Текст книги "Открытие без границ. Бесконечность в математике"

Автор книги: Энрике Грасиан

сообщить о нарушении

Текущая страница: 3 (всего у книги 10 страниц)

Дихотомия

Этот парадокс напрямую связан с понятием движения и показывает его невозможность: телу, которому нужно пройти расстояние между точками А и В, сначала необходимо переместиться на половину этого расстояния, затем – половину оставшейся половины и т. д. Это бесконечное число расстояний, которое должно преодолеть тело, нельзя пройти за конечное время. Следовательно, движение невозможно.

Ахиллес и черепаха

Легконогий Ахиллес считался самым быстрым из людей, в противоположность черепахе. В этом парадоксе описывается гонка между ним и черепахой. Если они стартуют одновременно, то Ахиллес очевидно придёт к финишу первым. Всё изменится, если дать черепахе небольшое преимущество, сколь бы мало оно ни было. В этих условиях Ахиллесу сначала нужно будет достичь точки, в которой изначально находилась черепаха. Но когда он достигнет этой точки, черепаха уже отойдёт на некоторое расстояние. Ахиллесу снова придётся пробежать расстояние, отделяющее его от черепахи. Однако за то время, пока он будет бежать, черепаха отойдёт ещё дальше, и Ахиллес по-прежнему не сможет догнать её. Так как этот процесс повторяется бесконечно, он никогда не догонит черепаху.

Может показаться, что оба парадокса если не аналогичны, то очень похожи, однако между ними существует небольшая разница: в первом случае пространство делится на две равные части, а в парадоксе об Ахиллесе и черепахе – на всё более мелкие части.

Стрела

Этот парадокс – самый неоднозначный из четырёх. Историки указывают, что исходный текст дошёл до нас не полностью и его пришлось восстанавливать. Суть парадокса такова: когда мы выпускаем стрелу, нам кажется, что она удаляется от нас, но в действительности она не движется, так как стрела, как и всякий другой объект, занимает пространство, равное самой себе, но для этого она должна находиться в покое. Если время состоит из неделимых мгновений, стрела не может занимать два или более места в пространстве одновременно.

Если в двух первых парадоксах речь идёт о невозможности бесконечного деления пространства, то этот парадокс посвящён неделимости времени, в частности существованию того, что мы называем «мгновение», так как если оно неделимо, оно не имеет длительности, и, следовательно, движение невозможно. Мгновение, понимаемое таким образом, подобно точке в геометрии.

Стадион

Допустим, что время – дискретная величина, и его основной единицей является произвольная сколь угодно малая величина t. Это означает, что не существует единицы времени, меньшей t, которая, следовательно, является неделимой. Можно представить часы, где каждому звуку «тик» или «так» соответствует эта неделимая единица времени.

Рассмотрим четыре равных тела А₁, A₂, А₃ и А₄ которые находятся в состоянии покоя (в исходной формулировке парадокса речь идёт о шеренге из четырёх солдат):

и четыре других тела B₁, B₂, B₃ и B₄, точно соответствующие предыдущим четырём, движущиеся вправо:

Они движутся так, что в каждый момент времени одно из тел В находится напротив одного из тел А:

Рассмотрим теперь третий ряд тел C₁, C₂, C₃ и C₄, также равных предыдущим, которые движутся влево так, что в каждый момент времени каждое из них находится напротив одного из тел А:

Парадокс возникает, когда мы одновременно рассматриваем оба движения: для тел В и для тел С. Если исходное положение тел таково, как представлено на рисунке:

то в следующий момент времени («тик» часов) тела будут расположены так:

Но это означает, что C₁ сместилось на расстояние, равное величине двух тел В. Следовательно, выбранную нами единицу времени можно разделить пополам, что противоречит исходному утверждению о её неделимости.

Аристотель обрушился на этот парадокс с критикой, показав, что Зенон считал одинаковыми тела в состоянии покоя и тела в движении. Если скорость движущегося тела неизменна, то скорость, с которой оно движется относительно другого, находящегося в состоянии покоя, нельзя считать равной скорости, с которой тело движется относительно другого движущегося тела. Однако возражение Аристотеля тривиально, сложно поверить, чтобы Зенон упустил его из вида.

