Текст книги "Эврика! Радость открытия. Архимед"

Автор книги: Эугенио Агиляр

сообщить о нарушении

Текущая страница: 5 (всего у книги 8 страниц)

В поисках числа π

В работе «Об измерении круга» отражены изыскания Архимеда в области соотношения длины окружности (L) и ее диаметра (d). Из утверждения 3 этого трактата следует, что длина окружности в 3,14 раз больше ее диаметра, то есть L = 3,14 d.

Если мы вспомним выражение, знакомое всем со школы (I = π • d), то увидим, что Архимед нашел значение я с точностью до второго знака после запятой, то есть у него π = 3,14. Это приближение использовалось все Средние века, а в некоторых случаях мы работаем с ним и сегодня, хотя и знаем, что на самом деле π – иррациональное число с бесконечным числом знаков после запятой.

Техника, которую применил Архимед для нахождения данного соотношения, была основана на методе исчерпывания, описанном выше. То есть он взял окружность и вписал в нее шестиугольник. Между периметром шестиугольника и окружностью осталось пространство, не покрытое шестиугольником. Затем он описал еще один шестиугольник вокруг окружности. Между периметром данного шестиугольника и окружностью осталось пространство, не покрытое окружностью. Естественно, из этого следует, что длина окружности больше периметра вписанного в нее шестиугольника и меньше периметра шестиугольника, описанного вокруг нее.

Можно провести аналогичное умозрительное построение, если использовать понятие площади, причем так будет даже нагляднее. Целью в таком случае будет вычислить площадь круга, ограниченного данной окружностью. Мы знаем, что эта площадь высчитывается по уравнению S = πr². Заметим, что если принять радиус за единицу (r = 1), то площадь будет равна π. Иначе говоря, если мы вычислим площадь окружности с радиусом 1, то получим число π. Архимед предполагал построить круг и как вписывать в него, так и описывать вокруг него правильные многоугольники, начиная с шестиугольника. Площадь круга S_c будет больше площади вписанного шестиугольника SH_p и меньше площади описанного SH_G (см. серые сегменты на рисунке 1). Этим методом невозможно точно определить площадь, но можно установить ее пределы: 2,5981 < S < 3,4641, то есть она больше площади маленького шестиугольника (2,5981) и меньше площади большого (3,4641). Гениальная находка Архимеда состояла в том, чтобы удвоить число углов многоугольника, доведя его до 12-угольника (рисунок 2). В данном случае значение площади круга лежит между двумя более близкими величинами, так что расчет становится более точным, поскольку площади обоих многоугольников приближаются друг к другу.

РИС. 1

РИС. 2

Архимед продолжил удваивать число углов дальше и в конце концов дошел до многоугольника с 96 сторонами! Это позволило ему доказать, что значение площади круга лежит между 3+10/71 и 3+1/7:

«Окружность любого круга составляет три его диаметра и еще менее 1/7 и более 10/71 его части» («Об измерении круга», утверждение 3):

3 + 10/71 < S_c <3 + 1/7, то есть, 3,1408 < S_c < 3,14029.

Таким образом, площадь круга с радиусом 1 составит 3,14, с точностью до двух знаков после запятой. Тут важно отметить: Архимед знал, что он вывел неточное значение. Ведь помещая площадь между двумя разными значениями, ученый прекрасно понимал, что выполняет только приближение.

Окружность в квадрате

Согласно еще одному интересному рассуждению, которое можно найти в трактате «Об измерении круга», площадь вписанного в квадрат круга относится к площади этого квадрата как 11/14. И в данном контексте мы тоже приходим к тому же значению π – приблизительно 3,14. Рассмотрим следствие из этого положения. Во– первых, давайте внимательнее посмотрим на чертеж справа.

Площадь круга: S_круга = πr².

Площадь квадрата: S_{квадрата} = (2r)²=4r².

