Текст книги "Разум и природа"

Автор книги: Грегори Бейтсон

сообщить о нарушении

Текущая страница: 5 (всего у книги 16 страниц)

Если мы проанализируем этот цикл с точки зрения последовательности причин и следствий, то получим следующее:

Если в точке А есть контакт, то включатся магнит.

Если включается магнит, то контакт в точке А прерывается.

Если контакт в точке А прерывается, то магнит отключается.

Если магнит отключается, то возникает контакт.

Эта последовательность вполне удовлетворительна, если мы все время помним, что связка  «если … то»выражает  причинно-следственную связь. Но игра слов, при которой слова  «если» и  «то» переносятся в область логики, приводит к абсурду:

Если происходит контакт, то контакт прерывается.

Если Р, то не Р.

«Если…то» в применении к причине и следствию содержит время, а логическое  «если…то» времени не содержит. Отсюда вытекает, что логика – это неполная модель причинности.

14. ПРИЧИННОСТЬ НЕ ДЕЙСТВУЕТ В ОБРАТНУЮ СТОРОНУ

Логические утверждения часто можно обратить, но следствие никогда не может произойти раньше причины. Эта мысль была камнем преткновения для психологических и биологических наук со времени Платона и Аристотеля. Греки склонны были верить в то, что позже назвали конечными причинами. Они полагали, что паттерн, завершающий некоторую последовательность событий, может считаться в некотором смысле причиной, по которой происходит эта последовательность. Из этого выросла вся так называемая телеология (telos означает конец или цель последовательности).

Пытаясь объяснить процесс адаптации, мыслящие биологи столкнулись с серьезной проблемой. Казалось очевидным, что клешни нужны крабу для того, чтобы что-нибудь ими держать. Но всегда трудно было объяснить причину формирования клешней, исходя из их назначения. В биологии долго считалось ересью утверждение, что клешни существуют, потому что они полезны. Это убеждение содержало телеологическую ошибку – обращение причинности во времени.

Линейное мышление всегда ведет либо к телеологической ошибке (т.е. попытке определить процесс с помощью его результата), либо к мифу о некоем сверхъестественном управлении.

Дело в том, что в случае циклических причинно-следственных связей (которые мы еще обсудим в Главе 4) изменение в любой части цикла может считаться причиной более позднего изменения любой переменной в любом месте этого цикла. Повышение температуры комнаты можно считать причиной переключения режима кондиционера, а можно считать и наоборот – что температура комнаты определяется работой кондиционера.

15. ЯЗЫК ОБЫЧНО ПОДЧЕРКИВАЕТ ЛИШЬ ОДНУ СТОРОНУ ЛЮБОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

Обычно мы выражаемся так, как будто любой отдельно взятый «объект» способен «обладать» некоторыми свойствами. Мы говорим, что камень «твердый», «маленький», «тяжелый», «желтый», «плотный», «хрупкий», «горячий», «движущийся», «неподвижный», «видимый», «съедобный», «несъедобный», и т. д.

Так устроен наш язык: «Этот камень твердый». И так далее. Этот способ выражаться уместен на рынке: «Это новый сорт». «Эта картошка гнилая». «Эти яйца свежие». «Этот ящик сломан». «Этот бриллиант с дефектом». «Фунта яблок достаточно». И так далее.

Но этот способ выражения не годится для науки и эпистемологии. Для четкости мышления желательно, чтобы все качества, свойства, прилагательные и т.д., относились по крайней мере к двум наборам взаимодействий во времени.

Утверждение «этот камень твердый» означает а) что он сопротивляется попытке проникнуть внутрь него, и б) что молекулярные части этого камня связаны друг с другом непрерывными взаимодействиями.

Утверждение «этот камень неподвижен» обозначает положение этого камня по отношению к говорящему или к другим телам, способным к движению. Оно выражает также внутренние свойства камня: его инерцию, отсутствие внутренней деформации, отсутствие трения на его поверхности, и т. д.

С помощью подлежащих и сказуемых в синтаксисе языка постоянно выражается мысль, что «объекты» каким-то образом «обладают» качествами и свойствами. Точнее было бы сказать, что «объекты» возникают или воспринимаются, как нечто отличное от других «объектов», и обретают «реальность» в силу их внутренних отношений, отношений к другим вещам и к говорящему.

