Текст книги "Темная сторона материи. Дирак. Антивещество"

Автор книги: авторов Коллектив

сообщить о нарушении

Текущая страница: 4 (всего у книги 8 страниц)

«Мы не можем двигаться вперед в развитии матричной теории с вереницей строк и столбцов, не введя для этого функцию с-числа, называемого х, которая равна нулю во всех точках – кроме точки, где x крайне мало, – и интеграл которой в любой окрестности x = 0 равен 1».

Дирак сформулировал свою функцию в следующем виде:

δ(x) = 0, если x ≠ 0;

+∞

∫δ(x)dx = 1,

–∞

и затем утверждал:

«Конечно, δ(x) не является собственно функцией числа х, но она может рассматриваться как предел последовательности ряда функций. Как бы там ни было, δ(x) может использоваться как собственно функция в практических целях разрешения любой проблемы квантовой теории, и полученные результаты никогда не будут ошибочными».

Работа Дирака в очередной раз показалась коллегам восхитительной, но он не первым пришел к подобному выводу. Йордан изучал ту же проблему и разработал собственную теорию преобразований. И если путь двух физиков был разным, выводы их совершенно совпадали. Через два месяца после публикации работ Дирака и Йордана Гейзенберг сформулировал принцип неопределенности, математическая формулировка которого основывалась большей частью на теории Дирака – Йордана. Дирак сформулировал в своей работе идею, близкую к принципу неопределенности Гейзенберга:

ФУНКЦИЯ δ ДИРАКА

Дирак не первым использовал функцию δ, но он обобщил ее применение, превратив ее в главный инструмент развития квантовой теории. Функция δ(x) не является математической функцией в обычном смысле слова, это не функция, которая имеет определенные значения в каждой своей точке. Напротив, она принимает значение 0 при всех значениях х, кроме точки, где х = 0 и где она превращается в бесконечность. Дирак называл ее «несвойственной функцией», чтобы отличить от обычных функций и показать, что ее использование должно ограничиваться определенным типом проблем, с которыми она совместима. Физик заметил, что его несвойственная функция при х=0 не имеет четко определяемого значения, поскольку она появляется как часть интегрирования, результат которого является прекрасно определяемой величиной. Строгий анализ функции δ(x) представлен в теории распределений, развитой в 1945 году математиком Лораном Шварцем (1915-2002). Поведение функции δ(χ) показано на рисунке 1, где видно, что она равна нулю на всем интервале величин х за исключением маленькой окрестности δ(χ) в самом начале. В представленном интервале максимум функции равен 1/ε. Следовательно, функция

РИС. 1

охватываемой окрестности равна 1. Функция δ(x) появляется как предел функции, представленной на рисунке, когда величина параметра ε стремится к 0 (ε → 0). Множество других функций могут образовывать функцию δ(x). Например, ширина знаменитой гауссовой функции, представленной на рисунке 2, определяется коэффициентом σ. Если величина этого параметра уменьшается, функция сужается все больше и больше, значительно увеличивая свое максимальное значение. Для предела, в котором ширина стремится к нулю, максимальная величина стремится к бесконечности. Математически это выражается следующим образом:

Самое важное свойство функции Дирака выражается через следующий результат:

+∞

∫f(x)δ(x-a) = f(a),

-∞

в котором f(x) соответствует любой продолжающейся функции и а – любому действительному числу. Так, умножая функцию х на δ(x – a) и особенно интегрируя x, мы возвращаемся к вычислению функции f в точке х = а. Интервал интегрирования необязательно должен расширяться от -∞ до +∞, но до любой окрестности, где находится критическая точка, в которой функция δ не обнуляется. Функция δ Дирака остается сегодня важным инструментом во всех областях физики.

РИС. 2

«В квантовой теории невозможно ответить ни на один вопрос, который отсылает к двум численным показателям двух квантовых переменных р и q (положение и начальный момент)».

