Текст книги "Веревка вокруг Земли и другие сюрпризы науки"
Автор книги: Карл Саббаг
сообщить о нарушении
Текущая страница: 5 (всего у книги 18 страниц)
Поводом к этим рассуждениям послужил важный и внушительный трехтомный труд Альфреда Норта Уайтхеда и Бертрана Рассела «Principia Mathematica» (1910–1913) [22]22
Principia Mathematica (лат.)– «Основания математики». Название этого труда отсылает к основополагающей работе Исаака Ньютона «Математические начала натуральной философии» (Philosophiae Naturalis Principia Mathematica). ( Прим. ред.).
[Закрыть], в котором на доказательство того, что один плюс один равно двум, отведено не менее половины страницы. («Полстраницы» – это еще очень консервативная оценка, один математик писал: «Книга Уайтхеда и Рассела “Principia Mathematica” известна тем, что на протяжении тысячи страниц доказывает, что 1 + 1 = 2».)
Рассел, которому часто возражали, что, мол, в доказательстве элементарных арифметических равенств нет никакой нужды, писал: «“Ничто не заставит меня усомниться, что 2 и 2 в сумме дают 4”, – скажете вы. И будете правы практически всегда, за исключением крайних случаев – ведь только в крайнем случае вы сомневаетесь, что вот это конкретное животное – собака, а вот эта конкретная длина – менее метра. Два – это не просто цифра, а количество, и заявление “2 и 2 будет 4” лишено смысла, если не применяется на практике. Две собаки и еще две собаки – всего несомненно четыре собаки, но бывает так, что вы не уверены, собаки ли две из них. “Ну, это в любом случае четыре животных”, – можете сказать вы. Однако существуют микроорганизмы, о которых нельзя с определенностью сказать, принадлежат ли они к царству животных или растений. “Ладно, четыре живых существа”, – скажете вы. Но опять же, иногда не так-то просто разобраться, идет ли речь о живых или неживых организмах. В итоге вы будете вынуждены сказать: “Две сущности и еще две сущности – всего четыре сущности”. Тогда растолкуйте мне, что вы подразумеваете под “сущностью”, и мы закончим этот спор».
Доказывая, что 1 + 1 = 2, основное место в своих рассуждениях Рассел и Уайтхед отводят попыткам дать определение понятию «сущность».
(Да и это доказательство применимо, только если «ввести определение, что такое арифметическое действие сложения», а это уже отдельный разговор.)
Один математик попытался переформулировать то, что пытались доказать Рассел и Уайтхед, воспользовавшись не символами, а словами: «Множества аир, каждое из которых состоит всего из одного элемента, считаются непересекающимися (то есть не имеющими общих элементов), если и только если их объединение дает ровно два элемента».
В таком виде доказательство выглядит несколько более доступным, хотя требует некоторых дополнений. Теория множеств как особый раздел математики возникла в конце XIX столетия. Эта теория базируется на понятии «множества» как совокупности предметов, рассматривает правила объединения предметов в множества и анализирует отношения между множествами. Например, выражение *11·54 (см. выше на рисунке) относится к высказыванию, помещенному в другом месте книги и гласящему: «Можно взять утверждение о том, что существуют две вещи, и разделить его на два утверждения – каждое о существовании одной из вещей». Простые числа и то, как мы ими оперируем в быту, – всего лишь слабая тень величественного здания математики, возведенного математиками-философами наподобие Рассела и Уайтхеда.
Однако чтобы понять, почему в математике важна точность, особых знаний не требуется. Иногда привычный нам способ смотреть на вещи может завести в тупик (даже на уровне школьного курса математики). Вот вам, к примеру, доказательство, что 3 = 4.
Допустим:
а + b = с
Это выражение также можно записать следующим способом:
4а − 3а + 4b − 3b = 4с − Зс
(Потому что 4а − 3а – это просто «а», 4b − 3b – просто «b», и так далее.)
