждом из трех случаев следующее событие полностью независимо от всех предыдущих событий.
Вероятность того, что у Джонсов шестой ребенок будет девочкой, такая же, как вероятность того, что первый ребенок у них девочка. Вероятность того, что при игре в рулетку следующее число будет красным, такая же, как вероятность того, что красным было любое из предыдущих чисел. Вероятность выпадения двух очков при очередном бросании игральной кости всегда равна 1/6.
Действительно, представьте себе, что мистер Джонс бросает вполне доброкачественную симметричную монету и она пять раз подряд падает вверх гербом. Шансов за то, что при очередном бросании она выпадет вверх гербом, столько же, сколько и прежде: пятьдесят на пятьдесят. Монета «не помнит», какой стороной она падала вверх в предыдущих бросаниях.
Если наступление события Акаким-то образом влияет на наступление события В, то говорят, что событие Взависит от события А. Например, вероятность того, что, выходя завтра из дому, вы захватите с собой зонт, зависит от того, велика ли вероятность дождя назавтра (точнее, от того, как вы оцениваете эту вероятность). События, о которых обычно говорят, что они «не имеют ни малейшего отношения друг к другу», называются независимыми. Вероятность того, что, выходя завтра из дому, вы захватите с собой зонт, никак не зависит от вероятности того, что президенту США на завтрак подадут яйца всмятку.
Большинство людей с трудом верят, что «родственные узы», незримо связывающие, по их мнению, однотипные события, никак не сказываются на вероятности отдельного независимого события. Например, во время первой мировой войны солдаты на фронте во время артиллерийского обстрела предпочитали искать укрытие в свежих воронках от снарядов. Прятаться в старых воронках они считали рискованным, так как в них при очередном обстреле скорее может угодить новый снаряд. В свежей воронке солдаты какое-то время чувствовали себя в безопасности, так как считали совершенно невероятным, чтобы два снаряда попали подряд в одно и то же место.
Много лет назад рассказывали анекдот об одном человеке, которому приходилось много летать на самолетах. Панически боясь, как бы кто-нибудь из пассажиров не пронес тайком на борт самолета бомбу, этот человек имел обыкновение возить с собой в портфеле свою «собственную» бомбу, правда незаряженную. Вероятность того, что кто-то из пассажиров пронесет на борт одну бомбу, этот человек считал малой, а вероятность того, что на борту самолета одновременно находятся две бомбы, – ничтожно малой по сравнению с первой. Разумеется, вольно ему было возить с собой «собственную» бомбу: вероятность того, что кто-то другой пронесет бомбу на борт самолета, от этого ничуть не менялась, подобно тому как не меняется исход бросания одной монеты от того, что бросают другую монету.
При игре в рулетку наибольшей популярностью пользуется «система», известная под названием «система Д'Аламбера». В основе ее лежит все та же «ошибка игрока»: те, кто придерживается ее, совершенно упускают из виду, что независимые события независимы. Следуя системе Д'Аламбера, игрок делает ставку на красное или черное (или заключает пари с равными шансами на выигрыш и проигрыш), увеличивая ставку после каждого проигрыша и уменьшая после каждого выигрыша. Сторонники системы Д'Аламбера явно полагают, будто маленький шарик, брошенный на вращающееся колесо рулетки, каким-то образом «помнит», что помог им выиграть, и при следующем бросании менее охотно соглашается помочь им, уменьшая шансы на выигрыш. Если шарик приводит их к проигрышу, то из «сочувствия» при следующем бросании он охотнее идет на помощь проигравшему, повышая шансы на выигрыш.
То, что колесо рулетки каждый раз крутится независимо от всей предыстории, служит весьма простым доказательством невозможности разработать такую систему игры в рулетку, которая обеспечивала бы игроку преимущество перед игорным домом.
Слово «шансы» имеет два значения. Шансы на то, что брошенная не фальшивая монета упадет вверх «орлом» (или «решкой»), равные, или 1 к 1 (50 на 50 и т. д.). Стремясь извлечь прибыль, букмекер может принимать ставки на «орла» из расчета 4 к 5 (если вы поставите на «орла» 5 долларов и «орел» выпадает, то букмекер выплатит вам 4 доллара).