ГЕТТИНГЕН И ЗАРОЖДЕНИЕ КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ

В начале февраля 1927 года Дирак отправился в Геттинген и провел там пять месяцев, оказавшись рядом с создателями матричной механики: Борном, Йорданом и Гейзенбергом. Университет Геттингена являлся одним из самых уважаемых исследовательских центров в мире: он был колыбелью новой квантовой теории и имел блестящие традиции в области математики. Гаусс, Риман, Дирихле, Клейн... Все они были профессорами университета Геттингена. В 1927 году в Геттингене находился и Давид Гильберт (1862-1943) – несомненно, самый влиятельный ученый-математик того времени. Некоторые из самых блестящих его учеников, такие как Джон фон Нейман (1903-1957) и Герман Вейль (1885-1955), позднее тоже сыграли важную роль в квантовой теории.

Дирак использовал пребывание в Геттингене, чтобы укрепить свои навыки и получить новые знания в разных областях математики. Он посещал занятия Вейля по теории групп. Речь идет об области математики, развившейся в XIX веке и получившей важное значение в теоретической физике благодаря работам Вейля и Юджина П. Вигнера (1902-1995). В последующие годы Вейль и Вигнер часто использовали теорию групп в рамках квантовой механики. Однако Дирак не выказывал особого интереса к этой теории, считая ее «поверхностной» для решения проблем физики.

В данном вопросе Дираку не хватило интуиции: теория групп стала краеугольным камнем в развитии современной физики. Однако Дирак оценил вклад этих ученых, особенно работу Вейля. Несколько лет спустя один журналист спросил его: «Профессор Дирак, Вам доводилось встречать кого-то, кого Вы не понимали?» Тот ответил: «Да, это был Вейль». Для части коллег Дирака, которые всегда жаловались на сложность его работ и невозможность понять его аргументацию, было откровением узнать, что существовал кто-то, чьи размышления не мог понять сам Дирак, и они наверняка испытали некоторое облегчение.

За время пребывания в Геттингене Дирак опубликовал две статьи, в которых развил основы квантовой теории излучения. Именно он считается основателем квантовой электродинамики. В главе 4 будет подробно рассказано о содержании этих двух статей. Дирак стал первым физиком, развившим квантовую теорию взаимодействия излучения и вещества. Данная теория стала для него большой наградой и еще большим разочарованием.

ВОЗВРАЩЕНИЕ В КЕМБРИДЖ

Пребывание Дирака в Геттингене закончилось в июне 1927 года. По пути в Кембридж он остановился в Лейденском университете (Нидерланды) по приглашению Пауля Эренфеста (1880-1933), с которым обсудил последние работы в области теории излучения. Эренфест неотступно стремился понять все существующие аспекты новой квантовой теории. Он был известен своей манерой превращать семинары в настоящие допросы выступающих. Его стремление все знать было настолько сильным, что часто повергало ученого в глубокую депрессию, связанную с невозможностью уследить за развитием всех открытий. Эренфест восхищался работами Дирака и считал их очень оригинальными, но трудными для понимания:

«Мы часами изучали несколько страниц его работы, в ней есть места столь же темные, как безлунная ночь».

Хендрик А. Лоренц (1853-1928), профессор Лейденского университета и старейшина голландских физиков, тоже восхищался работами Дирака. Он предложил ему должность в Лейденском университете на два года, однако Дирак вежливо отказался, поскольку получил новую стипендию в Кембридже. В июле 1927 года ученый вернулся в университет Кембриджа после десяти месяцев, проведенных на континенте.

За два года он стал одним из самых уважаемых физиков в международном сообществе. Его работы получили мировое признание. Они считались очень оригинальными и глубокими, хотя и совершенно непонятными. Однако, если физики и восхищались его работами, несомненно, именно из-за трудностей понимания последние оказывали меньшее влияние, нежели работы Гейзенберга, Борна и Йордана или Шрёдингера. Ситуация начала меняться в конце 1927 года, вместе с появлением двух первых статей Дирака о взаимодействии излучения и вещества. Но самая потрясающая работа была еще впереди. В начале 1928 года Дирак ошеломил своих коллег: он объединил теорию относительности и квантовую физику в одном уравнении. Оно знаменовало необыкновенные открытия и подняло проблемы, о которых прежде невозможно было и подозревать.

ГЛАВА З

Релятивистская теория электрона. Антивещество

Релятивистская теория электрона, возможно, стала самым значительным открытием Дирака. Ему удалось объединить в одном уравнении главные аспекты двух великих теорий XX века – теории относительности и квантовой физики. Уравнение Дирака естественным образом включало спин электрона и его магнитный момент.

