Текст книги "Эврика! Радость открытия. Архимед"

Автор книги: Эугенио Агиляр

сообщить о нарушении

Текущая страница: 3 (всего у книги 8 страниц)

Шаг 1. Отверстие закрывается, и резервуар наполняется водой так, чтобы при опускании в него тела вода не перелилась через край.

Шаг 2. В резервуар погружается золотой слиток, по весу равный короне.

Шаг 3. Отверстие открывается, и вода вытекает через него, пока не перестанет течь.

Шаг 4. Слиток вынимается, и отверстие закрывается.

Шаг 5. В резервуар погружается корона.

Шаг 6. Отверстие открывается. Если вода вытекает из него, это значит, что корона по объему больше золотого слитка, то есть изготовлена из сплава и содержит другое вещество. Если вода доходит только до уровня отверстия, значит корона золотая.

Опытным путем доказано, что таким способом можно измерить разницу в 10 см³ – это и есть примерно тот объем, о котором идет речь. В любом случае в рассказе Витрувия ничего не говорится об использованных Архимедом средствах, а значит, у нас нет доказательств того, что он воспользовался именно таким методом. Тем не менее применение обоих упомянутых способов (замер высоты воды и клепсидра) вполне можно себе представить в эпоху Архимеда. Но любой исследователь в своей работе старается опираться на тексты самого математика, а не только на вторичные источники, как в случае с Витрувием или последующей литературой. Поэтому утверждение, что приведенные римским архитектором сведения могут быть и неверными, вовсе не означает презрения к таланту Архимеда; как раз наоборот, поскольку можно сделать предположение, что его гений пошел еще дальше. Ведь мы упоминали о его трудах, посвященных рычагу. Почему бы ему не использовать данный принцип и для решения задачи с короной? Давайте рассмотрим предположение, которое выдвигают многие специалисты. Как мы показали предыдущими расчетами, 1000 г чистого золота и корона весом 1000 г вытесняют разное по объему количество воды, а значит, разное и по массе. Мог ли Архимед измерить разницу в количестве воды в 13 г? Да, мог, но не измерением уровня воды и не методом клепсидры. Он мог бы измерить ее с помощью равноплечих весов, которые ученый применял на протяжении всей жизни.

КТЕСИБИЙ АЛЕКСАНДРИЙСКИЙ И КЛЕПСИДРА

Ктесибий из Александрии (285-222 до н. э.) в наше время считается отцом пневматики, так как он написал первый научный трактат о сжатом воздухе и использовании пневматических насосов. Список приписываемых ему изобретений и открытий включает в себя водяной орган, научное обоснование сифона и клепсидру: то есть он создал отличающиеся невиданной по тем временам точностью водяные часы, работа которых была основана на вытекавшей в специальное отверстие воде.

Реконструкция клепсидры конца V века до н. э. (фото: Marsyas).

В целом идея такова: если с двух сторон равноплечих весов разместить килограммовый слиток золота и килограммовую же корону, то весы, естественно, останутся в равновесии (рисунок 1).

Но если те же предметы будут при этом погружены в воду, весы больше не будут в равновесии, так как их вес в воде окажется разным (рисунок 2). Почему? Потому что согласно закону гидростатики выталкивающая сила, действующая на тело, равна весу вытесненной воды, который будет разным у двух предметов с разными объемами. То есть предмет с большим объемом (корона) в воде станет легче, чем предмет с меньшим объемом (слиток), так что весы наклонятся в сторону золотого слитка.

И такая процедура представляется вполне возможной для Архимеда, учитывая список его работ. Нужны были только жидкая среда и весы с достаточной чувствительностью, чтобы реагировать на разницу в несколько граммов, а все это в его распоряжении было. В самом деле, такие ученые, как Галилей, продемонстрировали, что данный метод работает.

РИС. 1

РИС. 2

Что и как плавает

Тело будет плавать на поверхности жидкости, если его плотность меньше плотности жидкости; станет тонуть, если его плотность выше; и останется висеть в равновесии, если их плотности равны. Это всем известное правило, впервые сформулированное Архимедом, можно продемонстрировать с помощью динамических процессов, сравнив выталкивающую силу среды и вес объекта, помещенного в нее. Если читатель в какой-то момент запутается, он может просто пропустить следующие строки, написанные только для того, чтобы изложить идеи Архимеда современным языком.

