Текст книги "Большая Советская Энциклопедия (ТО)"
Автор книги: Большая Советская Энциклопедия
Жанр:
Энциклопедии
сообщить о нарушении
Текущая страница: 26 (всего у книги 41 страниц)
Топография
Топогра'фия (от греч. tо'pos – место и ¼графия ), научно-техническая дисциплина, занимающаяся географическим и геометрическим изучением местности путём создания топографических карт на основе съёмочных работ (наземных, с воздуха, из космоса). По одним представлениям, Т. – самостоятоятельный раздел картографии , охватывающий проблемы детального общегеографического картографирования территории, по другим – раздел геодезии , посвященный проблемам измерений на земной поверхности и по аэроснимкам (см. Фотограмметрия ) для определения положения, формы и размеров снимаемых природных и социально-экономических объектов. В сферу Т. входят вопросы классификации, содержания и точности топографических карт, методики их изготовления и обновления и получения по ним различной информации о местности. В каждой стране все эти вопросы регламентируются собственными стандартами (связанными с хозяйственно-политическими факторами, организационно-техническими возможностями картографо-геодезических служб и характером ландшафтов), но поскольку в целом они достаточно близки, это позволяет создавать сопоставимые топографические карты. Периодическая модернизация данных стандартов, а также совершенствование базирующихся на них топографических условных знаков и основных положений по отбору и обобщению элементов нагрузки карт (в соответствии с их масштабами и особенностями территории – см. Генерализация картографическая ) составляют одну из важнейших задач Т.
Первые съёмочные работы для изготовления топографических карт были выполнены в 16 в. Наземные съёмки, наглядно передающие размещение и особенности объектов местности и базирующиеся на точных инструментальных измерениях, получили развитие в 18 в., аэрофототопографические съёмки – в 1-й трети 20 в., космические – в последней трети 20 в. В настоящее время наземные методы применяются в Т. преимущественно на таких участках, картографирование которых другим путём нерентабельно из-за их малой площади или затруднительно по характеру территории. В первом случае производят мензульную съёмку , выполняемую целиком в натуре, во втором – для ряда горных районов – фототеодолитную съёмку (наземную фотограмметрическую), при которой часть работ ведут на местности с помощью фототеодолита, а часть – камерально на фотограмметрических приборах. Использование в Т. материалов космической съёмки пока ограничивается изготовлением обзорно-топографических и мелкомасштабных топографических карт преимущественно на неосвоенные и малоизученные территории полярных стран, пустынь, джунглей, выявлением и отбором по космическим снимкам таких участков земной поверхности, для которых обычная аэрофотосъёмка, с целью создания или обновления средне– и крупномасштабных топографических карт, должна быть поставлена в первую очередь. Основными в современной Т. являются аэрофототопографические методы (см. Аэрофототопография ) – комбинированный и стереотопографический. При комбинированной съёмке не только аэрофотосъёмочные, но и все топографические работы, а именно: построение плановой и высотной основы карты, рисовка рельефа и дешифрирование на фотоплане предметов и контуров, выполняются непосредственно на местности. При наиболее эффективной стереотопографической съёмке в полёте производят аэрофотографирование и радиогеодезические работы по созданию съёмочного каркаса карты, на местности строят опорную геодезическую сеть , дешифрируют эталонные участки и инструментально наносят неизобразившиеся на аэроснимках объекты. Остальные процессы по изготовлению карты – построение фотограмметрических сетей (для развития её каркаса), стереоскопическую рисовку рельефа и дешифрирование аэрофотоизображения на всю территорию съёмки – осуществляют камеральным путём. Весьма важной задачей Т. является обеспечение сокращения полевых работ, в частности путём совершенствования региональных технологических схем топографической съёмки.