Преобразуем получившееся равенство:
4а + 4b − 4с = 3а + 3b − Зс
(Переносить элементы из одной части равенства в другую разрешается, если при этом вы не забываете сменить знак на противоположный, то есть с минуса на плюс и наоборот. Так, например, 4х − 3 = 0 можно иначе выразить как 4х = 3, переместив -3 в другую часть равенства и сменив знак на плюс. Это то же самое, что добавить одно и то же число, +3, к обеим частям равенства. Если добавить к обеим частям равенства одинаковое число, равенство сохраняется.)
Теперь преобразуем пример следующим образом, то есть вынесем общий множитель за скобки:
4 (а + b − с) = 3 (а + b − с)
Разделим обе части на (а + b − с) и придем к выводу, что 4 = 3.
В основе этого ложного умозаключения лежит ошибка, которую может совершить каждый, кто не очень чуток к законам арифметики. Столкнувшись с подобной головоломкой, многие из нас предпочитают руководствоваться здравым смыслом, а не блестящими образцами доказательств, порожденных научной мыслью. Мы уподобляемся госпоже Ла Туш, даме, жившей в Викторианскую эпоху и известной лишь тем, что однажды она изрекла: «Ненавижу сложение. Нет большего заблуждения, чем называть арифметику точной наукой. Сплошные пермутации и аберрации, различимые лишь для таких благородных умов, как мой; неприметные вариации, которых простой бухгалтер и не увидит; скрытые законы чисел, которые требуют недюжинных умственных способностей, вроде моих. К примеру, если вы сложите слагаемые, расположенные столбиком, снизу вверх, а потом сверху вниз, – результат всегда получится разный» [23]23
К сожалению, здесь приходится поправить автора книги. Женщина, перу которой принадлежат эти строки, вовсе не безвестна. Мария Ла туш (урожденная Полли Прайс, 1824–1906) происходила из богатой аристократической семьи, получила прекрасное образование и была художественно и литературно одаренна. Жила в ирландском городе Гарристауне. Ее письма родным и близким (сохранившиеся далеко не в полном объеме), изданные в Лондоне в виде книги под названием «Письма аристократки (госпожи Ла Туш из Гарристауна)» (1908), отличаются безупречным литературным стилем, что отмечали многие писатели и литературные критики. Письма написаны порой в ироничной и самоироничной манере, что видно по отрывку, посвященному арифметике. Ирония больше всего чувствуется в финальной части этого отрывка, которая обычно не цитируется: «И еще: если вы перемножите какие-нибудь числа перед чаем, а затем перемножите их же после чая, результаты будут разные тоже. Особенно замечательно то, что послечайный результат обычно лучше согласуется с вычислениями других людей, чем дочайный». Приводимое здесь письмо датировано июлем 1878 года и адресовано ближайшей подруге Марии Ла Туш госпоже Северн. (Прим. ред.).
[Закрыть].
А все началось с обеда…
Математика имеет каверзное свойство очень быстро все усложнять и запутывать. Казалось бы, начали вы разбирать простую и всем понятную задачку, и вот – оглянуться не успели, как все вышло из-под контроля, а у вас от напряжения мозг свело.
Рассмотрим одну из таких задачек. На обеде, куда приглашены шестеро гостей, либотрое из них уже знакомы друг с другом, либотрое совершенно друг друга не знают. Докажите это.
Ситуация вполне правдоподобная, но, сколько ни думай, доказательство все время ускользает. В условии не говорится, что собравшиеся делятся на две группы: друзья и незнакомцы. Также нигде не сказано, что они все не могут быть друзьями или чужаками. Вроде бы очевидно: если среди собравшихся есть двое друзей, то остальные четверо должны быть чужаками, но это тоже неверно. Двое из этих самых «чужаков» могут быть знакомы между собой, но не знать ни одного из «друзей».
А вот математик враз покончит со всей этой неразберихой. Он возьмет карандаш, а лучше два карандаша, красный и синий, или даже три – красный, синий и черный, и нарисует круг из шести черных точек, каждая из которых обозначает гостя. Затем он соединит красными линиями все пары людей, которые знают друг друга, и синими линиями – пары незнакомцев. В этом узоре из пятнадцати линий обязательно окажется либо красный, либо синий треугольник: трое людей, знакомых друг с другом, либо трое, которые друг друга не знают.