««Орел» идет 4 к 5», – заявляет букмекер, занижая истинные шансы на выигрыш. В своем «Полном руководстве по азартным играм» Джон Скарн характеризует подобную ситуацию следующим образом:
Если вы делаете ставку, которая ниже истинных шансов, а в любой организованной азартной игре дело обстоит именно так, то вы, по существу, уплачиваете оператору (банкомету, крупье и т. д.) определенный процент за право сделать ставку. Ваши шансы на выигрыш обладают, как сказали б и математики, «отрицательным математическим ожиданием».
Придерживаясь любой системы, вы делаете серию ставок, каждая из которых обладает отрицательным математическим ожиданием. Но сколько бы минусов вы ни суммировали, вам никогда не удастся получить плюс…
В постскриптуме к детективному рассказу «Тайна Мари Роже» Эдгар Аллан По сетует на почти полную невозможность убедить обычного читателя в том, что «при игре в кости двукратное выпадение шестерки делает почти невероятным выпадение ее в третий раз и дает все основания поставить против этого любую сумму». Игральная кость, так же как и монета, колесо рулетки и другие «рандомизирующие» устройства, порождает серию независимых событий: на исход очередного бросания никак не влияет вся предыдущая серия бросаний.
Если вы склонны поверить в какую-нибудь из разновидностей ошибки игрока, испытайте ее «в деле»: сыграйте по системе, основанной на приглянувшемся вам варианте ошибки. Например, начните бросать монету, делая ставку 1 к 1 после того, как она выпадает 3 раза подряд вверх одной и той же стороной. Ставьте всегда на противоположную сторону. Иначе говоря, после серии из трех «орлов» ставьте на «решку», а после серии из трех «решек» ставьте на «орла». Сделав 50 ставок, вы обнаружите, что примерно в половине случаев проиграли (мы не утверждаем, что число проигрышей будет в точности равно 25, но оно заведомо будет близко к 25): вероятности выпадения «орла» и «решки», конечно же, равны.
Было у кошки четверо котят
При подсчете вероятностей легко допустить ошибку. Перед вами супружеская чета – кот и кошка.
М-р Кэт.Дорогая, сколько котят родилось у нас на этот раз?
М-с Кэт.Не видишь, что ли? Четверо.
М-р Кэт.А сколько из них мальчики?
М-с К э т.Трудно сказать. Пока я этого и сама не знаю.
М-р Кэт.Мало вероятно, чтобы все четверо – были мальчиками.
М-с Кэт.Мало вероятно, чтобы все четверо были девочками.
М-р Кэт.Возможно, среди них только один мальчик.
М-с Кэт.Возможно, среди них только одна девочка.
М-р Кэт.К чему гадать? Обратимся лучше к теории вероятностей. Каждый котенок с вероятностью 1/2 либо мальчик, либо девочка. Следовательно, если у нас четверо котят, то наиболее вероятно, что среди них два мальчика и две девочки. Ты еще никак их не назвала, дорогая?
Правильно ли рассуждал м-р Кэт? Проверим его теорию. Пусть Мозначает «мальчик», а Д– «девочка». Выпишем все 16 возможных комбинаций.
Только в 2 из 16 случаев все четверо котят одного пола. Вероятность рождения 4 мальчиков или 4 девочек составляет поэтому 2/16 или 1/8. М-р Кэт был прав, считая такое событие маловероятным.
А какова вероятность рождения двух мальчиков и двух девочек?
М-р Кэт считал такую комбинацию наиболее вероятной. Два мальчика и две девочки рождаются в 6 случаях из 16. Вероятность такой комбинации равна 6/16 или 3/8, что больше, чем 1/8. Возможно, м-р Кэт прав.
Для того чтобы окончательно выяснить, прав ли м-р Кэт, нам осталось вычислить вероятность рождения трех мальчиков и одной девочки или трех девочек и одного мальчика. Они рождаются в 8 случаях из 16, поэтому комбинация 3: 1 встречается с вероятностью 8/16, или 1/2, то есть более вероятна, чем комбинация 2:2. Не ошиблись ли мы?
Если мы правильно вычислили все вероятности, то они в сумме должны составлять 1. Их сумма действительно равна 1. Следовательно, мы учли все возможные пропорции полов в группе из 4 котят.
М-р Кэт ошибался. С наибольшей вероятностью можно утверждать, что у него родились либо 3 сына и 1 дочь, либо 3 дочери и 1 сын.
Большинству людей кажется удивительным, что в семье с четырьмя детьми более вероятно встретить трех мальчиков и одну девочку или трех девочек и одного мальчика, чем двух мальчиков и двух девочек.
