Текст книги "А ну-ка, догадайся!"
Автор книги: Мартин Гарднер
Жанр:
Развлечения
сообщить о нарушении
Текущая страница: 1 (всего у книги 11 страниц)
Гарднер Мартин
«А НУ-КА, ДОГАДАЙСЯ!»
Об авторе
Имя Мартина Гарднераизвестно любителям занимательной математики во всем мире. Его книги можно увидеть и в руках у школьника и на столе профессора. У советского читателя первое знакомство с Мартином Гарднером состоялось в 1964 г., когда издательство «Наука» выпустило в русском переводе его книгу «Математические чудеса и тайны». За нею последовали «Этот правый, левый мир» (1967 г.), посвященная вопросам симметрии, а также «Математические головоломки и развлечения» (1971 г.), «Математические досуги» (1972 г.), «Математические новеллы» (1974 г.), «Есть идея!», которые стали украшением серии книг по занимательной математике, выпускаемых издательством «Мир». «А ну-ка, догадайся!» – очередное пополнение «гарднерианы».
Мартин Гарднер родился 21 октября 1914 г. Он выпускник математического факультета Чикагского университета. Почти три десятилетия Мартин Гарднер был бессменным автором и редактором раздела «Математические забавы» в журнале Scientific American, который для многих явился своеобразной академией занимательной математики. Книги Мартина Гарднера – плод творческого содружества автора с многомиллионной читательской аудиторией.
От переводчика
Современники Иоганна-Себастьяна Баха восхищались его искусством органиста. Он же, не видя ничего особенного в своем исполнении, считал, что главное – вовремя нажимать нужную клавишу, и всякий, кто будет прилежен, сумеет достичь такой же беглости и выразительности. Автор предлагаемой вниманию читателя книги, непревзойденный мастер одного из труднейших жанров научно-популярной литературы – так называемой занимательной науки, Мартин Гарднер в полной мере владеет высоким искусством «вовремя нажимать нужную клавишу». Его книги привили и продолжают прививать вкус к точным наукам, и в первую очередь к математике, множеству людей во всем мире, открыв им прекрасное лицо царицы и служанки всех наук, не всегда и не во всем видимое сквозь завесу иссушающего формализма.
Это пятая по счету книга Мартина Гарднера в серии книг по занимательной математике, выпускаемой издательством «Мир» [1]1
См.: Гарднер М. Математические головоломки и развлечения. – М.: Мир, 1971; Математические досуги. – М.: Мир, 1972; Математические новеллы. – М.: Мир, 1974; Есть идея! – М.; Мир, 1982.
[Закрыть].
Она посвящена парадоксам и по своей структуре напоминает его предыдущую книгу «Есть идея!» Это тоже «книжка с картинками», сопровождаемыми краткими пояснениями и небольшими комментариями. Слово «парадокс» автор толкует в самом широком смысле и умело вовлекает читателя в обсуждение простых и тонких проблем, заставляет пристальнее приглядеться к тому, что давно известно, критически переосмыслить часто встречающиеся рассуждения, казалось бы неспособные таить в себе ничего нового и тем более неожиданного, приглашает к размышлениям и самостоятельному творчеству.
Книга Мартина Гарднера – великолепный образец современной занимательной математики, лицо которой во многом определила деятельность Гарднера на посту редактора и постоянного автора раздела «Математические забавы» журнала Scientific American, – занимательной, а не только развлекательной, способной заинтересовать, а не просто позабавить. Каждая книга Мартина Гарднера – праздник для всех, кто любит математику. Не является исключением и эта книга. Прочтите ее, и вы убедитесь сами.
Ю. Данилов
Предисловие
Дездемона. Старые, избитые парадоксы, годные для того, чтобы увеселять дурней в кабаках.
