Текст книги "Том 27. Поэзия чисел. Прекрасное и математика"

Автор книги: Антонио Дуран

сообщить о нарушении

Текущая страница: 1 (всего у книги 9 страниц)

Антонио Дуран
«Мир математики»
№ 27
«Поэзия чисел.
Прекрасное и математика»

Предисловие

Поэзия – это недоказуемая истина. Согласно словарному определению, цель поэзии – передать красоту с помощью слов. В том же толковом словаре математика определяется как дедуктивная наука, исследующая свойства таких абстрактных сущностей, как числа, геометрические фигуры и символы, а также отношения между ними. В это определение следовало бы включить один очень важный элемент: когда математик выбирает, какие свойства чисел или абстрактных сущностей изучать, он часто руководствуется их красотой. Лингвисты, которым буквы ближе, чем числа, видимо, не поняли до конца неразрывную связь между математикой и прекрасным, хотя кто-то из великих сказал, что именно красота – проводник на пути к математическим открытиям.

Математик находится посередине между наукой и искусством, и это также доказывает неизбежную связь между самой абстрактной из наук и человеческими эмоциями. Анри Пуанкаре писал: «Могут вызвать удивление эмоции, пробуждаемые математическим доказательством, которое, как может показаться, интересно лишь интеллекту. Думать, что математика затрагивает лишь интеллект, означало бы забыть о красоте математики, элегантности геометрии, которые прекрасны в самом полном смысле этого слова».

Обо всем этом – о красоте математики, сколь реальной, столь и труднодостижимой, об эмоциях, неразрывно связанных с этой необычной наукой, и о многом другом рассказывается в нашей книге. Ее цель – показать красоту математики и на нескольких ярких примерах продемонстрировать весь спектр связанных с математикой эмоций. Автор не ставил перед собой задачу создать развернутый теоретический дискурс или нагромоздить целую гору рассуждений и аргументов в защиту заявленной темы. Слишком много теоретизировать по поводу красоты математики столь же абсурдно, как и пытаться объяснить, чем именно прекрасна Девятая симфония Бетховена.

Все примеры представлены в соответствующем историческом и эмоциональном контексте, и их яркая мозаика раскрывает важные эпизоды человеческой истории за последние двадцать пять столетий. Автор постарался сделать изложение напряженным и интересным. Разумеется, мы не забыли и о традиционных искусствах – живописи, литературе и архитектуре, на примере которых мы продемонстрируем совпадения и подчеркнем различия.

Глава 1
Место красоты в математике

Если мы спросим случайного прохожего о красоте математики, он наверняка лишь удивленно поднимет брови. И тем не менее в массовом сознании укрепилась мысль о том, что математика полна элегантности и гармонии, а математические рассуждения не лишены определенной красоты. Как это свойственно западной культуре, идея о связи между красотой и математикой сформировалась под влиянием великих законодателей мнений – классических древнегреческих философов. Для Платона пропорциональность и соразмерность, составлявшие суть древнегреческой математики, были синонимом красоты. Аристотель писал: «Важнейшие виды прекрасного – это слаженность, соразмерность и определенность, и математика больше всего выявляет именно их». Впоследствии красоту математики восхваляло множество ученых и мыслителей. «Геометрия есть архетип красоты мира», – писал астроном, астролог и математик Иоганн Кеплер в XVII веке. Позднее, уже в XX столетии, философ и логик Бертран Рассел отмечал: «Математика владеет не только истиной, но и высшей красотой – красотой отточенной и строгой, возвышенно чистой и стремящейся к подлинному совершенству, которое свойственно лишь величайшим образцам искусства». Лауреат Нобелевской премии по физике Поль Дирак говорил: «Физические законы должны обладать математической красотой».

И все же если мы спросим случайного прохожего о красоте математики, никого не удивит скептическое выражение его лица. Должно быть, красота математики подобна очарованию классических произведений: о нем знают почти все, но мало кто смог почувствовать его сам.