Соотношения, которые их связывают:

площадь круга/площадь квадрата = πr²/4r² = π/4

То, что выяснил Архимед:

площадь круга/площадь квадрата = 11/14

Очевидно, что это одна и та же величина, и мы помним, что все выкладки Архимеда приблизительны:

π/4 ~ 11/14 ~ 3.14

Доказательство от противного

В трактате «Об измерении круга» утверждается:

Каждый круг равен прямоугольному треугольнику, один из катетов которого равен радиусу круга, а другой – длине окружности.

Имеется в виду равенство их площадей. Для доказательства (см. рисунок) ученый приводит следующие соображения.

– «Предположим, что площадь круга больше площади треугольника: S_круга > S_{треугольника}». Архимед показывает, что такое неравенство невозможно.

– «Предположим, что площадь круга меньше площади треугольника: S_круга < S_{треугольника}». Архимед доказывает, что невозможно и это.

– Учитывая, что площадь круга не может быть ни меньше, ни больше площади треугольника, они должны быть равны: S_круга = S_{треугольника}.

Пользуясь нынешним алгебраическим языком, вышесказанное можно доказать гораздо легче:

– S_круга = πr².

– S_{треугольника} = (основание • высота)/2 = 2πr*r/2 = πr²

– Что означает: S_круга = S_{треугольника}.

Пусть это изобразят на моем надгробии!

В утверждении 34 трактата «О шаре и цилиндре» содержится результат, которым, как нам точно известно, более всего гордился Архимед:

Соотношение объемов цилиндра и вписанного в него шара равно 3/2. Соотношение площадей поверхности цилиндра и вписанного в него шара также равно 3/2 (см. рисунок):

V_{цилиндра} 3/2 V_шара

S_{цилиндра} = 3/2 S_шара

Он смог найти абсолютно точное отношение между объемами шара и цилиндра, в который тот вписан. Речь идет о случае, когда диаметр шара равен как диаметру основания цилиндра, так и его высоте. Объем цилиндра получается в полтора раза (3/2) больше объема шара. Такое же соотношение и у площадей их поверхностей. Как мы уже говорили, Архимед даже завещал выбить изображение шара, вписанного в цилиндр, на своем надгробном памятнике вместо эпитафии. В I веке до н. э. Цицерону, по его словам, удалось увидеть это надгробие. До нашего времени оно, к сожалению, не дошло.

РИС.З

РИС. 4

Чтобы получить нужный результат, Архимед использовал различные определения, постулаты и утверждения, попутно найдя важные соотношения площадей других фигур. «О шаре и цилиндре» – это трактат, состоящий из двух книг, написанных в разные годы его жизни. Первая книга служит теоретической основой для второй, представляющей собой ответы на вопросы Досифея, которому она и посвящена. Первая книга заключает в себе 44 утверждения, шесть определений и пять постулатов. Кроме того, некоторые утверждения содержат важные следствия: например, рассматриваемое соотношение между шаром и цилиндром представлено в форме следствия из двух утверждений. Речь идет об утверждениях 33 и 34.

«Утверждение 33. Поверхность любого шара в четыре раза больше площади его большого круга» (рисунок 4).

Большой круг – это круг, который делит шар на две равные половины. Данное утверждение (рисунок 4) можно пояснить следующим умозрительным образом. Если мы сложим четыре раза площадь S_CM большого круга (S_CM= πr²), то сумма будет равна площади поверхности всего шара S_E (S_E = 4πr²). Это означает, что потребовалось бы равное количество краски, чтобы покрасить поверхность шара и четыре больших круга.

«Утверждение 34. Любой шар [по объему] в четыре раза больше конуса, база которого равна большому кругу, а высота – радиусу шара».

В алгебраической записи показать данное соотношение объемов можно так (рисунок 5). Объем V_c конуса с радиусом r и высотой r равен

Vc = 1/3πr³

а объем шара V_E с радиусом r равен

V_E=4/3πr³.

Таким образом: V_E = 4 V_c. То есть объем шара с радиусом r равен объему четырех конусов с радиусом основания r и высотой r. Другими словами, чтобы наполнить весь шар с радиусом r 4 л воды, потребуются 4 конуса с радиусом r и высотой r, вмещающие по 1 л каждый.

