Текст книги "Геометрия, динамика, вселенная"

Автор книги: Иосиф Розенталь

сообщить о нарушении

Текущая страница: 5 (всего у книги 11 страниц)

4. ПРОСТРАНСТВО СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ(ПРОСТРАНСТВО МИНКОВСКОГО)

Теории относительности посвящено огромное число книг, написанных на разных уровнях. Поэтому нецелесообразно представлять здесь систематическое изложение этой теории. Идея этого и следующего разделов несколько скромнее: очертить лаконично идею взаимосвязи геометрии и динамики, обусловленную созданием теории относительности, которая изменила сам стиль этой взаимосвязи. Ранее (в ньютоновской механике) эта взаимосвязь проявлялась как бы неявно: в определении инерциальной системы, мельком упоминалась при выводу законов сохранения и т. д. После утверждения теории относительности единство геометрии и динамики стало краеугольным камнем физики.

Специальная теория относительности базируется на двух постулатах.

1. Существует класс эквивалентных инерциальных систем отсчета. (Этот постулат оправдывается свойствами пространства: изотропией и однородностью.)

2. Скорость света в пустоте постоянна и не зависит от движения его источника или приемника.

К этому постулату, выдвинутому А.Эйнштейном в 1905 г., мы привыкли. А привычка часто является синонимом тривиальности. В действительности он связан с двумя нетривиальными допущениями. Во-первых, скорость света c не подчиняется обычному классическому правилу сложения скоростей: v| = v| + v| (v| – суммарная скорость, v|

3 2 1 3 1 скорость источника, v| – скорость испущенной материи, в

2 данном случае скорость света). И, во-вторых, этот постулат также связан с утверждением об евклидовости пространства. Отсутствие однородности или неизотропия пространства также привели бы к его нарушению. Физической иллюстрацией возможности подобного нарушения евклидовости является существование макроскопических тел и сильных (≥10**13 Гс) электромагнитных полей. В областях, где находятся эти объекты, скорость света отличны от c. Поэтому при формулировании второго постулата особо подчеркивается свойство среды, в которой распространяется свет (пустота). Верные традиции этой книги, мы остановимся на простейшей системе, состоящей из тела отсчета и материальной точки (пробного тела).

В математическом плане второй постулат специальной теории заключается в том, что время распространения света t между началом координат O и точкой (x, y, z) определяется уравнением

(ct)**2 – x**2 – y**2 – z**2 = 0 (20)

или в дифференциальной форме

(cdt)**2 – dx**2 – dy**2 – dz**2 = 0 (21)

Соотношения (20) и (21) кардинально отличаются от связи между пространством и временем в классической физике (см. (12)). В последнем соотношении пространственные и временные координаты выступают как независимые переменные. Равенства (20) и (21) жестко связывают пространство и время. Пространство и время образуют единый физико-математический континуум. Иногда (особенно в период ранних дискуссий о теории относительности) наиболее ревностные ее апологеты утверждали, что Эйнштейн и Минковский полностью уравняли пространство и время. Это утверждение неверно. В соотношениях (20) и (21) временная и пространственные координаты выступают с разными знаками, что отражает их фундаментальное различие: время (в отличие от пространства) – направленный вектор: существует принцип причинности, различающий будущее и прошлое.

В соответствии с обозначениями дифференциальной геометрии выражение (21) записывается в форме

ds**2 = (cdt)**2 – dx**2 – dy**2 – dz**2 = 0 (22)

Второй постулат теории относительности можно сформулировать на геометрическом языке как утверждение, что для света (в пустоте) интервал ds**2 инвариантен относительно вращений и трансляций в 4-мерном континууме пространства-времени.

Инвариантность интервала ds**2 нетрудно обобщить и на случай тела и системы отсчета, движущейся со скоростью v≠c. Из опыта известно, что скорость света в пустоте максимальна. Поэтому это неравенство следует уточнить так: v

Рассмотрим две инерциальные системы координат, движущиеся со скоростью v друг относительно друга. Из (22) следует, что если в одной системе координат ds=0, то и в другой ds'=0. Рассмотрим общий случай: v≤c. Поскольку ds и ds' бесконечно малые одинакового порядка и при v – > c выполняется (22), то и в общем случае ds и ds' могут отличаться лишь постоянным множителем. Из изотропии и однородности пространства следует, что этот множитель равен 1`. Следовательно, интервал

ds**2 = (cdt)**2 – dx**2 – dy**2 – dz**2 = const (23)

относительно вращений и трансляций. [8]8
  Подробнее доказательство этого утверждения представлено в кн.: Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. 6-е изд. М.: Наука, 1973, С.16.


