Текст книги "Открытие без границ. Бесконечность в математике"

Автор книги: Энрике Грасиан

сообщить о нарушении

Текущая страница: 7 (всего у книги 10 страниц)

Глава 5. Рай Кантора

Возможно, было бы небольшим преувеличением заявить, что открытия Кантора стали поворотным моментом в истории всей математики, хотя есть и те, кто придерживается именно этой точки зрения. Однако, без сомнений, его достижения ознаменовали поворотный момент в изучении бесконечности.

Ряды Фурье

Жан-Батист Жозеф Фурье (1768–1830) был математиком-провидцем, он вошёл в число пионеров нового раздела математики – математического анализа, и создал одну из наиболее широко используемых теорий в истории прикладной математики.

Среди его работ особенно выделяется «Аналитическая теория тепла» (возможно, важнейшая из опубликованных им работ), в которой основное внимание уделялось теплопроводности. Этот труд не только имеет исключительную научную ценность, но и стал первым в истории трудом по математической физике.

Разложение функции в ряд заключается в представлении произвольной функции в виде бесконечной суммы других функций. Преимущество этого приёма в том, что с функциями, составляющими бесконечную сумму, работать проще, чем с исходной функцией. Ряды Фурье не были первым примером разложения функции в ряд – в то время уже достаточно часто использовалось разложение в степенной ряд Тейлора. Основное требование при разложении в ряд Тейлора звучало так: поведение рассматриваемой функции должно быть полностью определено на небольшом интервале.

Разложение в ряд Тейлора возможно для множества функций, но имеет один недостаток: оно может применяться исключительно локально, то есть позволяет узнать поведение функции в небольшой окрестности, но никак не определить её поведение в целом. Для решения этой задачи Фурье рассмотрел разложение функции на простые составляющие, как правило, синусоидальные функции. Волны, на которые раскладывались функции при преобразованиях Фурье, получили название гармонических колебаний, а изучавший их новый раздел математики был назван гармоническим анализом.

Возможность представления функции в виде суммы тригонометрических функций синуса и косинуса обладает огромным преимуществом с точки зрения математики, так как для синуса и косинуса легко построить график, вычислить производную и интеграл. Фурье доказал, что любую периодическую функцию f(х) при соблюдении некоторых ограничений можно представить в виде бесконечной суммы функций синуса и косинуса. Тем не менее разложение в ряд Фурье ставит два важных вопроса, на которые непросто дать ответ, так как они затрагивают самые основы математического анализа и касаются теорем о существовании и единственности. Звучат эти вопросы так: во-первых, при каких условиях существует ряд, который действительно сходится к данной функции, и, во-вторых, если такой ряд действительно существует, является ли он единственно возможным?

В 1870 году Кантор сформулировал теорему, содержащую критерий сходимости ряда Фурье, в следующем году – вторую теорему, которая дополняла первую и касалась единственности ряда Фурье для данной функции. При этом Кантор столкнулся с проблемой: эта теорема не имела общего характера, и существовали точки, в которых она не выполнялась, причём таких точек было бесконечно много, и их множества перемежались с множествами точек, в которых теорема была верна. Так Кантор столкнулся с иррациональными числами. Встал вопрос, выходивший далеко за рамки разложения функции в ряд и за рамки понятия бесконечности. Кантор начал серьёзно рассматривать взаимоотношения между непрерывным и дискретным на множестве вещественных чисел. С одной стороны, имелась прямая, на которой из чисто геометрических соображений точки распределялись непрерывно, с другой стороны, с арифметической точки зрения распределение этих точек было дискретным. Проблема заключалась в самом определении вещественного числа, точнее в определении иррационального числа (см. приложение «Множества чисел»).

Жан-Батист Жозеф Фурье.

Фундаментальные последовательности

Кантор разрабатывал свою теорию вещественных чисел в два этапа. В 1872 году в работе «О расширении теоремы, относящейся к теории тригонометрических рядов» он сформулировал задачу о существовании иррациональных чисел, но ему не удалось разработать полную и согласованную теорию. Чёткое математическое определение вещественным числам учёный дал значительно позже, в своих «Основаниях общей теории множеств». По словам самого Кантора, он пришёл к этому определению после глубоких философских размышлений о бесконечности и непрерывности. Математику были знакомы работы Коши и Вейерштрасса, и он знал, что на множестве рациональных чисел  существовали последовательности, не сходившиеся ни к какому рациональному числу. Речь шла о последовательностях, определённых Коши, элементы которых группировались друг вокруг друга, но не в окрестности какого-либо рационального числа. В главе 2 мы уже приводили пример бесконечного ряда, сходящегося к числу, которое не является рациональным – √2.