РИС. 5

РИС. 6

В качестве следствия из утверждения 34 Архимед выводит заключение, упомянутое в начале главы и действительное для объемов и площадей:

«Поверхность шара составляет 3/2 поверхности цилиндра с основанием, равным большому кругу шара, и высотой, равной его диаметру» (рисунок 6).

Чтобы вычислить площадь поверхности цилиндра, надо сложить площади его боковой поверхности и двух оснований. Боковая поверхность равна по площади прямоугольнику с основанием 2кг и высотой 2r. Следовательно, ее площадь будет составлять 4πr².

С другой стороны, два основания представляют собой круги с радиусом г, так что площадь каждого равна πr². Сложив площади боковой поверхности и удвоенную площадь основания, получаем площадь поверхности цилиндра: S_c = 6πr².

Итак, из расчетов следует, что площадь цилиндра равна шести площадям круга с таким же радиусом. И значит, один шар равен четырем кругам, а шесть кругов – полутора шарам. Нам понадобится одинаковое количество краски, чтобы покрасить шесть кругов радиусом r, полтора шара радиусом r или один цилиндр с радиусом основания r и высотой 2r. Надо прибавить, что полученные отношения действительны также и для объемов, то есть объем цилиндра составляет 3/2 объема вписанного в него шара (рисунок 7).

Легче и нагляднее представить себе это соотношение следующим образом: если один шар вмещает 2 л воды, то в описанный вокруг него цилиндр войдет 3 л.

Вот почему часто говорят, что отношение цилиндра к шару – три к двум.

РИС. 7

ДЕЛОССКАЯ ЗАДАЧА

В V веке до н. э. Афины опустошила эпидемия чумы, одной из жертв которой стал знаменитый Перикл (495-429 гг. до н. э.), афинский политический деятель, которому удалось собрать в Афинах множество талантливых людей со всех концов греческого мира. Тогда группа афинян решила идти к оракулу Аполлона в Дельфах, чтобы узнать, как можно остановить чуму. По преданию, полученный ответ был таков: надо сделать новый кубический алтарь взамен старого так, чтобы по объему он был ровно в два раза больше. В этой легенде – в одном из двух ее вариантов – ставится знаменитая задача удвоения куба, известная как «делосская задача»: как построить куб объемом в два раза больше заданного, используя только линейку и циркуль. Из книги Архимеда «О шаре и цилиндре» понятно: он вполне осознавал, что для удвоения куба невозможно идти по интуитивно напрашивающемуся пути – просто удвоить его ребро. Ведь если ребро куба I₁ = а, его объем будет составлять V₁ = а³; удвоив же ребро I₂ =2а, мы получим объем нового куба V₂ = (2а)³ = 8а³, а это значит, что V₂ = 8V₁. Объем куба не удвоился, а «увосьмерился», как показано на рисунке.

Сегодня мы знаем, что решить «делосскую задачу» с помощью исключительно линейки и циркуля невозможно, потому что ее решение представляет собой иррациональное число. Так, чтобы удвоить куб с ребром а, ребро нового куба должно равняться

Спираль Архимеда

Спираль – это кривая, образованная точкой, которая удаляется от центра и одновременно вращается вокруг него. Архимед изучал особенный тип спирали, которая теперь известна именно как спираль Архимеда (см. рисунок), характеризующаяся способом своего построения:

Спираль Архимеда представляет собой кривую, образованную точкой, которая с постоянной скоростью удаляется от вершины луча, вращающегося с постоянной угловой скоростью вокруг своей вершины.

Луч а вращается вокруг точки О с постоянной угловой скоростью ω, в то же время точка Р движется с постоянной скоростью V вдоль луча а. Простой способ нарисовать такую спираль – это разбить плоскость двумя перпендикулярными прямыми и провести биссектрисы получившихся прямых углов, а затем начертить концентрические окружности с центром на пересечении прямых и на равном расстоянии друг от друга. При вращении прямая проходит последовательно через пересечения прямых с окружностями.