Необходимо четко сознавать универсальную истину: чтO бы из себя ни представляли «объекты» плероматического или вещественного мира, в мир коммуникации и смысла они проникают лишь с помощью своих имен, качеств и атрибутов (т.е. посредством информации об их внутренних и внешних отношениях и взаимодействиях).

16. «УСТОЙЧИВОСТЬ» И «ИЗМЕНЕНИЕ» ОПИСЫВАЮТ ЧАСТИ НАШИХ ОПИСАНИЙ

В этой книге слово  устойчивый, а значит, и слово  изменение, будут иметь большое значение. Поэтому полезно будет рассмотреть их сейчас, на предварительной стадии нашего исследования. Какие подвохи содержатся или кроются в этих словах?

Термин  устойчивый обычно используется в качестве прилагательного, относящегося к объекту. Химическое соединение, здание, экологическая система или правительство описываются как «устойчивые». Если мы захотим углубиться в этот вопрос, нам скажут, что устойчивым называется объект, не меняющийся под действием или давлением определенных внешних или внутренних переменных, или, может быть, сопротивляющийся разрушительному действию времени.

Если мы начнем выяснять, чтO кроется за словом  устойчивость, то обнаружим широкий спектр различных механизмов. На простейшем уровне это обыкновенная физическая твердость и вязкость – качества, описывающие взаимодействия устойчивого объекта с каким-либо другим объектом. На более сложных уровнях может участвовать множество взаимосвязанных процессов, образующих то, что называется  жизнью. Этот механизм позволяет поддерживать рассматриваемый объект в  состоянии изменения, способном сохранять некоторые важные константы, например, температуру тела, кровообращение, содержание сахара в крови, или даже самую жизнь.

Акробат, идущий по проволоке, сохраняет устойчивость, постоянно корректируя свое отклонение от равновесия.

Эти более сложные примеры наводят на мысль, что, применяя слово  устойчивость к живым организмам или саморегулирующимся циклам, мы должны  учитывать специфические особенности рассматриваемых явлений. Для акробата на проволоке важно его так называемое «равновесие»; а для тела млекопитающего – его «температура». Изменение в состоянии этих важных переменных постоянно отмечается в коммуникационных сетях тела. Чтобы следовать особенностям явления, мы должны всегда определять «устойчивость» по отношению к сохраняющейся истинности некоторого описательного утверждения. Утверждение «Акробат находится на проволоке» остается истинным при наличии слабого ветерка и небольших колебаний проволоки. Эта «устойчивость» – результат непрерывных изменений в описаниях положения акробата и его балансировочного шеста.

Следовательно, когда мы говорим о живых объектах, все утверждения об «устойчивости» должны дополняться некоторым описанием, поясняющим, к какому логическому типу относится слово «устойчивый». Далее, особенно в Главе 4, мы увидим, что  любое описательное утверждение должно характеризоваться в соответствии с логическими типами подлежащего, сказуемого и контекста.

В такой же точности нуждаются и все утверждения об изменении. Глубина таких изречений, как французская пословица «Plus ça change, plus c’est la même chose» [Чем больше оно меняется, тем больше остается тем же самым (фр.). – Прим. перев.], объясняется смешением логических типов. То, чтO «меняется», и то, чтO «остается тем же самым» – это описательные утверждения, но разного уровня.

Список предпосылок, разобранных в этой главе, нуждается в некоторых комментариях. Прежде всего, он ни в коем случае не полон, и мы не утверждаем, что вообще возможно составить полный список истин и обобщений. Да и может ли быть наш мир в принципе описан каким-либо конечным списком?

При подготовке этой главы я отбросил еще около десятка предпосылок, и несколько других перенес из этой главы в Главы 3, 4 и 5. Однако, при всей неполноте этого списка, читатель может проделать с ним ряд упражнений.

Во-первых, когда ученый видит список чего бы то ни было, у него возникает естественное желание расклассифицировать или упорядочить входящие в него предметы. Частично я это проделал, разбив список на четыре группы, элементы которых связаны друг с другом различными способами. Нетривиальное упражнение состояло бы в том, чтобы перечислить способы, которыми могут быть связаны друг с другом такие истины и предпосылки. Я предлагаю следующую систему:

Первый блок включает в себя номера с 1 по 5, которые, по-видимому, представляют собой связанные друг с другом аспекты такого важнейшего явления, как кодирование. Здесь, например, легко заметить, что утверждение «наука никогда ничего не доказывает» тождественно различию между картой и территорией; то и другое следует из опытов Эймса и из естественнонаучного обобщения, гласящего, что «объективного опыта не существует».