ВОДЯНОЙ ГИГАНТ

С водой связана интересная аномалия, из-за которой, собственно, и возможно существование океанов и в целом жизнь на Земле: в твердом состоянии ее плотность меньше, чем в жидком. Это значит, что лед может плавать на поверхности воды. Так происходит, к примеру, с айсбергами. Слово «айсберг» пришло из голландского языка через английский и означает «ледяная гора». Речь идет о гигантских кусках замерзшей пресной воды, дрейфующих в океане и постепенно опускающихся к низким широтам, куда их влекут течения. Значительная часть айсберга погружена в воду. При этом вес айсберга (Р) равен выталкивающей силе воды (Е), в которую он погружен и которая равна весу воды, вытесненной погруженной частью айсберга. Объем этой воды обозначим как (V_s).

Сила	Объем	Плотность	Формула
Выталкивающая сила: Е	Объем погруженной части: Vs	Морской воды: da	E=Vs • da • g
Вес айсберга: Р	Объем всего айсберга: Vc	Льда: dl	P=Vc • dl • g

Действующая на айсберг выталкивающая сила равна Е = V_s • d_a • g, где d_a – плотность соленой воды. С другой стороны, вес всего айсберга равен P=V_c • d_l • g, где d_l – плотность айсберга, a V_c – объем всего айсберга. Чтобы узнать соотношение видимой и подводной частей айсберга, достаточно вычислить отношение V_s/V_c. Нужно просто разделить выталкивающую силу на вес, учитывая, что они равны (Е = Р), так как айсберг находится в равновесии.

Надо отметить, что соотношение между погруженной частью айсберга и всем его объемом будет равно соотношению плотности айсберга и плотности воды, в которой он плавает. Плотность айсберга (то есть пресной воды в твердом состоянии) равна 0,92 г/см³, а плотность морской воды может различаться (зависит от ее температуры и степени солености), так что возьмем ее среднее значение: 1,03 г/см³.

Доля объема подводной части = 0,92/1,03 • 100 = 89,3 %.

Таким образом, подводная часть айсберга составляет почти 90 % от его объема.

Айсберги существуют благодаря тому, что вода в твердом состоянии имеет меньшую плотность, чем вода океанов. Если было бы иначе, то лед скапливался бы на дне.

Здесь будут приведены математические выкладки, базирующиеся на следующих величинах:

m_c – масса тела;

m_a – масса вытесненной воды (или другой среды);

d – плотность тела;

d_a – плотность воды;

V – объем погруженной части тела и вытесненной воды.

Тело тонет

Вес тела в воздухе больше выталкивающей силы:

F_p > F_E → m_c • g > V • d_a • g → V • d_c >V • d_a  → d_c > d_a.

Тело погружается, если его плотность больше плотности воды.

Тело плавает на поверхности

Вес тела в воздухе меньше выталкивающей силы:

Fp < F_E → m_c • g < V • d_a • g → V • d_c < V • d_a → d_c < d_a.

Тело плавает, если его плотность меньше плотности воды.

Равновесие

Вес тела в воздухе равен выталкивающей силе:

Fp = F_E → m_c • g = V • d_a • g → V • d_c = V • d_a → d_c = d_a.

Тело пребывает в положении равновесия, если его плотность равна плотности воды.

О плавающих телах

Основную часть своих идей о законе гидростатики Архимед изложил в трактате «О плавающих телах» – единственном труде на данную тему, который сохранился до наших дней. Возможно, это самая известная из книг Архимеда и, без сомнения, лучшее свидетельство его гениальности. Хотя во всех книгах ученого присутствует дедуктивный метод, видно, что он постоянно обращается к физической реальности, предвосхищая таким образом за 2000 лет научный экспериментальный метод, который станет развиваться лишь в XVI – XVII веках.

Именно осмысление и освоение наследия Архимеда заложило базу научной революции XVII века.