Эту книгу следует начать с выражения, отражающего массовые представления: математика обладает красотой. Но чтобы умерить пыл излишне оптимистичных читателей, следует добавить, что насладиться этой красотой непросто. В этой главе мы объясним, в чем заключается красота, которой, по нашему мнению, обладает математика, а в следующей главе обсудим, почему математическую красоту столь сложно оценить. И вначале уточним значение понятий, о которых пойдет речь, то есть определим, что означает «математика» и «красота».

Британский физик Поль Дирак (1902–1984), совершивший множество открытий в квантовой механике, – один из многих ученых, видевших связь между математикой и красотой.

«Пробуждать душевное наслаждение»

О том, что такое красота, написано множество скучных эссе и высказано множество мнений, как тревожных, так и приторно-слащавых. К первым можно отнести стихи Райнера Марии Рильке «Дуинские элегии»: «Красота – только первый укол ужаса, переносимый, но как сердце зашлось оттого, что мы поняли холод, с которым она отстранилась, чтоб нас не разрушить»[1]1
  Перевод О. Слободкиной. – Примеч. ред.


[Закрыть], ко вторым – фразу Стендаля «Красота есть обещание счастья». В этой книге мы не будем углубляться в научные трактаты в поисках сложного определения прекрасного или эстетичного. Обратимся к словарю. Вы увидите, что даже ничем не примечательное на первый взгляд словарное определение может оказаться весьма интересным.

В словаре мы прочтем такие строки: «Красота – свойство людей или вещей, которое заставляет любить их, пробуждая в нас душевное наслаждение». Мне кажется, что это прекрасное определение: оно показывает, что красота предмета подразумевает то или иное воздействие на зрителя. Составители словаря сходятся во мнениях с Вольтером, который в своем философском словаре писал: «Для вкуса недостаточно видеть или знать красоту шедевра: нужно почувствовать ее, нужно попасть под ее влияние». Математика прекрасно отражает личные предпочтения большинства ученых, с которыми я познакомился на протяжении своей карьеры (и, разумеется, мои собственные предпочтения): увлечение, любопытство и интерес, которые в нас пробуждает математика (значит ли это, что мы любим ее?), мы объясняем красотой, которую мы в ней видим, душевным наслаждением, которое мы испытываем, когда занимаемся математикой, эстетическим удовольствием, которое она вызывает в нас.

Восхищение, испытанное мной после знакомства с определением красоты, предложенным лингвистами, сменилось разочарованием, когда я дочитал словарную статью до конца: «Это свойство (красота) существует в природе и в произведениях искусства». Лингвисты совершили непростительную ошибку – они забыли причислить к сфере прекрасного научные работы. Нов этой книге мы не станем обходить их стороной!

Понятие «математика» я буду трактовать в очень широком смысле. Разумеется, в наше определение войдут математические идеи, понятия и рассуждения, а также их сочетания. Иногда мы будем использовать выражение «математические рассуждения» как синоним понятия «математика» в самом широком смысле, в других случаях будем иметь в виду более конкретные объекты – теоремы, определения, доказательства, целые теории и даже эвристические рассуждения, необязательно имеющие достаточное логическое обоснование.

Парфенон и математика Архимеда: здание из идей

В этой книге мы утверждаем, что математика обладает красотой. Мы принимаем это утверждение за недоказуемую истину со всеми поэтическими оттенками, которыми обладает любая недоказуемая истина. Тем не менее это не помешает нам обсудить некоторые вопросы. Вот первый вопрос, который вызывает это утверждение: если математика обладает красотой, то где она находится? Как ее найти?

Вместо развернутого теоретического обсуждения обратимся к конкретике. Лучше всего провести параллель с одним из видов искусства. Мы уже говорили в предисловии, что искусство дает множество примеров, но пусть читатель не забывает, что они могут быть довольно неожиданными.