В. Шекспир.Отелло, акт 2, сцена 1
Слегка изменив реплику Дездемоны («Старые, избитые парадоксы, годные на то, чтобы увеселять нас в часы досуга»), мы получим неплохое описание этой книги. Слово «парадокс» имеет много значений. Я употребляю его здесь в широком смысле как синоним любого утверждения, которое настолько противоречит здравому смыслу и интуиции, что не может не вызывать у того, кто слышит о нем впервые; чувства удивления. Такого рода парадоксы подразделяются на четыре основных типа:
1) утверждения, которые кажутся ложными, но в действительности истинны;
2) утверждения, которые кажутся истинными, но в действительности ложны;
3) рассуждения, которые кажутся безупречными, но приводят к логическому противоречию (парадоксы этого типа обычно принято называть логическими ошибками);
4) утверждения, истинность или ложность которых недоказуемы.
В математике, как и в естественных науках, парадоксы не пустая забава. Иногда парадоксы приводят к весьма глубоким открытиям. Так, древнегреческие математики долго ломали голову над тем, почему длину диагонали единичного квадрата невозможно измерить точно линейкой со сколь угодно мелкими делениями. Этот парадокс, смущавший умы античных мыслителей, привел к расширению понятия числа и созданию теории иррациональных чисел. Математикам XIX в. казалось необычайно парадоксальным, что между всеми элементами бесконечного множества и элементами его бесконечного подмножества можно установить взаимно-однозначное соответствие. Этот парадокс привел к созданию современной теории множеств, в свою очередь оказавшей сильное влияние на философию науки. Парадоксы могут многому научить нас. Подобно хорошим фокусам, они настолько поражают наше воображение, что у нас возникает непреодолимое желание узнать, в чем их секрет. Фокусники предпочитают не раскрывать своих трюков– математикам же таить нечего.
С первой и до последней страницы этой книги я стремился по мере сил простым и доступным языком объяснить (по возможности кратко), чем парадоксален каждый из отобранных мной парадоксов. Тому, кто прочитав эту книгу, захочет узнать о них побольше и обратится к другим книгам и статьям, предоставится возможность не только основательно углубить свои познания в математике, но и получить при этом немалое удовольствие. Список использованной мной литературы приведен в конце книги.
Звездочкой отмечены менее специальные работы.
Ноябрь 1981 г, Мартин Гарднер
1. ЛОГИКА
Парадоксы о тех, кто всегда говорит правду, лжецах, крокодилах и брадобреях
Трудно переоценить ту роль, которую логика играет не только в математике, но и всюду, где применяются дедуктивные умозаключения. Каково же было всеобщее удивление, когда выяснилось, что в самой логике в изобилии встречаются, казалось бы, безупречные рассуждения, которые тем не менее приводят к явному противоречию. Использовать такое рассуждение – все равно что сначала доказать равенство 2 + 2 = 4, а потом привести не менее убедительное доказательство неравенства 2 + 2 не равно 4. В каком случае логика «не срабатывает»? Не таятся ли роковые пробелы в самом процессе дедуктивного мышления?
Гигантские успехи современной логики и теории множеств – прямой результат усилий, приложенных к разрешению классических парадоксов. Не один год безуспешно бился над решением такого рода проблем Бертран Рассел, прежде чем в соавторстве с Альфредом Нортом Уайтхедомнаписал фундаментальный труд Principia Mathematica («Основания математики»), в котором излагались единые основы современной логики и математики.
Парадоксы не только ставят вопросы, но и отвечают на них.
Среди вопросов, на которые парадоксы дают ответ в этой главе, назовем следующие:
1) Существуют ли ситуации, в которых логически невозможно правильно предсказать будущее событие?
2) Почему в теории множеств обычно запрещается строить множества, которые могут содержать себя в качестве элементов?
3) Почему, когда мы говорим о языке, необходимо проводить различие между языком, о котором мы говорим (нашим объектным языком), и языком, на котором мы говорим (нашим метаязыком)?
Для парадоксов, отвечающих на эти вопросы, характерны косвенные признаки порочного круга в рассуждениях или ссылки на себя. В логике ссылка на себя либо приводит к крушению теории, либо обогащает ее и придает ей особый интерес. Проблема состоит в том, чтобы найти такие формулировки наших теорий, которые допускают их обогащение, но исключают все возможности, приводящие к противоречию. Придумывание парадоксов – верный способ проверки того, насколько правильно установлены пределы применимости наших логических идей.