Конечно, рисунок не доказывает изначальное высказывание, зато он переводит неясную ситуацию с людьми в четкое математическое выражение. Задача теперь рассматривает точки, соединенные линиями, то есть схему, а не людей и их взаимоотношения.
Область математики, имеющая дело с такими задачами, называется теорией Рамсея – в честь гениального кембриджского математика Фрэнка Пламптона Рамсея (1903–1930), умершего в 26-летнем возрасте, но успевшего внести существенный вклад в математику, экономику и философию. Задачка с обедом – одна из простейших в этой области, графы к более сложным задачам содержат больше точек, соединенных большим количеством линий. Граф, в котором каждая точка соединена со всеми остальными точками прямыми линиями, называется «полный граф». Граф, находящийся внутри этого множества линий, например красный или синий треугольник из вышеописанного примера, носит название «подграфа». Задачи в теории Рамсея обычно формулируются в виде вопросов типа: каково должно быть минимальное количество точек, чтобы образованный ими полный граф, случайным образом нарисованный красным или синим карандашами, содержал либо красный треугольник, либо синий четырехугольник?
Такие задачи на удивление трудно поддаются решению. Если в задачке про обед изменить условие и вместо трех сделать пятерых друзей или пятерых незнакомцев, то решить ее станет невозможно. Ответ можно будет выразить как R (5,5) – минимальное число гостей, необходимое, чтобы среди них оказалось либо пятеро друзей, либо пятеро человек, незнакомых друг с другом, но что это за число – никто не знает. Максимально близко к ответу ученые подошли, когда определили, что это R (5,5) находится где-то между 43 и 49. Венгерский математик Пал Эрдёш (1913–1996) однажды написал: «Представим себе, что некая инопланетная армия, куда более могущественная, чем наша, прилетит на Землю и потребует сообщить им точное значение R (5,5), а в противном случае пригрозит уничтожить нашу планету. Чтобы найти это значение, нам потребуется привлечь все имеющиеся компьютеры и математиков. А случись инопланетянам, допустим, потребовать значение R (6,6) – проще будет сразу попытаться уничтожить пришельцев».
Хотя считается, что математиков во всем интересует точность, иногда они согласны и на меньшее. Знать, что значение R (5,5) лежит между 43 и 39, почти так же хорошо, как, скажем, установить, что оно равняется 46. (Если вдруг впоследствии окажется, что это правильный ответ, обязательно потребую признать себя автором великого открытия!) Но в одной конкретной рамсеевской задаче эта терпимость к неточностям приводит к смехотворным результатам.
Наряду с подграфами, которые содержатся в полных графах, нарисованных на плоскости (как в вышеописанных примерах), теория Рамсея может задаваться вопросами касательно подграфов, находящихся в трехмерных полных графах. Например, нарисуйте восемь точек на плоскостях близ угла куба и соедините их все между собой – вы получите множество линий, среди которых будут попадаться разнообразные более простые фигуры. Теперь можно задавать вопросы касательно отдельных подграфов в этом полном графе, включая те, что лежат на плоскости. Все треугольники, разумеется, окажутся на плоскости, но подграфы из четырех и более точек – необязательно.
Для математиков, занимающихся теорией Рамсея, двух– и трехмерные фигуры – детский сад. Рамсеевская задача с самым неточным в мире ответом имеет дело с полными графами более высоких измерений. Обрисую вопрос в общих чертах, даже не пытаясь объяснить его. (Вам нужно только знать, что гиперкуб – это существующий в многомерном пространстве эквивалент двухмерного квадрата или трехмерного куба.) Итак, задача: каково минимальное количество измерений гиперкуба, чтобы получился полный граф с четырьмя точками, лежащими в одной плоскости, – при условии, что все линии, соединяющие все пары углов, двухцветные?
Еще никому не удалось ответить на этот вопрос, однако американский математик Рональд Льюис Грэм (р. 1935) нашел верхнюю границу ответа. Как 49 для R (5,5), верхняя граница – это число, для которого вы можете доказать, что оно больше правильного ответа либо равно ему.
