Текст книги "Открытие без границ. Бесконечность в математике"

Автор книги: Энрике Грасиан

сообщить о нарушении

Текущая страница: 2 (всего у книги 10 страниц)

Изучение бесконечности в школе

Мы знакомимся с потенциальной бесконечностью уже в первые годы обучения в школе. Бесконечность связана с понятием счёта и, следовательно, с натуральным рядом, а также с циклическими процессами, связанными с течением времени: за днём следует ночь, за ночью – день и т. д. Наши представления о бесконечности обычно остаются неизменными, и если они вступают в противоречие с интуицией, то это не ведёт к каким-то заметным потрясениям. В действительности же они остаются более или менее неизменными потому, что мы редко используем их при решении каких-то сложных задач.

С актуальной бесконечностью дело обстоит совершенно иначе: она фигурирует во многих математических задачах, причём появляется внезапно, не оставляя времени на подготовку, поэтому неизбежно возникают противоречия, которые порой очень сложно преодолеть. Этот конфликт проявляется особенно остро, когда мы начинаем изучать математический анализ. Были проведены и до сих пор ведутся исследования, цель которых – определить, как и когда следует объяснять фундаментальные понятия при изучении математики и, в частности, математического анализа.

Для неспециалистов поясним, что математический анализ обычно начинают преподавать в старших классах, затем он изучается в течение двух-трёх лет практически на всех технических факультетах вузов.

* * *

ПРИНЯТИЕ АКТУАЛЬНОЙ БЕСКОНЕЧНОСТИ

Большинство опросов, проведённых среди населения, показывают, что 50 % опрошенных не признают существования актуальной бесконечности. Интересно, что эта точка зрения не меняется с возрастом. Иногда случается так, что даже преподаватели, объясняющие студентам материал, для понимания которого актуальная бесконечность играет определяющую роль, лишь «следуют правилам игры», но в глубине души считают, что актуальная бесконечность как таковая не должна существовать.

* * *

Попытка включить теорию множеств в курс средней школы в рамках программы современной математики, по мнению многих преподавателей, оказалась неудачной.

Возможно, причина в том, что теория множеств представляет для математиков интерес в качестве теоретической базы, но сама по себе недостаточно широко применяется на практике. В результате большинство преподавателей ограничивались объяснением самых основ, в частности понятия принадлежности к множеству или включения множеств, которые интуитивно понятны и не требуют какого-то особого математического языка. Напротив, как вы увидите в следующих главах этой книги, понятие мощности множества (числа элементов множества) представляет особый интерес, особенно когда рассматривается мощность бесконечных множеств. В этом случае речь всегда идёт об актуальной бесконечности, и возникает противоречие со здравым смыслом, так как в теории множеств рассматриваются множества, части которых равны целому. А ведь эту идею отверг ещё Евклид в «Началах», категорически заявив, что «целое больше, чем его часть», и звучит это совершенно логично.

Ещё одно противоречие возникает, когда выясняется, что ограниченные множества могут быть бесконечными, так как в нашем представлении бесконечность не имеет границ.

Как вы увидите далее, элементарная логика, или то, что порой называют интуицией, может обмануть, когда речь идёт об актуальной бесконечности. Причина в том, что при рассмотрении некоторых понятий мы не до конца понимаем их и многое принимаем на веру. Трудности, возникающие у студентов-математиков при изучении актуальной бесконечности, сравнимы с трудностями, которые испытывают студенты-физики при изучении квантовой механики. Классический пример из квантовой механики выглядит так. Допустим, у нас есть ящик с двумя отверстиями, в котором находится шар. Если мы будем перемещать ящик произвольным образом, можно ожидать, что шар выпадет из него через одно из двух отверстий. При определённых перемещениях мы даже сможем вычислить вероятность того, что он выпадет через конкретное отверстие. Намного сложнее представить, что шар выпадет через оба отверстия одновременно. Но в квантовой физике такой вариант возможен, хотя он полностью противоречит интуиции. Речь не идёт о том, чтобы понять это явление само по себе, так как всем известно, что означает: «шар выпадает через два отверстия сразу». Правильнее было бы сказать «я не верю» вместо «я не понимаю».