Благодаря этому уравнению было открыто существование отрицательных значений энергии. Так впервые появилось понятие антивещества.

В октябре 1927 года в Брюсселе состоялся очередной Сольвеевский конгресс, на который был приглашен и Дирак – еще одно подтверждение признания его работ. Данный конгресс знаменит жарким спором, разгоревшимся между Бором и Эйнштейном, об основах квантовой механики и принципе неопределенности Гейзенберга. Дирак присутствовал на этих заседаниях. Там он лично познакомился с Эйнштейном, но занял достаточно пассивную позицию. Вспоминая, ученый написал:

«Я слушал аргументы, но не принимал участия в дискуссии; ее предмет мало интересовал меня. [...] Я считаю, что главная работа физика-математика заключается в получении верных уравнений; интерпретация же этих уравнений имеет минимальное значение».

Во время конгресса Дирак также сообщил Бору о своей работе над релятивистским уравнением электрона. Бор заметил, что эта проблема уже была решена Клейном. Его ответ очень удивил Дирака: он не мог понять, как теория Клейна, противоречившая основным законам квантовой механики, могла устраивать значительное число физиков. Через два месяца Дирак поразит научный мир новой теорией, и Бор осознает, что его комментарий был огромной ошибкой.

ПЕРВЫЕ ПОПЫТКИ: УРАВНЕНИЕ КЛЕЙНА – ГОРДОНА

Дирак всегда был очарован теорией относительности и мечтал однажды применить ее к квантовому миру. Одну попытку он предпринял после публикации первой работы Гейзенберга, но неудачно. Несколько месяцев спустя, изучая эффект Комптона и волновую механику, он использовал релятивистскую версию уравнения Шрёдингера, которая известна под названием «уравнение Клейна – Гордона» (записываемого как уравнение КГ), по имени физиков Оскара Клейна (1894-1977) и Вальтера Гордона (1893-1939). В свое время Дирак не придавал особого значения данному уравнению, считая его просто «полезным математическим инструментом для расчета матричных элементов, которые таким образом могли быть интерпретированы в рамках матричной квантовой теории». Разработав свою теорию преобразований, Дирак заключил, что уравнение КГ было абсолютно непоследовательным, поскольку оно не соответствовало основным свойствам квантовой механики.

В чем же заключался смысл уравнения Клейна – Гордона, и почему оно было неприемлемо для Дирака? Чтобы понять это, нам надо вернуться в начало 1926 года, когда Шрёдингер занимался волновой механикой. Как и Дирак, австрийский физик осознавал важность включения релятивистской теории в свою работу. На самом деле полученное им первое волновое квантовое уравнение учитывало релятивистские эффекты и не противоречило классическому релятивистскому выражению для энергии. Однако Шрёдингер решил не публиковать это уравнение, поскольку заметил, что оно не ведет к постоянной тонкой структуры.

Эта постоянная, полученная Зоммерфельдом в 1915 году с помощью атомной теории Бора, прекрасно выражала энергетические уровни атома водорода. Таким образом, она представляла собой главный «тест» для любой квантовой теории. В марте 1926 года Шрёдингер опубликовал свое новое уравнение – то самое, которое сегодня носит его имя. Оно не только учитывало постоянную Зоммерфельда, но и полностью изменило облик квантовой механики; со временем оно стало, наряду с принципом эквивалентности массы и энергии Эйнштейна, самым знаменитым физическим уравнением. Однако уравнение Шрёдингера не включает в себя теорию относительности – оно согласовывается с классическими формулировками механики Ньютона.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА УРАВНЕНИЯ КЛЕЙНА – ГОРДОНА

В релятивистской механике масса зависит от инерциальной системы отсчета. Обозначим собственную массу частицы, то есть массу частицы в ее собственной инерциальной системе отсчета, как m. Представим, что эта частица перемещается со скоростью ṽ. Для простоты допустим, что речь идет о свободной частице – не взаимодействующей с другими телами. В этой ситуации общая энергия и кинетический момент выражаются уравнениями

в которые вводится фактор Лоренца γ, описанный в главе 1. Соединяя выражения энергии и момента, получаем следующее уравнение:

Для частиц в состоянии покоя общая энергия равна Е=mc², а для частиц без массы (таких, как фотон) энергия задана как Е=ср. Можно вывести волновое квантовое уравнение через предыдущее выражение энергии, заменив классические переменные соответствующими квантовыми операторами (принцип соответствия):

Используя данный принцип, получаем в итоге следующее релятивистское квантовое уравнение:

Это и есть уравнение Клейна – Гордона, которое обычно записывается в более точном виде с использованием оператора Д’Аламбера:

Предыдущее выражение называется «ковариантной формой» уравнения КГ. Оператор остается неизменным при преобразованиях Лоренца, и отсюда следует, что волновая функция ф(ṽ,t) не должна зависеть от инерциальной системы отсчета.

Как правило, автор новой теории не является самым подходящим человеком для ее развития. Страх того, что что-нибудь не сработает, слишком силен и мешает ему найти в себе достаточную смелость для того, чтобы развить теорию или идею до ее последнего предела.

Поль Дирак

Весной 1926 года Оскар Клейн, работавший независимо от Шрёдингера, опубликовал первое релятивистское квантовое уравнение. Оно согласовывалось с тем уравнением, которое раньше получил австрийский физик. В последующие месяцы разные ученые – Владимир Фок, Гордон, де Бройль и сам Шрёдингер – работали над этим уравнением, анализировали его и интерпретировали его решения. То, что Шрёдингер не решился опубликовать свое первое релятивистское уравнение, поскольку оно противоречило экспериментальным данным, Дирак прокомментировал так:

«Это был пример того, как ученые, которые встают на правильный путь, не решаются идти по нему, боясь ошибиться».

Согласно Дираку, тот факт, что уравнение не согласовывается с опытом, не должен был беспокоить Шрёдингера. Уравнение Клейна – Гордона является дифференциальным уравнением с пространственными и временными переменными. Его решение задано волновой функцией, которая содержит всю физическую информацию об анализируемой системе. В отличие от уравнения Шрёдингера уравнение КГ согласуется с релятивистским выражением для энергии. Кроме того, оно соответствует теории относительности: не меняется при использовании преобразований Лоренца. Другими словами, уравнение остается релевантным вне зависимости от рассматриваемой инерциальной системы отсчета. Уравнение КГ является дифференциальным уравнением второго порядка одновременно по пространственным переменным (как и уравнение Шрёдингера) и по временной переменной. Данный факт, напрямую связанный с релятивистским выражением энергии, стал причиной постоянных проблем интерпретации результатов уравнения, поэтому оно было забыто на многие годы.

Волновая механика позволяет одновременно решить волновое уравнение, определив волновую функцию, и ввести плотность вероятности и плотность тока вероятности, которые должны удовлетворять «уравнению непрерывности» или «уравнению сохранения». Это случай уравнения КГ, где определена плотность тока, удовлетворяющая теории относительности. Однако главная проблема уравнения Клейна – Гордона возникает, когда необходимо вычислить плотность вероятности. В уравнении Шрёдингера плотность вероятности, согласно интерпретации Борна, задана квадратом волновой функции; таким образом, она определена как величина, имеющая положительное значение. Зато из уравнения КГ следует, что плотность вероятности может быть не только положительной, но и отрицательной, и нулевой. Это вытекает из его частной формулировки, включающей производную второго порядка по времени, и означает, что для того чтобы узнать волновую функцию в определенный момент, нужно знать не только волновую функцию в предыдущий момент, но и ее производную. Другими словами, из того, что уравнение КГ является уравнением второго порядка по времени, вытекает: для полного определения волновой функции должны быть известны два независимых условия. Следствием данного результата является то, что плотность вероятности может быть отрицательной. Но как объяснить, что вероятность обнаружения частицы в определенном месте может быть отрицательной? Для Дирака этот результат был отражением непоследовательности уравнения Клейна – Гордона, которое не удовлетворяло основным свойствам квантовой теории, сформулированным в его теории преобразований.

К концу 1926 года большинство физиков осознали слабые места уравнения КГ. Было не только трудно допустить существование отрицательной плотности вероятности, но также казалось невозможным включить в уравнение новое квантовое понятие – спин. Многие физики изучали проблему и пытались найти «улучшенную» версию уравнения КГ, введя в него эффекты спина в рамках теории Шрёдингера. Дирак поставил вопрос оригинальнее: исходя из основополагающих принципов, он разработал уравнение, в котором спин появлялся как естественное следствие теории относительности.