В других трактовках считается, что этот парадокс, подобно предыдущим, посвящён делению времени и пространства на бесконечное число частей. Таким образом, чтобы одно тело могло пройти мимо другого, движущегося тела, сначала оно должно пройти расстояние, равное половине длины этого тела, находящегося в состоянии покоя, и т. д.

В любом случае кажется достаточно правдоподобным, что Зенон вновь хотел поспорить с пифагорейцами, указав на противоречие, касающееся неделимости геометрических фигур.

* * *

ЗЕНОН. ЗАБЫТЫЙ ГЕНИЙ

Зенон Элейский (ок. 490–425 гг. до н. э.) был древнегреческим философом и принадлежал к элейской школе, основанной Парменидом. Основным источником знаний о Зеноне является диалог Платона «Парменид». Можно утверждать, что он принадлежал к философскому течению, которое называется монизмом. В монизме считается, что всё сущее неизменно и никакие изменения невозможны. По мнению некоторых философов, Зенон не получил того признания, которого заслуживал. Бертран Расселл отчасти исправил ситуацию, сказав: «В этом капризном мире нет ничего более капризного, чем посмертная слава. Одним из тех, кто больше всего пострадал от несправедливости потомков, был Зенон Элейский. Он сформулировал четыре неизмеримо тонких и глубоких аргумента, но невежественные философы последующих времён сочли его лишь искусным престидижитатором, а его аргументы – простыми софизмами. После двух тысяч лет забвения этим софизмам вновь было уделено внимание, и они стали основой возрождения математики…» («Начала математики», книга 1,1903)

На этой фреске из Королевской библиотеки монастыря Эскориал изображён Зенон Элейский, показывающий ученикам врата Истины (Veritas) и Лжи (Falsitas).

* * *

Критика Аристотеля в отношении первого парадокса позволила заложить основы очень важного понятия, касающегося бесконечности, и, по мнению многих авторов, является важнейшим вкладом в изучение бесконечности.

Во-первых, обратите внимание, что слово «бесконечность» допускает две трактовки: как нечто бесконечно протяжённое и как нечто бесконечно делимое. В первом парадоксе смешиваются обе трактовки, так как согласно ему ограниченное пространство, которое делится на бесконечное множество частей, не может быть пройдено за конечное время. Проводится следующее различие: в непрерывном пространстве, в котором движется тело, существует бесконечное число половин расстояний, но потенциально, а не в действительности. В этом заключается важность вклада Аристотеля, так как начиная с этого момента возникли две различные трактовки бесконечности, в определённом смысле несовместимые: так называемая потенциальная и актуальная бесконечность, о которых мы говорили в предыдущей главе.

Мы очень часто определяем, что верно, а что нет, руководствуясь здравым смыслом, основанным на чувствах, которые, говоря языком современных технологий, можно определить как средства фиксации и обработки окружающей нас реальности.

Нечто является разумным в той степени, в которой на это указывают наши ощущения. Сколь парадоксальным ни казался бы нам полёт стрелы, органы чувств ясно указывают, что стрела отдаляется от нас. Разумеется, Зенону это было прекрасно известно, но ему также было известно, что чувства не всегда могут служить надёжной опорой разуму.

Он рассуждал так: подобно тому, как у вещи либо есть размеры, либо нет, предмет издаёт или не издаёт звук. Корзина, полная зёрен пшеницы, издаёт определённый звук, когда мы тянем её по земле. Зенон задавался вопросом: издаёт ли звук одно-единственное зерно? Если да, то издаёт ли звук половина зерна? Как можно предположить, если и далее последовательно делить зерно на части, наступит момент, когда этот звук будет неразличим. Исходя из этого факта, можно утверждать, что сумма элементов, равных нулю, всегда будет нулевой, то есть если мы соберём вместе множество предметов, не издающих звук, то и их совокупность также не будет издавать звуков.