Не следует думать, будто все парадоксы современной логики разрешены. В действительности дело обстоит далеко не так. Иммануил Кантоднажды опрометчиво заметил, будто логика достигла столь полного развития, что о ней невозможно сказать ничего нового. Но логика, известная во времена Канта, составляет лишь незначительную и наиболее элементарную часть современной логики. В ней существуют гораздо более глубокие слои, по поводу которых продолжаются дискуссии между самыми выдающимися логиками современности, слои, в которых парадоксальные вопросы еще не получили ответов и многие вопросы еще предстоит сформулировать.
Парадокс лжеца
По преданию, Эпименид утверждал, что все критяне лжецы. Верно ли это утверждение, если учесть, что сам Эпименид родом с острова Крит?
Эпименид – легендарный греческий поэт, живший на Крите в VI в. до н. э. Он-то и был первым Рипом ван Винкелем: по преданию, Эпименид проспал 57 лет.
Приписываемое ему утверждение логически противоречиво, если предположить, что лжецы всегда лгут, а нелжецы всегда говорят правду. При таком предположении утверждение «Все критяне лжецы» не может быть истинным, ибо тогда Эпименид был бы лжецом и, следовательно, то, что он утверждает, было бы ложью. Но приписываемое Эпимениду утверждение не может быть и ложным, ибо это означало бы, что критяне говорят только правду и, следовательно, то, что сказал Эпименид, также истинно.
Древних греков очень занимало, каким образом, казалось бы, вполне осмысленное утверждение не может быть ни истинным, ни ложным без того, чтобы при этом не возникло противоречия. Философ-стоик Хризипп написал шесть трактатов о парадоксе лжеца, ни один из которых не сохранился до нашего времени. Парадокс лжеца преждевременно свел в могилу греческого поэта Филета Косского, который был настолько тощ, что, по преданию, подкладывал в сандалии свинец, чтобы его не унес ветер. В Новом Завете апостол Павел повторяет парадокс лжеца в послании к Титу (гл. 1„стих 12–13):
Из них же самих один стихотворец сказал: «Критяне всегда лжецы, злые звери, утробы ленивые».
Свидетельство это справедливо…
Неизвестно, знал ли апостол Павел о парадоксе, содержащемся в этих утверждениях.
Почему эта форма парадокса лжеца, в которой утверждение сообщает нам нечто о себе, отличается большей ясностью? Потому, что она исключает всякую неоднозначность по поводу того, всегда ли лжец лжет, а говорящий правду изрекает истину.
Мы столкнулись с известным парадоксом лжеца. Простейший вариант – утверждение, гласящее: «Это утверждение ложно». Истинно ли оно? Если оно истинно, то оно ложно! Ложно ли оно? Если оно ложно, то оно истинно! Такого рода противоречивые утверждения встречаются гораздо чаще, чем вы думаете.
–
Существует бесчисленное множество вариантов парадокса лжеца. Бертран Расселутверждал, что, по его мнению, философ Джордж Эдвард Мурсолгал единственный раз в жизни: когда кто-то спросил Мура, всегда ли он говорит правду, Мур, подумав, ответил: «Нет».
На вариантах парадокса лжеца строится фабула некоторых рассказов. Мне особенно нравится один из них – «Рассказ под присягой» лорда Дансэни.
Он приведен в недавно вышедшем сборнике его малоизвестных произведений «Дух слоя Хэвисайда и другие фантастические истории». В этом рассказе Дансэни встречает человека, который торжественно клянется, что то, о чем он собирается рассказать, «все правда и ничего, кроме правды».
По словам собеседника Дансэни, ему однажды повстречался Дьявол, с которым он заключил сделку.
Игравший Прежде хуже всех членов своего клуба в гольф, он по условиям сделки обретал способность с одного удара попадать в лунку. После того как он несколько раз подряд попал в лунку с одного удара, все решили, что он как-то жульничает, и исключили его из клуба. В конце рассказа Дансэни спрашивает у своего собеседника, что по условиям сделки получил взамен дьявол. «Он навсегда лишил меня способности говорить правду», – гласил ответ.