Александр Койре (1892—1964), историк науки

Трактат состоит из двух книг. Первая открывается краткой преамбулой, за которой следуют девять утверждений, а вторая содержит десять утверждений. В первой книге объясняется закон равновесия жидкостей и показывается, что вода принимает форму шара вокруг центра тяжести. Под таким центром Архимед понимает центр Земли. Он был согласен с Эратосфеном, что Земля имеет сферическую форму. Впервые в истории науки в данном трактате излагается концепция удельного веса и плотности, хотя сам оригинальный текст не содержит специальной терминологии для этих понятий. Далее разбираются три возможных положения тела в жидкости в зависимости от соотношения их плотностей: плотность тела равна плотности жидкости (утверждение 3), плотность тела меньше плотности жидкости (утверждения 4 и 6) и плотность тела больше плотности жидкости (утверждение 7). То, что сегодня известно как закон Архимеда, или закон гидростатики, формулируется в утверждениях 6 и 7. Во второй книге рассматриваются вопросы равновесия помещенных в жидкость параболоидов. Следует учитывать, что Архимед жил в Сиракузах, где главной частью города был торговый и военный порт, так что иногда его вдохновляли формы корпусов кораблей, которые он пытался моделировать с помощью известных ему геометрических фигур.

Как мы уже говорили раньше, первая книга открывается преамбулой, где выдвигается предположение, что жидкость сдавливается в вертикальном направлении той жидкостью, которая находится сверху. Эта гипотеза верна и получила подтверждение законом всемирного тяготения Ньютона, так как сама жидкость имеет вес и испытывает силу давления от той части жидкости, которая выше.

ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ВВЕРХ И ВНИЗ В ЖИДКОСТИ

Многие рыбы обладают органом, который называется плавательным пузырем: он дает им возможность по своему усмотрению регулировать собственную плотность, чтобы подниматься или опускаться в толще воды, не двигая ни одним внешним мускулом. Механизм его действия основан на регулировании содержания газа в крови для поднятия вверх, ведь рыбы могут высвобождать кислород и углекислый газ, находящиеся в кровяном потоке. Часто в музеях и на научных выставках можно увидеть простую конструкцию, иллюстрирующую принцип работы этого замечательного продукта эволюции: бутылку с трубкой (рисунок 1). В бутылку может свободно проникать вода и выходить из нее. Внутрь нее вставлен воздушный шарик, к которому подведена трубка для подачи воздуха. Вся конструкция помещена в сосуд с водой, и когда шарик наполняется воздухом, общая плотность всей системы уменьшается, и бутылка всплывает. Когда воздух из шарика выходит, вода занимает освободившееся пространство, общая плотность всей конструкции увеличивается, и бутылка тонет.

РИС. 1

Это устройство не только схематически представляет работу рыбьего плавательного пузыря, но может иллюстрировать принцип, который используют подводные лодки.

РИС. 2

Чтобы сделать «водолаза» своими руками, понадобится только пластиковая бутылка, открытый с одной стороны цилиндрический сосуд (например, пробирка) и вода.

Чертенок Декарта

«Картезианский водолаз», или «чертенок Декарта», (рисунок 2) – это классическая игрушка для поклонников занимательной физики, которая представляет принцип всплытия и погружения субмарин. Она состоит из сосуда с водой, в которую помещен предмет, частично наполненный воздухом. Конструкция сделана так, что воду можно сжимать либо с помощью мембраны на крышке, либо просто надавливая на стенки сосуда. Согласно закону Паскаля это давление передается на все точки жидкости, таким образом воздействуя и на предмет и, соответственно, на заключенный в нем воздух. Так как воздух отличается высокой степенью сжимаемости, «чертенок» представляет собой систему, которая позволяет менять плотность предмета и тем самым управлять его погружением или всплытием.

Верны также и утверждения 1 и 2, в которых говорится, что поверхность жидкости в спокойном состоянии представляет собой шар с центром, расположенном в центре Земли: «Поверхность установившейся неподвижно жидкости имеет форму шара с тем же центром, что и у Земли». Утверждение 3 являет собой небывалый уровень абстракции: если у тела та же плотность, что и у жидкости, в которую оно погружено, то тело остается неподвижным в том месте жидкости, куда его поместили, то есть находится в состоянии статического равновесия. С другой стороны, если в жидкость погружается тело, плотность которого меньше плотности жидкости, то оно будет погружено в нее только частично. Этот вывод изложен в утверждении 4, а развивает его утверждение 5 (см. рисунок): объем жидкости, вытесненной погруженной частью тела, будет иметь вес, равный весу всего тела. Речь идет о явном предшественнике принципа равнодействия сил, который стал известным благодаря Ньютону. Простой способ понять его – это опустить в воду винную бутылку с примерно стаканом воды внутри: она погрузится частично.