Стоит заметить, что уравнение Клейна – Гордона было пересмотрено в 1934 году Паули и Вайскопфом, которые переформулировали плотность вероятности в плотность заряда. Так сегодня уравнение Клейна – Гордона известно как «релятивистское квантовое уравнение для частицы с нулевым спином» и используется для описания поведения частиц без спина, таких как пионы (или пи-мезоны). Они имеют три разных состояния электрического заряда – положительное, отрицательное и нейтральное, – отражая значение, которое может принимать плотность заряда, определяемая уравнением.

СПИН ЭЛЕКТРОНА

Понятие спина было введено вследствие некоторых экспериментов, результаты которых не смогли объяснить существующие теории. Речь идет об эффекте Зеемана и опыте Штерна – Герлаха. В обоих случаях надо было ввести новое квантовое число, чтобы описать распределение электронов в атоме. В 1924 году Паули ввел четыре квантовых числа для описания состояний электрона: первые три определяли пространственное положение (n, l, m_l,), а четвертое, обозначенное m_s, физический смысл которого был еще не известен, могло принимать только два значения. В следующем году Паули представил свой знаменитый принцип запрета, позволявший понять, как распределяются электроны в разных атомах (расположение электронов).

Спустя несколько месяцев два молодых студента Лейденского университета (Нидерланды), Сэмюэл А. Гаудсмит (1902-1978) и Джордж Ю. Уленбек (1900-1988), присвоили новое квантовое число кинетическому моменту, соответствующему круговому движению электрона вокруг самого себя. Объяснение Гаудсмита и Уленбека было поставлено под сомнение из-за вытекавших из него последствий. Прежде всего, электрон должен был иметь конечный размер, чтобы вращение вокруг собственной оси имело смысл; то есть электрон не мог быть элементарной или точечной частицей. Впрочем, расчеты Лоренца показывали: угловая скорость на поверхности электрона должна значительно превосходить скорость света, что противоречило теории относительности. Эти результаты выглядели нелепо. Гаудсмит и Уленбек попросили своего руководителя Эренфеста не публиковать работу. И ответ последнего вошел в историю квантовой теории:

«Вашу статью я давно отослал. Не беспокойтесь, вы достаточно молоды и можете себе позволить некоторые глупости».

Спин является основным свойством, позволяющим понять поведение субатомного мира. У него нет эквивалента в классическом мире, это чисто квантовое явление. Следовательно, его нельзя интерпретировать как вращение электрона вокруг собственной оси в пространственных координатах; спин не зависит от уровней пространственной свободы; другими словами, он не зависит ни от координат, ни от моментов.

Уравнение Шрёдингера определяется исключительно в пространстве координат. Таким образом, волновая функция зависит только от пространственных и временных координат: Ψ(ṝ,t). Спин должен быть добавлен как новый уровень свободы. Он является единственным способом объяснить аномальный эффект Зеемана (расщепление спектральных линий) и результаты опыта Штерна – Герлаха, то есть разделение пучка на две симметричные части (см. рисунок).

К середине 1926 года большинство физиков считали, что наличие спина является прямым следствием приложения теории относительности к квантовому миру. Это объясняет, почему в уравнении Шрёдингера (которое соответствует классической теории) не содержится никакой информации о спине. Проблема, однако, была двоякой.

1. Как ввести спин в уравнение Шрёдингера?

2. Если существование спина вытекает из теории относительности, почему его нет в уравнении КГ, которое соответствует релятивистскому выражению энергии?

В мае 1927 года Паули нашел ответ на первый вопрос, развив свою теорию спина и включив его в уравнение Шрёдингера. Так родилось •«уравнение Паули». Но для того чтобы ответить на второй вопрос, надо было дождаться появления квантового релятивистского уравнения электрона – уравнения Дирака.

Опыт Штерна – Герлаха. Пучок выпускаемых из одного источника частиц разделяется на две отдельные части, проходя через неоднородное магнитное поле. Этот опыт подтвердил существование магнитного момента у частиц и доказал постулаты квантовой теории.