Интересно отметить, что с абстрактной и философской точки зрения эта группа обобщений должна быть тесно связана с чем-то вроде бритвы Оккама или правилом экономии. Без подобного решающего критерия невозможно решительно предпочесть одну гипотезу другой. Оказывается, для этого необходим критерий, предпочитающий простоту сложности. Но эти обобщения связаны также с нейрофизиологией, экспериментами Эймса и другими подобными вещами. Сразу же возникает вопрос: поскольку в процессе восприятия содержится нечто вроде бритвы Оккама или критерия экономии, нет ли связи между процессами восприятия и более философскими проблемами? При рассмотрении вопроса о частях и целом в пункте 5 мы показали, как происходит обычное преобразование в ходе процессов, называемых описанием.

Разделы 6, 7 и 8 образуют второй блок, относящийся к вопросам случайности и упорядоченности. Как можно заметить, представление о том, что нечто новое может возникнуть только случайно, почти полностью противоречит неизбежности энтропии. При обсуждении экономики гибкости в Главе 6 мы займемся вопросами положительной и отрицательной энтропии (см. Словарь) и отметим резкие различия между обобщениями, которые выражаются этими словами, и обобщениями, связанными с энергией. Пока отметим только интересную формальную аналогию между видимым противоречием в этом блоке и различием, проведенным в разделе 9 третьего блока, где число противопоставляется количеству. Тип мышления, связанный с количеством, во многих отношениях напоминает мышление, относящееся к понятию энергии; в то время как понятие числа гораздо теснее связано с понятиями паттерна и отрицательной энтропии.

Основная загадка эволюции состоит, конечно, в противоречии между вторым законом термодинамики и тем наблюдением, что новое возникает лишь случайным образом. Именно это противоречие частично объяснил Дарвин своей теорией естественного отбора.

Последние два блока из нашего списка составляют разделы с 9 по 12 и с 13 по 16. Я предоставляю читателю самому сформулировать, какие внутренние связи присутствуют в этих блоках, и придумать другие блоки, отражающие его собственный способ мышления.

В Главе 3 я продолжу развивать свой тезис, перечисляя обобщения и предпосылки. Однако я подойду ближе к центральным проблемам мышления и эволюции и попытаюсь дать ответ на следующий вопрос:  каким образом два или более элемента информации (или команды) могут действовать совместно или друг против друга? Этот вопрос с его многочисленными ответами представляется мне основным вопросом любой теории мышления или эволюции.

III. МНОЖЕСТВЕННЫЕ ВЕРСИИ МИРА

Что я тебе говорю трижды – верно.

Льюис Кэрролл, Охота на Снарка

В Главе 2 «Каждый школьник знает…» читатель познакомился с рядом основных идей о мире, с элементарными утверждениями или истинами, с которыми должны считаться любая серьезная эпистемология и любой серьезный эпистемолог.

В этой главе я перехожу к несколько более сложным обобщениям, поскольку сейчас мы займемся прямым, понятным для всех вопросом: «Какой выигрыш или какое приращение в знаниях достигается при  объединенииинформации из двух или более источников?»

Эту главу и Главу 5 «Множественные версии отношений» читатель может воспринимать просто как еще две идеи, которые должен знать каждый школьник. На самом деле, когда я начинал писать эту книгу, весь материал этих двух глав объединялся одним заголовком «Два описания лучше, чем одно». Но через три года работы над книгой я обнаружил, что под этим заглавием объединено множество разнообразных разделов, и понял, что объединение информации из различных источников – это мощнейшее средство для понимания того, что в Главе 1 я назвал «связующим паттерном». Именно благодаря исследованиям конкретных способов объединения друг с другом двух или более идей я обратил внимание на некоторые особенности этого великого паттерна. В этой главе я расскажу о тех комбинациях, которые, по-видимому, доставляют воспринимающему организму информацию об окружающем мире или о нем самом, как части внешнего мира (например, когда живое существо видит собственный палец). В Главе 5 я буду говорить о комбинациях более тонких и, несомненно, более биологических или «жизненных» – тех, что доставляют воспринимающему организму бOльшую информацию о внутренних отношениях и процессах, которые называются словом  «Я».