Грэмовская верхняя граница являет собой столь огромное число, что для его записи потребовалась бы особая система счисления. И запись даже в такой системе счисления оказалась бы слишком длинной, чтобы включать ее в книгу. Достаточно лишь сказать следующее: число это столь огромно, что, если бы вся материя во Вселенной превратилась в перья и чернила, ее все равно не хватило бы, чтобы записать полученное значение в десятичной системе счисления.
И вот что самое забавное во всей этой истории: как было недавно подсчитано, правильный ответ может оказаться совсем не таким уж внушительным. Например, он вполне может равняться 11.
«Крибле, крабле, гугл!»,
или Как работают поисковые системы Интернета
Зачастую, пользуясь компьютерами, мы не задумываемся о принципах их работы, так же как, крутя баранку, предпочитаем не вникать в процессы, происходящие под капотом. На такие показатели, как скорость обработки информации или размеры памяти, мы если и обращаем внимание, то лишь при покупке нового компьютера, но редко отдаем себе отчет, какого уровня развития достигли технологии, ставшие столь привычной частью современного мира.
Лучшую иллюстрацию тех небывалых свершений, на которые способны компьютеры, я вижу всякий раз, как набираю в поисковой системе «Гугл» очередное слово или фразу. Например, напечатав по-английски слово «type» («печатать, печать, шрифт»), я всего за 0,16 секунды (это время отображается на экране) получаю первую страницу списка из приблизительно 2 780 000 000 страниц интернет-сайтов, где встречается это слово. Информация о почти трех миллиардах страниц найдена менее чем за пятую долю секунды. Если вы наберете «movable type» («шрифт из подвижных литер»), всего через 0,2 секунды вам сообщат, что существует около 15 100 000 страниц, содержащих это словосочетание. А если набрать «the phrase “movable type”» («словосочетание “шрифт из подвижных литер”»), через 0,08 секунды придет ответ, что страниц с этой фразой найдено ровно восемь. Точнее, найдено восемь разных страниц, поскольку «Гугл» указывает, что если учитывать копии этих восьми страниц, то общее их число достигнет сорока.
Как же это происходит? Неужели где-то стоит компьютер, который по моему запросу считывает все содержимое Интернета и за долю секунды выбирает из него нужные мне страницы?
Вообще-то, нет. «Гугл» действует гораздо умнее, хотя и не менее поразительно. Он постоянно, по мере создания новых интернет-сайтов, собирает их и добавляет в свою базу данных. Всякий раз, запрашивая ту или иную страницу, он создает список всех слов на этой странице и добавляет эти слова в алфавитный указатель, присвоив каждому слову уникальный адрес, в котором помечена страница, где находится слово. То есть, проще говоря, слово «type» в этом указателе закреплено за 2 780 000 000 или около того страниц. Список этих страниц существовал еще до того, как вы вбили запрос в строку поисковика, так что 0,16 секунды – это время, которое требуется компьютеру, чтобы сообщить вам то, что он и так уже «знал». Выше в этом алфавитном указателе будет и слово «movable» с примерно 25 миллионами ссылок на страницы. Если ввести в поисковик слова «movable» и «type» отдельно друг от друга, то есть без общих кавычек, «Гугл» сравнит два отдельных списка (2 780 000 000 и 25 000 000 адресов страниц) и составит новый список, где будут только страницы, присутствующие в обоих списках, то есть лишь те страницы, на которых содержатся оба слова. Но вот, скажем, я решил набрать слова «movable type» в кавычках, означающих, что мне нужны только те страницы, где эти два слова встречаются вместе, причем «type» следует сразу за «movable». Здесь начинает работать другой тип информации, собранной при составлении указателя. Помимо того факта, что слово «movable» содержится, скажем, в документе 12, указатель также знает, на какой позиции в этом документе находится искомое слово, – допустим, на позиции 31. Теперь вообразите себе, что в указателе содержится серия строк вида (Д12,31), соответствующих слову «movable» и содержащих номер документа и позицию слова. Строки, относящиеся к слову «type», тоже находятся в указателе и имеют несколько иной вид – допустим, (Д 12,32). Сравнивая строки в списках, «Гугл» определяет, что словосочетание «movable type» встречается в документе Д12, где искомые слова находятся на позициях 31 и 32, и включает адрес документа Д12 в список найденных по запросу страниц.