Целью Зенона было показать, что в определённых рассуждениях мы не можем доверять нашим органам чувств – они должны уступить место интуиции, что часто и происходит при математических рассуждениях. Однако, как вы увидите далее на примере теорий Кантора, интуиция также может быть обманчивой, и мы не можем руководствоваться ею тогда, когда бесконечность является реальным объектом, с которым можно работать так же, как с натуральными числами.

Зенон считал, что нечто может состоять из бесконечного числа элементарных частей только тогда, когда каждая из этих частей не имеет размера: в противном случае эти части можно разделить, и они не могут считаться элементарными. Однако если части объекта не имеют размеров, то не имеет размеров и сам объект, так как сумма величин, не имеющих размера, также не может иметь размер.

Так греки определили термин «апейрон», который пришёл на смену понятию «бесконечность». Апейрон означал отсутствие чётко определённого предела. Это соответствовало идее, согласно которой предмет бесконечен, поскольку может иметь сколь угодно большие размеры. Апейрон не относился, например, к бесконечному числовому ряду, в котором не существует последнего числа. Аналогичным образом определялись бесконечно малые величины, которые могут иметь сколь угодно малые размеры. Этому понятию было дано строгое определение в математическом анализе лишь в XIX веке.

Квадратура круга

Задачам на построение с помощью циркуля и линейки, известным с античных времён, в Древней Греции уделялось большое внимание. Разнообразие этих задач очень велико – они могут быть очень простыми, очень сложными, а порой и вовсе не имеющими решения. Наиболее известны из них задачи о трисекции угла, удвоении куба и квадратуре круга – сложность последней вошла в поговорку.

Когда речь идёт о построениях с помощью циркуля и линейки, следует придерживаться определённых правил, так как в противном случае задачи становятся тривиальными. Например, найти середину отрезка с помощью линейки, на которую нанесены миллиметровые деления, очень просто – для этого даже не потребуется циркуль. Но определим, что мы будем понимать под «линейкой» при решении этих задач. Линейка – это идеальный предмет с абсолютно ровной границей, который служит для проведения прямых. На ней отсутствуют какие-либо отметки, позволяющие измерить расстояние. Циркуль представляет собой обычный циркуль, раствор которого может быть любым. Логично, что его нельзя использовать для нанесения меток, с помощью которых можно измерить расстояние.

* * *

ЦИРКУЛЬ МАСКЕРОНИ

Задачи на построение с помощью циркуля и линейки всегда занимали почётное место среди занимательных задач. Одна из наиболее любопытных публикаций на эту тему принадлежит землемеру Уильяму Лейбурну, который в 1694 году опубликовал книгу Pleasure with Profit («Приятное с полезным»), где описал всевозможные математические «игры с линейкой и вилами» (под вилами имелся в виду циркуль с фиксированным раствором). Одно из величайших открытий, связанных с задачами такого типа, было совершено в 1794 году, когда итальянский геометр Лоренцо Маскерони в своей работе Geometria del Compasso доказал, что любое построение, которое можно совершить с помощью циркуля и линейки, также можно выполнить с помощью только циркуля (разумеется, раствор которого не фиксирован). Так как провести прямую с помощью циркуля невозможно, Маскерони считал, что она определяется двумя точками, заданными пересечением дуг.

* * *

Определив правила игры, можно приступить к решению задач. Рассмотрим, например, как можно провести перпендикуляр к отрезку в его середине. Допустим, дан отрезок АВ. Сначала нужно провести окружность с центром в точке А и радиусом АВ. Далее нужно построить другую окружность такого же радиуса, но с центром в точке В. Прямая, соединяющая точки пересечения окружностей, и будет требуемым перпендикуляром.

Следует предостеречь читателя от бесплодных попыток решить задачу о квадратуре круга: в 1882 году немецкий математик Фердинанд Линдеман (1852–1939) доказал, что число π является трансцендентным, поэтому эта задача не имеет решения.

