Текст книги "А ну-ка, догадайся!"

Автор книги: Мартин Гарднер

сообщить о нарушении

Текущая страница: 4 (всего у книги 11 страниц)

_{Затем доктор Зета нанес риску на металлический стержень, разделив его на две части ( аи Ь) так, чтобы их отношение было равно полученной дроби.}

_{Д-р Зета.Когда я вернусь на родную планету, один из наших компьютеров измерит отрезки аи bи вычислит дробь a/b. Затем он декодирует ее и отпечатает для нас всю вашу энциклопедию!}

Если вы никогда не сталкивались с проблемами кодирования и декодирования, то вам, несомненно, будет интересно самостоятельно закодировать и декодировать несколько простых сообщений с помощью какого-нибудь числового кода, аналогичного предложенному доктором Зета. Коды позволяют нам прочувствовать всю важность взаимно-однозначного соответствия и отображения структуры на изоморфную структуру. Такие коды находят применение в высших разделах теории доказательств. Курт Гёдель доказал свою знаменитую теорему о том, что в каждой достаточно сложной (содержащей аксиомы арифметики целых чисел) дедуктивной системе существуют утверждения, которые в рамках этой системы невозможно ни доказать, ни опровергнуть. Доказательство Гёделя основано на использовании числового кода, позволяющего сопоставить каждой теореме дедуктивной системы единственное и очень большое целое число.

Разумеется, кодирование всей энциклопедии с помощью одной-единственной риски на стрежне хорошо лишь в теории, но отнюдь не на практике. Трудность состоит в том, что необходимая для такого кодирования точность недостижима. Ширина риски должна быть меньше размеров электрона, и длину обоих отрезков аи Ьнеобходимо измерять с такой же точностью. Но если предположить, что два отрезка можно измерить с точностью, достаточной для получения требуемой дроби, то метод доктора Зета следует признать вполне осуществимым.

Обратимся теперь к иррациональным числам.

Математики считают, что десятичное разложение числа я «бесструктурно», как любая другая бесконечная последовательность случайных цифр. Если это так, то можно утверждать, что какой бы конечный набор цифр мы ни взяли, в разложении я найдется совпадающий с ним отрезок. Иначе говоря, где-то в разложении числа я встречается отрезок, совпадающий с закодированной доктором Зета Британской энциклопедией. Более того, где-то в десятичном разложении числа я встречаются отрезки, совпадающие с закодированными текстами всех когда-либо напечатанных работ и даже всех сочинений, которые когда-нибудь будут созданы!

Любой конечный набор цифр встречается и в десятичных разложениях иррациональных чисел, в которых распределение цифр не случайно, а подчинено простым и ясным закономерностям. Например, любой конечный набор цифр заведомо встречается в десятичном разложении

0, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15…

(после запятой выписаны подряд все целые числа).

Гостиница «Бесконечность»

_{Перед своим отлетом доктор Зета поведал поистине фантастическую историю.}

_{Д-р Зета.В самом центре нашей галактики находится огромная гостиница «Бесконечность». В ней действительно бесконечно много однокомнатных номеров, уходящих через черную дыру в другое измерение. В гостинице есть первый номер, есть второй (комнаты перенумерованы по порядку), но нет последнего.}

_{Д-р Зета.Однажды в гостиницу по пути в другую галактику заглянул командир неизвестного летающего объекта (НЛО).}

_{Д-р Зета.Хотя ни одного свободного места не было, управляющий гостиницей все же нашел способ устроить пилота: он попросил каждого обитателя гостиницы переселиться в комнату с номером на единицу больше, чем у той, в которой тот проживал прежде, и поселил командира НЛО в освободившийся первый номер.}

_{Д-р 3ета.На следующий день в гостиницу прибыли 5 супружеских пар, совершавших свадебное путешествие. Управляющий и тут не растерялся и, переселив каждого обитателя гостиницы в комнату с номером на 5 больше, чем у той, в которой тот проживал прежде, отвел супружеским парам освободившиеся комнаты с номерами от 1 до 5.}