Нечто подобное происходит и с актуальной бесконечностью. Когда мы говорим, что крошечный отрезок прямой содержит бесконечное множество точек, мы понимаем, о чём идёт речь. Другое дело, верим мы в это или нет.

* * *

«ИСЧИСЛЕНИЕ ПЕСЧИНОК» АРХИМЕДА

Слова для обозначения больших чисел (миллион, миллиард и т. д.) были введены французским математиком Никола Шюке (ок. 1445–1488) в 1484 году. Суффиксом – иллион он обозначал число М = 10⁶  (в этой системе обозначений M1 – миллион, М2 – биллион, М3 – триллион и т. д.). В системах счисления древности очень большие числа обычно не рассматривались.

В древнегреческой системе счисления максимально возможным числом было 100 миллионов.

Архимед создал знаменитый трактат по арифметике под названием «Исчисление песчинок», в котором, помимо прочего, привёл теоретические подсчёты общего числа песчинок на Земле. Его истинной целью было показать, что возможно создать систему счисления для подсчёта объектов, которых, как может показаться, бесконечно много, но в действительности это не так.

Система Архимеда была основана на последовательных степенях мириады (Ω), равной 10000.

Максимально возможное число в этой системе счисления равнялось 10^{8∙100000000} (10⁸ в степени 10⁸) – это очень и очень большое число. Неизвестно, почему Архимед остановился именно на нём, хотя никто не мешал ему двигаться дальше.

Глава 2. Дискретное и непрерывное

Противопоставление дискретного и непрерывного, которому уделяли внимание многие мыслители, восходит к трудам древнегреческих философов и до сих пор применяется в столь разных науках, как физика, математика, психология и лингвистика.

Плотность

В великих культурах Античности, особенно древнегреческой, числам придавалось метафизическое значение. Видение мира было неразрывно связано с применявшейся системой счисления. В контексте нашего обсуждения под числами мы обычно будем понимать натуральный ряд 1, 2, 3, …, поскольку дроби в древности считались не числами в современном смысле слова, а лишь отношениями между величинами или отношениями подобия между геометрическими фигурами. Здесь необходимо прояснить один аспект, напрямую связанный с бесконечностью: если всё сущее можно выразить с помощью чисел, их должно быть достаточно много, чтобы ими можно было обозначить всё, что нам уже известно и что ещё предстоит узнать.

В этом смысле последовательность натуральных чисел нас полностью устраивает, так как её можно продолжать бесконечно. Тем не менее последовательность дробных чисел обладает свойством, которое отсутствует у целых чисел и к которому древнегреческие математики относились с долей недоверия, а именно плотностью.

Между двумя последовательными целыми числами не существует никаких других целых чисел. Например, между 6 и 7 «не поместится» никакое другое натуральное число, которое должно быть больше 6 и меньше 7. Однако если мы добавим к множеству натуральных чисел дробные числа, это правило перестанет выполняться. Так, число

будет находиться между 6 и 7.

Аналогичным образом можно найти число, расположенное между любыми другими двумя числами. Если даны два числа А и В, то обязательно будет выполняться соотношение

Однако для этого необходимо, чтобы последовательность чисел, с которой мы работаем, содержала дробные, или рациональные, числа.

Так как описанные выше действия можно повторять бесконечно, можно утверждать, что между двумя любыми рациональными числами всегда будет располагаться бесконечно много других рациональных чисел. Именно в этом и заключается свойство плотности, о котором мы говорим. Плотность делает бессмысленным понятие «следующего» числа. Говоря о множестве натуральных чисел, можно смело утверждать, что за числом 12 следует 13, однако на множестве рациональных чисел говорить о числе, следующем за N, не имеет смысла: если таким числом является М, то всегда существует число

идущее перед М.

Плотность отражает понятие бесконечности с непривычной стороны. Приведём пример из геометрии. Когда мы представляем себе прямую, мы считаем, что она продолжается бесконечно с обоих концов. В нашем представлении эта прямая бесконечно велика. Аналогом дробных чисел из предыдущего примера будут точки на отрезке прямой: между двумя точками всегда находится третья, и число точек отрезка также бесконечно велико.