В каждом случае я в первую очередь буду задавать один и тот же вопрос – какой выигрыш в понимании достигается с помощью объединения информации. Напомню, однако, что за этим простым, поверхностным вопросом кроется более глубокий и, может быть, даже мистический вопрос: «Поможет ли изучение этого частного случая, когда прозрение наступает при сравнении источников, понять, как устроена вселенная?» Мой метод состоит в выяснении непосредственного выигрыша в каждом случае, но моя конечная цель – исследование более общего связующего паттерна.

1. СЛУЧАЙ РАЗЛИЧИЯ

Самый простой, но самый глубокий из всех этих примеров состоит в том, что различие возникает только при наличии хотя бы двух объектов. Чтобы обнаружить различие, то есть получить  информацию, необходимо иметь два объекта (реальных или воображаемых), различие между которыми заключено в отношениях между ними; а ситуация в целом должна быть такова, чтобы различие между ними могло бы представляться различием внутри некоторого устройства, способного обрабатывать информацию, например, мозга или, может быть, компьютера.

Глубокий вопрос, на который невозможно ответить, состоит в том, какова природа этих «хотя бы двух» различных предметов, самим своим различием порождающих информацию. Очевидно, каждый из них по отдельности – для психики и восприятия – это нечто нереальное, несуществующее. Нечто одновременно существующее и несуществующее. Непознаваемое,  Ding an sich, звук от хлопка одной рукой.

Итак, ощущение – это длящееся в течение некоторого времени восприятие органом чувств пары значений некоторой переменной, причем его реакция зависит от отношения между членами этой пары. (Вопрос о природе этого различия мы обсудим подробнее в Главе 4, критерий 2).

2. СЛУЧАЙ БИНОКУЛЯРНОГО ЗРЕНИЯ

Рассмотрим еще один простой и хорошо известный случай двойного описания. Что достигается при сравнении данных, воспринимаемых одновременно двумя глазами? Обычно оба глаза направляются в одно и то же место окружающего пространства, и такое использование органов чувств может показаться расточительным. Но из анатомического строения глаза видно, что именно при таком использовании появляются значительные преимущества. Иннервация обеих сетчатых оболочек и перераспределение информации при скрещивании оптических путей – это величайшее достижение морфогенеза, несомненно имеющее огромное эволюционное преимущество.

В общих чертах картина такова: поверхность каждой сетчатки представляет собой почти правильную полусферу, на которую через хрусталик проецируется обращенный образ видимого объекта. Это значит, что образ объекта, находящегося с левой стороны, отображается на внешней стороне правой сетчатки и на внутренней стороне левой сетчатки. Удивительно, что иннервация каждой сетчатки разделена резкой вертикальной границей на две системы. Таким образом, информация, поступающая по зрительным нервам с внешней стороны правого глаза, встречается в правом полушарии мозга с информацией, поступающей по нервам с внутренней стороны левого глаза. Точно так же, информация с внешней стороны левой сетчатки и информация с внутренней стороны правой сетчатки собираются в левом полушарии.

Бинокулярный образ, который кажется неделимым, на самом деле представляет собой сложный синтез информации с левой стороны в правом полушарии и соответствующий синтез материала с правой стороны в левом полушарии. Затем обе эти синтезированные совокупности информации сами синтезируются в единую субъективную картину, из которой исчезают все следы вертикальной границы.

Благодаря этому сложному механизму достигается два преимущества – улучшается разрешающая способность на границе поля зрения и достигается лучшая контрастность; кроме того, становится легче читать мелким шрифтом и при слабом освещении. Но что более важно, появляется информация о глубине. На более формальном языке, различие между информацией, исходящей из одной сетчатки, и информацией, исходящей из другой сетчатки, само является информацией, относящейся к  другому логическому типу. С помощью этого нового типа информации в зрительном образе появляется новое  измерение.

На Рисунке 4 область А изображает класс или множество компонентов информации, полученной из первого источника (например, из правого глаза), а область B – множество всех компонентов информации, полученной из второго источника (например, из левого глаза). Тогда АВ представляет множество информации от обоих глаз. АВ может содержать в себе элементы или быть пустым.