Доказано, что с помощью циркуля и линейки можно построить правильный многоугольник с произвольным числом сторон, площадь которого будет равна площади данного квадрата. Хотя существование решения этой задачи доказано теоретически, найти его не всегда просто. Использовав это доказательство, Антифонт из Афин (ок. 480–411 гг. до н. э.) изложил метод решения задачи о квадратуре круга, логику которого сложно оспорить. Его суть заключалась в следующем: будем исходить из того факта, что можно построить квадрат, площадь которого будет равна площадям ряда правильных многоугольников, которые мы построим. Впишем в данную окружность шестиугольник.

Нам известно, что задача о квадратуре шестиугольника имеет решение, то есть мы можем построить с помощью циркуля и линейки такой квадрат, площадь которого будет равна площади заданного шестиугольника. Будем увеличивать число сторон многоугольника, вписанного в окружность, и для каждого из этих многоугольников задача о квадратуре по-прежнему будет иметь решение. Разница между площадью окружности и площадью вписанного многоугольника будет последовательно уменьшаться. По сути, она может быть сколь угодно малой. Представим себе, например, многоугольник, число сторон которого равняется нескольким квадриллионам.

Любая из его сторон будет очень близка к дуге окружности, так что их будет очень и очень сложно отличить. Антифонт считал, что таким способом можно решить задачу о квадратуре круга.

Его рассуждения логически безупречны. Единственный их недостаток заключается в том, что переход, который он считает совершенно естественным, выполняется на недоступной нам территории, где правят бесконечно малые величины.

Окружность – это реальная фигура, равно как и многоугольник с бесконечным числом сторон, но когда мы рассматриваем переход от многоугольника с бесконечным числом сторон к окружности, мы имеем дело с актуальной бесконечностью. Пока этого не происходит, речь идёт о потенциальной бесконечности.

* * *

КВАДРАТУРА СТОЛА

Задача о квадратуре обычно представляет сложность даже для очень простых фигур, например треугольника, пятиугольника или шестиугольника, и некоторые решения названы по именам их авторов. Например, чтобы решить задачу о квадратуре для равностороннего треугольника, нужно разделить его (разумеется, с помощью циркуля и линейки) следующим образом.

Из этих частей можно составить квадрат той же площади, что и треугольник.

Мати Грюнберг использовал это решение и создал стол-трансформер, который, в зависимости от ситуации, может иметь форму квадрата или треугольника.

Иррациональные числа

Без чисел 1, 2, 3, …, которые мы обычно используем при счёте, во время измерений не обойтись. Если мы возьмём, например, сравнительно ровный кусок дерева и нанесём на него метки, соответствующие каждому числу так, что они будут находиться на равном расстоянии друг от друга, то сможем измерять расстояния. Расстояние между двумя соседними отметками будет единицей измерения.

Допустим, что наша единица измерения задаётся отрезком ОА, и мы хотим измерить длину доски В. Наложим единичный отрезок на доску и подсчитаем, сколько раз он укладывается на ней. Допустим, что отрезок укладывается на доске ровно пять раз. В этом случае говорят, что длина доски равна 5 единицам. Нам повезло: результат оказался целым числом.

Но могло случиться и так, что длина составила бы 4 с половиной единицы. Ничего страшного – это означает, что нужно всего лишь разделить нашу единицу измерения пополам. На языке математики это записывается дробью вида 1/2. Именно так изготавливаются линейки, и чем больше на них делений, тем выше точность измерений.

Очевидно, что точность измерений в этом случае будет иметь предел по чисто физическим причинам, связанным с шириной отметок и нашей способностью различить их. В школьных линейках расстояние между соседними отметками обычно равняется одному миллиметру, то есть единица измерения (сантиметр) делится на десять частей.

Прежде чем продолжить объяснения, напомним читателю некоторые определения элементарной геометрии. Прямоугольный треугольник – это треугольник, в котором один из углов прямой, то есть составляет 90°. Например, треугольник АВС, изображённый на следующей странице, прямоугольный, так как угол В равен 90°. Стороны, образующие прямой угол, называются катетами, третья сторона – гипотенузой. Как следствие, гипотенуза всегда – самая длинная сторона прямоугольного треугольника, и лежит она против прямого угла.

Знаменитая теорема Пифагора гласит, что в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Таким образом, выполняется равенство:

С его помощью можно найти длину гипотенузы по известным катетам. Например, в треугольнике

выполняется равенство

Таким образом, длина гипотенузы равна 5.