Обновление топографических карт, то есть приведение их содержания в соответствие с современными требованиями и состоянием местности, представляет собой самостоятельный, всё более развивающийся метод Т. В зависимости от особенностей района применяют обновление периодическое (от 3—4 до 12—15 лет) или непрерывное; в обоих случаях оно должно базироваться на аэрофотосъёмке и так называемых материалах картографического значения (землеустроительные и лесные планы, ведомости инвентаризации зданий в городах, лоции, линейные графики дорог, схемы линий электропередачи, справочники административно-территориального деления и др.), что позволяет выполнять основной объём работ камеральным путём. Дополнения и исправления при обновлении карт необходимы главным образом по социально-экономическим объектам ландшафта – населённым пунктам, дорогам, обрабатываемым угодьям. Обновленные карты должны иметь такую же точность, что и новые карты, полученные при съёмке в данном масштабе. Для целей обновления карт и в меньшей мере для их создания съёмочными методами, наряду с воздушным черно-белым или цветным фотографированием как основным средством получения информации о местности, стали применять фотоэлектронную аэросъёмку (в частности, радиолокационную).
Современный этап развития Т. характеризуется внедрением средств автоматизации в дело создания топографических карт. Практически приемлемые результаты уже получены для процессов считывания с помощью ЭВМ информации с аэроснимков и её записи в цифровой форме, автоматизированного преобразования последней при составлении оригиналов карт (включая трансформирование из центральной проекции в ортогональную, рисовку рельефа в горизонталях, дешифрирование части объектов) на различных приборах и гравировании (или вычерчивании) оригиналов для издания. Наряду с изготовлением карт средства автоматизации применимы в Т. для построения так называемых цифровых моделей местности, то есть формализованных её моделей, представленных координатами и характеристиками точек местности, записанными цифровым кодом (например, на магнитной ленте) для последующей обработки на ЭВМ. Эти модели служат для: 1) дополнения карты данными, не выражающимися ни при графическом, ни при фотографическом воспроизведении местности (см. Фотокарты ), но весьма важными при ряде изысканий и в первую очередь в целях землеустройства и городского строительства; 2) выделения содержащейся на картах информации (объектов того или иного вида, типов территории, комплекса сведений, существенных при решении таких инженерных задач, как выбор трасс каналов, дорог и трубопроводов, участков под водохранилища, аэродромы, лесопосадки и т.п.). Цифровая форма даёт также возможность кодирования и поиска необходимых материалов картографического значения при их сосредоточении в справочно-информационных фондах. Автоматизация дистанционных методов получения топографической информации позволила приступить к съёмке поверхности Луны и части планет с изготовлением блоков обзорно-топографических карт на большие площади, отдельных листов собственно топографических карт на избранные участки и крупномасштабных планов на местность вокруг пунктов посадки межпланетных автоматических станций и космических кораблей, а также по трассам луноходов.
Лит.: 50 лет советской геодезии и картографии, М., 1967; Альбом образцов изображения рельефа на топографических картах, М., 1968; Подобедов Н. С., Полевая картография, М., 1970; Салищев К. А., Картография, 2 изд., М., 1971; Куприн А. М., Говорухин А. М., Гамезо М. В., Справочник по военной топографии, М., 1973: Картография с основами топографии, под ред. А. В. Гедымина, ч. 1—2, М., 1973; Соколова Н. А.. Фотограмметрические методы топографического картографирования, в кн.: Итоги науки и техники. Геодезия и аэросъёмка, т. 8, М., 1973; Лобанов А. Н., Аэрофототопография, М., 1971; Материалы Всесоюзной конференции по проблемам крупномасштабных топографических съёмок (Москва, 1973), М., 1974; Господ и нов Г. В., Сорокин В. Н., Топография, 2 изд., М., 1974; Гольдман Л. М., Совершенствование содержания топографических карт и планов, предназначенных для мелиорации земель, «Геодезия и картография», 1974, № 4; Салищев К. А., Картоведение, М., 1976: Поспелов Е. М., Картографическая изученность зарубежных стран, М., 1975.
Л.М. Гольдман.
Топография барическая
Топография бари'ческая , распределение высот или геопотенциалов той или иной изобарической поверхности над уровнем моря (абсолютная Т. б. ) или над уровнем другой нижележащей изобарической поверхности (относительная Т. б.).
Топография военная
Топогра'фия вое'нная, см. Военная топография .