_{Д-р 3ета.В конце недели в гостиницу нагрянули участники съезда продавцов жевательной резинки. Их было бесконечно много.}

_{Д-р Герман.Я в силах понять, как управляющий гостиницы «Бесконечность» мог бы разместить любое конечное число вновь прибывших, но как разместить бесконечное множество гостей?}

_{Д-р 3ета.Управляющий легко справился и с этой задачей: каждого обитателя гостиницы он переселил в комнату с номером вдвоебольше, чем у той, которую тот занимал прежде.}

_{Д-р Герман.Понял! Все прежние постояльцы гостиницы оказались после переселения в комнатах с четными номерами, а бесконечное множество освободившихся комнат с нечетными номерами управляющий предоставил продавцам жевательной резинки.}

Ни одно конечное множество невозможно поставить во взаимно-однозначное соответствие с любым из его собственных подмножеств. В случае бесконечных множеств такое утверждение неверно. Бесконечные множества нарушают старое правило «часть меньше целого». Бесконечное множество можно определить как множество, которое можно поставить во взаимно-однозначное соответствие с собственным подмножеством.

Управляющий гостиницей «Бесконечность» сначала показал, что множество всех натуральных чисел можно поставить во взаимно-однозначное соответствие с одним из его собственных подмножеств, вычеркивая из исходного множества один или пять элементов. Тот же прием позволяет устанавливать взаимно-однозначное соответствие между бесконечным множеством и его собственным подмножеством, получаемым при вычеркивании любого конечного числа элементов.

Вычеркиванию элементов можно придать несколько более драматический характер. Представим себе, что на столе перед нами лежат шкала к шкале две бесконечные линейки с равномерными сантиметровыми делениями. Нулевые отметки на обеих шкалах совмещены и находятся в центре стола. Деления с отметками простираются неограниченно далеко вправо, причем между отметками существует взаимно-однозначное соответствие: 0–0, 1–1, 2–2 и т. д. Сдвинем теперь одну из линеек на nсм вправо.

После этой операции деления сдвинутой линейки по-прежнему будут находиться во взаимно-однозначном соответствии с делениями неподвижной линейки: если линейка была сдвинута, например, на 3 см, то между делениями установится взаимно-однозначное соответствие 0–3, 1–4, 2–5… Выступающий влево отрезок нижней линейки длиной nсм соответствует величине сдвига, но та часть шкалы неподвижной линейки, которая совпадает со шкалой сдвинутой линейки, имеет бесконечную длину. Поскольку величине сдвига nможно придавать любые значения, мы можем вычеркивать из бесконечного множества любое конечное число nэлементов и получать бесконечное множество, содержащее столько же элементов, сколько их было в исходном множестве.

Своим последним маневром управляющий гостиницей освободил бесконечное множество комнат.

Это означает, что, вычитая из бесконечности бесконечность, можно получить снова бесконечность.

Действительно, множество всех натуральных чисел можно поставить во взаимно-однозначное соответствие с множеством всех четных чисел. Если из всех натуральных чисел вычеркнуть четные, то останется бесконечное множество нечетных чисел.

Лестница алефов

_{Гостиница «Бесконечность» – лишь один из многих парадоксов, связанных с бесконечностью. Существует много различных, бесконечностей! Множество натуральных чисел – самая «бедная» из бесконечностей, занимающая низшую ступень бесконечной иерархии. Вторая ступень соответствует бесконечности множества точек во Вселенной, а третья ступень – ещё большей бесконечности!}

_{Немецкий математик Георг Кантор, открывший лестницу бесконечностей, ввел для каждой ступени специальные обозначения: алеф-нуль, алеф-один, алеф-два и т. д.}

Кардинальноечисло множества – это число элементов в нем. Например, кардинальное число множества букв слова «КОТ» равно 3. Любое конечное множество имеет конечное кардинальное число. Георг Кантор открыл, что одни бесконечные множества могут быть «больше» других. Кардинальные числа бесконечных множеств он обозначил первой буквой древнееврейского алфавита, которая называется «алеф» ( ).