Люди с избытком свободного времени придумали целую игру с использованием поисковой системы «Гугл» – «гугл-вэкинг» [24]24
Googlewhacking (англ. компьютерный сленг). Перевести на русский язык это словечко весьма сложно, чаще всего используют оборот «Гугл-помешательство" или транслитерацию «гугл-вэкин" (Прим. ред.).
[Закрыть]. Цель игры – найти комбинацию из двух слов, которая встречается в громадном архиве «Гугла» всего на одной странице. Найдя такую комбинацию, гугл-вэкеры сообщают о своем открытии на специальном гугл-вэкерском сайте. «Но в таком случае эта комбинация слов сразу перестанет быть уникальной, – возразите вы. – Ведь теперь она встречается уже на двух сайтах – изначальном и гугл-вэкерском». Однако «Гугл» милостиво исключил сайт гугл-вэкеров из своего поискового процесса, так что парадокса удалось избежать.
Моя бесконечность больше твоей!
Многим из нас не так-то просто свыкнуться с понятием бесконечности и особенно с мыслью о том, что бесконечности бывают разных размеров. Но факт остается фактом: математики имеют дело с бесконечностями нескольких размеров, каждая из которых «бесконечно» больше, чем предыдущая. Многим «бесконечность» представляется в виде числа, к которому стремишься, когда считаешь от единицы и дальше, – и так вечно. В таком ракурсе идея о существовании чисел, превышающих эту бесконечность, кажется абсурдной (разве что считать придется больше, чем вечно). Пытаясь продемонстрировать, что такие числа все-таки есть, математики использовали так называемую биекцию, то есть взаимно-однозначное соответствие.
Предположим, вы выстроили все числа в ряд (1,2,3…) и так до «бесконечности» (в дальнейшем я не буду пользоваться кавычками, но имейте в виду: даже если из моих слов покажется, что бесконечность являет собой некое конкретное число, на самом деле это не так). Если бы у вас был другой ряд чисел, скажем дробей, и вы бы могли соотнести эти два ряда так, чтобы каждому числу соответствовала парная ему дробь, а у каждой дроби была пара в виде целого числа, и так до бесконечности, то можно было бы сказать, что оба ряда содержат одинаковое количество чисел, следовательно, их бесконечности равны.
И напротив, если бы у вас был ряд чисел, которые нельзя попарно соотнести с целыми числами так, чтобы не осталось неохваченных, лишенных пары чисел, вы могли бы сказать, что бесконечность данного ряда чисел больше бесконечности целых чисел.
Рассмотрим для начала дроби. На первый взгляд не похоже, чтобы дробей существовало столько же, сколько целых чисел, а не больше. Ведь между каждыми двумя соседними целыми числами – скажем, 1 и 2 – окажется куча дробей: 3/2, 4/3, 6/5 и т. п. Но если можно расставить все дроби в единственно возможном порядке, создав из них бесконечно долгую последовательность, то что мешает, к примеру, поставить целое число 817 в пару к дроби с 817-м порядковым номером в списке дробей? Итак, у каждой дроби окажется единственно возможное парное ей целое число, и наоборот. (Причем целые числа окажутся и в списке дробей, ведь 4 можно выразить как 4/1.)