В трактате «О спиралях» Архимед изучает спираль, впоследствии получившую его имя, и некоторые из ее свойств. Данный текст считается одним из самых сложных трудов древнегреческих мыслителей. Недаром в античности он оставался в забвении, а некоторые математики XVII – XVIII веков считали его ошибочным, поскольку оказались не в состоянии его понять. Его значимость заключается не только в его математических достоинствах, но и в философских аспектах. Речь идет в первую очередь о первом из известных документов, где рассматривается касательная к кривой, отличной от окружности. С математической точки зрения это очень важно, ведь поднятая Архимедом тема могла бы стать введением в курс дифференциального исчисления. Такое предположение становится очевидным, если учесть, что в своих доказательствах Архимед подошел почти вплотную к интегральному исчислению.

Трактат «О спиралях» состоит из 28 утверждений и посвящен Досифею Пелузийскому, которому адресовано и предваряющее основной текст письмо. Первые 11 утверждений – вспомогательные, Архимед использует их для доказательства других, более ему интересных. Такой метод работы характерен в целом для Архимеда – использовать предварительные утверждения как ступеньку для выхода на более высокий уровень. Он и сам в предисловии выделяет четыре наиболее важных результата и характеризует остальные как вспомогательные. После первых 11 утверждений Архимед приводит список из шести определений, и первое из них является собственно определением спирали Архимеда, которое мы излагали выше. Утверждения с 12-го по 20-е касаются свойств касательных к спирали, а также соотнесенности длины ее витков с оборотами, совершаемыми ею. В этой части работы Архимед показывает, как выстроить касательную к спирали в заданной точке. Наконец, в утверждениях с 21-го по 28-е Архимед рассматривает площади фигур, образованных кривой при последовательных оборотах, – данные утверждения представляют собой наиболее интересные результаты для исследователей. Учитывая сложность трактата, мы остановимся лишь на одном из них, под номером 24:

«Поверхность, ограниченная описанной спиралью при первом обороте, составляет третью часть круга, которого она касается».

Вышесказанное Архимед доказывает методом исчерпывания (см. рисунок), а также он использует доказательство от противного, заключив, что площадь образованной фигуры не может быть ни больше, ни меньше трети круга.

После первого оборота спираль ограничивает площадь, равную 1/3 площади окружности, в которую спираль вписана.

СПИРАЛИ

Спирали – это кривые, образуемые точкой, совершающей вращение вокруг некоего центра, одновременно удаляясь от него с каждым оборотом. Разнообразные спирали можно наблюдать в природе: у растений, в раковинах моллюсков и так далее – неудивительно, что математики давно заинтересовались ими. Среди творений рук человеческих тоже часто встречаются спирали – например, на виниловых дисках или в виде пружин. Вот некоторые типы спиралей:

РИС. 1

РИС. 2

РИС.З

РИС. 4

– архимедова, или арифметическая спираль (рисунок 1). Она описывается уравнением r=а + bθ;

– спираль Ферма, или параболическая спираль (рисунок 2): r=θ^½;

– гиперболическая спираль (рисунок 3). Это инверсия архимедовой спирали, ее уравнение: r=а/θ;

– логарифмическая, или изогональная спираль (рисунок 4): r=log_b(r/a).

Две древние проблемы

Тремя знаменитыми проблемами древности были удвоение куба, трисекция угла и квадратура круга. Некоторые специалисты утверждают, что глубинной целью, которую Архимед преследовал в своем трактате «О спиралях», было найти решение двух из этих задач. Действительно, с помощью спирали можно справиться с трисекцией угла и квадратурой круга, хотя при этом придется пренебречь одним из начальных условий. Задачу надо было решать исключительно с помощью циркуля и линейки, а построение спирали нуждается в кинематических операциях. В 1837 году французский математик Пьер Ванцель доказал невозможность трисекции угла и удвоения куба при помощи только линейки и циркуля. Потом в 1882 году немецкий математик Фердинанд фон Линдеман доказал, что π – иррациональное число, а следовательно, и решение задачи квадратуры круга с помощью этих инструментов тоже невозможно. Если же выйти за пределы условий и применить архимедову спираль, то трисекцию угла можно выполнить следующим образом (рисунок 8).

