Текст книги "Большая Советская Энциклопедия (ЛО)"

Логическая семантика

Логи'ческая сема'нтика, раздел логики, посвященный изучению значений и смыслов понятий и суждений и их формальных аналогов – интерпретаций выражений (термов и формул) различных исчислений (формальных систем). Т. о., к задачам Л. с. в первую очередь относится уточнение понятий «значение», «смысл», «интерпретация», а в связи с этим и понятий «истинность», «определимость», «выразимость», «следование», «модель» и др. (вплоть до столь общих и первичных понятий, как «множество», «предмет», «соответствие»). Важные семантические проблемы возникают в связи с различием между содержанием и объёмом понятий, между смыслом и (истинностным) значением суждений. Свойства (например, равносильность, следование), связанные с содержанием понятий и смыслом суждений, называются интенсиональными; свойства, связанные с объёмом понятий и истинностным значением суждений, называются экстенсиональными. Суждения и понятия, интенсионально равносильные, равносильны и экстенсионально; обратное, вообще говоря, неверно (например, высказывания «Волга впадает в Каспийское море» и «2×2 = 4» равносильны экстенсионально, но не интенсионально; любая пара равносильных в обычном понимании суждений иллюстрирует предыдущее утверждение; см. ниже об аналитической и синтетической истинности).

  Основное для Л. с. отношение между выражением и его интерпретацией при более детальном анализе оказывается не двухместным, а трёхместным: понятие интерпретации «расслаивается» на экстенсиональный и интенсиональный уровни. Следуя традиции, идущей от автора первых фундаментальных работ по Л. с. Г. Фреге, австрийского логика Р. Карнапа и современного американского логика А. Чёрча, каждому собственному имени (в широком смысле включающем, например, количественные числительные и любые существительные с определёнными артиклями или указательными местоимениями) сопоставляют, с одной стороны, обозначаемый (называемый) им предмет (иначе, денотат, или номинат), а с другой – выражаемый этим именем смысл (или концепт). Члены этого «семантического треугольника» определяются в первую очередь для естественных языков и только затем уже, с некоторыми ограничениями, переносятся на формализованные языки. Отношения между именем, денотатом и концептом, вообще говоря, не однозначны; так, имена-омонимы имеют несколько различных концептов, а одному и тому же концепту могут соответствовать различные имена-синонимы; неоднозначно и т. н. отношение называния между именем и денотатом (пример, восходящий к Фреге: имена «Утренняя звезда» и «Вечерняя звезда», имеющие общий денотат – планету Венера, но разные концепты). Однако концепт полностью определяет денотат (если, конечно, таковой существует; например, имя «Пегас» имеет смысл, но не имеет денотата). В отличие от естественных языков, формализованные языки строятся, как правило, таким образом, чтобы каждое имя имело в точности один смысл; синонимия же, напротив, сохраняется и в большинстве формализованных языков, причём синонимы, по определению, связываются отношением типа равенства (эквивалентности, тождества); устранение синонимии оказывается в ряде случаев принципиально невозможным ввиду отсутствия алгоритма установления тождества произвольных выражений («слов») в достаточно широком классе формализованных языков.

  Основы систематического построения современной Л. с. заложены в работах А. Тарского, уделявшего главное внимание анализу и возможностям точного определения понятий «истина», «выполнимость», «определимость», «обозначение» и т.п. Оказалось, что все эти понятия определяются для формализованных языков средствами более богатых языков, играющих для первых («объектных», или «предметных», языков) роль метаязыков. (Для определения соответствующих понятий для неформализованных языков их следует прежде всего формализовать, после чего придерживаться той же схемы.) Метаязык может быть, в свою очередь, формализован, и для определения его семантических понятий (истины и др.) приходится подниматься ещё на один метаязыковый уровень и т.д. Смешение же языка и метаязыка (на любом уровне) неминуемо приводит к семантическим парадоксам.