Если  АВ не пусто, то информация из второго источника создает в А классификацию, которой до этого не могло быть (иначе говоря, при объединении информации из обоих источников возникает логический тип информации, который не мог быть получен на основе информации только из первого источника).

Теперь мы приступим к исследованию других аналогичных случаев, и в каждом случае будем следить за тем, как при наложении множественных описаний возникает информация на новом логическом уровне. В принципе, появления дополнительной «глубины» (понимаемой в несколько метафорическом смысле) следует ожидать каждый раз, когда информация для двух описаний по-иному собирается или по-иному кодируется.

3. СЛУЧАЙ ПЛАНЕТЫ ПЛУТОН

Человеческие органы чувств могут воспринимать информацию только в виде различий и только те события, которые происходят во времени (т.е. представляют собой изменения). Если различия носят статический характер и не меняются несколько секунд, то воспринять их можно только переводя взгляд с одного на другое. Аналогичным образом воспринимаются очень медленные  изменения – для этого надо переводить взгляд  и объединять наблюдения, сделанные в разные моменты времени.

Эти принципы иллюстрируются изящным (т.е. экономным) приемом, с помощью которого Клайд Вильям Томбо в 1930 году, будучи еще аспирантом, открыл планету Плутон.

Согласно расчетам, возмущения в орбите Нептуна могли бы объясняться притяжением планеты, расположенной на внешней по отношению к Нептуну орбите. Было рассчитано, в каком месте должна была бы находиться эта неизвестная планета в каждый момент времени.

Объект, который предстояло найти, должен был быть очень маленьким и тусклым (примерно 15-й звездной величины) и отличаться от других небесных объектов только очень медленным движением – столь медленным, что его совершенно невозможно было воспринять человеческим глазом.

Эта проблема была решена с помощью инструмента, который астрономы называют  блинкером. Вначале с некоторыми интервалами были сделаны фотографии соответствующего участка неба. Затем эти фотографии были попарно изучены в блинкере. Этот прибор действует обратным образом по сравнению с бинокулярным микроскопом; вместо двух окуляров и одного предметного столика, у него имеется один окуляр и два предметных столика. Он устроен таким образом, что изображение с одного предметного столика легким поворотом рычага может быть заменено изображением с другого предметного столика. Две фотографии помещаются на две площадки точно определенным образом так, что все обычные неподвижные звезды в точности совпадают друг с другом. Затем, когда рычаг переключается, неподвижные звезды остаются на своих местах, а планета перепрыгивает из одного положения в другое. Однако в области этих фотографий было много прыгающих объектов (астероидов), и Томбо должен был обнаружить такой, у которого был  наименьший скачок.

Сделав несколько сотен таких сравнений, Томбо заметил скачок Плутона.

4. СЛУЧАЙ СИНАПТИЧЕСКОГО СУММИРОВАНИЯ

Синаптическое суммирование – это технический термин, используемый в нейрофизиологии для описания тех случаев, когда некоторый нейрон С возбуждается только комбинацией нейронов А и В. А в отдельности не может возбудить C, и В в отдельности не может возбудить С; но если нейроны А и В действуют на С вместе с разницей во времени в несколько микросекунд, то С возбуждается (см. рис. 5). Обратите внимание, что принятый для этого явления термин  суммирование наводит на мысль о  сложении информации из одного источника с информацией из другого источника. Но на самом деле в данном случае образуется не сложение, а логическое произведение, процесс более похожий на умножение.

Суть этого механизма состоит в том, что информация, которую мог бы дать один только нейрон А, разделяется или классифицируется на два класса – на те возбуждения, которые сопровождаются стимулами из В, и те, которые не сопровождаются стимулами из В. Соответственно, возбуждения нейрона В тоже подразделяются на два класса – на те, которые сопровождаются стимулами из А, и те, которые не сопровождаются стимулами из А.

5. СЛУЧАЙ ПРИЗРАЧНОГО КИНЖАЛА

Макбет уже готов убить Дункана, он в ужасе от того, что собирается сделать, и ему мерещится кинжал (Акт II, сцена I).

Откуда ты, кинжал,

Возникший в воздухе передо мною?

Ты рукояткой обращен ко мне,

Чтоб легче было ухватить. Хватаю –

И нет тебя. Рука пуста. И все ж

Глазами не перестаю я видеть

Тебя, хотя не ощутил рукой.