Поэтому вместо того чтобы задуматься, в чем именно заключается красота математики, попытаемся ответить на другой вопрос: в чем заключается красота Парфенона?

Строительство Парфенона на афинском Акрополе началось примерно в 447 году до н. э., спустя несколько десятилетий после того, как персы опустошили город и разрушили Акрополь до основания. Строительство Парфенона продолжалось почти десять лет, еще несколько лет ушло на завершение отделки под руководством скульптора Фидия. Из греческого храма Парфенон превратился в церковь, затем – в мечеть, а в XVII веке турки использовали его как пороховой склад. В1687 году храм серьезно пострадал при обстреле Афин венецианским флотом. В начале XIX века англичане демонтировали значительную часть скульптур и фризов, украшавших фронтоны здания, так как они якобы нуждались в реставрации. Эти украшения до сих пор находятся в Британском музее.

Однако оставшихся украшений, которые сохранились до наших дней, достаточно, чтобы мы смогли ответить на вопрос, в чем заключается красота Парфенона.

Если мы внимательно рассмотрим здание Парфенона, то увидим, что его размеры гармоничны, его колонны, слегка наклоненные к центру, имеют соразмерные пропорции, а их особая форма компенсирует оптические искажения. Даже горизонтальные линии здания – например, линии антаблементов и лестниц – искривлены так, что кажутся прямыми. За счет этого, по словам Джорджа Сантаяны, удалось избежать сухости и жесткости, свойственной длинным прямым линиям. (Возможно, подобные искривления, как отмечает архитектор Оскар Тускетс, объясняются не столько эстетическими, сколько практическими причинами: они обеспечивали сток дождевой воды, попадавшей в перистиль.) Наконец, Парфенон отличает гармония декоративных элементов, в том числе элементов фронтонов главных фасадов, которые мы можем представить – если нам позволит сила воображения, – глядя на рисунки, планы здания и остатки украшений, хранящихся в Британском музее.

Вывод очевиден: красота Парфенона – в гармонии его архитектурных элементов. Взяв этот вывод за основу, зададимся вопросом: из каких элементов состоят математические рассуждения? Они состоят из математических идей. Иными словами, красоту математических рассуждений следует искать в гармоничном сочетании математических идей, из которых они состоят.

Этот вывод, к которому мы пришли не совсем прямым путем, привел еще Годфри Харолд Харди почти три четверти столетия назад в своем эссе «Апология математика». В этой небольшой книге, о которой мы подробнее поговорим в главе 4, Харди пишет: «Математик, подобно художнику или поэту, создает образы. Если его «образы» долговечнее их образов, то потому, что они состоят из идей. Создаваемые математиком образы, подобно образам художника или поэта, должны обладать красотой; подобно краскам или словам, идеи должны сочетаться гармонически. Красота служит первым критерием: в мире нет места безобразной математике».

Парфенон, вид сбоку. Вы можете видеть, какой ущерб был нанесен зданию в 1687 году при взрыве турецкого порохового склада, располагавшегося внутри храма.

Одна из метоп Парфенона, которая в настоящее время хранится в Британском музее. Эта метопа украшала южный фриз храма, декоративные элементы которого были посвящены кентавромахии.

Настало время продемонстрировать гармоничное сочетание математических идей. По разным причинам, которые я объясню чуть позже, я выбрал одно из них, не только очень красивое, но и необычное: это расчет квадратуры сегмента параболы, изложенный Архимедом в «Методе», одном из его фундаментальных трудов. Этому примеру мы посвятим оставшуюся часть главы, так как, учитывая цель, которую поставил перед собой автор этой книги, совершенно необходимо изложить все сопутствующие обстоятельства и привести исторический контекст. Поэтому прежде чем привести сам пример, вкратце расскажем о «жизни и чудесах» Архимеда. Сначала мы изложим историю его смерти – возможно, одну из самых символичных историй античного мира.