Индекс у алефа указывает порядковый номер ступени в иерархии бесконечностей.

Кардинальное число множества всех натуральных чисел (так называемого счетного множества) Кантор обозначил ₀  (алеф-нуль). Множество всех четных чисел, так же как и множество всех нечетных чисел, имеет кардинальное число ₀ . Следовательно, ₀+

₀=

₀

Парадокс с гостиницей «Бесконечность» показывает, что в некотором смысле справедливо и равенство ₀–

₀=

₀

Как необычна арифметика кардинальных чисел!

Бесконечное множество всех действительных чисел больше, чем множество целых чисел. Кантор считал, что оно имеет кардинальное число ₁(альф-один) – первое трансфинитное число, которое больше чем ₀ .

С помощью своего знаменитого «диагонального процесса» Кантор доказал, что множество всех действительных чисел невозможно поставить во взаимнооднозначное соответствие с множеством целых чисел.

Кроме того, Кантор установил взаимно-однозначное соответствие между множеством всех действительных чисел и множеством точек на любом отрезке прямой, на всей бесконечной прямой, множеством точек квадрата, плоскости, неограниченно простирающейся во все стороны, куба, бесконечного пространства, а также гиперкубов и пространств более высокой размерности.

Кантор доказал также, что кардинальное число 2

 больше, чем , то есть между множествами с кардинальными числами 2  и   невозможно установить взаимно-однозначное соответствие. Следовательно, лестница алефов продолжается вверх нескончаемо.

Математики говорят, что множество действительных чисел обладает «мощностью континуума», и обозначают его кардинальное число с. Кантор пытался доказать, что с =

₁, но это ему так и не удалось.

Через много десятилетий работами Курта Гёделя и Пола Коэна было установлено, что аксиомы обычной теории множеств не позволяют решить вопрос, интересовавший Кантора. Современная теория множеств делится на канторовскую и неканторовскую.

Канторовская теория множеств предполагает, что с =

₁. Неканторовская теория множеств считает, что между си ₁заключено бесконечно много трансфинитных чисел.

Знаменитая «гипотеза континуума» (как стали называть предположение Кантора) была решена сравнительно недавно, когда Коэн и другие математики доказали, что она неразрешима. Аналогичная ситуация возникла в геометрии после того, как было доказано, что постулат Евклида о параллельных нельзя вывести из других аксиом евклидовой геометрии.

Этот постулат можно заменить другими, и в зависимости от того, какой постулат будет принят, геометрия делится на евклидову и неевклидову.

3. ГЕОМЕТРИЯ
Парадоксы о плоскости, пространстве и невозможных формах

Большинство людей понимает под геометрией евклидову геометрию на плоскости, то есть изучение свойств жестких плоских фигур. В этой главе мы будем понимать геометрию в более широком смысле – так, как се определил более века назад Феликс Клейн. Геометрия, по Клейну, занимается изучением свойств фигур в пространстве любого числа измерений, остающихся неизменными, или инвариантными, относительно любой заданной группы преобразований. Предложенная Клейном концепция геометрии оказалась наиболее плодотворной для унификации понятий в современной математике. В евклидовой планиметрии и стереометрии допустимые преобразования состоят из трансляций (перемещений с одного места на другое), зеркальных отражений, поворотов и сжатий или растяжений. Более глубокие преобразования приводят к аффинной геометрии, проективной геометрии, топологии и, наконец, теории множеств, в которой фигуру разрешается «рассыпать» на отдельные точки, с тем чтобы составить из них новую фигуру.

Швейцарский психолог Жан Пиаже считает, что дети постигают геометрические свойства в обратном порядке. Например, малышу легче понять различие между кучкой красных и кучкой синих шариков (теория множеств) или между замкнутой в кольцо и разомкнутой резиновой лентой (топология), чем отличить пятиугольник от шестиугольника (евклидова геометрия).