В трактате «О плавающих телах» все доказательства чисто геометрические, как обычно и бывало в то время. Данный рисунок относится к утверждению 5 первой книги в издании Хита. Текст полон подобными рисунками, которые снабжаются пространными геометрическими комментариями. Они приводятся в качестве иллюстраций, ведь такие тексты трудны для восприятия, потому что изобилуют математическими терминами и символами.

В утверждении 6 говорится, что если к телу, находящемуся в жидкости с большей, чем у него, плотностью, приложить силу, на тело начнет действовать направленная вверх выталкивающая сила, которая заставит его всплыть и плавать на поверхности, уменьшив его вес. В утверждении 7 мы находим идею, согласно которой, если мы опустим тело в жидкость с меньшей, чем у него, плотностью, оно опустится на дно сосуда, хотя его вес тоже уменьшится. В обоих случаях Архимед показывает, насколько уменьшится вес тела: «На количество, равное весу жидкости, объем которой совпадает с объемом твердого тела». Это и есть, иными словами, знаменитый закон Архимеда.

ПОСИДЕТЬ НА ВОДЕ

Мертвое море – это большое озеро около 80 км в длину и не больше 16 км в ширину, расположенное на границе Израиля и Иордании. Главная его отличительная особенность состоит в том, что из-за очень высокого содержания солей вода в нем по плотности намного превосходит обычную морскую воду, доходя до 1240 кг/м³, что позволяет человеку без какого– либо труда лежать на ее поверхности. Как можно понять из его названия, в Мертвом море не может жить никакое живое существо, кроме некоторых видов оомицетов и высших грибов.

В Мертвом море купающиеся лежат на поверхности воды, как поплавки.

Закон рычага

Многие историки науки считают трактат Архимеда «О равновесии плоских фигур» началом математической физики. И это, несомненно, не преувеличение, хотя и у философов предыдущей эпохи можно найти рассуждения о рычаге. Так, примерно за век до Архимеда Аристотель писал об элементах рычага и сформулировал «закон равноплечего рычага», однако, насколько можно судить, данные выкладки не привлекли к себе особого внимания; впоследствии даже было высказано мнение, что они вставлены в текст философа позднейшим переписчиком. С другой стороны, интересны изыскания Архита Тарентского (430-360 до н. э.), которые, впрочем, не вышли за пределы чисто экспериментальных конструкций. Архимед, конечно же, не был первым, кто воспользовался рычагом, но он впервые описал его принцип, связав воедино математику и физику.

ТРУБА-ВЕСЫ

Одно из первых упоминаний закона рычага, хотя и не в научном смысле, мы находим в комедии «Мир» древнегреческого драматурга Аристофана (444-385 до н. э.), написанной в 421 году до н. э. В этом произведении автор выводит различных современных ему деятелей, включая Эврипида. Горожанин Тригей насмехается над торговцем оружием, советуя ему использовать трубу как неравноплечие весы.

Тригей Постой, дружок!

Жмет в мягком месте. Не куплю! Неси назад!

Торговец оружием А с этой боевой трубой что делать мне?

Ведь за нее я отдал шесть десятков драхм.

Тригей Сюда в воронку жидкого свинца нальем, прицепим

сверху небольшую палочку, и коттаб превосходнейший получится.

Торговец оружием Ты все смеешься?[¹ Перевод А. Пиотровского.]

Исторические рассказы из первой главы нашей книги показывают, что использование рычага в повседневной жизни было для Архимеда обычным делом – как при постройке машин для обороны Сиракуз, так и при других работах. Уровень абстракции, до которого дошел Архимед при исследовании рычага, не имел до этого прецедентов: он устранил все привходящие характеристики, рассматривая исключительно идеальные весы, а все тела считая точечными объектами (он говорил о силе и о центре тяжести как о единственных физических свойствах тела). Таким образом, в своем трактате Архимед пользуется концепцией идеальных весов, хотя и не формулирует ее в чистом виде. Самые простые по конструкции весы представляют собой подвешенную за середину рейку с висящими с двух сторон чашками. Когда вес предметов, лежащих на чашках, равный, конструкция сбалансирована в равновесии. Само понятие «баланс» происходит от двух латинских слов – bis (два) и lanx (чаша). И, таким образом, весы представляют собой типичный равноплечий рычаг.