Смерть Архимеда и его инженерные достижения

О смерти Архимеда говорится в произведениях разных эпох, начиная от мозаики, найденной при раскопках Помпеи, и заканчивая фресками Пеллегрино Тибальди в библиотеке монастыря Эскориал в Мадриде и картиной Делакруа.

Эта история произошла в 212 году до н. э., спустя пять лет после взятия Сагунта войсками Ганнибала, что стало началом Второй пунической войны. В этом году основные военные действия переместились на Сицилию, в частности в Сиракузы – город, дружественный Карфагену, который в то время осаждали войска римского генерала Марка Клавдия Марцелла. Рим хотел взять остров под контроль и захватить урожай зерновых. Штурм Сиракуз завершился неудачей. Только после длительной осады город сдался армии Марцелла, и римские солдаты занялись грабежами и разбоем. Во время этих беспорядков и был убит Архимед, которому в то время уже перевалило за 70. Римский писатель Валерий Максим спустя два столетия так описывал это событие:

«Римский солдат, ворвавшийся в дом Архимеда, чтобы ограбить его, направил на ученого меч и спросил его, кто он такой. Архимед, целиком погруженный в решение задачи, не назвал себя и, указав на линии, проведенные на песке, сказал: «Пожалуйста, не трогай моих чертежей». Солдат, услышав в ответе ученого оскорбление, отрубил ему голову, и кровь Архимеда смешалась с плодами его науки».

На этой мозаике, найденной на раскопках Помпеи, изображен римский солдат, который через мгновение обезглавит Архимеда, и кровь ученого прольется на его чертежи.

Смерть Архимеда следует считать трагической случайностью, так как генерал Марцелл приказывал найти мудреца и сохранить ему жизнь. Плутарх в I веке так описывал этот эпизод в своей «Жизни Марцелла»: «Нельзя усомниться в том, что Марцелл очень сожалел об этом и, извергая проклятия, приказал привести к нему солдата, который убил Архимеда. Затем Марцелл повелел разыскать родственников Архимеда и окружить почетом»[2]2
  Перевод С. П. Маркиша. – Примеч. ред.


[Закрыть].

Марцелл проявлял интерес к Архимеду не потому, что тот был известным математиком: Архимед также был видным инженером. По легенде, он обладал сверхъестественным даром изобретательства, и его считали почти полубогом: «Все тайны Вселенной были известны Архимеду, – пишет Силий Италик в своей поэме «Пуника» (I век). – Он знал, когда неяркие лучи нарождающегося солнца предвещают бурю, неподвижна ли Земля или вращается вокруг оси, почему море, распростершееся по земному шару, приковано к его поверхности, почему возникают волны на море и каковы фазы Луны, какому закону подчиняются океанские приливы и отливы. Он стал известен тем, что сосчитал, сколько песчинок на Земле; он, кто смог снять с мели галеру силами одной женщины; он, кто поднял гору камней против уклона земли».

У Плутарха мы также находим упоминание легендарной способности Архимеда использовать рычаги: «Архимед как-то раз написал царю Гиерону, с которым был в дружбе и родстве, что данною силою можно сдвинуть любой данный груз; как сообщают, увлеченный убедительностью собственных доказательств, он добавил сгоряча, что будь в его распоряжении другая земля, на которую можно было бы встать, он сдвинул бы с места нашу»[3]3
  Здесь и далее перевод С. П. Маркиша. – Примеч. ред.


[Закрыть].