РИС. 8

РИС. 9

– Угол, который предстоит делить, образован лучами ОА и ОВ.

– Луч О А вращается вокруг точки О, по нему равномерно перемещается точка Р, образуя таким образом архимедову спираль.

– При совпадении лучей ОА и ОВ отрезок ОР делится на три равные части точками R и Q.

– Проводятся окружности с центром О и радиусами OR и OQ которые пересекают спираль соответственно в точках U и V.

– Проводятся лучи из точки О, проходящие через U и V. Так мы получили трисекцию угла.

Задача о квадратуре круга, которая заключается в требовании построить квадрат, равный по площади заданному кругу, тоже может быть решена с помощью архимедовой спирали, хотя и опять же с некоторым нарушением условий (рисунок 9).

– Через точку Р проводится касательная к спирали PQ.

– Строится отрезок, соединяющий Р и центр спирали О.

– Из точки О проводится перпендикуляр к отрезку ОР до пересечения с прямой PQ в точке Q.

– Строится сегмент окружности PS с центром О и радиусом ОР.

– Можно доказать, что отрезок OQ равен по длине кривой PS.

– Отсюда выводится, что касательная к спирали в точке R будет пересекаться с горизонтальной осью, причем длина отрезка, образованного точкой О и точкой пересечения касательной и оси, будет равна четверти длины окружности с радиусом OR.

– С учетом утверждения о площадях круга и прямоугольного треугольника (см. стр. 88) задача о квадратуре круга решена.

Квадратура параболы

В трактате «О квадратуре параболы» Архимед излагает различные теоремы, ранее, как он пишет во введении, еще не изученные. Это значит, что он их сформулировал сам. Из утверждений, изложенных Архимедом в данном труде, популярная литература чаще всего упоминает утверждение 24, касающееся квадратуры параболы:

«Площадь поверхности, ограниченной параболой и пересекающей ее прямой, на 1/3 больше площади треугольника с основанием, равным отрезку данной прямой и высотой, равной параболе» (рисунок 10).

Архимед послал эту работу Досифею Пелузийскому – это был первый труд, отправленный им кому бы то ни было после смерти его друга Конона Самосского. Трактат «О квадратуре параболы» содержит 24 утверждения. В первых пяти Архимед представляет некоторые свойства этой кривой; в утверждениях с 6-го по 16-е он проводит механический анализ параболы, основываясь на законе рычага. В утверждении 17 впервые говорится о его решении задачи квадратуры параболы с помощью механического метода, а в следующих утверждениях ученый использует метод исчерпывания, чтобы окончательно доказать правильность найденного решения (утверждение 24).

Таким образом, Архимед решает задачу квадратуры сначала механическим методом, а потом, считая его недостаточно строгим, добивается того же результата с помощью классического геометрического метода исчерпывания. Интересно отметить, что квадратура параболы является первой известной работой Архимеда, в которой тот применяет механический метод. Существует еще и третье решение этой квадратуры, которое содержится в трактате «О методе механических теорем».

Как уже говорилось, чтобы доказать утверждение 24, Архимед использовал метод исчерпывания (рисунок 11). Начинает он, принимая результат за данное, то есть с утверждения, что S_p – площадь параболы, S_T – площадь треугольника АВС, и тогда S_p= 4/3 S_T. Шаги доказательства таковы.

РИС. 10

РИС. 11

– Провести хорду параболы (АС) и построить треугольник с основанием, совпадающим с этой хордой и третьей вершиной, совпадающей с вершиной параболы (В). При этом у параболы появляются еще две хорды АВ и СВ.

– Аналогично построить треугольники ADB и ВЕС.

– Такую операцию можно продолжать до бесконечности, причем получаемый многоугольник будет все более и более приближаться к параболе.