Тем не менее это действительно так, в чем нетрудно убедиться, рассматривая достаточно длинную серию бросаний 4 монет. Если вы запишете исход каждого бросания, то через 100 бросаний убедитесь, что примерно в 50 случаях 3 монеты выпадали одной стороной, а 1—другой и только в 33 случаях 2 монеты выпадали одной стороной и 2 монеты – другой стороной.
Возможно, вы захотите узнать вероятности различных пропорций между числом мальчиков и девочек в семьях с 5 и 6 детьми. Эти вероятности также можно вычислить, составляя подробные перечни всех возможных комбинаций, но такой подход слишком громоздкий. Более изящные и короткие способы вычисления интересующих вас вероятностей вы найдете в различных книгах по теории вероятностей.
Столь же расходится с интуицией и ответ аналогичной задачи о наиболее вероятном распределении 4 мастей во взятке при игре в бридж. С наименьшей вероятностью все 13 карт во взятке могут оказаться одной масти. (Шансы против того, что вам при раздаче достанутся 13 карт одной масти, составляют 158 753 389 899 к 1.) Но какое распределение мастей наиболее вероятно?
Даже искушенные игроки в бридж нередко отвечают, будто наиболее вероятно распределение 4, 3, 3, 3, но это не верно: наиболее вероятно распределение 4, 4, 3, 2. Взятка с таким распределением мастей встречается примерно с частотой 1:5, в то время как распределение 4, 3, 3, 3 встречается с частотой 1 к 9 или 10. Даже распределение 5, 3, 3, 2 встречается чаще – с частотой примерно 1:6.
Время от времени приходится слышать или даже читать о том, будто кому-то из любителей бриджа при раздаче досталось 13 карт одной масти. Шансы против такого события астрономически велики. Такого рода истории – либо розыгрыш, либо кто-то из игравших, желая подшутить над партнером, тайком подтасовал карты, либо раздающий, распечатав новую колоду карт, случайно дважды идеально перетасовал ее внахлест. При идеальном тасовании внахлест колоду делят точно пополам и, держа одну половину в правой, а другую в левой руке, сбрасывают поочередно по одной карте из каждой руки на стол так, чтобы они ложились внахлест. В только что распечатанных колодах карты подобраны по мастям. После двух идеальных тасований внахлест, сняв колоду любым образом, раздающий получит возможность раздать 4 взятки, в каждой из которых все карты будут одной масти.
Три карты
Во многих азартных играх нельзя полагаться на интуицию, ибо последствия могут быть самыми неприятными. Вот, например, один нехитрый жульнический трюк с 3 картами и шляпой.
Взглянув в зеркало, вы легко поймете, как сделаны эти карты: одна карта с двух сторон выглядит как туз пик, другая с одной стороны выглядит как туз пик, а с другой – как туз бубен, и третья с двух сторон выглядит как туз бубен.
«Банкомет» кладет все три карты в шляпу, перемешивает их и предлагает вам вытянуть любую карту и положить на стол. Затем он заключает с вами пари (и вы, и он ставите поровну), что снизу эта карта выглядит так же, как сверху. Предположим, что сверху извлеченная вами карта выглядит как пик бубен.
Желая создать у вас впечатление, будто игра ведется честно, банкомет обращает ваше внимание на то, что ваша карта заведомо не может выглядеть с двух сторон как туз пик. Следовательно, вы вытащили из шляпы либо туза пик – туза бубен, либо туза бубен – туза бубен. У одной из этих карт на обороте изображен туз бубей, у другой – туз пик. И у вас, и у банкомета шансы на выигрыш (по словам банкомета) равны.
Но если игра честная, то почему ваши денежки так быстро перешли к банкомету? Да потому, что его рассуждения – сплошное надувательство. В действительности его шансы на выигрыш не 1:1, а 2:1!
Подвох в рассуждениях банкомета в том, что в действительности шествуют не две, а три равновероятные возможности. Извлеченная вами из шляпы карта могла быть тузом пик – тузом бубен, тузом бубен – тузом бубен (вверя стороной А) и тузом бубен – тузом бубен (вверх стороной В).
Низ совпадает с верхом в 2 случаях из 3. Следовательно, в длинной серии игр банкомет выигрывает 2 игры из каждых трех игр.
Эту карточную игру для демонстрационных целей придумал математик Уоррен Уивер, один из создателей теории информации. Он рассказал о ней в своей статье «Теория вероятностей», опубликованной в октябрьском номере журнала Scientific Americanза 1950 г.
Один из способов правильного подсчета шансов на выигрыш в игре Уоррена Уивера приведен выше.