Топология – довольно необычный раздел геометрии, изучающая свойства фигур, инвариантные относительно непрерывных деформаций. Представьте себе, что фигура или тело изготовлены из резины. Вы можете как угодно изгибать, растягивать и сжимать ее. Запрещается только отрывать части и приклеивать их.

Например, лист Мёбиуса обладает таким топологическим свойством, как односторонность: если представить его сделанным из резины, то как бы вы ни изгибали и ни растягивали его, он все равно останется односторонним. Многие собранные в этой главе парадоксы связаны с топологическими свойствами.

Преобразованиям отражения, переводящим асимметричные фигуры, например прописную букву Л, в их зеркальные отражения, мы уделяем внимание не только потому, что с отражениями связано много парадоксов, но и потому, что они играют важную роль в современной геометрии и естественных науках. Зеркальная симметрия играет фундаментальную роль в химии, особенно органической, в которой большинство соединений существует в двух формах (левой и правой), в кристаллографии, биологии (в частности, в генетике) и в физике элементарных частиц.

Хотя некоторые из собранных в этой главе парадоксов могут показаться забавными безделушками, каждый из них, как вы вскоре убедитесь, довольно быстро и незаметно приводит к таким важным разделам математики, как теория групп, математическая логика, теория бесконечных последовательностей, рядов и пределов. Те, кто изучает геометрию, обычно уделяют так много внимания построениям с помощью циркуля и линейки и доказательству сложных теорем, что совершенно упускают из виду связи, существующие между геометрией и другими областями математики, не говоря уже о нескончаемых и прекрасных приложениях, которые геометрия находит в астрономии, физике и других науках.

Вокруг да около

_{Марвин. Ау, Миртль! Это ты прячешься за дерево?}

_{Марвин пускается в путь вокруг дерева. Миртль, потихоньку переступая, прячется от Марвина за стволом и также обходит вокруг дерева.}

_{Описав полный круг, Марвин и Миртль возвращаются на исходные места. Обошел ли Марвин вокруг Миртль?}

_{Марвин.Ну конечно, обошел!}

_{Раз я обошел вокруг дерева, то обошел и вокруг Миртль, которая пряталась за ним.}

_{Миртль.Ничего подобного! Если бы никакого дерева не было, Марвин все равно не увидел бы моей спины. А разве можно обойти вокруг кого-нибудь, не увидев его со всех сторон?}

Этот старинный парадокс многие знают как историю о белке и охотнике. Белка сидит на дереве. Охотник, пытаясь подкрасться к ней сзади, обходит вокруг дерева, но зверек, не спуская глаз с охотника, прячется за стволом и постепенно описывает полный круг.

Обойдет ли охотник вокруг белки после того, как он обойдет вокруг дерева?

Разумеется, на этот вопрос невозможно ответить, пока мы не условимся, в каком смысле надлежит понимать слово «вокруг». Многие слова в повседневной речи не имеют точных определений. Остроумный разбор парадокса с охотником и белкой дан в классическом философском сочинении Уильяма Джеймса «Прагматизм». Джеймс приводит этот парадокс как модель чисто семантического разногласия. Трудности такого рода исчезают, как только обе стороны осознают, что спор по существу идет об определении слова. Если бы люди отдавали себе ясный отчет в важности точных определений того или иного слова, многие ожесточенные споры разрешались бы почти столь же безболезненно.