– В утверждении 21 доказывается, что каждый треугольник, построенный по такому принципу, имеет площадь, равную 1/4 от площади предыдущего треугольника. То есть получается S_ADB =S_ВЕС = 1/4S_{треугольника}

– Архимед предположил, что мы можем достаточно долго заполнять пространство между треугольником и параболой построением новых треугольников на вновь образованных хордах.

– Основываясь на этой идее, он смог доказать, что площадь под параболой не может быть больше 4/3 площади изначального треугольника, но не может она быть и меньше 4/3.

– Таким образом, с помощью метода доказательства от противного выводится соотношение S_p =4/3S_Т, что и требовалось доказать.

Складывая почти до бесконечности

Самый древний пример того, что можно считать провозвестником вычисления бесконечно малых величин, мы встречаем у Зенона Элейского (490-430 до н.э.). Рассмотренная им процедура (дихотомия, последовательное деление пополам) представляла собой прецедент для работы греческих математиков в последующие века.

Архимед вплотную подошел к идее пределов в различных своих работах, где он употреблял метод исчерпывания. Одна из таких работ – «О квадратуре параболы». Речь идет о том, что складывание бесконечного числа величин дает в результате конечное число. Хотя Архимед и не мог суммировать все слагаемые, ему, несомненно, удалось достичь удовлетворительного приближения к искомой сумме интуитивным способом. Эта сумма вычисляется в утверждении 23, предпоследнем пункте трактата, как раз перед утверждением, в котором второй раз в данном тексте представлена квадратура параболы. Опираясь на этот результат, он смог доказать решение задачи о квадратуре параболы методом доказательства от противного. В сущности, утверждение 23 служит базой для решения задачи, то есть его можно рассматривать как инструмент вычисления для достижения поставленной цели. Утверждение 23 гласит:

«Если некоторые величины соотносятся друг с другом как один к четырем, то сумма всех величин и еще одна треть самой маленькой величины составит четыре трети самой большой».

Объясним это более понятным образом. Берем квадрат и делим его на четыре равные части. Складываем квадрат с его четвертью. Четверть тоже делим на четыре части и так далее до бесконечности, каждый раз прибавляя четверть к предыдущей сумме. Затем суммируются площади всех этих частей и прибавляется 1 /3 самой маленькой из них. Результат всегда будет составлять 4/3 площади изначального квадрата (см. рисунки 12 и 13 на следующей странице; на рисунке 12 представлено только одно деление, а на рисунке 13 – все деления).

Как можно увидеть, результат всегда равен А + 1/3 А, то есть сумма всех последовательных делений, проделанных указанным способом, равна 1/3 площади изначального большого квадрата. Здесь Архимед приходит интуитивным образом к следующему выражению, описывающему п делений квадрата:

В наше время такая последовательность называется геометрической прогрессией, в которой каждый следующий элемент получается путем умножения предыдущего на определенное постоянное число, называемое знаменателем прогрессии. Общая формула геометрической прогрессии такова: а_n = а₁ • r^(n-1)

В нашем случае имеем

a₁ = A

r = 1/4 → a_n = 1/(4^(n-1)) • А.

РИС. 12

РИС. 13

Таким образом, подставив значения n, мы получаем все слагаемые последовательности:

Можно сложить все элементы данной бесконечной последовательности, учитывая, что эта последовательность сходящаяся, с помощью формулы для суммы бесконечной убывающей геометрической последовательности:

Как видите, это значение, которое получил Архимед, не пользуясь нашими формулами. Каким-то образом он заметил, что где бы ни прервать последовательность, остаток ее будет составлять 1/3 от того слагаемого, на котором последовательность была прервана, независимо от того, что это было за слагаемое. Неизвестно, как он пришел к такому выводу. Возможно, что результата, представленного в трактате, ученый добился просто методом проб и ошибок. Главное, что он смутно предвидел принцип предела и остановился в одном шаге от него со своим методом, применяемым до сих пор для нахождения общей формулы рекуррентной последовательности.