* * *

АРХИМЕД И ЕГО БОЕВЫЕ МАШИНЫ

Описания разрушительной силы военных машин Архимеда у классических историков напоминают дантовские сцены: «Итак, римляне напали с двух сторон, и сиракузяне растерялись и притихли от страха, полагая, что им нечем сдержать столь грозную силу. Но тут Архимед пустил в ход свои машины, и в неприятеля, наступающего с суши, понеслись всевозможных размеров стрелы и огромные каменные глыбы, летевшие с невероятным шумом и чудовищной скоростью, – они сокрушали все и всех на своем пути и приводили в расстройство боевые ряды, – а на вражеские суда вдруг стали опускаться укрепленные на стенах брусья и либо топили их силою толчка, либо, схватив железными руками или клювами вроде журавлиных, вытаскивали носом вверх из воды, а потом, кормою вперед, пускали ко дну, либо, наконец, приведенные в круговое движение скрытыми внутри оттяжными канатами, увлекали за собою корабль и, раскрутив его, швыряли на скалы и утесы у подножия стены, а моряки погибали мучительной смертью. Нередко взору открывалось ужасное зрелище: поднятый высоко над морем корабль раскачивался в разные стороны до тех пор, пока все до последнего человека не оказывались сброшенными за борт или разнесенными в клочья, а опустевшее судно разбивалось о стену или снова падало на воду, когда железные челюсти разжимались».

Фрагмент фрески Джулио Париджи конца XVI века, на которой изображена одна из хитроумных военных машин, созданных Архимедом.

* * *

Живительнее всего то, что Архимед использовал рычаги не только для перемещения огромных весов – он применил рычаги в чистой геометрии и провел с их помощью сложные расчеты, в частности вычислил площадь сегмента параболы. О решении этой задачи мы расскажем чуть позже, а сначала приведем еще несколько историй об Архимеде.

Легенды об Архимеде

Хотя Архимед был умелым инженером, по легенде, его больше всего интересовали теоретические задачи геометрии. «Архимед, – пишет Плутарх, – был человеком такого возвышенного образа мыслей, такой глубины души и богатства познаний, что о вещах, доставивших ему славу ума не смертного, а божественного, не пожелал написать ничего, но, считая сооружение машин и вообще всякое искусство, сопричастное повседневным нуждам, низменным и грубым, все свое рвение обратил на такие занятия, в которых красота и совершенство пребывают не смешанными с потребностями жизни». И действительно, неизвестно никаких исследований Архимеда, посвященных военным машинам, однако следует учитывать, что множество его работ утрачены, а в сохранившихся можно увидеть практическую направленность – например, Архимед доказал, что число π чуть меньше 22/7 и чуть больше 223/71. Он вообще выделялся на фоне остальных математиков Древней Греции, а благодаря решению некоторых задач стал героем легенд и анекдотов.

Кто не знает изречений «Дайте мне точку опоры, и я поверну Землю» или «Эврика!»? Очевидно, что все они хотя бы отчасти соответствуют действительности. Вспомним известную легенду, в которой рассказывается, как Архимед смог определить, из чистого ли золота сделана корона царя Гиерона, использовав разницу плотности золота и серебра. Решив задачу, Архимед издал всем известный возглас «Эврика!», который позднее стал боевым кличем ученых. Витрувий в девятой из «Десяти книг об архитектуре» рассказывает эту историю так: «Гиерон, достигший царской власти в Сиракузах, после удачного завершения своих предприятий, решил по обету бессмертным богам поместить в одном из храмов золотой венец, он заказал сделать его за определенную плату и отвесил нужное количество золота подрядчику. В назначенный по договору срок тот доставил царю тонко исполненную работу, в точности, видимо, соответствовавшую весу отпущенного на нее золота. После же того как сделан был донос, что часть золота была утаена и при изготовлении венца в него было примешано такое же количество серебра, Гиерон, негодуя на нанесенное ему оскорбление и не находя способа доказать эту покражу, обратился к Архимеду с просьбой взять на себя разрешение этого вопроса. Случилось так, что в то время как Архимед над этим думал, он пошел в баню и, садясь в ванну, заметил, что чем глубже он погружается в нее своим телом, тем больше через край вытекает воды. И как только это указало ему способ разрешения его вопроса, он, не медля, вне себя от радости, выскочил из ванны и голый бросился к себе домой, громко крича, что нашел то, что искал; ибо на бегу он то и дело восклицал по-гречески: «Эврика!»[4]4
  Перевод Ф. А. Петровского. – Примеч. ред.