Так, стало быть, ты – бред, кинжал сознанья

И воспаленным мозгом порожден?

Но нет, вот ты, ничем не отличимый

От вынутого мною из ножон.

Ты мой дорожный знак, напоминанье,

Куда идти и что мне захватить.

Так близоруко ль я обманут или,

Наоборот, так вижу далеко,

Но ты маячишь снова пред глазами,

В крови, которой не было пред тем,

Обман, которого не существует,

Как бы собой наглядно воплотив

Кровавый шаг, который я задумал.

[Перевод Б. Пастернака. – Прим. перев.]

Этот литературный пример пригоден для всех случаев двойного описания, когда объединяются данные из двух или более органов чувств. Макбет «доказывает», что кинжал – это всего лишь галлюцинация, проверяя его с помощью осязания, но даже этого оказывается недостаточно. Может быть, его глаза «стоят всего остального». И только когда на воображаемом кинжале появляется кровь, он может отбросить это видение: «Обман, которого не существует».

Сравнение информации из одного органа чувств с информацией из другого, дополненное изменением в галлюцинации, послужило Макбету метаинформацией о том, что его видение было воображаемым. В терминах Рисунка 4, множество АВ было пусто.

6. СЛУЧАЙ СИНОНИМИЧНЫХ ЯЗЫКОВ

Во многих случаях новое понимание возникает только благодаря использованию для описания другого языка, даже если при этом не добавляется никакой новой, так называемой «объективной» информации. Поясним это отношение на примере двух доказательств одной математической теоремы.

Каждый школьник знает, что  (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 . Может быть, он знает и то, что это первый шаг в разделе математики, который называется  теорией биномов. Само это равенство достаточно хорошо иллюстрируется алгоритмом алгебраического умножения, каждый шаг которого находится в соответствии с определениями и постулатами тавтологии, называемой  алгеброй – тавтологии, предмет которой состоит в расширении и анализе понятия «каждый».

Но многие школьники не знают, что это биномиальное равенство имеет геометрическое доказательство (см. рис. 6). Рассмотрим отрезок XY, состоящий из двух частей, a и b. Этот отрезок геометрически представляет число (a+ b), а площадь квадрата, построенного на XY, равна  (a + b)2, что и называется  возведением в квадрат.

Этот квадрат можно теперь разделить, отложив длину а вдоль отрезка XY и вдоль одной из прилежащих сторон квадрата и проведя соответствующие прямые параллельно его сторонам. Теперь школьник может заметить, что квадрат разделен на четыре части, а именно, что он состоит из двух квадратов, один из которых имеет площадь  а2, а другой  b2, и из двух прямоугольников, каждый из которых имеет площадь  (a x b) (и, следовательно, общую площадь 2ab).

Таким образом, известное алгебраическое равенство  (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 оказывается, по-видимому, верным и в евклидовой геометрии. Но, конечно, вряд ли можно было рассчитывать, что отдельные части равенства  (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 будут отчетливо отделены друг от друга и в переводе на язык геометрии.

Но что это значит? По какому праву мы подставили вместо  а так называемую «длину» и другую длину вместо  b, а затем предположили, что при их соединении получится отрезок  (a + b), и так далее? Можем ли мы быть уверены, что длины отрезков подчиняются арифметическим правилам? Чему научился школьник, узнав формулировку этого старого равенства на новом языке?

В некотором смысле,  ничего не добавилось. Когда я показал, что равенство  (a + b)2 = a2 + 2ab + b2выполняется не только в алгебре, но и в геометрии, не было получено никакой новой информации и не было понято ничего нового.

Но значит ли это, что  язык как таковой  не содержит информации?

Даже если в результате этого небольшого математического фокуса с математической точки зрения ничего не добавилось, я все же убежден, что от знакомства с ним школьник сможет кое-чему научиться. Это вклад в дидактический метод. Открытие (если это открытие), что два языка (алгебра и геометрия) могут переводиться с одного на другой, само по себе является  откровением.

Может быть, следующий математический пример поможет читателю лучше понять, что достигается при использовании двух языков. [Об этой для большинства людей неизвестной закономерности я узнал благодаря Гертруде Гендрикс: Gertrude Hendrix, «Learning by Discovery,» The Mathematics Teacher 54 (May 1961): 290 – 299. (Гертруда Генрикс, «Обучение через открытие», Учитель математики 54 (Май 1961): 290 – 299.)]