Мы также говорили, что элементы этих последовательностей могут располагаться сколь угодно близко друг к другу. Кантор назвал такие последовательности фундаментальными (в настоящее время они также называются последовательностями Коши).

Кантор чувствовал, что фундаментальные последовательности должны сходиться к иррациональному числу, и взял это за основу определения иррационального числа. Если продолжать аналогию, которую мы использовали в предыдущих главах, Кантор заметил скопления машин на автомагистрали и предположил, что причиной этому являются пункты оплаты – иными словами, существуют точки, в которых скапливаются определённые числовые последовательности и отсутствуют рациональные числа (это те самые промежутки на числовой прямой, о которых мы говорили выше). В таких точках должны находиться иррациональные числа, например √2, √3, √5 или даже π. Проблема заключалась в том, что иррациональным числам нужно было дать строгое определение на языке математики.

Существуют определённые свойства, которыми должны обладать множества чисел, чтобы образовывать согласованную систему, или, иными словами, чтобы их действительно можно было использовать и определить на них элементарные операции. Первое из этих свойств состоит в том, что эти множества должны быть замкнутыми относительно операций сложения, вычитания, умножения и деления. Иными словами, при сложении двух целых чисел мы ожидаем, что результат также будет целым числом. Второе свойство – упорядоченность: для двух любых данных чисел можно однозначно указать, что они равны или что одно из них больше другого. Третье свойство – плотность, оно более сложное, и им обладают не все множества чисел. Свойство плотности означает, что между двумя произвольными числами всегда находится третье, но этот принцип, как вы уже видели, не выполняется ни для натуральных, ни для целых чисел. Например, между 5 и 6 нет никакого другого целого числа. Как известно, плотность характерна для рациональных чисел, но Кантор знал, что новое множество иррациональных чисел, которое он хотел определить с помощью фундаментальных последовательностей, тоже должно обладать этим свойством. Он понимал, что числа, которым он пытался дать определение, были расширением рациональных чисел, и, что вполне логично, предполагал, что свойства рациональных чисел естественным образом будут распространяться и на иррациональные. Однако доказать свою догадку ему не удалось. Кроме того, возникла ещё одна проблема – различные фундаментальные последовательности могли сходиться к одному и тому же иррациональному числу. Эти и другие препятствия были преодолены с введением понятий отношения эквивалентности и фактор-множества, с помощью которых множества чисел определяются сейчас.

Заострим внимание на том, что Кантор свободно использовал понятие актуальной бесконечности в определении столь конкретного явления, как число, которое, по сути, является не чем иным, как пределом бесконечной числовой последовательности. В своих первых работах он также не использовал понятие предела. Более того, он говорил не о числах, а о числовых величинах. Кантор осознавал, что ступает на зыбкую почву, поскольку при рассмотрении понятий бесконечности и непрерывности следует вооружиться логическими и математическими инструментами, а их у него не было, и Кантору ничего не оставалось, кроме как создать эти инструменты самому.

Расширив множество рациональных чисел , Кантор перешёл к новому множеству , которое назвал множеством вещественных чисел. Некоторые считают, что выбор этого названия был продиктован существованием мнимых чисел, о которых в то время было уже известно, однако есть основания полагать, что Кантором двигали иные причины. В «Основаниях общей теории множеств» он использует понятие предела и отказывается от понятий числовой величины, называя введённое им множество множеством вещественных чисел. Это очень важная деталь: она указывает, что Кантор был готов принять актуальную бесконечность не как спекуляцию, а как реальный математический объект – столь же реальный, как целые или дробные числа.

Вещественная прямая

Прямая – это бесконечное множество точек, расположенных на линии. Кантор, работая над определением вещественной прямой, следовал путём, который мы уже описали в предыдущих главах: он обозначил начало отсчёта и выбрал единицу измерения. В начальную точку он поместил число 0, справа от него – целые положительные числа, слева – отрицательные. Добавим к ним рациональные числа, то есть дроби: положительные расположим справа, отрицательные – слева. Напомним, что с добавлением рациональных чисел эта прямая приобрела свойство плотности, согласно которому между двумя любыми рациональными числами всегда находится другое рациональное число.