«Пуговицы» и надписи на стенах
Одно время были в моде значки в виде огромных пуговиц с надписью «Долой пуговицы».
Не приходилось ли вам встречать надпись на стенах «Долой надписи на стенах!»?
Почему эти надписи противоречивы? Да потому, что каждая из них противоречит тому, к чему призывает. Нетрудно привести множество других аналогичных примеров: объявление «Уничтожайте объявления!», надпись «Не читайте того, что здесь написано»; холостяк, заявляющий, что женится только на такой женщине, у которой хватит ума не выходить за него замуж; комический персонаж, утверждающий, что он решительно отказывается вступать в любой клуб, который сочтет возможным принять его в свои члены, наклейка с надписью «Сообщите нам, если эта наклейка отвалится при перевозке».
Ближе к парадоксу лжеца такие противоречивые утверждения, как «Всякое знание сомнительно» или утверждение Джорджа Бернарда Шоу «Единственное золотое правило состоит в том, что золотых правил не существует».
Не спала Мэри всего две ночки,
Сочиняла лимерики всего в две строчки.
Этот лимерик [2]2
Лимерик– шуточное стихотворение из пяти строк. – Прим. перев.
[Закрыть], автор которого неизвестен, сам по себе не парадоксален, но при чтении его напрашивается продолжение:
Не спал Джонни всего одну ночку.
В чем здесь парадокс? В том, что вы невольно достраиваете еще одну строку: «Сочинял лимерики всего в одну строчку»? Или вам кажется парадоксальной сама мысль о лимерике, состоящем менее чем из пяти строк?
Юмористические руководства по стилистике и правописанию неоднократно облекались в парадоксальную форму. Например, редактор английской газеты «Санди Тайме» Говард Эванс рекомендует пишущей братии придерживаться следующих десяти правил:
Не употребляйте частицу «не» перед словами, начинающимися с «не», если это не необходимо.
Следите за согласованием определений и определяемого существительных.
Употребляя деепричастный оборот, деепричастие должно относиться к тому же лицу или предмету, к которому относится определяемый им глагол.
Не ставьте лишних, запятых.
Сказуемые должно согласовываться с подлежащими.
Об этих скомканных фразах.
Старайтесь непо мере возможности отделять частицу «не» от того глагола, к которому она относится.
Н екогда н ипутайте частицы «не» и «ни».
Закончив писать, внимательно прочитайте написанное, чтобы проверить, нели вы какое-нибудь слово.
По сообщению агентства ЮПИ от 24 апреля 1970 г., кандидатам на выборах в конгресс от штата Орегон было разрешено поместить на избирательном бюллетене от своего имени лозунг в 12 слов. Френк Хэтч из г. Юджин, баллотировавшийся в конгресс от демократической партии, выступил на выборах под лозунгом: «Тому, кто мыслит лозунгами в двенадцать слов, не место в этом бюллетене».
В 1909 г. известный английский экономист Альфред Маршалл утверждал в одной из своих работ: «Любая короткая фраза об экономике внутренне лжива».
Треба Джонсон из г. Новый Ханаан, штат Коннектикут, рассказала мне о том, как однажды она тянула куриную дужку со своим маленьким сыном. Он выиграл и спросил: «Мама, а какое желание ты задумала?» Миссис Джонсон ответила: «Я хотела, чтобы выиграл ты». Выиграла ли миссис Джонсон?
Выиграла бы она, если бы большая часть куриной дужки досталась ей?
А что было бы, если бы римский папа, который, согласно догматам католицизма, непогрешим в вопросах веры, провозгласил бы с амвона непогрешимость всех римских пап, какие только существовали, существуют и будут существовать?
В одном журнале среди рекламных объявлений мне довелось видеть следующее: «Хотите научиться читать? Мы обучаем читать заочно и в сжатые сроки.