Дискретное и непрерывное

Толковый словарь русского языка даёт слову «дискретный» такое определение: «прерывистый, дробный, состоящий из отдельных частей», что схоже с определением дискретной величины в математике: «величина, принимающая конечное число отдельных значений, например число деревьев в лесу, число солдат в армии и пр.».

Как вы увидите чуть позже, упоминание «отдельных частей» отсылает нас к высшим разделам математики, так как нужно очень чётко определить значение слова «отдельный», что сделать не так просто, как может показаться.

Чтобы лучше разобраться во всех тонкостях бесконечности (как бесконечно больших, так и бесконечно малых величин), нужно чётко понимать значение понятий «непрерывное» и «дискретное». Рассмотрим разницу между ними на простом примере. Представьте себе два одинаковых сосуда, в одном из которых находится вода, а в другом – небольшие пластиковые шарики. Перельём содержимое первого сосуда в кувшин. Мы увидим, как течёт жидкость и как постепенно уровень воды в кувшине поднимается. Если мы будем пересыпать в кувшин шарики, всё будет выглядеть и восприниматься совершенно иначе: мы будем видеть, как шарики по одному падают в кувшин. Разница между первым и вторым случаем будет заметна не только на глаз, но и на слух: в первом случае звук будет непрерывным, во втором мы сможем различить звук, издаваемый каждым шариком при падении в кувшин.

В первом случае мы имеем дело с непрерывным процессом, во втором случае – с дискретным.

Рассмотрим другой пример: с 9 утра до 9 вечера время течёт непрерывно.

Но если мы посмотрим на расписание поездов, которые отправляются с 9 утра до 9 вечера, то увидим дискретное множество значений. Если один поезд отправляется в 10 утра, а следующий – в 11, то между значениями 10 и 11 нет никаких других, то есть эти значения дискретны. Напротив, течение времени между 10 и 11 часами непрерывно, и время может равняться, например 10 часам 25 минутам и 0,34628761720041244474 секунды.

Можно подумать, что понятия дискретного и непрерывного достаточно просты и интуитивно понятны. Тем не менее на протяжении многих лет они были предметом жарких споров: с одной стороны, они вовсе не просты, а с другой – потому что, как вы увидите чуть позже, интуиция не всегда хороший советчик, так как один и тот же предмет может казаться нам дискретным или непрерывным в зависимости от масштаба наблюдений.

Споры о дискретном и непрерывном вращаются вокруг понятия бесконечности, поэтому неудивительно, что они протекают скорее в философской плоскости, подобно противостоянию между пифагорейской и элейской школами в Древней Греции, которое ярче всего проявилось в парадоксах Зенона.

Ключевой вопрос состоит в том, является наш мир дискретным или непрерывным. Ответ на него очень сильно зависит от наших ощущений и, как следствие, лежит в плоскости теории познания. Не предаваясь философским размышлениям и не углубляясь в психологию, в начале XX века физики и математики сделали свой выбор в пользу концепции дискретного мира: появилась квантовая механика и так называемая дискретная математика.

Как обмануть время

Говорят, что важнейшее различие между наукой и технологией состоит в том, что первая меняет наше видение мира, вторая – наш образ жизни в этом мире. Можно утверждать, что изобретение механических часов стало одним из ключевых моментов в истории человечества и оказало наибольшее влияние на жизнь людей. Кроме того, благодаря часам, в создании которых математика сыграла определяющую роль, время перестало быть непрерывным и превратилось в дискретный ряд интервалов.

Первые механические часы появились в XIV веке (в Китае – в X веке), и сегодня они считаются устаревшими. Стрелки этих часов приводились в движение противовесом, который опускался под действием силы тяжести. Противовес подвешивался на верёвке, намотанной на цилиндр, при движении противовеса цилиндр вращался и приводил в действие часовой механизм. У первых часов не было ни циферблата, ни стрелок, и время отмерялось ударами колокола. Мы говорим, разумеется, о больших городских часах. Во многих языках слово «часы» также означает «колокол», как, например, английское clock или французское cloche. В колокола бил звонарь, который следил за ходом времени.

Само собой разумеется, что точность этих часов оставляла желать лучшего, но не из-за несовершенства часовых механизмов, а из-за действия законов элементарной физики. Противовес, который приводил в движение механизм, опускался неравномерно: под воздействием силы тяжести его скорость постепенно возрастала.