Вы уже знаете, какой масштабный кризис вызвало открытие числа √2 в древнегреческой математике. Суть проблемы заключалась в том, что это число можно было совершенно чётко представить с помощью прямоугольного треугольника с катетами единичной длины, но длина гипотенузы этого треугольника, выражаемая иррациональным числом, не входила во множество точек прямой, на которой мы определили единицу измерения катетов. Таким образом, длина гипотенузы имела смысл как величина, но не существовала как число. В этом смысле можно было утверждать, что вещественная прямая содержала бесконечное множество промежутков, пустых точек, которым не соответствовали никакие числа, следовательно, вещественная прямая не была непрерывной.

С введением иррациональных чисел всем точкам этой прямой оказались присвоены числа, рациональные или иррациональные, и промежутки на ней исчезли. Теперь прямая по праву могла называться вещественной.

С другой стороны, утверждение, согласно которому прямая как геометрическая сущность полностью, без промежутков, заполнена числами, оставалось не до конца обоснованным. Размышления на эту тему привели к тому, что Кантор стал больше интересоваться непрерывностью, чем бесконечностью, и определил важнейшее понятие счётности, которое стало первой альтернативой понятию бесконечности.

Кардинальные числа

Кантор столкнулся с проблемой подсчёта бесконечности. Ранее потенциальная бесконечность определялась через возможность беспредельно добавлять к ряду или последовательности всё новые и новые элементы, но Кантор предложил ввести понятие актуальной бесконечности, иными словами, начать использовать бесконечность как ещё одну математическую сущность. Для этого следовало пересмотреть и полностью формализовать такое элементарное арифметическое действие, как простой подсчёт совокупности объектов, что требовало решения двух задач: нужно было, во-первых, чётко определить, что понимается под совокупностью объектов, и, во-вторых, дать математическое определение подсчёту объектов совокупности.

Первая задача была решена с помощью теории множеств, которую на тот момент уже разработал Больцано. Кантор расширил и дополнил её, что дало возможность вести речь об элементах множества как о совершенно абстрактных сущностях.

Многие историки науки считают теорию множеств Кантора одним из самых выдающихся творений человеческой мысли. Мы не будем вдаваться в детали этой теории, так как в нашем контексте будет достаточно нескольких интуитивно понятных определений, однако отметим, что понятие множества является одним из фундаментальных понятий математики, так как на него опираются все теоретические основы науки. Анри Пуанкаре (1854–1912) как-то сказал, что математик – это человек, дающий разным вещам одно наименование. Эта короткая и немного ироничная фраза отражает важную истину: конечная цель, к которой стремятся математики, – обобщение.

Замечание Пуанкаре в высшей степени применимо к теории множеств, поскольку слово «множество» может означать любое существующее понятие (а также многие несуществующие). Именно это обобщение позволило Кантору дать чёткое определение актуальной бесконечности.

Первая трудность теории множеств состоит в самой дефиниции понятия «множество», так как его очень сложно определить, не используя само понятие «множество» или один из его синонимов – объединение, группа и т. д.

Одно из наиболее удачных определений, в котором не используются синонимы слова «множество» (по крайней мере, явным образом), принадлежит Бертрану Расселу:

«Множество есть совокупность различных элементов, мыслимая как единое целое».

Это интересная точка зрения, так как в ней понятие множества определяется как результат мыслительной деятельности, и это означает, что речь идёт о фундаментальном понятии.

* * *

СЧЁТ С ПОМОЩЬЮ КАМНЕЙ

Интересно отметить, что человек научился считать раньше, чем появились системы счисления, поэтому, вопреки распространённой точке зрения, можно утверждать, что понятие биективного отображения появилось одновременно с понятием числа или даже раньше. Например, пастуху, который хотел сосчитать число овец в стаде, требовалась сумка с камнями. Когда очередная овца выходила из загона, пастух вынимал из сумки один камень. Вечером, пригнав овец обратно в загон, пастух устанавливал взаимно однозначное соответствие между овцами и камнями. (От латинского слова calculus – «камень» происходит, например, современное слово «калькулятор».)