[Закрыть]

Геометрия, в которой интервал имеет вид (23), называется псевдоевклидовой. Из равенства малых интервалов следует также и инвариантность конечных интервалов.

Инвариантность интервалов ds или s – математической отражение принципиально нового подхода к взаимосвязи пространства и времени. Пространство и время образуют единый математический континуум. Формально это выражается в том, что они составляют пространство Минковского.

Инвариантность интервала ds или s является основой для вывода важнейших следствий теории относительности. чтобы упростить дальнейшие рассуждения, мы ограничимся одной пространственной координатой x. Обобщение на трехмерное пространство (x, y, z) не представляет труда, все сделанные далее выводы при этом сохраняются.

≡=РИС. 4

Отметим прежде всего, что теория относительности существенно изменяет наши повседневные представления о прошлом, будущем и настоящем. Из-за конечности скорости света c причинно-следственные связи определены лишь при значении интервала s≥0. Чтобы представить себе наглядно неопределенно неопределенность ситуации при s<0, допустим, что в момент чтения книги в отдаленной части галактики произошел взрыв звезды, а читатель никак не ощутил этот взрыв и не имеет возможности получить о нем какую-либо информацию. Это типичный пример, отражающий ситуацию при s<0.

Графически можно можно все пространство-время (x,t) разделить на четыре области (рис. 4). Пусть две пересекающиеся линии соответствуют уравнениям x = ±ct. Тогда области внутри угла AOB соответствуют будущему; внутри угла COD – прошлому, а углам AOC и BOD – неопределенной ситуации, которая в общем случае зависит от движения системы отсчета. В этом смысле надо понимать сделанное выше замечание относительно тезиса Аристотеля (отсутствие настоящего). Настоящее, соответствующее одновременно происходящим в разных точках пространства событиям, есть понятие относительное. Оно зависит от движения системы отсчета.

Рассмотрим далее преобразование координаты x и времени t при переходе от одной системы отсчета (x,t) к другой (x',t'), движущейся со скоростью v относительно первой.

Условие, определяющее это преобразование, инвариантность интервала s=s'. Это условие определяет преобразование, которое является единственным с точностью до тривиального переноса начала системы отсчета

x' = x ch ψ + ct sh ψ,

(24) ct' = x sh ψ + ct ch ψ,

ψ – аналог угла поворота декартовой системы в евклидовом пространстве (ср. с преобразованием (13)). В формуле (24) ch и ch – гиперболические функции в отличие от обычных тригонометрических функций в соотношении (13). Эта разница определяется тем, что в евклидовом (двумерном) пространстве Inv = x**2 + y**2 – окружность, а в псевдоевклидовом пространстве Inv = t**2 – x**2 – гипербола.

Положим для простоты x=0. Это допущение не уменьшает общности рассуждений, однако сильно упрощает выкладки. Тогда

x' = ct sh ψ, ct' = ct ch ψ. (25)

Учитывая, что x'/t'=v, из (25) следует, что th ψ = v/c. Используя известные соотношения для гиперболических функций, легко получить

sh ψ = (v/c) [1-(v/c)**2]**(-1/2),

(26) ch ψ = [1-(v/c)**2]**(-1/2),

после чего из формул (24) и (26) следуют преобразования Лоренца:

x+vt x' = –,

–,

/ 1-(v/c)**2

(27)

t+vx/c**2 t' = –.

–,

/ 1-(v/c)**2

Из соотношений (27) следует:

1. При v/c<<1 преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея (12).

2. Интервалы длины и времени преобразуются соответственно:

^x ^x' = –,

–,

/ 1-(v/c)**2

(28)

^t ^t' = –.