[Закрыть]

* * *

НАГОТА АРХИМЕДА

Архимед изображен нагим не только в истории об «Эврике». В других сценах, исполненных гедонизма, мы вновь встречаем похожие описания: «И нельзя не верить рассказам, будто он был тайно очарован некоей сиреной, не покидавшей его ни на миг, а потому забывал о пище и об уходе за телом, и его нередко силой приходилось тащить мыться и умащаться, но и в бане он продолжал чертить геометрические фигуры на золе очага и даже на собственном теле, натертом маслом, проводил пальцем какие-то линии – поистине вдохновленный Музами, весь во власти великого наслаждения»[5]5
  Перевод С. П. Маркиша. – Примеч. ред.


[Закрыть] – пишет Плутарх в «Сравнительных жизнеописаниях».

Эта «вдохновленность Музами», свойственная любому ученому, погруженному в себя, не раз вызывала возмущение церковных сановников: они видели в этом некий эротизм, уподоблявший страсть к науке плотским страстям. Известны слова Блаженного Августина: «Помимо вожделения плоти, которое заключается в удовольствии всех чувств и которому уступают те, кто становится его рабом, удаляясь от Господа, также удаляется душой от Господа тот, кто испытывает пустое любопытство, скрытое под эвфемизмами "знание" и "наука"». Отголосок этой мысли слышится во фразе Стивена Хокинга, одного из известнейших ученых наших дней: «Самое приятное в жизни – открывать что-то, о чем раньше никто не знал. Я сравнил бы это с сексом, но он проходит куда быстрее, чем это потрясающее ощущение».

Гравюра конца XVI века, на которой изображена знаменитая история «Эврики!» Архимеда.

* * *

Эта история, как и все ее версии, не совсем верна с научной точки зрения. Как в свое время совершенно справедливо заметил Галилей, опыт Архимеда, несомненно, был намного точнее, чем это описано в исторических анекдотах. Очевидно, что если бы Витрувий включил в свой рассказ подробное изложение опыта Архимеда, его история утратила бы часть своей привлекательности, так как образ нагого ученого, кричащего «Эврика, Эврика!», привлекает намного большее внимание, чем образ того же ученого, склонившегося за рабочим столом.

Легенду, согласно которой Архимед сжег римские военные корабли с помощью зеркал, решительно можно считать художественным вымыслом. В исторических источниках, ближайших по времени к эпохе Архимеда, его подвиги как военного инженера описываются в возвышенных тонах и с большими преувеличениями, однако зажигательные зеркала не упоминаются. Вероятно, этот эпизод был добавлен к историям о чудесных боевых машинах Архимеда позже, тем более что он вряд ли располагал необходимыми технологиями для изготовления таких зеркал. Возможно, он знал, как их можно сделать, и по этой причине изобретение приписывается именно ему.

Гравюра, посвященная легендарному изобретению Архимеда – зажигательным зеркалам, с помощью которых он сжег вражеские корабли при осаде Сиракуз.

Точнее говоря, Архимед, разумеется, знал, что зеркало в форме параболоида вращения фокусирует солнечные лучи в определенной точке, называемой фокусом. Для тех читателей, кто не знаком с параболоидом вращения, укажем, что это поверхность, получаемая вращением параболы вокруг оси.

Архимед доказал несколько удивительных утверждений о параболах. Одно из них, касающееся квадратуры параболы, мы используем в качестве примера, показывающего, как гармоничное сочетание математических идей рождает красоту в математике.

Квадратура параболы

Парабола входит в число конических сечений, то есть кривых, получаемых сечением конуса плоскостью. В зависимости от расположения этой плоскости сечением конуса будет окружность, эллипс, гипербола или парабола. Последнюю мы получим, когда секущая плоскость расположена параллельно образующей конуса.