Эту проблему удалось решить с помощью остроумного изобретения – часового спуска.

Он состоял из зубчатого колеса, анкера и маятника. Анкер одним концом цеплялся за колесо и раскачивался под действием маятника. Так появились знакомые всем нам звуки «тик-так», обозначающие интервалы времени, которым подчиняется жизнь большинства людей.

Изображённый на рисунке спусковой механизм позволял отмерять время намного точнее. При равномерном вращении колеса палета поочерёдно наклоняется то в одну, то в другую сторону. При каждом колебании она сдвигает спусковое колесо на один зуб, задавая ритм работы всего часового механизма.

Однако требовалось решить другую серьёзную задачу: темп времени, отсчитываемый часами, должен был оставаться неизменным. Проблема заключалась в том, что первые отмеряемые часы были длиннее последних, то есть по мере того, как верёвка подходила к концу, часы начинали спешить. Причина этого состояла в том, что маятники при движении описывали дугу окружности. Понять суть этой проблемы очень просто: достаточно бросить шарик внутрь полусферы и понаблюдать за его траекторией. Вы увидите, как размах колебаний шарика будет постепенно сокращаться, пока он не остановится (как если бы в часах кончилась верёвка). Очевидно, что чем меньше высота, с которой падает шарик, тем меньше времени ему потребуется, чтобы достичь центра полусферы (именно поэтому часы спешат). Часовые мастера того времени задавались вопросом: существует ли кривая, в которой угол наклона и расстояние до основания связаны так, что скорость падения и пройденный путь компенсируют друг друга? Для этой кривой время, за которое шарик достигнет её нижней точки, не зависит от того, с какой высоты он падает, поэтому ещё до своего открытия эта кривая получила название таутохроны, что означает по-гречески «равное время».

* * *

ЛЮБОПЫТНАЯ ИГРА

Представьте, что мы перевернули циклоиду и придали ей вращательное движение. Мы получим поверхность, образующей которой является циклоида. Это равносильно тому, как если бы мы попросили гончара изготовить чашку, форму которой определяла бы циклоида. Такие чашки, сделанные из пластика, продавали в 60-е годы в магазинах любопытных вещиц в США. Чем же примечательна подобная чашка? Если мы положим внутрь неё шарик и отпустим его, он достигнет дна за одно и то же время вне зависимости от того, с какой высоты будет скатываться. Интересно понаблюдать, как два шарика, один из которых расположен на самом краю чашки, а второй – на полпути ко дну, достигают дна одновременно.

* * *

В 1673 году Христиан Гюйгенс доказал, что циклоида является таутохронной кривой и определяется как траектория, описываемая точкой окружности при качении этой окружности вдоль прямой без проскальзывания.

На рисунке показано, как при вращении окружности образуется циклоида.

Гюйгенс понял, что если маятник будет двигаться по циклоиде, то высота, с которой он будет опускаться при колебаниях, перестанет иметь значение. Подобно шарику, скатывающемуся в чашке, маятник всегда будет достигать нижней точки за одинаковое время.

Но как добиться именно такого движения маятника? Решить эту задачу помогло одно из наиболее удивительных свойств циклоиды: эволюта циклоиды также является циклоидой. Понятие эволюты слишком сложно, чтобы объяснить его здесь, но понять его геометрический смысл нетрудно. Допустим, что мы разделили циклоиду пополам и соединили её половины в вершине А, как показано на рисунке.

Если мы возьмём нить заданной заданной длины, закрепим её конец в точке А и вытянем её так, что она всегда будет опираться на одну из ветвей циклоиды, то конец этой нити опишет кривую, которая также будет циклоидой. Гюйгенс нашёл способ изготовить маятник с незатухающими колебаниями, которые были ограничены двумя ветвями циклоиды. Схема этого маятника приведена на рисунке выше.

Хотя время нельзя считать физической величиной, подобно массе или температуре, его можно измерить, и изобретение Гюйгенса позволило в повседневной жизни считать время дискретным.

Ритм нашей жизни по-прежнему определяют звуки «тик-так», отмеряющие дискретные промежутки времени. Однако в научном мире интервал между «тик» и «так» удивительным образом сокращался. Говоря простым языком, он в бесконечное число раз меньше секунды. Современные атомные часы отмеряют промежутки времени в 1/9192631770 секунды. Насколько же дискретны эти часы!