Теперь о том, как выстроить этот список. Сложите числитель и знаменатель каждой дроби и расположите их в порядке возрастания результата сложения, который мы обозначим как 5. (Если у дроби в числителе отрицательное число, просто не обращайте на знак «минус» внимания.) Итак, у дроби 1/2 s равняется 3; у 1/3 s равен 4; у 11/17 – 28 и так далее. У некоторых дробей будут одинаковые значения s, но поскольку наша единственная цель – выстроить длинную упорядоченную последовательность, мы можем ввести какое-нибудь правило, позволяющее однозначно определить, какая дробь должна стоять первой. Правило может быть таким: если несколько дробей дают одно и то же значение в, мы будем располагать их в порядке возрастания знаменателя. Так, у семи дробей: −4/1,1/4,2/3,3/2,4/1,-3/2,-2/3 – s равняется 5. Расположим их в порядке возрастания знаменателя: 4/1, -4/1, 3/2, -3/2, 2/3, -2/3, 1/4. А теперь пронумеруем каждый элемент этого длинного списка дробей так, чтобы каждая дробь попарно соотносилась с одним из ряда целых чисел, и так до бесконечности.
Итак, каждая дробь будет представлена в списке только один раз, и ей будет соответствовать целое число, равное номеру этой дроби в списке. Ни одна дробь не останется неохваченной, и ни одно целое число не окажется без соотнесенной с ним дроби, так что в обоих рядах будет одинаковое количество чисел.
Отлично! Так, может быть, признаем, что все бесконечные множества предметов имеют равное количество составляющих их элементов, даже если кажется, что это маловероятно, как в случае с дробями? Но как тогда могут возникнуть бесконечно большие множества предметов, которые больше, чем бесконечность порядковых номеров?
Немецкий математик Георг Кантор (1845–1918) обнаружил два ряда чисел, которые нельзя взаимно-одназначно соотнести друг с другом, как мы только что проделали с порядковыми номерами и дробями. Он оттолкнулся от посылки, что соотнести их можно, и нашел противоречие. Помните? – если вы придерживаетесь гипотезы, будто все лебеди белые, достаточно найти одного черного, и вся гипотеза пойдет насмарку (см. главу «Есть ли в космосе черные лебеди?»).
В одном из рядов чисел, рассматривавшихся Кантором, были натуральные, или целые, числа – такие же, как использованные нами. Другой совокупностью были так называемые вещественные (или действительные) числа. Вещественные числа эквивалентны точкам на линии от 0 до бесконечности, таким образом, их множество включает в себя целые числа и дроби, но также оно включает и иррациональные числа, которые не могут быть выражены в виде дробей с целыми числителями и знаменателями (см. главу « π= 3»), а могут выражаться лишь в виде десятичной дроби с длинным рядом знаков после запятой. Простые дроби тоже можно перевести в десятичные, но у них через несколько знаков после запятой начнутся сплошные нули. Так, 5/8 – это то же самое, что 0,62 500 000 000, тогда как в иррациональном числе 17,38279462900962835687648… знаки после запятой можно перечислять вечно.
Чтобы доказать, что вещественные числа нельзя взаимно-однозначно соотнести с целыми числами, Кантор продемонстрировал: как бы вы ни пытались выстроить вещественные числа в организованную последовательность, как мы проделывали с дробями, всегда есть шанс, что всплывет какое-нибудь вещественное число, которого в этой последовательности нет.
И вот как он это обосновал. Допустим, у нас есть совокупность всех вещественных чисел (которых бесконечное количество), и мы ввели некое правило, позволяющее выстроить их по порядку. Полученная нами в результате последовательность может выглядеть, например, так:
| Целое число | Вещественное число |
| 1 | 7,2728654901088… |
| 2 | 2,0709903829756… |
| 3 | 18,696243576675… |
| 4 | 0,8717454638892… |
| 5 | 3,8342020203020… |
| 6 | 0,6766682920082… |
| 7 | 3,1416269873562… |
Какова бы ни была закономерность расположения чисел, она не очевидна, но речь сейчас не об этом. До тех пор, пока мы пребываем в уверенности, что можем соотнести любое вещественное число с привычным и милым нашему сердцу миром целых чисел, мы неизменно будем получать такую вот странноватую последовательность.
Итак, вы можете сунуть мне под нос этот список и похвастаться использованным правилом расположения чисел, благодаря которому любое взятое с потолка вещественное число вплоть до бесконечности обязательно где-нибудь в этом списке да найдется, а значит, бесконечность вещественных чисел равна бесконечности соответствующих им порядковых номеров, то есть целых чисел. Но как бы ни выглядел ваш список, я могу придумать вещественное число, которого там не будет.