–,

/ 1-(v/c)**2

Наметим далее вывод из метрических свойств пространства Минковского уравнения движения материальной точки

p=mu, (29)

где u – скорость частицы.

В ньютоновской механике v = dx/dt; m=const (t абсолютное время). Чтобы обобщить импульс в рамках теории относительности, нужно проделать две операции, специфические для теории относительности: 1) условиться о системе отсчета, в которой определяется время; 2) обобщить 3-мерные векторы ньютоновской физики на 4-мерное пространство Минковского. Иначе говоря, следует ввести 4-мерный вектор, который при v/c – > 0 переходил бы в 3-мерный евклидов вектор, а в рамках теории относительности был бы аналогом 4-вектора (t,x,y,z). Найдем 4-мерный аналог скорости v=dx/dt. В русле идей теории относительности существует выделенная (собственная) система отсчета, связанная с материальной точкой. Действительно, в этой системе величина dx=const и время t=τ однозначно связано с инвариантным интервалом ds. В том же случае, когда тело «истинно» точечное (dx=0), то ds=c d τ. Поэтому естественно в формуле для скорости положить

u=dx/d τ (23)

и на основании (23)

v|||||

x,y,z u||||| = –, x,y,z –,

/ 1-(v/c)**2

где индексы x, y, z отмечают компоненты по соответствующим осям.

Чтобы величина u была бы 4-вектором, нужно доопределить четвертую компоненту. В нашем распоряжении есть единственная величина, имеющая размерность скорости: скорость света c. Поэтому аналог временной компоненты 4-скорости:

c u| = –. (32) t –,

/ 1-(v/c)**2

Тогда выражение (29) для импульса можно записать в форме

p| = m|u|, i 0 i

ult m| – масса в собственной системе отсчета. Индекс i

0 отмечает номер компоненты 4-скорости. Легко проверить, что величины p| (i=1,2,3,4 или t,x,y,z) образуют 4-вектор.

i Действительно,

(p|)**2 – (p|)**2 – (p|)**2 – (p|)**2 = (m|c)**2 = Inv. (34) t x y z 0

По существу (34) есть частное следствие общего определения пространства Минковского: квадрат 4-вектора инвариант относительно поворотов и трансляций в этом пространстве. Другим важнейшим примером этого правила является инвариантность интервала. Отличие от векторного определения пространства Евклида сводится к правилу знаков: квадрат временно-подобной компоненты берется со знаком «+», а квадраты пространственно-подобных компонент – со знаком «-». Если потребовать сохранения формы (29) для выражения импульса в релятивистской механике через обычную скорость, то следует изменить определение массы, положив

m m = –. (35)

–,

/ 1-(v/c)**2

Все выводы релятивистской динамики, и в частности формулы (33) – (35), превосходно согласуются с экспериментальными данными, полученными на ускорителях. Точнее, они служат основой для конструирования больших ускорителей, образуя новую область, лежащую на стыке фундаментальной физики и инженерных дисциплин: релятивистскую инженерную физику.

5. ЭЙНШТЕЙНОВСКАЯ ТЕОРИЯ ТЯГОТЕНИЯ

Специальная теория относительности, геометрический образ которой воплощен в пространстве Минковского, вызывает невольные ассоциации с величайшими творениями искусства. Сочетание величия человеческого духа и лаконичности придают этой теории те качества, которые отличают настоящие ценности.

Тем не менее специальная теория относительности отражение законов природы и поэтому, как и вся физические принципы, характеризуется определенными границами. Произведение искусства – автономно, научная теория неизбежно ограничена невидимыми (а зачастую и зримыми) проявлениями прогресса экспериментальной физики и логикой.

И у специальной теории относительности есть границы применимости. Они проявляются довольно отчетлива, однако (и в этом одна из причуд истории науки) их не принято детально обсуждать. В этом нет, вероятно, никакой злонамеренности. подобная ситуация имеет простую психологическую подоплеку. В первые десятилетия после создания теории относительности у нее существовало столько принципиальных и беспринципных противников, что борьба велась не по линии теории ценных деталей, а по вопросу: быть или не быть теории относительности. И когда экспериментальные данные блестяще подтвердили специальную теорию относительности, а ее противники оказались полными банкротами, в общественном мнении возобладала антитеза отрицания – ее полная абсолютизация.