Обращайтесь по адресу…».
Ссылка на себя производит комическое впечатление, даже если она не парадоксальна. В предметном указателе к американскому изданию книги Пола Р. Халмоша «Конечномерные векторные пространства» имеется ссылка: «Хохшильд, Дж. П., 19в». Фамилия Хохшильда не упоминается в книге Халмоша нигде, кроме этой ссылки, помещенной на странице 198.
Рэймонд Смаллиан опубликовал книгу о логических задачах и парадоксах под названием «Как же называется эта книга?» [3]3
Смаллиан Р.Как же называется эта книга? – М.: Мир, 1981.
[Закрыть]. Через два года вышла новая книга Рэймонда Смаллиана о парадоксах в повседневной жизни под названием «Эта книга никак не называется».
Дуглас Хофштадтер посвятил парадоксам, связанным со ссылкой на себя, специальную статью со множеством новых примеров в январском номере журнала Scientific American за 1981 г.
Прямое и противоположное утверждения
Сколько слов в предложении, которое вы видите на рисунке? Правильно, пять. Значит, это утверждение ложно. Следовательно, противоположное утверждение должно быть истинно. Верно?
Неверно! Противоположное утверждение содержит ровно шесть слов. Как разрешить столь странный парадокс?
Вот еще несколько парадоксов, связанных со значением истинности некоторых утверждений. Авторы этих парадоксов неизвестны.
Перед вами три ложных утверждения. Не могли бы вы указать их?
1) 2 + 2 = 4
2) 3 х 6 = 17
3) 8:4 = 2
4) 13 – 6 = 5
5) 5 + 4 = 9
Ответ:ложны только утверждения 2 и 4. Следовательно, утверждение о том, что перед вами три ложных утверждения, ложно, и его можно считать третьим ложным утверждением. Вы согласны?
Сумасшедший компьютер
Много лет назад в один компьютер, предназначенный для проверки истинности утверждений, ввели парадокс лжеца – «Это предложение ложно».
Бедный компьютер сошел с ума, но так и не смог решить, истинно введенное в него утверждение или ложно.
Компьютер.Истинно – ложно – истинно – ложно – истинно – ложно.
Первая в мире ЭВМ, предназначенная только для решения логических задач на определение значений истинности, была построена в 1947 г. студентами-дипломниками Гарвардского университета Уильямом Буркхартом и Теодором Кэлином. Когда они предложили своей машине решить парадокс лжеца, та вошла в колебательный режим, издавая при этом (по словам Кэлина) «невероятный шум».
В научно-фантастическом рассказе Гордона Диксона «Дурацкие штучки», опубликованном в августовском номере журнала Astounding Science Fiction за 1951 г., группа ученых спасают свою жизнь тем, что отвлекают ЭВМ, вводя в нее команду: «Ты должна отвергнуть утверждение, которое я сейчас ввожу в тебя, потому, что все мои утверждения ложны».
Бесконечный спуск
Несчастный компьютер оказался в таком же затруднительном положении, как человек, которого просят ответить на вопрос: «Что появилось раньше – яйцо или курица?»
Курица? Нет, ибо она должна была бы вылупиться из яйца. Яйцо?
Нет, ибо его должна была бы снести курица.
Старый вопрос о том, что появилось на свет раньше– яйцо или курица, по-видимому, можно считать наиболее известным примером того, что логики называют бесконечным спуском. Концентрат овсяной каши в США обычно продают в коробках, на которых изображен человек, держащий в руках коробку овсяной каши, на которой изображен… и т. д., как в бесконечной последовательности вложенных друг в друга китайских резных шаров из слоновой кости.
В парикмахерской, где зеркала расставлены друг против друга, вы можете увидеть начальный отрезок бесконечного спуска отражений.
Писатели неоднократно использовали бесконечный спуск в фантастических произведениях. Один из персонажей романа Олдоса Хаксли «Контрапункт» Филип Кварлз пишет роман о романисте, который пишет роман о романисте, который и т. д. Бесконечные спуски встречаются в романе Андре Жида «Фальшивомонетчики», в пьесе Э. Э. Каммингса «Он» и в таких рассказах, как, например, «Записная книжка» Нормана Мэйлера, в котором молодой писатель решает написать рассказ, который написал Мэйлер.