Р: сила. Эта приложенная сила может представлять собой определенный вес.

R:сопротивление. Сила, которая сопротивляется приложенной силе и тоже может выражаться в подвешенном весе.

В_р: плечо силы. Участок рычага между точкой приложения силы и точкой опоры.

B_R: плечо сопротивления. Участок рычага между точкой сопротивления и точкой опоры.

Простой рычаг (см. рисунок) состоит из жесткой балки, которая может свободно вращаться вокруг точки подвеса или опоры. В этой балке различают две части – плечо силы (к которому прикладывается усилие) и плечо сопротивления (на него передается усилие). Используется столь простой механизм следующим образом: нагружается одно плечо рычага или к нему прикладывается усилие, после чего достигается равновесие, или же система выводится из равновесия. Закон рычага устанавливает соотношение между силами, воздействующими на каждое плечо рычага, и длинами плеч: соотношение сил равно соотношению расстояний от точек приложения этих сил до точки опоры. Данная пропорция и есть одно из главных достижений Архимеда, который разработал следующую математическую формулу:

Р • В_р = R • B_r.

Три рычага

В средней школе любой страны обычно изучают три типа рычагов. Поскольку рычаг включает в себя три различных элемента (плечо силы, опора и плечо сопротивления), то в зависимости от их взаиморасположения мы можем разделить рычаги на три типа. Примеры всех трех типов можно найти в строении человеческого тела (рисунок 3). Архимед в своих трактатах сформулировал закон рычага, но не классифицировал различные типы рычагов – возможно, это казалось очевидным. Тем не менее не лишним будет вспомнить данную классификацию.

В рычаге первого типа (рисунок 4) точка опоры расположена между плечами силы и сопротивления. Это именно тот рычаг, который встречается в текстах Архимеда. Примерами рычага первого типа могут служить весы, качели, клещи. В рычаге второго типа (рисунок 5) точка сопротивления находится между точкой приложения силы и точкой опоры. В качестве примеров такого рычага можно привести тачку, щипцы для орехов или открывалку для бутылок.

В рычаге третьего типа (рисунок 6) точка приложения силы находится между точкой сопротивления и точкой опоры. Примеры: степлер, антистеплер и щипчики для завивки ресниц.

РИС. 3

РИС. 4

РИС. 5

РИС. 6

О равновесии плоских фигур

Трактат «О равновесии плоских фигур» выделяется из числа других математических сочинений той эпохи: в нем нет определений. Отсюда возникла гипотеза, что трактат представляет собой краткое резюме некоторого очень важного труда. В том виде, в каком он дошел до нас, он состоит из двух книг.

Первая книга начинается семью постулатами (некоторые авторы считают, что это аксиомы) и продолжается пятью утверждениями, в которых в скрытом виде используется принцип равновесия равноплечих весов, чтобы продемонстрировать различные положения о равновесии тел. Последние утверждения касаются центра тяжести треугольника, параллелограмма и трапеции.

Во второй книге в десяти утверждениях рассматривается равновесие сегмента параболы. Вторая книга тесно связана с трактатом о квадратуре параболы.

«Дайте мне точку опоры, и я переверну землю»

В VIII книге «Математического собрания» Папп рассказывает об Архимеде и о рычаге. По утверждению автора Архимед произнес следующую фразу: «Дайте мне точку опоры, и я переверну Землю». С помощью несложных вычислений мы увидим, что это невозможно, и странно, если Архимед допустил такую ошибку. Предположим, что для нашего предприятия мы используем рычаг первого типа, а Земля будет располагаться в 1 м от точки опоры. Сразу отметим, что у Земли нет веса, ведь она находится в космическом пространстве и не опирается ни на какую планету или иное космическое тело. Но предположим, к примеру, что мы поместили Землю на суперрычаг, который опирается на суперпланету. В случае если земля представляет собой материальную точку, отстоящую от точки опоры на 1 м, на каком расстоянии должен находиться Архимед, чтобы приложить силу к другому плечу рычага? Так как масса Земли примерно равна 6 • 10²⁴ кг и с учетом предположения, что Архимед прикладывает усилие, равное 60 кг, расстояние от точки опоры должно быть следующим:

P • B_p=R • B_r

B_p = 1 м  •  (6 • 10²⁴ кг)/60 кг = 10²³ м.