Топозеро
Топо'зеро, озеро в северной части Карельской АССР. Площадь 986 км2 . Расположено на высоте 109 м . Вытянуто с С.-С.-З. на Ю.-Ю.-В. Берега, особенно восточный, изрезанные; на Т. много островов, общая площадь 63 км2 . Питание преимущественно снеговое. Высшие уровни в июне, низшие в апреле. Замерзает в конце октября – ноябре, вскрывается в мае. С созданием Кумской ГЭС в 1966 стало частью Кумского водохранилища . Лесосплав. Лов рыбы (ряпушка, хариус, сиг, корюшка и др.).
Топологическая психология
Топологи'ческая психоло'гия, психологическая концепция немецко-американского психолога К. Левина, представляющая собой применение понятий топологии к разработанной им теории психологического «поля». Развита в 1930-х гг. Включает как собственно математические, так и психологические понятия, с помощью которых описываются статические и динамические особенности психологического поля. См. ст. Левин К. и литературу при ней.
Топологическое пространство
Топологи'ческое простра'нство, множество, состоящее из элементов любой природы, в котором тем или иным способом определены предельные соотношения. Предельные соотношения, наличие которых превращает данное множество Х в топологическое пространство, состоят в том, что для каждого подмножества А множества Х определено его замыкание, то есть множество [А ], состоящее из всех элементов множества А и из предельных точек этого множества (если какое-либо множество является Т.п., то его элементы, независимо от их действительной природы, принято называть точками данного Т.п.). «Ввести в данное множество Х топологию», или «превратить данное множество Х в Т. п.», – это значит тем или иным способом указать замыкание [А ] для каждого подмножества А множества Х . Точки множества [А] называются точками прикосновения множества А .
Каждое метрическое пространствомо жет быть естественным образом превращено в Т. п., поэтому говорят (допуская некоторую неточность), что метрическое пространство является частным случаем топологического. В частности, числовая прямая, евклидово пространство любого числа измерений, различные функциональные пространства могут служить примерами метрических и, следовательно, топологических пространств. Существует много способов вводить в данное множество Х топологию, то есть превращать его в Т. п.; например, в случае метрических пространств топология вводится посредством вспомогательного понятия расстояния. В очень многих случаях топология в данное множество Х вводится посредством окрестностей: для каждого элемента (для каждой «точки») множества Х некоторые подмножества множества Х выделяются в качестве окрестностей данной точки. В предположении, что окрестности определены, точка х объявляется точкой прикосновения множества А, если каждая окрестность этой точки содержит хотя бы одну точку множества А. См. также ст. Топология и литературу при ней.
Топология
Тополо'гия (от греч. tо'pos – место и ¼логия ) — часть геометрии, посвященная изучению феномена непрерывности (выражающегося, например, в понятии предела). Разнообразие проявлений непрерывности в математике и широкий спектр различных подходов к её изучению привели к распадению единой Т. на ряд отделов («общая Т.», «алгебраическая Т.» и др.), отличающихся друг от друга по предмету и методу изучения и фактически весьма мало между собой связанных.
I. Общая топология
Часть Т., ориентированная на аксиоматическое изучение непрерывности, называется общей Т. Наряду с алгеброй общая Т. составляет основу современного теоретико-множественного метода в математике.
Аксиоматически непрерывность можно определить многими (вообще говоря, неравносильными) способами. Общепринята аксиоматика, основывающаяся на понятии открытого множества. Топологической структурой, или топологией, на множестве Х называют такое семейство его подмножеств, называемых открытыми множествами, что: 1) пустое множество Æ и всё Х открыты; 2) объединение любого числа и пересечение конечного числа открытых множеств открыто. Множество, на котором задана топологическая структура, называют топологическим пространством . В топологическом пространстве Х можно определить все основные понятия элементарного анализа, связанные с непрерывностью. Например, окрестностью точки x Î X называют произвольное открытое множество, содержащее эту точку; множество A Ì X называют замкнутым, если его дополнение Х А открыто; замыканием множества А называют наименьшее замкнутое множество, содержащее A ; если это замыкание совпадает с X , то А называют всюду плотным в Х и т.д.