Математик Август Де Морган написал шуточное стихотворение, первые четыре строки которого перефразируют более раннее шуточное четверостишие Джонатана Свифта:
Блох больших кусают блошки,
Блошек тех – малютки-крошки,
Нет конца тем паразитам,
Как говорят, ad infinitum.
Блоха большая в свой черед
Кусает ту, на ком живет,
Та – блох потолще, шире в талии,
И нет конца им, и так далее…
Возможно, что на два давно возникших вопроса, связанных с бесконечным спуском, мы никогда не получим ответа. Первый вопрос относится к бесконечному спуску в сторону бесконечности: включает ли наша расширяющаяся Вселенная в себя «все на свете» или является составной частью некой большей, пока не известной нам системы? Второй вопрос относится к бесконечному спуску в противоположном направлении: является ли электрон неделимой частицей или обладает какой-то внутренней структурой, то есть состоит ли из еще меньших частиц? Физики считают, что многие элементарные частицы представляют собой различные комбинации кварков. Существуют ли еще меньшие частицы, из которых состоят кварки?
Некоторые физики полагают, что шкала структур простирается неограниченно далеко в обе стороны. Вселенная Вселенных напоминает вложенные один в другую гигантские китайские резные шары, среди которых нет ни самого большого, ни самого маленького, подобно тому как не существует самой малой дроби и самого большого целого положительного числа.
Парадокс Платона и Сократа
Поразмыслим над тем, что здесь нарисовано. Критянин говорит о критянах. Предложение, утверждающее нечто о себе. Пуговица, на которой написано о пуговице.
Все эти утверждения содержат ссылку на себя. Может быть, в этом причина всех трудностей?
Нет. Еще древние греки знали, что исключение ссылок на себя не избавляет от парадоксов. Вот один диалог, подтверждающий это.
Платон.Следующее высказывание Сократа будет ложным.
Сократ.То, что сказал Платон, истинно.
Логики упростили парадокс Платона и Сократа, сведя его к двум утверждениям, которые вы видите на рисунке. Какое бы значение истинности вы ни приписали любому из них, оно будет противоречить другому утверждению. Ни одно из утверждений не содержит ссылки на себя, но, взятые вместе, эти два утверждения воспроизводят парадокс лжеца.
Этот вариант парадокса лжеца, широко обсуждавшийся средневековыми логиками, интересен тем, что приводит к важному выводу: источник затруднений в парадоксах с неопределенным значением истинности кроется не в ссылке на себя, а лежит глубже. Если утверждение Аистинно, то утверждение Вложно, а коль скоро утверждение Вложно, то утверждение Адолжно быть ложным. Но если Аложно, то Вистинно, а коль скоро Вистинно, то Адолжно быть истинным.
Мы вернулись к исходной позиции и можем все повторить с самого начала, подобно двум полицейским из кинокомедии, крадущимся друг за другом вдоль стен огромного здания. Ни одно из утверждений Аи Вничего не говорит о себе, но стоит взять их вместе, как одно утверждение изменяет значение истинности другого утверждения на противоположное, поэтому ни об одном из них мы не можем сказать, истинно оно или ложно.
Своих друзей вы можете развлечь следующим вариантом парадокса Платона и Сократа, предложенным английским математиком П. Э. Б. Журденом, – так называемой карточкой Журдена.
Напишите на одной стороне чистой карточки
УТВЕРЖДЕНИЕ НА ОБРАТНОЙ СТОРОНЕ ЭТОЙ КАРТОЧКИ ИСТИННО
а на обратной стороне —
УТВЕРЖДЕНИЕ НА ОБРАТНОЙ СТОРОНЕ ЭТОЙ КАРТОЧКИ ЛОЖНО.
Многие люди долго вертят в руках карточку Журдена то так, то эдак, прежде чем осознают, что оказались вовлеченными в бесконечный спуск, в котором каждое утверждение попеременно становится то истинным, то ложным.