УРАВНЕНИЕ ПАУЛИ

Теория Паули известна сегодня как «нерелятивистская теория спина». Согласно Паули, спин электрона следует интерпретировать как его собственный кинетический момент. Поэтому он ввел три оператора для трех пространственных составляющих, соблюдающих общие отношения коммутативности квантовых операторов. Формулировка была аналогичной той, которая соответствовала операторам орбитального движения электрона. Паули также ввел в теорию Шрёдингера соответствующее спину квантовое число m_s, которое может принимать только два значения. Паули предложил волновую функцию из двух составляющих, каждая из которых связана с возможным значением квантового числа m_s. Таким образом, квантовые операторы спина должны описываться как матрицы 2x2. Паули вывел следующую формулу:

S_i = ħ/2 σ_i

где показатель i относится к любой из трех составляющих х, у, z, а σi представляет собой «матрицы Паули»:

Два возможных значения числа

m_s:±ħ/2.

Следующий этап после определения операторов спина был относительно простым для Паули. Электрон на орбите имеет орбитальный кинетический момент и также собственный момент импульса, связанный со спином. Этот момент импульса может приспосабливаться к любому внешнему магнитному полю. Паули приложил свою модель к атому водорода, установив, что наличие спина в гамильтониане приводит к взаимодействию с орбитальным кинетическим моментом электрона.

Теорию Паули ждал большой успех, поскольку она объясняла многие явления, среди которых – аномальный эффект Зеемана и опыт Штерна – Герлаха. Однако сам Паули осознавал слабые места своей теории. Он ввел спин в изначальное уравнение Шрёдингера как простую релятивистскую поправку. Кстати, теория Паули может воспроизвести лишь приближенное выражение (первого порядка) постоянной тонкой структуры Зоммерфельда. Кроме того, уравнение Паули противоречило принципу относительности. Он сам признавал, что «мы вправе требовать от окончательной теории, чтобы она была сформулирована в инвариантной релятивистской форме и позволяла делать расчеты более высокого порядка». Этой дорогой пошел Дирак: он хотел сформулировать уравнение, исходя из основополагающих принципов двух теорий – теории относительности и квантовой теории.

ВОЛЬФГАНГ Э. ПАУЛИ

Вольфганг Эрнст Паули (1900-1958) родился в Вене. В 1918 году он поступил в университет Мюнхена (Германия), где учился под руководством Зоммерфельда. Через два месяца после защиты диссертации Паули опубликовал монографию об общей теории относительности, которую сам Эйнштейн назвал прекрасной.

В 1921 году ученый перебрался в университет Геттингена, где ассистировал Борну. Там он познакомился с Гейзенбергом, с которым после этого у него возникли дружеские отношения на всю жизнь. Через год его пригласили на работу в Институт теоретической физики в Копенгагене, где Паули познакомился с Нильсом Бором. Между 1923 и 1928 годами он преподавал в университете Гамбурга. Именно в этот период были совершены его самые важные открытия в области квантовой теории. В 1924 году Паули ввел квантовое число, относящееся к спину, а в 1925-м опубликовал свою самую знаменитую статью о принципе запрета.

Квантовая физика и строгость

После появления первой работы Гейзенберга по квантовой механике Паули активно участвовал в выстраивании новой теории: он описал спектр атома водорода, развил собственную версию квантовой теории электромагнитного поля и ввел первое описание спина. В 1928 году его назначили профессором теоретической физики в Цюрихской высшей электротехнической школе (Швейцария), где после этого Паули провел всю оставшуюся жизнь (за исключением периода 1940-1945 годов, когда он эмигрировал в США и преподавал в Институте высших исследований Принстона). В 1930 году Паули выдвинул гипотезу существования новой частицы – нейтрино, – однако ее обнаружения пришлось ждать более 20 лет. Среди коллег Паули пользовался репутацией «очень критичного» ученого. Один из его типичных комментариев по поводу работ, которые он считал недостаточно обоснованными, был таким: «Это даже не дотягивает до ошибочного». Паули был одержим всем тем, что было связано с основами квантовой теории. Суровый критический взгляд, касающийся и его собственных трудов, а также глубочайшие познания в физике, наверное, помешали ему создать более оригинальные работы.