По определению, Æ и Х являются одновременно замкнутыми и открытыми множествами. Если в Х нет других множеств, одновременно замкнутых и открытых, то топологическое пространство Х называют связным. Наглядно связное пространство состоит из одного «куска», а несвязное – из нескольких.
Любое подмножество А топологического пространства Х обладает естественной топологической структурой, состоящей из пересечений с А открытых множеств из X . Снабженное этой структурой А называют подпространством пространства X . Каждое метрическое пространство становится топологическим, если за его открытые множества принять множества, содержащие вместе с произвольной точкой некоторую её e-окрестность (шар радиуса e с центром в этой точке). В частности, любое подмножество n -мерного евклидова пространства 
является топологическим пространством. Теория таких пространств (под названием «геометрической Т.») и теория метрических пространств включаются по традиции в общую Т.
Геометрическая Т. довольно четко распадается на две части: изучение подмножеств 
произвольной сложности, подчинённых тем или иным ограничениям общего характера (примером является так называемая теория континуумов, то есть связных ограниченных замкнутых множеств), и изучение способов, какими в 
могут быть вложены такие простые топологические пространства, как сфера, шар и т.п. (вложения в 
, например, сфер могут быть очень сложно устроенными).
Открытым покрытием топологического пространства Х называют семейство его открытых множеств, объединением которого является всё X . Топологическое пространство Х называют компактным (в другой терминологии —бикомпактным), если любое его открытое покрытие содержит конечное число элементов, также образующих покрытие. Классическая теорема Гейне – Бореля утверждает, что любое ограниченное замкнутое подмножество 
компактно. Оказывается, что все основные теоремы элементарного анализа об ограниченных замкнутых множествах (например, теорема Вейерштрасса о том, что на таком множестве непрерывная функция достигает своего наибольшего значения) справедливы для любых компактных топологических пространств. Это определяет фундаментальную роль, которую играют компактные пространства в современной математике (особенно в связи с теоремами существования). Выделение класса компактных топологических пространств явилось одним из крупнейших достижений обшей Т., имеющих общематематическое значение.
Открытое покрытие {Vb } называют вписанным в покрытие {Ua }, если для любого b существует a такое, что Vb Ì Ua. Покрытие {Vb } называют локально конечным, если каждая точка х Î Х обладает окрестностью, пересекающейся только с конечным числом элементов этого покрытия. Топологическое пространство называют паракомпактным, если в любое его открытое покрытие можно вписать локально конечное покрытие. Класс паракомпактных пространств является примером классов топологических пространств, получающихся наложением так называемых условий типа компактности. Этот класс очень широк, в частности он содержит все метризуемые топологические пространства, то есть пространства X , в которых можно ввести такую метрику r, что Т., порожденная r в X, совпадает с Т., заданной в X .
Кратностью открытого покрытия называют наибольшее число k такое, что найдётся k его элементов, имеющих непустое пересечение. Наименьшее число n, обладающее тем свойством, что в любое конечное открытое покрытие топологического пространства Х можно вписать открытое покрытие кратности £n + 1, обозначается символом dimХ и называется размерностью X . Это название оправдано тем, что в элементарно-геометрических ситуациях dimХ совпадает с обычно понимаемой размерностью, например dim
=n . Возможны и др. числовые функции топологического пространства X , отличающиеся от dimX , но в простейших случаях совпадающие с dimX . Их изучение составляет предмет общей теории размерности – наиболее геометрически ориентированной части общей Т. Только в рамках этой теории удаётся, например, дать чёткое и достаточно общее определение интуитивного понятия геометрической фигуры и, в частности, понятия линии, поверхности и т.п.
Важные классы топологических пространств получаются наложением так называемых аксиом отделимости. Примером является так называемая аксиома Хаусдорфа, или аксиома T2 , требующая, чтобы любые две различные точки обладали непересекающимися окрестностями. Топологическое пространство, удовлетворяющее этой аксиоме, называется хаусдорфовым, или отделимым. Некоторое время в математической практике встречались почти исключительно хаусдорфовы пространства (например, любое метрическое пространство хаусдорфово). Однако роль нехаусдорфовых топологических пространств в анализе и геометрии постоянно растет.