Загадка Луны

_{Луна обращена к Земле всегда одной и той же стороной. Совершает ли она полный оборот вокруг своей оси за то время, которое требуется ей, чтобы совершить полный оборот вокруг Земли?}

_{Отец.Как астроном, я отвечу на этот вопрос утвердительно, если бы мы наблюдали с Марса, то увидели бы, что Луна совершает один оборот вокруг своей оси всякий раз, когда она совершает полный оборот вокруг Земли.}

_{Дочь.Ну посуди сам, папочка, как Луна может вращаться вокруг своей оси? Ведь если бы она вращалась, мы бы видели ее с разных сторон, а она всегда повернута к нам одной и той же стороной.}

_{Итак, вращается ли Луна вокруг своей оси? Обходит ли парень вокруг девушки, прячущейся от него за деревом? Настоящие ли это парадоксы, или в обоих случаях.}

_{Спор идет лишь о значении слова?}

Этот парадокс, как и предыдущий, по существу сводится к семантической проблеме: в каком смысле понимать выражение «вращается вокруг своей оси»?

Относительно наблюдателя, находящегося на Земле, Луна не вращается вокруг свой оси. Относительно наблюдателя, находящегося за пределами системы Земля – Луна, наш естественный спутник вращается вокруг оси.

Трудно поверить, но даже люди, известные своей ученостью, относились к этому парадоксу весьма серьезно. Август Де Морган в первом томе своей книги «Кладезь парадоксов» дал обстоятельный обзор нескольких брошюр XIX в., подвергавших резкой критике тезис о том, что Луна вращается вокруг собственной оси. Лондонский астроном-любитель Генри Перигэл был неистощим на аргументы, опровергавшие вращение Луны. По словам автора посвященного ему некролога, «главной астрономической целью жизни» Перигэла было убедить всех в том, что Луна не вращается вокруг своей оси. Перигэл писал брошюры, строил модели и даже сочинял поэмы, чтобы опровергнуть широко распространенное убеждение в том, будто Луна вращается, «стойко перенося непрерывное разочарование при виде того, как ни один из его аргументов не достигает цели».

В связи с парадоксом о вращении Луны нельзя не упомянуть об одной замечательной геометрической задачке. Начертите два соприкасающихся круга одного и того же радиуса. Представьте себе, что это два диска. Будем обкатывать один диск вокруг другого так, чтобы он не проскальзывал и ободы дисков все время соприкасались. Сколько раз повернется катящийся диск вокруг своей оси, пока совершит полный оборот вокруг неподвижного диска?

Большинству людей кажется, что катящийся диск повернется вокруг своей оси один раз. Предложите им проверить свой ответ на двух монетах одного и того же размера. К своему удивлению, они обнаружат, что за один оборот вокруг неподвижной монеты катящаяся монета успевает дважды повернуться вокруг своей оси!

В парадоксе с Луной и Землей, ответ на этот вопрос. Но, вращается ли катящаяся монета? Как и зависит от системы отсчета наблюдателя. Относительно начальной точки касания с неподвижной монетой катящаяся монета совершает один оборот. Относительно вас, наблюдателя, глядящего на монеты со стороны, катящаяся монета за один оборот вокруг неподвижной монеты поворачивается дважды. Когда задача о монетах была впервые опубликована в журнале Scientific Americanза 1867 г., в редакцию хлынул поток негодующих писем от читателей, придерживавшихся противоположного мнения.

Читатели довольно быстро установили связь между парадоксом с монетами и парадоксом с Луной и Землей. Те, кто считал, что катящаяся монета успевает за один оборот вокруг неподвижной монеты лишь один раз повернуться вокруг собственной оси, склонялись к мнению, что Луна не вращается вокруг собственной оси. «Станут ли вращаться вокруг собственных осей голова, глаза и позвонки кошки, – вопрошал один из читателей, – которую вы крутите за хвост у себя над головой?.. Разве несчастное животное не погибло бы на девятом обороте?»

Редакционная почта достигла столь угрожающих размеров, что в апреле 1868 г. редакторы объявили о прекращении дискуссии на страницах журнала Scientific Americanи о продолжении ее на страницах нового журнала The Wheel(«Колесо»), специально посвященного «великой проблеме». По крайней мере один номер журнала вышел. Основное место среди иллюстраций там занимают многочисленные схемы и рисунки сложных устройств, призванных, по замыслу приславших их читателей, убедить редакторов в ошибочности занятой ими позиции.