УРАВНЕНИЕ ДИРАКА

Журнал Proceedings of Royal Society 2 января 1928 года получил через Фаулера статью Дирака под названием «Квантовая теория электрона», где автор писал:

«В статье показано, что недостатки предыдущих теорий (уравнение КГ и теория спина Паули) связаны с их несовместимостью как с относительностью, так и с общей теорией преобразований квантовой механики. Похоже, что самый простой гамильтониан для точечного электрона, соблюдающий основополагающие принципы относительности и теории преобразований, позволяет объяснить все экспериментальные результаты без дополнительных допущений».

Приведенный выше абзац раскрывает ход рассуждений Дирака в процессе выстраивания релятивистского уравнения. С одной стороны, уравнение должно соблюдать основополагающие принципы квантовой теории в том виде, в котором они сформулированы в теории преобразований: «Изначальное состояние системы полностью определяет ее состояние в последующий момент». Это означает, что волновое уравнение должно было быть дифференциальным уравнением первого порядка по времени. Так волновая функция в любой момент четко определяет волновую функцию в последующий момент. Данная формулировка, согласующаяся с уравнением Шрёдингера, но уводящая в сторону от уравнения КГ, ведет к вероятностной плотности, определяемой положительным значением. Этот результат кроме того связан с другим важным аспектом теории преобразований Дирака: гамильтониан системы должен быть самосопряженным оператором (эрмитовым оператором). Такое свойство гарантирует, что собственные значения оператора, то есть значения полной энергии системы, будут действительными.

С другой стороны, Дираку следовало учитывать принцип относительности. Квантовое релятивистское уравнение должно было действовать для любой инерциальной системы отсчета. Но как этого добиться? Решение Дирака своей красотой и простотой подтверждает его огромный творческий гений. В рамках релятивистской теории время и пространственные координаты являются составляющими «четырехмерного вектора пространство – время». Дирак заключил из этого, что нет причин обращаться по-разному с двумя видами переменных в квантовом волновом уравнении. Наоборот, если волновое уравнение должно было быть, согласно квантовой теории, уравнением первого порядка по производной по времени, то релятивистская теория требовала введения пространственных переменных в виде их первых производных. Это симметричное обращение со временем и пространством согласовывалось с релятивистской формулировкой, но уводило от нерелятивистского уравнения Шрёдингера, в котором временные и пространственные переменные появлялись по-разному: производная первого порядка по времени и второго порядка по пространственным переменным. Дирак считал симметрию главным условием релятивистской теории, которая в свою очередь должна согласовываться с релятивистским выражением для энергии:

E = √(c² р² + m²с⁴) (свободная частица).

САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ (ЭРМИТОВЫ ОПЕРАТОРЫ) И МАТРИЦЫ ПАУЛИ

Самосопряженные операторы (эрмитовы операторы) важны для квантовой теории, поскольку присущее им собственное значение является действительным. В случае оператора Гамильтона «самосопряженность» гарантирует нам, что энергия системы, которую мы изучаем, будет действительной. Оператор называют самосопряженным, когда он совпадает со своим сопряженным. Возьмем общий случай квантового оператора, представленного в матричной форме матрицы 2x2:

Сопряженный оператор задан матрицей, выстроенной из изначальной матрицы, в которой изменяются строки и столбцы, и каждый элемент заменен комплексно-сопряженным ему элементом. Такая матрица называется сопряженной:

Если две матрицы согласуются друг с другом, то есть если Ó = Ö, говорят, что матрица Ó является эрмитово-сопряженной, и в этом случае можно доказать, что ее значения являются действительными. Три матрицы Паули, σ_x,σ_y,σ_z, являются эрмитово-сопряженными, и они «антикоммутативны» между собой, то есть соблюдают общие отношения, вытекающие из уравнения Дирака. Однако можно доказать, что любая матрица размера 2x2 может быть записана в виде линейной комбинации трех матриц Паули плюс единичная матрица. Это означает, что невозможно найти четвертую матрицу, которая антикоммутативна каждой из трех матриц Паули. Иными словами, уравнение Дирака требует, чтобы размер каждого из четырех матричных коэффициентов, подлежащих определению, был больше 2x2. Кроме того, матрицы Дирака удовлетворяют антикоммутационным соотношениям, и их след равен нулю.