А вот еще один. Масти на противоположных сторонах двух карт совпадают. Взяв наугад карту из шляпы, вы с вероятностью 2/3, то есть в 2 случаях из 3, выберете одну из этих карт (либо туза бубен – туза бубен, либо туза пик – туза пик). Следовательно, с вероятностью 2/3 картинка на нижней стороне карты совпадает с картинкой на ее верхней стороне.
Карточная игра Уоррена Уивера представляет собой вариант так называемого парадокса Бертрана с коробками. Французский математик Жозеф Бертран привел его в своей книге по теории вероятностей в 1889 г. Представим себе 3 коробки. В одной из них находятся 2 золотые монеты, в другой —2 серебряные монеты и в третьей – 1 золотая и 1 серебряная монеты. Выберем наугад 1 коробку. Ясно, что в ней с вероятностью 2/3 окажутся две одинаковые (либо золотые, либо серебряные) монеты.
Предположим, однако, что мы извлекли из выбранной нами коробки одну монету и та оказалась золотой. Это означает, что в выбранной нами коробке обе монеты не могут быть серебряными. Следовательно, в нашей коробке находятся либо 2 золотые монеты, либо 1 золотая и 1 серебряная монеты. Так как оба случая равновероятны, кажется, будто вероятность выбрать коробку с двумя одинаковыми монетами упала до 1/2. (Разумеется, все наши рассуждения остаются в силе и в том случае, если извлеченная из коробки монета оказалась серебряной.)
Могло ли на вероятности обнаружить в коробке две одинаковые монеты каким-то образом сказаться то, что мы вынули одну из монет и посмотрели, золотая она или серебряная? Ясно, что не могло.
А вот еще один парадокс, тесно связанный с парадоксом Бертрана. Предположим, что вы бросаете 3 монеты. С какой вероятностью выпадут 3 «орла» или 3 «решки»? Для того чтобы 3 монеты легли вверх «орлами» или «решками», по крайней мере 2 из них должны выпасть вверх «орлами» или «решками». Бросив третью монету, вы либо получите третий «орел» или третью «решку», либо 1 монета ляжет не так, как 2 остальные. Шансов на то, что третья монета выпадает вверх любой стороной, 50 на 50. Следовательно, имеется 50 шансов на 50 за то, что третья монета выпадает вверх той же стороной, как и 2 остальные. Следовательно, с вероятностью 1/2 вы получите 3 «орла» или 3 «решки».
В том, что приведенное выше рассуждение неверно, мы легко убедимся, выписав все возможные исходы бросания 3 монет ( О– «орел», Р– решка»):
Как вы видите, 3 «орла» или 3 «решки» выпадают только в 2 случаях из 8. Следовательно, правильно подсчитанная вероятность этого события равна 2/8 = 1/4.
Рассмотрим еще один парадокс, также связанный с тем, что при подсчете вероятности принимаются во внимание не все возможные исходы. У мальчика 1 шарик, у девочки 2 шарика. Они катают шарики по направлению к вбитому в землю колышку. Выигрывает тот, чей шарик окажется ближе к колышку.
Предполагается, что мальчик и девочка одинаково искусны в игре, а расстояния измеряются достаточно точно, и ничьих быть не может. С какой вероятностью выиграет девочка?
Рассуждение 1.Девочка катает 2 шарика, мальчик – только 1 шарик. Следовательно, вероятность выиграть у девочки в 2 раза больше, чем у мальчика, то есть равна 2/3.
Рассуждение 2.Пусть Аи В– шарики девочки, С– шарик мальчика. Могут представиться 4 случая.
1) И А, и Вближе к колышку, чем С.
2) Только Аближе к колышку, чем С.
3) Только Вближе к колышку, чем С.
4) Сближе к колышку, чем Аи В.
В 3 случаях из 4 девочка выигрывает. Следовательно, вероятность того, что она выиграет, равна 3/4.
Какое из рассуждений правильно? Для того чтобы докопаться до истины, составим исчерпывающий перечень возможных исходов бросаний 3 шариков. В него войдут не 4, а 6 возможных случаев.
Если считать, что на первом месте стоит ближайший к колышку шарик, то равновероятны следующие расположения шариков:
В 4 случаях из 6 девочка выигрывает. Это подтверждает вывод, полученный с помощью первого рассуждения: девочка выигрывает с вероятностью 2/3.