Вращение небесных тел порождает различные эффекты, которые можно обнаружить с помощью таких устройств, как маятник Фуко. Если такой маятник поместить на Луне, то окажется, что, совершая обороты вокруг Земли, Луна вращается вокруг своей оси. Можно ли считать эти физические соображения аргументом, подтверждающим вращение Луны вокруг собственной оси независимо от системы отсчета наблюдателя?

Как ни удивительно, но в свете общей теории относительности ответ на этот вопрос должен быть отрицательным. Вы можете считать, что Луна вообще не вращается, а вся Вселенная (независимо от того, зависит или не зависит ее пространственно-временная структура от распределения материи) вращается вокруг Луны. Вращающаяся Вселенная создает такие же гравитационные поля, как и Луна, вращающаяся в неподвижном космосе. Разумеется, за неподвижную систему отсчета все же удобнее принимать Вселенную. Но, строго говоря, вопрос о том, «действительно» ли вращается или покоится любой объект, в теории относительности не имеет смысла. «Реально» лишь относительное движение.

Волшебное зеркало

_{Зеркала таят в себе немало удивительного. Том и Ребека однажды побывали на вечере, где каждому вновь прибывшему гостю прикалывали на грудь ленту с его именем.}

_{Ребека.Том, посмотри, какое странное зеркало! Мое имя оно переворачивает, а твое оставляет таким же, как на ленте!}

_{А разве не удивительно, что зеркала переставляют только левую и правую стороны, но не меняют местами верх и низ?}

_{В действительности зеркала изменяют на обратную последовательность, в которой расположены точки на прямых, перпендикулярных поверхности зеркала. Эти три шарика расставлены вдоль прямой, перпендикулярной поверхности зеркала, поэтому их зеркальные отражения располагаются в обратном порядке.}

_{Если вы стоите на зеркальном полу, то ваша ось «верх – низ» перпендикулярна плоскости зеркала и при отражении перед остается передом, левая сторона – левой стороной, но голова оказывается обращенной вниз, а ноги – вверх.}

_{Если вы стоите боком к зеркалу, то ваша ось «право – лево» перпендикулярна его поверхности.}

_{При отражении в зеркале голова останется вверху, ноги – внизу, перед останется передом, но правая и левая стороны поменяются местами.}

_{Если вы стоите лицом к зеркалу, то при отражении ваша голова останется вверху, ноги – внизу, но передняя и задняя стороны поменяются местами. Поскольку у вашего зеркального отражения левая рука находится со стороны, противоположной той, где она оказалась бы, если бы вы прошли сквозь зеркало и повернулись кругом, мы говорим, что зеркало меняет местами правое и левое.}

_{Почему это зеркало перевертывает только ЧАЙ, а не КОФЕ? В действительности зеркало перевертывает оба слова, но поскольку буквы К, О, Фи Епочти симметричны относительно горизонтальней оси, их зеркальные отражения мало отличаются от оригиналов, и создастся иллюзия, будто слово КОФЕ не переворачивается «вверх тормашками».}

_{Что произойдет, если два плоских зеркала поставить под прямым углом? Такой зеркальный угол даст необращенное изображение. Ребека видит себя такой, какой ее видят другие люди!}

Поскольку каждая буква слова ТОМ обладает вертикальной осью симметрии, его зеркальное отражение совпадает с оригиналом. В слове РЕБЕКА вертикалыюй осью симметрии обладает только буква Л. Поэтому при отражении в зеркале только она переходит в себя, а остальные буквы – в зеркальные отражения, отличные от их исходных начертаний.

Почему зеркало меняет местами правую и левую стороны, но оставляет на месте верх и низ? Подобно парадоксу с Луной и Землей, этот парадокс приводит к вопросу, на который невозможно ответить, не условившись предварительно относительно значений таких слов, как «левое», «правое», «менять местами».