* * *

Как мы уже говорили, фундаментальным также является понятие подсчёта элементов множества. При счёте мы в действительности сравниваем элементы двух множеств. Например, если мы хотим узнать, сколько человек находится в помещении (то есть сколько элементов содержит множество людей, находящихся в помещении), мы берём за основу известное множество, образованное натуральными числами 1, 2, 3, …, и присваиваем каждому человеку в помещении порядковый номер без повторений. Закончив подсчёт, мы смотрим, какое число мы присвоили последним. Если это число равно, например, 23, мы говорим, что в помещении находится 23 человека. В действительности мы сравнили два множества – множество людей и множество чисел {1, 2, 3, …, 22, 23}, установив так называемое взаимно однозначное соответствие. Взаимно однозначное соответствие можно установить между множествами разной природы, важно лишь, чтобы при этом соблюдались определённые правила. Например, если даны множество заглавных букв {A, F, H, P, V} и множество строчных букв {a, b, c, d, e}, то между ними можно установить следующее отношение:

Каждому элементу первого множества должен соответствовать один и только один элемент второго множества, и наоборот. Это единственное правило, которому должны подчиняться биективные, то есть взаимно однозначные отображения.

На рисунке ниже мы также видим соответствия:

Однако они не удовлетворяют этому правилу.

Таким образом, Кантор определил простейшее понятие подсчёта, а также ввёл понятие кардинальности множества.

Если мы рассмотрим множества, между которыми можно установить биективное отображение, то увидим, что число элементов в этих множествах одинаково.

Но если одно множество состоит из четырёх элементов, а другое – из трёх, между ними нельзя установить биективное отображение: какой-либо элемент остаётся без пары или какому-либо элементу будет сопоставлено сразу несколько элементов.

Кантор определил эквивалентность множеств следующим образом: «Кардинальность двух множеств одинакова, если между ними можно установить биективное (взаимно однозначное) отображение». О множествах с одинаковой кардинальностью говорят, что они являются равномощными, то есть имеют одинаковое число элементов.

Таким образом, если дано произвольное множество, например коробка цветных карандашей, которое мы обозначим А, и можно установить взаимно однозначное соответствие между множеством A и множеством N = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, то говорят, что кардинальность А и N одинакова:

|A| − |N| = 6.

Может показаться, что мы усложняем очевидное, но это впечатление обманчиво: новый логический аппарат позволил дать чёткое определение бесконечному множеству.

Для этого сначала определим, что такое конечное множество. Непустое множество А (иными словами, содержащее как минимум один элемент) является конечным, если для некоторого числа n множество А имеет ту же кардинальность, что и множество {1, 2, 3, …, n}. Следовательно, n будет числом элементов множества A. В противном случае говорят, что множество А бесконечное.

Аналогично: множество А бесконечно, если существует собственное подмножество В множества А, имеющее ту же кардинальность, что и само А. В противном случае множество А является конечным.

На последнем определении стоит остановиться подробнее ввиду его чрезвычайной важности. Во-первых, следует пояснить, что понимается под собственным подмножеством. Это очень просто: если дано произвольное множество А, например {a, b, с, d}, его собственным подмножеством будет любое подмножество, которое можно составить из элементов А, при этом нельзя использовать их все. Примерами собственных подмножеств А будут:

{а} {а, b} {а, b, с} {а, с, d} {d} {b, с, d}.

В соответствии с вышесказанным кажется логичным, что между множеством и его собственным подмножеством нельзя установить взаимно однозначное соответствие: собственное подмножество всегда будет содержать меньше элементов, чем само множество.

Но существуют примеры, когда это не так. Рассмотрим  – множество всех натуральных чисел и его собственное подмножество Р, образованное всеми чётными числами. Очевидно, что между обоими множествами можно установить взаимно однозначное соответствие: для этого каждому натуральному числу n нужно поставить в соответствие это же число, умноженное на 2.

n → 2n

В соответствии с этим

1 → 2

2 → 4

3 → 6

…

Иными словами, каждому натуральному числу соответствует чётное число и, напротив, каждому чётному числу соответствует натуральное число. Это означает, что кардинальность этих множеств одинакова, и утверждение «существует столько же натуральных чисел, сколько чётных» вовсе не парадокс, хотя оно явно противоречит интуиции. Таким образом, альтернативное определение бесконечного множества звучит так: множество является бесконечным, если между этим множеством и какой-либо из его частей (каким-либо его собственным подмножеством) можно установить взаимно однозначное соответствие.

В этом случае парадокс, сформулированный Галилеем (см. главу 3), – это уже не парадокс, а констатация факта: множество натуральных чисел является бесконечным.

Путём аналогичных рассуждений можно доказать, что множество натуральных чисел и множество целых чисел  имеют одинаковую кардинальность. Чтобы подтвердить это, достаточно установить взаимно однозначное соответствие между ними, сопоставив всем положительным числам чётные, а всем отрицательным – нечётные. Таким образом, существует столько же целых чисел, сколько натуральных.