Парадокс с лифтом
Тем, кому приходится часто пользоваться лифтом, вероятно, доводилось не раз обращать внимание на один странный теоретико-вероятностный парадокс. Предположим, что лифты в этом здании ходят независимо и среднее время ожидания на каждом этаже одинаково.
Мистер Верх работает в конторе на одном из верхних этажей. Он очень удивлен.
М-р Верх.Поразительно! Первым всегда приходит лифт снизу. Я замечал это неоднократно.
М-р Верх.Может быть, лифты собирают в подвале, а готовую продукцию отправляют с крыши здания на вертолетах?
Мисс Низ работает в конторе на одном из нижних этажей. Каждый день она в обеденный перерыв поднимается в ресторан, расположенный на верхнем этаже здания.
Мисс Низ также очень удивлена.
Мисс Низ.Ничего не понимаю! Стоит мне вызвать лифт, как он обычно приходит сверху!
Мисс Низ.Должно быть, лифты доставляют вертолетами на крышу здания, а оттуда спускают на склад в подвале.
Загадка с лифтами решается просто. По вызову мистера Верха сверху могут прийти только лифты, находящиеся в зачерненном участке шахты. Длина этого участка мала по сравнению с длиной остальной, более светлой части шахты. Следовательно, вызванный им лифт с большей вероятностью придет снизу. Так же решается и загадка, мучившая мисс Низ.
Парадокс с лифтом впервые появился в книге математических задач на смекалку, выпущенной физиком Джорджем Гамовым и его другом Марвином Стерном. Объясняя парадокс с одним лифтом, Гамов и Стерн допустили небольшую ошибку. Они утверждали, что вероятности, «разумеется, останутся такими же», если лифтов будет два или больше.
Первым, кто понял, что это не так, был известный специалист по вычислительной математике из Стэнфордского университета Дональд Кнут. В статье «Задача Гамова – Стерна о лифте» [22]22
The Journal of Recreational Mathematics, July 1969.
[Закрыть]Кнут получил несколько неожиданный результат: с увеличением числа лифтов вероятность того, что на любом этаже (кроме первого и последнего) первым придет лифт снизу, стремится к 1/2, и вероятность того, что первым придет лифт сверху, также стремится к 1/2.
В действительности эта ситуация еще более парадоксальна, чем в первоначальном варианте задачи.
Результат Кнута означает, что если вы находитесь на одном из последних этажей и стоите перед дверями одного из лифтов, то с высокой вероятностью именно тот лифт, который вы ждете, придет снизу, рели же вы готовы сесть в любой лифт, который остановится на вашем этаже, то вероятность того, что первым придет лифт снизу, будет иной. При неограниченном увеличении числа лифтов эта вероятность стремится к 1/2. То же верно и относительно лифтов, приходящих по вызову на нижние этажи сверху.
Разумеется, мы предполагаем, что лифты ходят независимо, с постоянной скоростью и что среднее время ожидания одинаково для всех этажей. Если число лифтов невелико, то вероятности изменяются незначительно. Но если число лифтов достигает 20 или более, то вероятности для всех этажей, кроме первого и последнего, мало отличаются от 1/2.
Ревнивые девушки
У одного парня были две знакомые девушки, и он никак не мог выбрать, с кем из них отправиться на свидание. Одна из девушек жила к востоку от того места, где жил он сам, другая – к западу.
Ежедневно парень в случайное время спускался на станцию метро и садился в первый попавшийся поезд.
Поезда в восточном и западном направлениях шли с интервалом в 10 мин.
Девушка, жившая к востоку от того места, где обитал наш сердцеед, сказала ему как-то раз на прощание.
Вести.Я так счастлива, милый, что ты навещаешь меня в среднем 9 дней из 10.
На следующий вечер девушка, жившая к западу от дома нашего героя, сердито упрекнула его.
Вести.Почему ты являешься ко мне в среднем только раз в десять дней?
Необъяснимое на первый взгляд предпочтение парня к поездам восточного направления напоминает парадокс с лифтами. Хотя поезда восточного и западного направлений идут с интервалами в 10 мин, расписание составлено так, что поезд западного направления прибывает и отправляется на 1 мин позже, чем ближайший поезд восточного направления.
Чтобы попасть на поезд, идущий на запад, парень должен ел на станции в течение одного из минутных интервалов, отмеченных на циферблате темными полосами.
Чтобы попасть на поезд, идущий на восток, он должен прибыть на станцию в течение любого из девятиминутных интервалов, заключенных между темными полосами.