Однако беспристрастный анализ продемонстрировал, что и у специальной теории есть свои проблемы, которые частично были блестяще использованы Эйнштейном при создании общей теории относительности, а частично вообще ускользнули из поля зрения научной общественности.

Для того, чтобы изложить эти проблемы, мы будем опираться на мысленные эксперименты, которые так часто «проводились» в начале столетия. В частности, на них опирался Эйнштейн в процессе создания теории относительности.

Трудно скрыть известную ностальгию по этой почти ушедшей эре, когда в физике царила наглядность, а формальные аспекты были на втором плане. К сожалению, в науке не всегда возможен стиль «ретро», но все-таки будем стремиться к максимальной наглядности. Вообразим систему отсчета, в которой движутся два тела (1 и 2) с разными скоростями. Тогда в области расположения тела 1 в соответствии с формулами (28) о сокращении масштабов пространство будет искажено: его однородность будет нарушена. Следовательно, будет нарушено основное условие определения инерциальной системы отсчета. Фактически многочастичное макроскопическое тело своим объемом нарушает однородность и изотропию пространства. Тем самым подрываются основы определения инерциальной системы координат. Макроскопическое (неточечное) тело нарушает свойства пространства Минковского: его однородность и изотропию. Поэтому становится проблематичным его использование для описания макроскопического тела.

Это рассуждение – пример мысленного эксперимента. В нашем распоряжении нет твердых тел, которые можно разгонять до релятивистских скоростей, и поэтому непосредственная экспериментальная проверка выводов теории относительности применительно к макроскопическим телам затруднительна. Теоретические же рассуждения на эту тему (релятивистские преобразования температуры) лишены убедительности и однозначности, характерных для специальной теории относительности точечных тел.

Но закроем глаза на эти проблемы, уводящие в сторону от основной линии книги, и попробуем применить эту теорию к конкретному макроскопическому телу – вращающемуся диску, знаменитому диску Эйнштейна. Пусть диск, являющийся абсолютно твердым телом, вращается равномерно вокруг своего центра. Очевидно, что линейные скорости точек диска, расположенные на разных расстояниях от центра, будут различны (пропорциональны расстояниям r). Тогда в соответствии с формулами (29) в этих точках будет различное сокращение. Пространство станет неоднородным, а следовательно, неевклидовым. Вращение диска есть неинерциальное ускоренное движение. Из этих двух фактов Эйнштейн заключил, что ускоренное движение нарушает евклидовость (псевдоевклидовость) пространства.

В случае равномерного вращения диска и соответствующего постоянному во времени ускорению легко оценить, как меняется метрика пространства, заполненного диском, в зависимости от расстояния r. Вычислим, в частности, «неевклидовость» пространства на расстоянии r, если задана угловая скорость вращения Ω. Если Ω = 0, то пространство евклидово, т. е. d/r = 2 π. (d – длина окружности в системе покоя диска). Если Ω ≠ 0, то в направлении по радиусу диска масштаб останется несмещенным, следовательно, длина окружности увеличится в [1-(Ω r/c)**2]**(-1/2) раз. Во вращающейся

d' d -1/2 системе координат – = – [1-(Ω r/c)**2] > 2 π,

r r

что и является мерой неевклидовости.

Нетрудно установить и метрику, соответствующую угловой скорости Ω ≠ 0. В цилиндрических координатах при Ω = 0 интервал

ds**2 = (c dt)**2 – dr**2 – (r dFI)**2, (36)

где FI – азимутальный угол.