Топологические пространства, являющиеся подпространствами хаусдорфовых (би) компактных пространств, называются вполне регулярными или тихоновскими. Их тоже можно охарактеризовать некоторой аксиомой отделимости, а именно: аксиомой, требующей, чтобы для любой точки x
Топологические пространства, являющиеся открытыми подпространствами хаусдорфовых компактных, называются локально компактными пространствами. Они характеризуются (в классе хаусдорфовых пространств) тем, что каждая их точка обладает окрестностью с компактным замыканием (пример: евклидово пространство). Любое такое пространство дополняется одной точкой до компактного (пример: присоединением одной точки из плоскости получается сфера комплексного переменного, а из 
– сфера S n ).
Отображение f : X ® Y топологическое пространства Х в топологическое пространство Y называют непрерывным отображением, если для любого открытого множества V Ì Y множество f—1 (V ) открыто в X . Непрерывное отображение называют гомеоморфизмом, если оно взаимно однозначно и обратное отображение f—1 : Y ® X непрерывно. Такое отображение устанавливает взаимно однозначное соответствие между открытыми множествами топологических пространств Х и Y , перестановочное с операциями объединения и пересечения множеств. Поэтому все топологические свойства (то есть свойства, формулируемые в терминах открытых множеств) этих пространств одни и те же, и с топологической точки зрения гомеоморфные топологические пространства (то есть пространства, для которых существует хотя бы один гомеоморфизм Х ® Y ) следует считать одинаковыми (подобно тому как в евклидовой геометрии одинаковыми считаются фигуры, которые можно совместить движением). Например, гомеоморфны («топологически одинаковы») окружность и граница квадрата, шестиугольника и т.п. Вообще любые две простые (не имеющие двойных точек) замкнутые линии гомеоморфны. Напротив, окружность не гомеоморфна прямой (ибо удаление точки не нарушает связности окружности, но нарушает связность прямой; по той же причине прямая не гомеоморфна плоскости, а окружность не гомеоморфна «восьмёрке»). Окружность не гомеоморфна также и плоскости (выкиньте не одну, а две точки).
Пусть {Хa } – произвольное семейство топологических пространств. Рассмотрим множество Х всех семейств вида {хa }, где xa
определяет некоторое отображение 
(называется проекцией). Вообще говоря, в Х можно ввести много топологических структур, относительно которых все отображения pa непрерывны. Среди этих структур существует наименьшая (то есть содержащаяся в любой такой структуре). Снабженное этой топологической структурой множество Х называется топологическим произведением топологических пространств Хa и обозначается символом ПХa (а в случае конечного числа сомножителей – символом X1 ´ ... ´ Xn ). В явном виде открытые множества пространства Х можно описать как объединения конечных пересечений всех множеств вида 
, где Ua открыто в Xa . Топологическое пространство Х обладает следующим замечательным свойством универсальности, однозначно (с точностью до гомеоморфизма) его характеризующим: для любого семейства непрерывных отображений fa : Y ® Xa существует единственное непрерывное отображение f : Y ® X , для которого 
при всех a. Пространство 
является топологическим произведением n экземпляров числовой прямой. Одной из важнейших теорем общей Т. является утверждение о том, что топологическое произведение компактных топологических пространств компактно.
Если Х – топологическое пространство, а Y – произвольное множество и если задано отображение p : X ® Y пространства Х на множество Y (например, если Y является фактормножеством Х по некоторому отношению эквивалентности, а p представляет собой естественную проекцию, сопоставляющую с каждым элементом х Î Х его класс эквивалентности), то можно ставить вопрос о введении в Y топологической структуры, относительно которой отображение p непрерывно. Наиболее «богатую» (открытыми множествами) такую структуру получают, полагая открытыми множествами в Y все те множества V Ì Y, для которых множество f‑1 (V ) Ì Х открыто в X . Снабженное этой топологической структурой множество Y называется факторпространством топологического пространства Х (по отношению к p ). Оно обладает тем свойством, что произвольное отображение f : Y ® Z тогда и только тогда непрерывно, когда непрерывно отображение 
: X ® Z. Непрерывное отображение p : X ® Y называется факторным, если топологическое пространство Y является по отношению к p факторпространством топологического пространства X . Непрерывное отображение p : X ® Y называется открытым, если для любого открытого множества U Ì Х множество p(U) открыто в Y , и замкнутым, если для любого замкнутого множества F Ì Х множество p(F) замкнуто в Y . Как открытые, так и замкнутые непрерывные отображения f : Х ® Y , для которых f(X) = Y , являются факторными.