Более подробный анализ того, что происходит при отражении в зеркале см. в книге: Гарднер М. Этот правый, левый мир. —М.: Мир, 1967. Там же вы сможете почерпнуть обширные сведения о зеркальной симметрии и ее роли в естественных науках и повседневной жизни. – Пер.]

Буквы в слове КОФЕ обладают горизонтальной осью симметрии (в некоторых типографских гарнитурах симметрия относительно горизонтальной оси может незначительно нарушаться). Следовательно, если к слову КОФЕ приставить зеркало сверху (или снизу), то буквы К, О, Фи Епри отражении перейдут в себя. В слове ЧАЙ буквы не обладают симметрией относительно горизонтальной оси, поэтому при отражении в приставленном сверху зеркале они переходят в знаки, отличные от букв Ч, Аи Й.

Какие еще слова не изменяются при отражении в зеркале, приставленном к ним сверху? Для того чтобы ответить на этот вопрос, необходимо перебрать все прописные буквы русского алфавита и отобрать нз них те, которые обладают горизонтальной осью симметрии: В, Е, Ж, 3, К, И, О, С, Ф, X, Э (в зависимости от типографской гарнитуры симметрия букв может несколько нарушаться). Из них можно составить слова, переходящие в себя при отражении в зеркале, приставленном сверху или снизу, например ЭХО, НОС, ФОН, СНЕЖОК и др.

Необращенное изображение своего лица вы можете увидеть, взглянув в два карманных зеркальца, составленных под прямым углом. (Вертикальная ось симметрии вашего лица должна лежать в плоскости, делящей пополам угол между зеркалами. Составив зеркала, пошевеливайте ими: если угол раствора прямой, вы должны видеть полное отражение своего лица.) Если вы подмигнете левым глазом, то ваше зеркальное отражение подмигнет вам глазом, расположенным против вашего правого, а не левого глаза, как можно было бы ожидать. Обе половины вашего лица отражены дважды – каждым из двух зеркал.

Возможно, собственное лицо покажется вам незнакомым. Глядя в обычное зеркало, вы всегда видите отражение своего лица, у которого правая и левая половины переставлены. Хотя лицо обладает вертикальной осью симметрии, правая и левая половины редко бывают полностью зеркально-симметричными. Когда вы видите свое необращенное лицо, небольшие различия между его правой и левой половинами делают его непривычным, хотя указать, что именно кажется странным бывает довольно трудно. И все же именно так вы выглядите в глазах всего мира! Более того, привычное вам зеркальное отражение вашего лица кажется странным для тех, кто видит вас без зеркала.

Существует хороший способ проверить, насколько вы разобрались в механизме действия двойного зеркала: спросите себя, что вы увидите, взглянув в два зеркала, составленные под прямым углом так, чтобы ребро образуемого ими двугранного угла заняло горизонтальное положение? Двукратное отражение в таком зеркале окажется перевернутым! Является ли перевернутое изображение вашего лица еще и обращенным? Нет, перевернутое отражение, как и прямое, не обращено. Стоит вам подмигнуть левым глазом, как вы увидите, что лицо в зеркале подмигнет вам глазом, расположенным против вашего правого глаза.

Все эти фокусы с зеркалами служат великолепным введением в теорию симметрии и отражений в курсе геометрических преобразований. Элементарная теория преобразований позволяет объяснить все парадоксы, связанные с зеркальной симметрией.

Кубики и прекрасная незнакомка

_{Сколько, по-вашему, здесь кубиков: 6 или 7?}

_{Кто изображен на портрете: прекрасная незнакомка или старая ведьма?}

_{Что вы здесь видите: куб, стоящий в углу комнаты, куб, прилепленный извне к большому блоку, или выемку в форме куба в большом блоке?}

Все эти оптические иллюзии – примеры того, как один и тот же рисунок может по-разному восприниматься нашим сознанием. В первом случае ваш разум воспринимает плоский рисунок как перспективное изображение сложенной из кубиков пирамиды, причем рисунок допускает две интерпретации.