Полное фото семейства: конус и его отпрыски.

Греки попытались решить задачу о квадратуре для областей, ограниченных каждой из этих кривых, с помощью циркуля и линейки. В случае с окружностью и эллипсом они потерпели неудачу, так как для вычисления искомой квадратуры требовалось знать точное значение числа π. Неудача постигла их и при вычислении квадратуры гиперболы, так как для этого требовалось рассчитать логарифмы. Однако им удалось квадратуру параболы – это сделал Архимед тремя разными способами, один удивительнее другого. Рассуждения Архимеда изложены в его труде под названием «Метод» – об удивительной истории этой книги мы расскажем позже.

Парабола может быть определена не только как коническое сечение, но и следующим способом. Допустим, дан угол с вершиной в точке А, образованный сторонами АВ и АС. Обозначим через r соотношение длин этих сторон: r = АВ/АС. Предлагаем читателю выбрать произвольную точку на отрезке АС. Она будет располагаться на некотором расстоянии от вершины А (обозначим его через d). Соедините эту точку с точкой отрезка АВ, находящейся на расстоянии d·r от В. Если вы проведете это построение для всех точек стороны АС, построенные отрезки будут описывать кривую, являющуюся частью параболы. Эта кривая изображена на следующем рисунке: слева показаны несколько точек отрезка АС, соединенные с соответствующими точками отрезка АВ, справа – парабола, описанная этими отрезками.

Осью этой части параболы будет прямая, соединяющая точку А с серединой отрезка ВС. Точка V, где ось пересекает параболу, называется вершиной.

Парабола, ее ось и вершина.

Рассмотрим сегмент параболы BVC с вершиной в точке V.

На этом сегменте параболы мы построим треугольник с вершинами D, В и С: сторона DB будет параллельной оси сегмента параболы и пройдет через точку В, а сторона DC будет касаться параболы в точке С.

Архимед доказал, что площадь сегмента параболы BVC равна одной третьей площади треугольника BDC. Ключевым элементом его рассуждений стало умелое использование рычага. Чтобы читателю было проще понять, приведем схему рассуждений в общем виде. Сначала мы представим треугольник и сегмент параболы в виде совокупностей отрезков прямых, затем вставим в геометрическую фигуру рычаг – он позволит нам сравнить отрезки, на которые мы разделили обе фигуры. Затем вновь составим из этих отрезков треугольник и параболу, которые будут находиться в равновесии на концах рычага. Согласно правилу рычага, площади треугольника и параболы будут обратно пропорциональны плечам рычага, уравновешивающего их.

Наконец, вычислим искомое соотношение плеч рычага. Чтобы читатель смог лучше понять эстетику этих рассуждений, напомним ему фразу Эмиля Шартье (Алена): «Прекрасное не доставляет удовольствие или неудовольствие – оно заставляет нас задержаться». Подробные рассуждения выглядят следующим образом.

Архимед счел, что треугольник BDC образован множеством отрезков XT, параллельных оси параболы (или стороне треугольника BD), а сегмент параболы BVC образован множеством прямых отрезков ХР, параллельных оси параболы, как показано на следующем рисунке. Представление геометрической фигуры в виде множества отрезков было чем-то доселе невиданным в математике. В следующий раз этот метод был применен в XVII веке, спустя почти две тысячи лет.

Далее Архимед сравнил отрезки, из которых состояли рассматриваемые фигуры, с помощью рычага. Плечо рычага будет располагаться вдоль прямой, соединяющей вершину треугольника С с вершиной параболы V, а точкой опоры рычага будет точка F – точка пересечения плеча рычага и стороны BD треугольника. Левый конец рычага Е_i  будет располагаться в одной точке и находиться на том же расстоянии от точки F, что и вершина С треугольника. Иными словами, длины отрезков E_iF и FC равны. Положение правого конца рычага E_d будет изменяться. Его определит пересечение плеча рычага с одним из отрезков, образующих треугольник.