Пусть Х – топологическое пространство, А – его подпространство и f : A ® Y – непрерывное отображение. Предполагая топологические пространства Х и Y непересекающимися, введём в их объединении Х È Y топологическую структуру, считая открытыми множествами объединения открытых множеств из Х и Y . Далее, введём в пространстве Х È Y наименьшее отношение эквивалентности, в котором a ~ f(a) для любой точки a Î А . Соответствующее факторпространство обозначается символом X È f Y , и о нём говорят, что оно получено приклеиванием топологического пространства Х к топологическому пространству Y по А посредством непрерывного отображения f . Эта простая и наглядная операция оказывается очень важной, так как позволяет получать из сравнительно простых топологических пространств более сложные. Если Y состоит из одной точки, то пространство Х È f Y обозначается символом Х/А и о нём говорят, что оно получено из Х стягиванием А в точку. Например, если Х – диск, а А – его граничная окружность, то Х/А гомеоморфно сфере.
2. Равномерная топология
Часть Т., изучающая аксиоматическое понятие равномерной непрерывности, называется равномерной Т. Известное из анализа определение равномерной непрерывности числовых функций непосредственно переносится на отображения любых метрических пространств. Поэтому аксиоматику равномерной непрерывности обычно получают, отталкиваясь от метрических пространств. Подробно исследованы два аксиоматических подхода к равномерной непрерывности, основанных соответственно на понятиях близости и окружения диагонали.
Подмножества А и В метрических пространства Х называются близкими (обозначение A dB ), если для любого e > 0 существуют точки a Î А и b Î В, расстояние между которыми < e. Принимая основные свойства этого отношения за аксиомы, приходят к следующему определению: (отделимой) структурой близости на множестве Х называется такое отношение d на множестве всех его подмножеств, что: 1) Æ
X (символом 
обозначается отрицание отношения d; 2) A
{y } Û x ¹ y ; 4) если А
(X U ) для любой точки х Î U . При этом близостно непрерывные отображения окажутся непрерывными отображениями. Класс топологических пространств, получающихся описанным образом из пространств близости, совпадает с классом вполне регулярных топологических пространств. Для любого вполне регулярного пространства Х все структуры близости на X , порождающие его топологическую структуру, находятся во взаимно однозначном соответствии с так называемыми компактификациями (в другой терминологии – би-компактными расширениями) вХ – компактными хаусдорфовыми топологическими пространствами, содержащими Х в качестве всюду плотного пространства. Структура близости d, соответствующая расширению вХ, характеризуется тем, что А dВ тогда и только тогда, когда замыкания множеств А и В пересекаются в bX . В частности, на любом компактном хаусдорфовом топологическом пространстве Х существует единственная структура близости, порождающая его топологическую структуру.