Если Ω ≠ 0, то r=r'? FI=FI+Ω t, и интервал имеет вид

(ds')**2 = [c**2-(Ω r')**2 (dt)**2 – 2 Ω (r'**2 dFI' dt – (r' dFI')**2 – (-r')**2. (37)

По какому бы закону ни преобразовывалось время, метрика (37) является римановой метрикой (6). Из того факта, что при ускоренном движении (вращение диска) возникает неевклидовость, которая представляется римановой метрикой, естественно допустить, что ускоренные движения изменяют метрические свойства пространства, а постоянно ускорение (Ω = const ≠ 0) приводит к обобщению пространства Минковского – пространству Римана. Именно эта идея Эйнштейна (взаимосвязь геометрии и динамики) кардинально изменила наши представления о неком абсолютном континууме пространства-времени. Даже пространство Минковского было в известном смысле абсолютно (независимость метрики от динамики). Общая теория относительности уничтожила эти остатки абсолютизации. Однако ограничиваться утверждением, что динамика влияет на свойства пространства, – это почти ничего не сказать. Это общее утверждение, а физики базируется на конкретных уравнениях. Чтобы их сформулировать, Эйнштейн придумал второй мысленный эксперимент (лифт Эйнштейна). Основная его идея базируется на факте (опыты В.Г.Брагинского и сотрудников), установленном с фантастической точностью (до двенадцатого знака): равенство гравитационной и инертной массы. из этого утверждения и законов Ньютона следует, что любое тело движется в однородном гравитационном поле с одинаковым ускорением. А мы видели, что такое движение приводит к изменению метрики пространства. Однако (и это составляет суть второй гипотезы Эйнштейна) пространство всегда остается римановым. Следовательно, интервал не зависит от системы отсчета: ds**2 = (ds')**2.

Третья кардинальная идея Эйнштейна и основывается на первых двух. Риманова метрика определяется расположением тел в пространстве. Как обычно, фундаментальное физическое уравнение следует записать на языке инвариантов. Не останавливаясь на цепи рассуждений, отметим лишь, что уравнения гравитации следовало бы сформулировать на языке кривизн и тензора энергии импульса. Уравнение Эйнштейна имеет вид

R|| – 1/2 g|| R = (8 π G / c**4) T||, (38) юv юv юv

где R|| – тензор кривизны, R – скалярная кривизна, T||

юv юv тензор энергии-импульса:

T|| = (ε+p) u| u| – pg||, (39) юv юv

здесь ε – плотность энергии, p – давление, u – 4-скорость. Инвариантные характеристики кривизны R|| и R определяются

юv компонентами метрического тензора и его производными по времени. Мы не будем здесь выписывать эти довольно громоздкие выражения, которые можно найти в любой монографии, посвященной общей теории относительности.

Таким образом, расположение частиц материи (тензор T||)

юv определяет характеристики Риманова пространства (R||, R).

юv Однако это влияние взаимно. Движение частиц, в свою очередь, определяется геометрией. Частицы движутся в римановом пространстве (гравитационном поле) по кратчайшим расстояниям – геодезическим.

Сделаем некоторые комментарии к уравнению (38).

1. Уравнение Эйнштейна не является полной геометризацией динамики. В правой части находится тензор T||, отражающий свойства материи. Уравнение (38) лишь юv отражает тесную связь между геометрией и динамикой.

2. При нашем весьма упрощенном подходе к уравнению (38) мы, следуя Эйнштейну, опирались на весьма идеализированные мысленные эксперименты. Этот подход неоднократно подвергался критике и модифицировался. Однако почти всегда и при более рафинированном подходе получали уравнения гравитации в форме (38) или близкой к ней.

3. Уравнение (38) прекрасно согласуется со всеми (правда, немногочисленными) экспериментальными данными.

4. Вывод уравнений Эйнштейна на основе более строгих аргументов в известной мере бессмыслен. На поверку оказывается, что и эти строгие аргументы также содержат дополнительные постулаты. Этот факт отражает наше убеждение, что строгий «вывод» фундаментальных уравнений едва ли возможен. Об этом свидетельствует не только опыт вывода уравнений Эйнштейна, но и выводы основных уравнений электромагнитного поля (Максвелл) или уравнений электронов и позитронов (Дирак). В обоих случаях авторы исходили из аргументов, которые впоследствии критиковались. Однако уравнения Максвелла, Дирака и Эйнштейна – основа современной физики. Их справедливость была обусловлена в значительной степени красотой (симметрией), логичностью аргументации и гениальной интуицией авторов. Совершенствовать аргументацию фундаментальных уравнений физики – дело праведное, отрицать же их величие – верх нелепости. По нашему мнению, последняя оценка относится и к попыткам их канонизации – отрицанию ограниченности любой самой великой теории.