Вероятность поехать на запад составляет 1/10, вероятность отправиться на восток составляет 9/10.
В этом парадоксе время ожидания между поездами задано расписанием. В последовательности случайных событий «среднее время ожидания» между событиями мы получим, просуммировав времена ожидания и разделив полученную сумму на n. Например, среднее время ожидания для поезда, идущего на восток, в нашем рассказе составляет 4 1/2мин, а среднее время ожидания для поезда, идущего на запад, – всего 1/2 мин.
С временами ожидания связаны и многие другие парадоксы. Возможно, вам понравится следующий.
Если вы бросаете монету, то среднее время ожидания «орла» (или «решки») равно 2 бросаниям. Это означает, что, взяв перечень исходов длинной серии бросаний монеты и подсчитав времена ожидания, отделяющие выпадение одного «орла» от выпадения следующего «орла», вы получите среднее «расстояние» между «орлами», равное 2 бросаниям (если серия начинается не с «орла», то длина серии «решек» до выпадения первого «орла» в расчет не принимается).
Предположим, что на длинном листе бумаги сверху вниз выписаны исходы длинной серии бросаний монеты. Выберите наугад зазор между двумя последовательными бросаниями (например, зажмурьте глаза и проведите по листу горизонтальную черту). Найдите ближайший к проведенной черте «орел» сверху и снизу и подсчитайте число испытаний, отделяющих один «орел» от другого. Повторите эту операцию многократно. Чему будет равно среднее расстояние между «орлами»?
Интуитивно кажется, что «орлы» должны быть в среднем разделены двумя бросаниями. В действительности в среднем их разделяют три бросания.
Причина та же, по которой любвеобильный парень обычно садился в поезд, идущий на восток. Одни серии испытаний между последовательными «орлами» короткие, другие – длинные. Случайно проведенная линия аналогична случайному выбору момента прибытия парня на станцию. Попасть в более длинную серию вероятнее, чем в более короткую.
Приведем теперь простое доказательство того, что три испытания – действительно правильный ответ на вопрос задачи. Монеты «не помнят» исходов предыдущих бросаний, поэтому, где бы вы ни провели черту, среднее время ожидания до выпадения следующего «орла» должно быть равно 2 бросаниям. То же соображение применимо и к среднему времени ожидания, если мы «обратим» всю серию испытаний и будем считать времена ожидания не вперед, а назад. Следовательно, «средняя длина свободного пробега» между «орлами» равна 2х2, то есть 4, если мы будем считать и те бросания, при которых выпали сами «орлы». А так как мы условились понимать под временем ожидания длину серии испытаний, включающую выпадение следующего «орла», но не включающую выпадение предыдущего «орла», то средняя длина свободного пробега равна 4–1 = 3 бросаниям.
Еще более поразительна аналогичная задача с колесом рулетки. В колесе имеются 38 гнезд с номерами, среди которых есть 0 и 00. Следовательно, среднее время ожидания для любого числа, например для 7, равно 38 запускам колеса. Но если вы возьмете запись длинной серии номеров, выпавших при игре в рулетку, и, проводя наугад черту, начнете подсчитывать среднюю «длину свободного пробега» между двумя последовательными семерками, то она окажется равной не 38, а (2 х 38) – 1 = 75.
Три скорлупки
Зазывала.Подходите, не робейте. Если вы правильно угадаете, под какой скорлупкой горошина, я верну вам вдвое больше денег, чем вы поставите.
Поиграв немного, мистер Марк решил, что его шансы на выигрыш не превышают 1: 3.
Зазывала.Куда же вы? Хотите, сыграем по-свойски, как друзья? Вы выбираете одну скорлупку. Выбрали? Хорошо. Теперь я переворачиваю пустую скорлупку. Горошина должна быть под одной из двух остальных. Следовательно, ваши шансы на выигрыш возрастают вдвое.
Мистер Марк легко попался на удочку. Он не понял, что от переворачивания пустой скорлупки его шансы на выигрыш не изменяются.
Почему?
После того как мистер Марк выбрал скорлупку, по крайней мере одна из двух остальных скорлупок должна быть пустой. Поскольку зазывала знает, под какой скорлупкой лежит горошина, он всегда может перевернуть пустую скорлупку. Следовательно, из того, что перевернута пустая скорлупка, мистер Марк не извлекает для себя никакой полезной информации, которая позволила бы пересмотреть оценку вероятности «попадания в цель» (того, что горошина находится под выбранной им скорлупкой).