Алиса и Черный Король
Парадокс Платона и Сократа включает в себя два бесконечных спуска, подобно парадоксу Алисы и Черного Короля из сказки Льюиса Кэрролла «Алиса в Зазеркалье».
Алиса.Черный Король мне снится. Но он спит и видит во сне, будто я сплю и вижу во сне, что он спит и видит меня во сне…
Видно, я никогда не доберусь до конца.
Эпизод, в котором Алиса встречает Черного Короля, происходит в четвертой главе сказки Льюиса Кэрролла «Алиса в Зазеркалье». Король спит и, по словам Твидлди, видит во сне Алису. «Ты ему просто снишься, – говорит Твидлди возмущенной Алисе. – Если этот вот Король вдруг проснется, ты сразу же – фьють! – потухнешь, как свеча!»
Но диалог Алисы и Твидлди снится Алисе. Кто же кому снится: Король Алисе или Алиса Королю?
Что явь и что сон?
Такого рода «сны во сне» приводят к глубоким философским проблемам реальности. «Если бы мы не облекали их в юмористическую форму, – заметил однажды Бертран Рассел, – то нам пришлось бы признать, что они слишком болезненны».
В парадоксе с курицей и яйцом бесконечная последовательность кур и яиц уходит назад по времени, но в парадоксе Алисы и Черного Короля бесконечный спуск совершается по кругу. Наглядной иллюстрацией парадокса бесконечного спуска, совершаемого по кругу, может служить известный рисунок Морица Эшера «Рисующие руки».
Дуглас Хофштадтер в своей книге «Гёдель, Эшер, Бах: вечное золотое переплетение» называет такие парадоксы «странными петлями». В его книге приведено множество поразительных примеров странных петель в физике, математике, изобразительном искусстве, литературе и философии.
Крокодил и младенец
Греческие философы любили рассказывать притчу о крокодиле, выхватившем младенца из рук матери.
Крокодил. Съем ли я твоего младенца? Если ты ответишь правильно, я верну тебе его целым и невредимым.
Мать.О горе мне! Ты съешь моего мальчика.
Крокодил (в смущении).Как мне поступить? Если я отдам тебе младенца, то твой ответ будет неверным. Следовательно, я должен съесть малютку. Отличная идея! Я не отдам тебе его!
Мать.Но ты должен вернуть мне его. Ведь если ты съешь моего мальчика, значит, я ответила правильно и ты должен отдать мне его.
Несчастный крокодил настолько растерялся, что упустил мальчишку. Мать подхватила ненаглядное чадо и была такова.
Крокодил.Жаль! Вот если бы она сказала, что я отдам ей ребенка, то у меня было бы чем полакомиться на обед.
Крокодил оказался перед неразрешимой проблемой: он должен съесть младенца и в то же время вернуть его матери.
Мать оказалась очень умной женщиной. Ведь если бы она сказала, что крокодил собирается вернуть ей младенца, то крокодил мог бы действительно вернуть его или съесть, не впадая при этом в противоречие.
Если бы крокодил вернул младенца матери, то ее утверждение стало бы истинным и крокодил сдержал бы свое слово. С другой стороны, если крокодил достаточно коварен, то он мог бы съесть младенца. Тогда утверждение матери стало бы ложным, и крокодил мог бы считать себя свободным от данного им обещания вернуть матери младенца.
Парадокс Дон Кихота
В романе Сервантеса «Дон Кихот» рассказывается об одном острове, на котором действует удивительный закон. Каждого, проходящего по мосту через реку, судьи подвергают опросу.
Судья.Куда и зачем ты идешь? Тех, кто скажет правду, судьи пропускают, а тех, кто солжет, без всякого снисхождения отправляют на стоящую тут же виселицу и казнят.
Однажды некий человек заявил под присягой, что идет затем, чтобы его вздернули на виселице.
Судьи пришли в не меньшее замешательство, чем крокодил. Если они не повесят этого человека, то это будет означать, что он солгал, и его надлежит повесить.