Если вы не привыкли к математическим формулам, этот результат может вас и не впечатлить, но подстановка привычных единиц длины показывает, что речь идет о 10 млн световых лет (10¹⁶)! Возраст нашей Вселенной около 13700 млн лет (1,37х10¹⁰). Если мы будем считать Вселенную сферической, то от одного ее конца до другого получится 27 400 млн световых лет. Выходит, что всего 2740 таких рычагов покроют расстояние, равное диаметру Вселенной! Кроме того, как мы увидим, сам Архимед представлял Вселенную куда более маленькой, поэтому особенно странно, что он допустил такую ошибку в расчетах. Если он и правда произнес что-нибудь подобное, то, очевидно, только в метафорическом смысле, чтобы показать, насколько может увеличить силу рычаг.

Галилей схематичным рисунком проиллюстрировал задачу с короной. Такую схему он использовал в статье «Маленькие весы».

Галилей, последователь Архимеда

В 1586 году Галилео Галилей (1564-1642) написал очень короткую статью под названием «Маленькие весы», в которой проанализировал рассказ Витрувия о короне тирана Гиерона. Будучи большим знатоком трудов Архимеда и его научного наследия, Галилей довольно скептически отнесся к способу, которым, по представлениям римского архитектора, была решена эта задача. В качестве своего варианта он выдвинул идею гидростатических весов и в общих чертах развил ее меньше чем на пяти страницах, используя схему, показанную на рисунке. В статье Галилей объясняет, что нет причин подозревать Архимеда в проведении такого примитивного с научной точки зрения эксперимента, ведь в его распоряжении были способы гораздо более тонкие, чем просто перелившаяся через край вода. Далее он говорит, что его выкладки основаны на идеях самого Архимеда, содержащихся в трактатах о плавающих телах и о равновесии, а также упоминает об инструменте, которым пользовался Архимед, – гидростатических весах, хотя в наши дни изобретение этих весов часто приписывается самому Галилею. В данной работе он обращает внимание на то, как сложно на глаз различить столь малую разницу в уровнях воды. Тем самым Галилей провел биографическую реконструкцию, которую можно назвать безупречной.

Весы Мора-Вестфаля

Весы Мора-Вестфаля – это неравноплечие весы, используемые для определения плотности жидкостей. Научный принцип, на котором они основываются, учитывая, что это те же самые гидростатические весы,– это закон Архимеда. Они были изобретены немецким фармацевтом Карлом Фридрихом Мором (1806-1879).

Короткое плечо несет противовес, а с длинного свисает поплавок, и в него набирается жидкость, чью плотность предстоит измерить относительно плотности жидкости, в которую поплавок погружается.

Надо заметить, что он глубоко изучил научные труды Архимеда и всегда выказывал глубочайшее уважение к его методу работы и достижениям. Галилей цитирует Архимеда в своих книгах, например в «Диалоге о двух новых науках», «Пробирных дел мастере» и «Маленьких весах», а кроме того, упоминает его во многих письмах. Исследование движения тел, которым занимался Галилей, основано как раз на гидростатике Архимеда. Так, итальянский ученый представил себе движение в среде, которая оказывала все меньше сопротивления движущемуся телу. В итоге он пришел к своим выводам и сформулировал знаменитые уравнения движения в отсутствии воздуха, хорошо понимая, что в его время нельзя было в точности доказать их истинность из-за сопротивления реального воздуха при падении тела. Уравнения Галилея о движении описывают положение тела и его скорость в вакууме и могут быть с большой точностью применены в гравитационном поле: например, при сбрасывании тела с некоторой высоты. И все-таки воздух создает сопротивление падению, а это значит, что в реальных земных условиях они неверны. В 1971 году астронавт Дэвид Скотт уронил перо и молоток на поверхность Луны, чтобы убедиться, что они достигнут поверхности одновременно, учитывая отсутствие там атмосферы, а следовательно, и сопротивления воздуха. Таким образом уравнения Галилея были доказаны экспериментально. «Это показывает, что идеи господина Галилея верны»,– заметил Скотт после окончания знаменитого опыта. Его эксперимент стал жестом уважения к итальянскому ученому и, опосредованно, к его учителю – Архимеду.