Следовательно, если мы перенесем отрезок, образующий параболу, к левому концу рычага E_i, при этом на правом конце рычага E_d положение отрезка, образующего треугольник, останется неизменным (как показано на рисунке ниже),

рычаг будет находиться в равновесии.

Следовательно, при рассмотрении параболы как совокупности отрезков Архимеду удалось сбалансировать на разных концах рычага параболу (ее центр тяжести совпадает с точкой E_i) и треугольник, центр тяжести которого, точка G, совпадает с правым концом рычага.

Согласно правилу рычага, соотношение площадей параболы и треугольника обратно пропорционально отношению плеч рычага, на которых располагаются парабола и треугольник. Это соотношение равно одной третьей, что объясняется на следующей странице. Следовательно, площадь сегмента параболы BVC равна одной трети площади треугольника BDC.

* * *

ПРОПОРЦИЯ И РАВНОВЕСИЕ

Рассмотрим подробнее, почему соотношение плеч рычага, на котором уравновешены треугольник и парабола, равно одной третьей. В силу особенностей построения левое плечо рычага E_iF равно отрезку FC, а правое плечо рычага – это отрезок FG. Центр тяжести треугольника – это точка пересечения его медиан (прямых, соединяющих вершины треугольника с центрами противоположных сторон). Центр тяжести делит медианы в соотношении 2:1, считая от вершины. Так как FC – медиана треугольника (этот отрезок соединяет вершину С и середину стороны В), длина отрезка FG будет равна одной трети длины отрезка FC.

* * *

Математика: результат творчества или открытия?

Рассуждения Архимеда, позволившие ему вычислить квадратуру параболы, помогут нам ответить на непростой вопрос: можно ли назвать ученого творцом? Толчком к этой полемике стали размышления об эстетике.

Большинство, возможно, полагает, что термин «творец» неприменим к ученым в целом и математикам в частности. К примеру, Фернандо Саватер в «Вопросах жизни» писал: «Творец – тот, кто создает что-то, что без него никогда не появилось бы на свет, тот, кто привносит в мир что-то, что без него никогда не могло бы существовать именно в таком виде, а не в другом, более или менее похожем». Так, Александр Флеминг не «изобрел» пенициллин, а открыл его: «Если бы он не открыл пенициллин, рано или поздно другой мудрец открыл бы лечебные свойства этого чудесного грибка. Напротив, если бы Моцарт или Сервантес умерли бы в младенчестве, никто бы не написал «Волшебную флейту» и не рассказал бы историю Дон Кихота». С философом Саватером согласны и другие ученые, например лауреат Нобелевской премии по медицине Франсуа Жакоб.

Любой научный факт имеет два аспекта. Первый аспект – это само открытие, будь то теорема, универсальный закон, галактика или химический элемент, второй – форма, в которой было совершено это открытие. Если мы используем термин «открытие», то уместно было бы назвать ученых «первооткрывателями». Однако порой случается – возможно, редко, но все же случается, – что ученого уместно назвать творцом, так как он совершил или представил свое открытие совершенно уникальным способом.

Так, можно сказать, что Архимед не был творцом соотношения площадей сегмента параболы и треугольника – рано или поздно это соотношение обнаружил бы и другой ученый. Однако Архимед не просто определил соотношение между площадями фигур, а сделал это определенным образом. И именно этот конкретный способ уравновешивания площадей посредством рычага можно назвать результатом творчества. Как мы не можем представить картину «Менины» без Веласкеса, так и эти геометрические рассуждения нельзя представить без Архимеда. Можно сказать, что Архимед открыл формулу квадратуры параболы, но его исполненный эстетики метод разделения фигур на отрезки с их уравновешиванием – результат творчества в полном смысле этого слова, о котором говорил Саватер: «без него [это] никогда не могло бы существовать именно в таком виде, а не в другом, более или менее похожем».