Если же они повесят его, то он не солгал и его необходимо пропустить.
Чтобы разрешить свои сомнения, судьи отправили человека к губернатору. После долгих размышлений губернатор объявил свое решение.
Губернатор.Любое мое решение нарушило бы закон, поэтому я предпочитаю быть милосердным. Отпустите этого человека. Пусть идет себе с миром!
Парадокс с повешением приведен в главе 51 второй книги романа Сервантеса «Дон Кихот». Слуга Дон Кихота Санчо Панса становится губернатором острова и при вступлении на свой высокий пост клянется соблюдать все законы. Владелец одного поместья на острове издал закон, по которому всякий, проходящий по некоему мосту, должен объявить под присягой, куда и зачем он следует. Того, кто скажет правду, по закону надлежит пропускать, а того, кто солжет, – отправлять на стоящую неподалеку виселицу. Когда к Санчо Пансо приводят человека, утверждающего, будто он пришел за тем, чтобы быть повешенным, новоявленный губернатор решает казусное дело, сообразуясь с милосердием и здравым смыслом.
Суть парадокса Дон Кихота, обладающего несомненным сходством с парадоксом крокодила и младенца, несколько затемняет неоднозначность утверждения, высказанного тем человеком, который перешел мост. О чем идет речь: о намерении или о будущем событии? Если речь идет о намерении быть повешенным, то человек мог сказать правду (то есть действительно мог хотеть, чтобы его повесили). В этом случае судьи не могли бы отправить его на виселицу, и никакого противоречия при этом бы не возникало.
Если высказанное утверждение понимать во втором смысле, то любое решение судей противоречит закону.
Парадокс брадобрея
Знаменитый парадокс брадобрея был предложен Бертраном Расселом. Прочитайте внимательно объявление, вывешенное владельцем парикмахерской. Кто бреет брадобрея?
Если брадобрей бреется сам, то он принадлежит множеству тех жителей города, кто бреется сам.
Но в объявлении утверждается, что наш брадобрей никогда не бреет тех, кто входит в это множество. Следовательно, наш брадобрей не может брить самого себя.
Если же брадобрея бреет кто-нибудь другой, то он принадлежит к числу тех, кто не бреется сам.
Но в объявлении сказано, что он бреет всех, кто не бреется сам.
Следовательно, никто другой не может брить нашего брадобрея.
Похоже, что его не может брить никто!
Бертран Рассел предложил парадокс брадобрея, чтобы облечь в более наглядную форму знаменитый парадокс, обнаруженный им в теории множеств. Некие математические конструкции приводят к множествам, которые включают себя в качестве одного из своих членов. Например, множество, содержащее все, что не является яблоком, само не является яблоком и, следовательно, должно содержать себя в качестве одного из членов. Рассмотрим теперь множество всех множеств, не содержащих себя в качестве одного из членов. Содержит ли оно себя? Как бы вы ни ответили на этот вопрос, вам не удастся избежать противоречия.
С этим парадоксом связан один из наиболее драматических моментов в истории логики. Знаменитый немецкий логик Готлоб Фреге завершил второй том своих «Оснований арифметики», над которым работал всю жизнь. В этом фундаментальном труде Фреге изложил непротиворечивую теорию множеств, которая могла бы послужить основанием для всей математики. Рукопись находилась уже в типографии, когда Фреге получил от Рассела письмо (дело происходило в 1902 г.), в котором Рассел сообщал об открытом им парадоксе. Теория множеств, развитая Фреге, допускала образование множества всех множеств, которые не содержат себя. Но, как явствовало из письма Рассела, это, казалось бы, не таившее никаких опасностей множество было внутренне противоречивым. Фреге не оставалось ничего другого, как дописать к своему труду краткое приложение, которое начиналось словами:
«Вряд ли что-нибудь может быть более нежелательным для ученого, чем обнаружить, что основания едва завершенной работы рухнули. Письмо, полученное мной от Бертрана Рассела, поставило меня именно в такое положение…».