Теперь предположим, что мы выбрали единицу измерения на прямой с началом отсчёта в точке О так, что ОС = 1. Построим отрезок, перпендикулярный этой прямой, проходящий через точку С, такой что длина CD также будет равна 1. Как можно видеть на следующем рисунке, мы получили прямоугольный треугольник OCD с гипотенузой OD.

Применив теорему Пифагора, получим

Таким образом,  откуда OD = √2.

Если мы с помощью циркуля отложим значение OD на прямой, то не сможем присвоить отрезку ОС никакого значения. В этом смысле отрезок ОС является несоизмеримым.

Это означает, что √2 нельзя представить в виде дроби, что приводит нас к строгому определению рационального числа: говорят, что произвольное число N является рациональным, когда его можно представить в виде частного двух целых.

По этому определению, рациональными являются 2/3, 8/5, 2773/12452. Логично, что целые числа также являются рациональными, так как любое целое можно представить в виде частного двух других: например 8 можно представить как 16/2.

В некоторых неканонических изданиях «Начал» Евклида можно встретить доказательство того, что √2 не является рациональным (доказательство, изложенное на языке современной математики, приведено в приложении).

Числа, не являющиеся рациональными, называются иррациональными, что очень точно характеризует их природу. Однако более серьёзная проблема заключается в том, что не только диагонали квадратов, но и соотношения между высотой и стороной равностороннего треугольника или между диагональю и стороной правильного пятиугольника также выражаются иррациональными числами. Иными словами, мы открыли не единственное иррациональное число, а множество иррациональных чисел. С помощью целых чисел нельзя с точностью измерить размеры фигур, имевших наибольшее значение для пифагорейцев. Можно решительно утверждать, что открытие иррациональных чисел привело к беспрецедентному кризису в истории греческой математики. В школах пифагорейцев, куда не допускались непосвящённые, одним из самых тщательно охраняемых секретов было существование иррациональных чисел. По легенде, разглашение этого секрета каралось смертью.

Если мы рассмотрим представление рациональных и иррациональных чисел в виде десятичных дробей, то увидим, что между ними имеется существенная разница. Например, число 1/2 в виде десятичной дроби записывается как 0,5, а 1/3 = 0,333333333 … – в записи этого числа бесконечно много десятичных знаков, однако ситуация по-прежнему у нас под контролем, так как все эти знаки равны 3.

Число вида (325/100) = 3,25 имеет всего два десятичных знака.

(95/99) = 0,4545… имеет бесконечно много знаков, но цифры 45 повторяются бесконечное число раз (эта группа цифр называется периодом).

(47113/ 9000) = 5,2347777… представляет собой ещё один вид десятичных дробей, в записи которых период появляется после непериодической части.

Квадратный корень из 2 записывается в виде бесконечной десятичной дроби, цифры которой чередуются без всякого порядка, как если бы они выбирались с помощью рулетки. Можем ли мы говорить, что нам действительно известно значение √2? Ответ: нам известно лишь его приближённое значение, хотя точность может быть сколь угодно высокой – не больше и не меньше. При этом слова «точность может быть сколь угодно высокой» подразумевают, что эта бесконечная десятичная дробь полностью находится под нашим контролем.

Британский математик Брук Тейлор (1685–1731) вычислил приближённое значение √2 при помощи последовательности сумм:

Члены этой последовательности постепенно сходятся к √2 поочерёдно слева и справа, что можно видеть в следующей таблице, где представлены значения первых девяти членов.

Таким образом, начав с 1 – оценки √2 слева и 1,5 – оценки справа, мы постепенно приближаемся к истинному значению этого числа. Речь идёт о бесконечных последовательностях, которые постепенно приближаются к истинному значению √2, однако утверждать, что √2 – конкретное число, означает признать существование актуальной бесконечности.

Если кто-то, подобно древним грекам и многим другим математикам различных эпох, утверждает, что иррациональных чисел не существует, то можно быть уверенным, что он, пусть и неявно, отрицает существование актуальной бесконечности.