Другой подход основан на том, что равномерную непрерывность в метрическом пространстве Х можно определить в терминах отношения «точки х и у находятся на расстоянии, не большем e». С общей точки зрения, отношение на Х есть не что иное как произвольное подмножество U прямого произведения Х ´ X . Отношение «тождество» является с этой точки зрения диагональю D Ì Х ´ X , то есть множеством точек вида (х, х ), х Î X. Для любого отношения U определено обратное отношение U—1 = {(х, у ); (у, х ) Î U } и для любых двух отношений U и V определена их композиция U × V = {(х, у ); существует z Î Х такое, что (х, z ) Î U , (z, y ) Î V }. Семейство отношений {U } называется (отделимой) равномерной структурой на Х (а отношения U называется окружениями диагонали), если: 1) пересечение любых двух окружений диагонали содержит окружение диагонали; 2) каждое окружение диагонали содержит D, и пересечение всех окружений диагонали совпадает с D; 3) вместе с U окружением диагонали является и U—1 ; 4) для любого окружения диагонали U существует такое окружение диагонали W , что W o W Ì U . Множество, наделённое равномерной структурой, называется равномерным пространством. Отображение f : X ® Y равномерного пространства Х в равномерное пространство Y называется равномерно непрерывным, если прообраз при отображении f ´ f : Х ´ Х ® Y ´ Y любого окружения диагонали V Ì Y ´ Y содержит некоторое окружение диагонали из Х ´ X . Равномерные пространства Х и Y называются равномерно гомеоморфными, если существует взаимно однозначное равномерно непрерывное отображение Х ® Y , обратное к которому также является равномерно непрерывным отображением.
В равномерной Т. такие равномерные пространства считаются одинаковыми. Каждая равномерная структура на Х определяет некоторую структуру близости: А dВ тогда и только тогда, когда (A ´ В ) Ç U ¹ Æ для любого окружения диагонали U Ì X ´ X . При этом равномерно непрерывные отображения оказываются близостно непрерывными.
3. Алгебраическая топология
Пусть каждому топологическому пространству Х (из некоторого класса) поставлен в соответствие некоторый алгебраический объект h(X) (группа, кольцо и т.п.), а каждому непрерывному отображению f : X ® Y — некоторый гомоморфизм h(f) : h(X) ® h(Y) (или h(f) : h(Y) ® h(X), являющийся тождественным гомоморфизмом, когда f представляет собой тождественное отображение. Если h(f1
h(f1 ), то говорят, что h представляет собой функтор (соответственно кофунктор). Большинство задач алгебраической Т. так или иначе связано со следующей задачей распространения: для данного непрерывного отображения f : A ® Y подпространства A Ì Х в некоторое топологическое пространство Y найти непрерывное отображение g : X ® Y , совпадающее на A с f , то есть такое, что f=g×i , где i:А ® Х— отображение вложения (i(a) = а для любой точки а Î A ). Если такое непрерывное отображение g существует, то для любого функтора (кофунктора) h существует такой гомоморфизм (j: h(X) ® h(Y) (гомоморфизм j: h(Y) ® h(X) ), что h(f) = j 
h(i) (соответственно h(f) =h(i)
j); им будет гомоморфизм j = h(g) . Следовательно, несуществование гомоморфизма j (хотя бы для одного функтора h ) влечёт несуществование отображения g . К этому простому принципу могут быть фактически сведены почти все методы алгебраических Т. Например, существует функтор h , значение которого на шаре E n является тривиальной, а на ограничивающей шар сфере S n—1 – нетривиальной группой. Уже отсюда следует отсутствие так называемой ретракции – непрерывного отображения р : E n ® S n—1 , неподвижного на S n—1 , то есть такого, что композиция р×i, где i : S n‑1 ® E n — отображение вложения, представляет собой тождественное отображение (если р существует, то тождественное отображение группы h(S n—1 ) будет композицией отображений h(i) : h(S n—1 ) ® h(E n ) и h(p) : h(E n ) ® h(S n—1 ), что при тривиальной группе h(E n ) невозможно). Однако этот, по существу, элементарно-геометрический и (при n= 2) наглядно очевидный факт (физически означающий возможность натянуть на круглый обруч барабан) до сих пор не удалось доказать без привлечения алгебраико-топологических методов. Его непосредственным следствием является утверждение, что любое непрерывное отображение f : E n ® E n имеет хотя бы одну неподвижную точку, то есть уравнение f(x) = х имеет в E n хотя бы одно решение (если f(x) ¹ x для всех х Î E n , то, приняв за р(х) точку из S n—1 , коллинеарную точкам f(x) и х и такую, что отрезок с концами f(x) и р(х) содержит х , получим ретракцию р : E n ® S n—1 ). Эта теорема о неподвижной точке была одной из первых теорем алгебраической Т., а затем явилась источником целой серии разнообразных теорем существования решений уравнений.