Для простоты сосредоточимся только на знаках после запятой.
Я могу составить число, чей первый знак после запятой будет отличаться от первого знака в первом числе списка. Второй знак в моем числе не совпадает со вторым знаком второго числа. Третий знак моего числа будет отличаться от третьего знака после запятой в третьем числе списка, и так далее.
Взяв в качестве образца приведенный выше список, я могу составить число 0,3942501… Многоточие означает, что количество знаков после запятой бесконечно, как и у большинства вещественных чисел. А теперь я могу доказать, что, каким бы правилом при расположении чисел вы ни руководствовались, моего числа в вашем списке нет. Его не может там быть из-за самого метода, каким я его создавал, ведь от каждого вещественного числа в вашем списке оно отличается хотя бы на одну цифру. Это и есть тот «черный лебедь», доказывающий, что изначальное допущение, будто вы установили взаимно-однозначное соответствие между всеми вещественными и всеми целыми числами, неверно. Эти две бесконечности – бесконечность вещественных чисел и бесконечность целых чисел – существенно разнятся, на этой разнице Кантор основал целое новое направление теории чисел. Теперь, быть может, вас не удивит, что математики полагают, будто «размеров» бесконечностей не два, а гораздо больше. В действительности их бесконечно много, и, в довершение картины, данная бесконечность больше любой из бесконечностей, входящих в это количество.
Ползай с пользой!
За последние годы я оказывал компьютерную поддержку сразу нескольким научным проектам. Среди них были поиски внеземного разума, погоня за очень большими простыми числами и тестирование алгоритмов для построения трехмерного изображения белковых молекул исходя из их линейной формулы.
Причина, по которой меня попросили помочь в столь широком спектре важных научных исследований, к сожалению, почти не связана с присущими мне способностями и талантами и объясняется главным образом наличием у меня персонального компьютера.
Ученые, которые работали над этими проектами и десятками им подобных, привлекали скрытые ресурсы, таящиеся в недостаточном использовании домашними компьютерами вычислительного времени, которое в общей сложности составляет миллионы часов и позволяет добавить мощности собственным компьютерам ученых, когда требуется производить сложнейшие математические расчеты. Большую часть времени, даже когда мы работаем с домашними компьютерами, они загружены не на полную катушку. Один из первых проектов по использованию сэкономленного вычислительного времени назывался SETI – эта аббревиатура расшифровывается как Поиск Внеземного Разума – и требовал переработки огромных массивов информации, которая ежедневно поступает с устройства, закрепленного на гигантском радиотелескопе на острове Пуэрто-Рико. Поступающие данные являют собой разновидность «белого шума» – это радиоволны, хаотично испускаемые звездами и галактиками. Однако ученые надеются, что однажды среди этого шума попадется сигнал от представителей внеземной цивилизации, который будет выделяться некоторой регулярностью на фоне общей хаотичности. Скачав и установив простенькую программу, пользователи домашних компьютеров могут подключиться к анализу этой информации, которая поступает к каждому участнику программы регулярными порциями. Присоединившись к этому проекту, вы можете наблюдать, как программа на вашем компьютере анализирует полученные данные, и мечтать о том мгновении, когда ваш компьютер заметит регулярно поступающий сигнал и поставит весь мир на уши, отправив сообщение об этом в SETI.
Это была хорошая задумка, которую тут же подхватили другие ученые: им тоже требовалась обработка больших массивов данных, которая не требует сложнейшего программного обеспечения – достаточно обычного домашнего компьютера.
Такие проекты существуют по сей день, для участия в них вам всего лишь нужно подать заявку и скачать ту или иную специальную программу. Но я наткнулся на еще один хитроумный способ использования вашего и моего компьютеров, который даже не требует от нас согласия и контроля. Блуждая по Интернету, вы наверняка сталкивались с тем, что некоторые сайты просят вас распознать и ввести код из искаженных и не сразу узнаваемых цифр или букв. Это делается для того, чтобы удостовериться: сайтом пытается воспользоваться человек, а не компьютерная программа, ищущая, как бы обдурить он-лайновые сервисы – например, скупить билеты на концерт для перепродажи и взвинтить цены. Эти слова или буквенно-цифровые коды называются CAPTCHA [25]25
CAPTCHA (от англ.Completely Automated Public Turing test to tell Computers and Humans Apart) – полностью автоматизированный публичный тест Тьюринга для различения компьютеров и людей. В рунете часто транскрибируется как «капча». (Прим. перев.).