Парадоксы Зенона

Дискретное состоит из элементов, отдельных единиц. А непрерывное? Кажется логичным считать, что непрерывное не может иметь подобной структуры, так как единичные элементы можно разделить, а между двумя соприкасающимися элементами не может находиться ничего – если бы там что-то находилось, его также можно было бы разделить на части. Если мы поразмыслим над этим хотя бы немного, то увидим, что понятие бесконечно малой величины вплотную подводит нас к понятию непрерывности. Размышления о природе непрерывного занимали важное место в греческой философии, одним из самых заметных представителей которой был Зенон. В своих известных парадоксах он продемонстрировал непрочность любой теории, в которой использовались бесконечно большие или бесконечно малые величины.

Главной целью рассуждений Зенона было подтвердить правильность теорий Парменида (предполагается, что он был учителем Зенона), который утверждал, что всё сущее является неделимым как в пространстве, так и во времени. Кроме того, Зенон также хотел поспорить с пифагорейцами, считавшими порождением всего сущего «непрерывный поток».

Следствием невозможности разделить время на промежутки стала невозможность движения, которое понималось как последовательность участков пространства, которые занимал объект в течение некоторого периода времени. Идея Зенона заключалась в следующем: если принять верной гипотезу, противоположную гипотезе Парменида, мы получим противоречие столь абсурдное, что оно будет абсолютно неприемлемо с позиций здравого смысла. Этот логический метод называется доведением до абсурда, и Зенон был если не создателем, то по меньшей мере одним из первых, кто широко использовал его.

Суть метода заключается в следующем: предполагается, что определённая гипотеза верна, и на её основе делается ряд логических умозаключений, которые ведут к очевидно ложному результату, на основании чего делается вывод о ложности исходной гипотезы. В терминах логики в основе этого метода лежат следующие соотношения:

И=>И

Л=>Л

Л=>И,

где И – ИСТИНА, Л – ЛОЖЬ, => – логическая связка, означающая «если… то». Иными словами, И=>И означает, что из истинного утверждения следует другое истинное утверждение, таким образом, истинная предпосылка никогда не может вести к ложному следствию. Если же вывод ложный, то исходное положение неверно. С помощью этих логических умозаключений, лежащих в основе метода доведения до абсурда, можно было доказать ложность некоторого утверждения, что и делал Зенон в своих парадоксах.

Пифагорейцы считали, что реальность состоит из точек: точки образуют прямые, прямые – поверхности, поверхности – трёхмерные тела. Зенон не принимал этого мнения, указывая, что поскольку точки не имеют размеров, то всё составленное из них также не может иметь размеров, то есть не может существовать. Кроме того, всё составленное из точек можно разделить на части бесконечное число раз, что ведёт к множеству абсурдных ситуаций.

* * *

ПАРАДОКСАЛЬНЫЙ ОБРАЗ МЫШЛЕНИЯ

Парадокс – это особая форма аргументации. Его суть заключается в том, что некоторое утверждение принимается в качестве исходного, после чего путём корректных логических рассуждений из него выводится противоречащий здравому смыслу результат, тем самым правильность исходного утверждения ставится под сомнение. Логические парадоксы, впервые появившиеся в элейской школе, основывались на логических высказываниях, которые могли быть как истинными, так и ложными. Один из популярнейших парадоксов древности – так называемый «парадокс лжеца», изложенный Эпименидом Критским. Этот парадокс гласит: «Все критяне – лжецы».

Эпименид не может говорить правду, так как он критянин, но в то же время если он лжёт, его высказывание будет верным, и в результате возникает противоречие.

* * *

Парадоксы имеют безупречную логическую структуру. Они являются темой для размышлений и в наши дни и допускают множество толкований, играя ключевую роль во всестороннем понимании проблемы бесконечности. Изначально считалось, что Зенон создал более сорока парадоксов, посвящённых этой теме, но из всех дошедших до наших дней наиболее известны четыре: дихотомия, парадокс Ахиллеса и черепахи, парадокс стрелы и парадокс «стадиона», которые мы подробно рассмотрим ниже.