Спросите своих друзей «Чему равна сумма первых десяти нечетных чисел?»

Вероятно, они скажут, что они этого не знают, или начнут складывать ряд чисел:

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19.

Покажите им, что:

Сумма первого нечетного числа равна 1.

Сумма первых двух нечетных чисел равна 4.

Сумма первых трех нечетных чисел равна 9.

Сумма первых четырех нечетных чисел равна 16.

Сумма первых пяти нечетных чисел равна 25

И так далее.

Довольно скоро ваши друзья скажут что-нибудь вроде «Тогда сумма первых десяти нечетных чисел должна быть равна 100». Они научились этому  трюку, позволяющему складывать последовательности нечетных чисел.

Но попросите их объяснить, почему этот трюк  обязательно должен работать, и средний человек, если он не математик, не сможет ответить. (А наше начальное образование таково, что многие не будут даже знать с чего начать, чтобы получить ответ).

В данном случае нужно было заметить различие между  порядковым номером данного нечетного числа и его количественным значением, то есть различие в логическом типе! Мы привыкли к тому, что название чисел всегда совпадает с их численным значением [Иначе говоря, можно сказать, что число чисел во множестве – это не то же самое, что сумма чисел в этом множестве. Так или иначе, здесь мы встречаемся с разными логическими типами.]. Но в данном случае, имя – это, конечно, не то же самое, что объект, который оно обозначает.

Сумма первых трех нечетных чисел равна 9, то есть  квадрату порядкового имени наибольшего числа в последовательности, которую необходимо просуммировать (в нашем случае, порядковое имя 5 – «3»). Или, если хотите, это квадрат  числа чисел в этой последовательности. Вот словесное выражение описанного трюка.

Чтобы доказать, что этот трюк будет работать, мы должны показать, что разность между двумя последовательными суммами нечетных чисел всегда равна разности между квадратами их порядковых имен.

Например, сумма первых пяти нечетных чисел  минус сумма первых четырех нечетных чисел должна равняться 5 ² – 4 ². В тоже время можно заметить, что разность между этими двумя суммами должна быть последним нечетным числом, добавленным к этому множеству. Иначе говоря, последнее добавленное число должно быть равно разности между квадратами.

Рассмотрим этот вопрос на зрительном языке. Мы должны показать, что при добавлении  следующего нечетного числа к сумме предыдущих нечетных чисел эта сумма всегда возрастет ровно настолько, чтобы стать равной квадрату порядкового имени этого нечетного числа.

Представим первое нечетное число (1) одним квадратом:

Представим второе нечетное число (3) тремя квадратами:

Сложим эти два числа друг с другом:

Представим третье нечетное число (5) пятью квадратами:

Добавим это к предыдущей фигуре:

То есть, 4 + 5 = 9.

И так далее. Зрительное представление позволяет довольно легко объединить порядковые числа, количественные числа и закономерности суммирования рядов.

Итак, мы увидели, что использование геометрической метафоры оказалось весьма полезным для понимания того, как механический трюк превращается в закономерность. Что более важно, школьник осознал разницу между применением трюка и пониманием неизбежной истины, стоящей за этим трюком. И что еще более важно, школьник получил (может быть, не осознавая этого) опыт в переходе от рассуждений внутри арифметики к рассуждениям по поводу арифметики. Не  числа, а  число чисел.

Именно тогда, по словам Уоллеса Стивенса,

Виноград показался сочнее.

Лиса выскочила из норы.

7. СЛУЧАЙ ДВУХ ПОЛОВ

Однажды фон Нейман полушутя заметил, что для воспроизводства машин необходимое условие состояло бы в том, чтобы две машины действовали совместно.

Деление, сопровождаемое самовоспроизводством, безусловно является одним из основных признаков жизни, независимо от того, приводит ли это деление к размножению или росту, и биохимики уже знают в общих чертах процессы воспроизводства ДНК. Но затем начинается дифференциация – будь то (несомненно) случайное производство эволюционного разнообразия, или упорядоченная дифференциация в эмбриологии. Деление, по-видимому, должно чередоваться со слиянием – это общая истина, иллюстрирующая принцип обработки информации, которым мы теперь занимаемся, а именно: два источника информации (часто относящиеся к языкам разного рода) несравненно лучше, чем один.