Они обе одинаково допустимы, и наш разум колеблется между ними, будучи не в силах отдать предпочтение ни одной из них.

То же можно сказать и о портрете то ли прекрасной молодой девушки, то ли безобразной старухи.

Невозможно видеть что-нибудь одно: наш разум непрестанно мечется от одной интерпретации к другой.

Третья оптическая иллюзия допускает сразу три интерпретации. Для большинства людей труднее всего увидеть блок с кубической выемкой, поскольку такие выемки встречаются сравнительно редко. Но если вы, глядя на рисунок, попытаетесь представить себе, что перед вами блок, из которого вырезан кубик, то сможете увидеть выемку. Обучение «видению» трех возможных интерпретаций последнего рисунка тесно связано с вашей способностью интерпретировать геометрические чертежи. В геометрии неверное «видение» чертежа – один из основных источников ошибок.

Мистер Рэнди и его необыкновенные ковры

_{У всемирно известного фокусника мистера Рэнди есть ковер размером 13х13 дм ². Он обратился к торговцу коврами Омару с просьбой сделать из его ковра другой – размером 8х21 дм ².}

_{М-р Рэнди.Дорогой мой Омар, разрежьте мой ковер на 4 части и сшейте их так, чтобы получился ковер размером 8х21 дм ².}

_{Омар.Должен огорчить вас, мистер Рэнди. Вы непревзойденный фокусник, но – с арифметикой у вас явно не в порядке: 13х13 = 169, 8х21 = 168. Из вашей затеи ничего не получится.}

_{М-р Рэнди.Мой дорогой Омар! Великий Рэнди никогда не ошибается. Вот вам выкройка. Разрежьте ковер по ней.}

_{Когда Омар разрезал ковер по выкройке, Рэнди расположил куски ковра по-другому, и Омар, искусно сшив их, получил новый ковер размером 8х21 дм ².}

_{Омар.Не верю своим глазам! Площадь ковра сократилась со 169 до 168 дм ²! Куда делся недостающий квадратный дециметр?}

Этот классический парадокс настолько поразителен и труднообъясним, что вы не пожалеете, если перечертите выкройку мистера Рэнди на бумаге в клеточку и, разрезав ее на части, составите из них прямоугольник. Если части прямоугольника не очень велики и вырезаны и вычерчены с обычной, не слишком высокой точностью, то вы вряд ли заметите, что вдоль главной диагонали прямоугольника эти части слегка перекрывают одна другую. Именно тем, что части не прилегают друг к другу, а находят друг на друга вдоль главной диагонали, и объясняется таинственное исчезновение 1 дм ². Если ссылка на перекрытие частей покажется вам недостаточно убедительной, вы легко сможете проверить ее правильность, сравнив угол наклона диагонали прямоугольника и угол наклона соответствующих участков периметра четырех частей.

А что, если начертить на листе в клеточку прямоугольник и, разрезав его на части, составить из них квадрат? Это тоже интересная задача, и, возможно, вам захочется решить ее.

Длины отрезков, фигурирующих в этом парадоксе, равны 5, 8, 13 и 21 дм. Возможно, вы вспомните, что уже встречали эти числа как члены знаменитой последовательности. А может быть, вы вспомните и рекуррентное соотношение, которому удовлетворяют ее члены? Они называются числами Фибоначчи. Каждое из них равно сумме двух предыдущих: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34…

Другие варианты того же парадокса основаны на использовании других четверок последовательных чисел Фибоначчи. Но о каком бы из вариантов ни шла речь, площадь прямоугольника неизменно отличается от площади квадрата: в одних случаях на 1 больше, в других – на 1 меньше. Далее вы обнаружите, что когда площадь прямоугольника на 1 меньше, то вдоль его главной диагонали части перекрываются, образуя едва заметный ромб площадью как раз в недостающую единицу, а когда площадь прямоугольника на 1 больше, то вдоль главной диагонали части не примыкают друг к другу вплотную, оставляя зазор в форме ромба площадью в лишнюю единицу.