Счётные множества

Кантор также сформулировал очень важное понятие счётного множества. По определению, множество А называется счётным, если можно установить взаимно однозначное соответствие между А и подмножеством . В основе этого определения лежит очень простая идея, которую мы часто используем в повседневной жизни.

Когда мы заявляем, что места в зале кинотеатра пронумерованы, мы говорим о взаимно однозначном соответствии между подмножеством натуральных чисел и множеством кресел и сопоставляем каждому креслу число.

Мы уже показали, что множество целых чисел является счётным. Далее Кантор получил поистине удивительный результат: множество рациональных чисел  также является счётным. Он доказал, что существует столько же рациональных чисел, сколько и натуральных. Чтобы установить соответствие между натуральными и рациональными числами, Кантор использовал настолько простую схему, что остаётся только удивляться, почему никто не сделал этого раньше. Возможно, причина в том, что никто не считал это возможным, так как это противоречит элементарной интуиции.

Схема, придуманная Кантором, такова. Нужно построить таблицу рациональных чисел (напомним, что речь идёт о дробях) следующим образом: в первой строке записываются дроби, числитель которых равен 1, во второй – дроби, числитель которых равен 2, в третьей – 3 и т. д. Вычеркнем из каждой строки повторяющиеся дроби. Например, 2/2 – это то же самое, что 1/1 или 3/3, 2/4 – то же, что и 1/2, и т. д. Построив таблицу, обойдём все числа в порядке, указанном стрелками, начиная с 1/1. Мы обойдём все рациональные числа ровно один раз. Таким образом, взаимно однозначное соответствие между натуральными и рациональными числами устанавливается следующим образом:

1 → 1/1

2 → 1/2

3 → 2/1

4 → 3/1

5 → 1/3

…

Самое удивительное в том, что мы установили взаимно однозначное соответствие между двумя множествами, одно из которых является дискретным (множество натуральных чисел), а другое – плотным (множество рациональных чисел).

Здесь бесконечность начинает понемногу приподнимать завесу тайны над своими удивительными загадками. Интуиция подсказывает, что счётными могут быть только дискретные множества, и тот факт, что плотное множество  также является счётным, был поистине удивительным. Мы подсознательно ассоциируем счётность с возможностью найти следующий элемент для данного, что невозможно в плотном множестве. Если мы рассмотрим предыдущую таблицу, то увидим, что 1/1 является первым числом, а следующим будет 1/2. Однако множество дробных чисел является плотным, поэтому между 1/1 и 1/2 находится бесконечное множество чисел. Так, нам известно, что 1/4 находится между 1 и 1/2, а в нашем перечне это число занимает шестое место.

* * *

МЫСЛИТЬ – ЭТО БОЛЬШЕ, ЧЕМ ГОВОРИТЬ

Согласно теории множеств Кантора, множество всех возможных слов, как произнесённых, так и записанных на бумаге, является счётным. Если учитывать, что множество знаков (букв, символов и т. д.) в языке конечно, то очевидно, что на его основе можно сформировать счётное множество. Другое дело – множество вещей, о которых мы можем подумать. Оно, очевидно, не является счётным. Мы можем представить, например, множество окружностей на плоскости, имеющее мощность континуум. Таким образом, всё, что мы можем сказать, поддаётся упорядочению, а всё, о чём мы можем подумать, не поддаётся или поддаётся лишь частично. Следовательно, можно упорядочить лишь часть наших мыслей, а большинство из них принадлежит к миру хаоса.

Буквы алфавита образуют ограниченное и, следовательно, счётное множество.

* * *

По этой причине с открытым Кантором понятием счётности оказалось тесно связано понятие непрерывности. Неизбежно возник вопрос: если расширить множество рациональных чисел иррациональными, будет ли полученное множество счётным?

Иными словами, можно ли говорить, что М – счётное множество?

Нет, это не так, и Кантор это доказал с помощью метода, схожего с тем, который он использовал при доказательстве счётности множества , но намного более сложного. Также, используя метод доведения до абсурда, он показал, что множество (0, 1) всех вещественных чисел, заключённых между 0 и 1, не является счётным, следовательно, М также не может быть счётным. Таким образом Кантор создал серьёзный прецедент, сыгравший определяющую роль в математике XX века. Достаточно сказать, что этот прецедент стал частью доказательства знаменитой теоремы Гёделя о неполноте.