[Закрыть].
Новые горизонты использования CAPTCHA открылись в ходе проектов по оцифровке книг, чтобы сделать их текст доступным в сети Интернет. Раньше процесс этот был весьма трудоемким и требовал, чтобы люди считывали текст и набирали его на компьютере. Позднее возникли менее затратные методы с использованием OCR (Optical Character Recognition) – программ для оптического распознавания текста, которые на высокой скорости считывают книгу и преобразуют ее в электронный документ. Однако чем старее книга, тем сложнее компьютеру распознать текст. Викторианский роман, отпечатанный мелким шрифтом на пожелтевшей и крошащейся бумаге, – твердый орешек для компьютера, в то время как у человека при чтении такой книги никаких проблем не возникает.
И тут снова на арене появляется CAPTCHA. Чтобы получить доступ к интернет-сервисам, люди вводят подобные коды более ста миллионов раз в сутки. Ученые-компьютерщики из питтсбургского университета Карнеги-Меллон показали, как можно использовать этот пустой труд, убедив владельцев некоторых сайтов использовать в качестве CAPTCHA слова, которые компьютеру не удалось распознать при оцифровке старых книг. Так, подстраховавшись, чтобы быть уверенными в правильном распознавании и использовав для этого на разных сайтах одно и то же слово, они создали систему для обработки неразборчивых слов, которые прежде требовали распознавания специалистом и введения в текст в ручном режиме. Эта система оптического распознавания текста, получившая название reCAPTCHA, во время испытаний показала точность 99,1 % (для сравнения: точность стандартной OCR – 83,5 %). За год работы этого проекта пользователи Интернета невольно расшифровали почти 500 миллионов слов, что равноценно количеству не поддающихся расшифровке слов из 17600 книг.
Так что, в следующий раз, блуждая, лазая, ползая по Интернету и столкнувшись там с кодом в виде деформированного и трудно различимого слова, изо всех сил постарайтесь разобрать его, ведь, возможно, вы не просто покупаете билет на выступление любимой группы, но еще и пополняете хранилище сокровищ мировой литературы в Интернете.
Завернутые на Моцарте
В 1890 году жителям Зальцбурга повезло – у них появилось новое лакомство, «Mozartkugeln» (в переводе на русский «шарики Моцарт»): сердцевина из фисташкового марципана под слоем нуги и темного шоколада. Традиционно эти круглые конфеты заворачивали в квадратные или прямоугольные фантики из серебристой фольги, и, конечно, часть фольги расходовалась впустую, образуя складки, неизбежные, если пытаешься обернуть шоколадный шарик плоским листком фольги.
Находясь, как все математики, в непрестанном поиске новых знаний, семейный тандем ученых из Нью-Йоркского университета – отец и сын [26]26
Имеются в виду Мартин (р. 1942) и Эрик (р.1981) Демейн, причем они не из Нью-Йоркского университета, а из Массачусетского технологического института. ( Прим. ред.).
[Закрыть]– решил установить минимальный размер кусочка фольги, необходимого, чтобы завернуть «Моцарткугель». Ведь заметное уменьшение размеров фантика позволило бы производителям конфет сэкономить на фольге.
В настоящее время используются два типа фантиков: один квадратный со стороной π × √2,а другой прямоугольный со сторонами πи 2π.(Отрадно осознавать, что еще до того, как к «Моцарткугелям» потянулись руки американских математиков, в разработке фантиков использовался математический расчет.) В обоих случаях площадь обертки приблизительно на 60 % превышает площадь поверхности конфеты, из-за чего около трети идущей на фантики фольги пропадает впустую.