  Вслед за американским логиком У. ван О. Куайном различают свойства языковых выражений, характеризуемые в терминах произвольных интерпретаций (моделей) данного языка и инвариантные относительно перехода от одной интерпретации к другой, и языковые свойства, определяемые в терминах какой-либо одной интерпретации. Первый круг вопросов относят к теории смысла, второй – к теории референции (теории обозначения). Понятия смысла (концепта), синонимии, осмысленности, семантические следования относятся к теории смысла; эта область Л. с. находится по существу в самой начальной стадии развития. Теория референции, оперирующая понятиями истины (истинности), обозначения, именования и т.п., сравнительно богата результатами, из которых следует отметить теорему Тарского о неопределимости предиката истинности любой непротиворечивой языковой системы её собственными средствами. Значение теоремы Тарского, устанавливающей определённую ограниченность выразительных средств формальных языков, во многом аналогично роли знаменитой теоремы К. Гёделя[о принципиальной дедуктивной неполноте (см. Полнота в логике) достаточно богатых логико-математических исчислений] для метаматематики; сами конструкции доказательств обоих замечательных предложений обнаруживают глубокие аналогии, в совокупности же они дают весьма сильное орудие метаматематических доказательств (проблемы непротиворечивости, полноты и неполноты и др.).

  Следуя традиции, идущей ещё от Г. В. Лейбница, предложения какого-либо языка, истинные во всех его моделях («во всех возможных мирах»), принято называть аналитически истинными (соответственно предложения, не истинные ни в одной модели, – аналитически ложными), в отличие от синтетически (или фактически) истинных предложений, истинность которых, так сказать, зависит от свойств «данного мира» (иными словами, это предложения, не являющиеся ни аналитически истинными, ни аналитически ложными: они выполняются в некоторых, но не во всех моделях данного языка). Для полных языков понятие аналитической истинности, носящее семантический характер, удаётся описать в чисто синтаксических терминах – через доказуемость. Для языков же неполных (а именно таковы все языки, представляющие наибольший интерес для науки) подобного сведения Л. с. к синтаксису непосредственно провести не удаётся.

  Идея Лейбница о различении «возможных миров» и «действительного мира» как основы для построения Л. с. развивалась также голландским логиком Э. В. Бетом, английским логиком А. Н. Прайором, финским логиком Я. Хинтиккой и особенно американским логиком С. А. Крипке, который ввёл понятие модельной структуры; модельная структура – это совокупность множества всех моделей классической логики высказываний («все возможные миры»), конкретной модели из этого множества («действительный мир») и рефлексивного бинарного отношения на множестве моделей, связывающего общезначимость (тождественная истинность) произвольного предложения в одной модели с возможностью этого же предложения в другие модели. В зависимости от дополнительных свойств такого отношения (симметричность и транзитивность порознь и вместе) моделью «действительного мира» оказываются различные системы модальной логики. Современные исследования в области Л. с. привлекают также идеи и представления многозначной логики, аксиоматической теории множеств и абстрактной алгебры.

  Идеи, методы и результаты Л. с. находят применение в разнообразных областях прикладной лингвистики и семиотики(автоматическая дешифровка, машинный перевод, автоматическое реферирование), при построении теории семантической информации, в вопросах эвристического программирования (см. Эвристика), в исследовании проблем распознавания образов и др. кибернетических вопросов. См. также Семантика.

  Лит.: Карнап Р., Значение и необходимость, пер. с англ., М., 1959; Чёрч А., Введение в математическую логику, пер. с англ., т. 1, М., 1960, введение; Финн В. К., О некоторых семантических понятиях для простых языков, в сборнике: Логическая структура научного знания, М., 1965, с. 52—74; Frege G., Über Sinn und Bedeutung, «Zeitschrilt für Philosophie und philosophische Kritik», 1892, Bd 100, S. 25—50; Tarsky A., Logic, semantics, metamathematics, Oxf., 1956; Quine W. V. 0., From a logical point of view, Camb. (Mass.), 1953; Kemeny J. G., A new approach to semantics, «Journal of Symbolic Logic», 1956, v. 21, № 1, p. 1—27, № 2, p. 149—61; Martin R. М., Truth and denotation, L., 1958; Rogers R., A survey of formal semantics, «Synthese», 1963, v. 15, № 1.

  Ю. А. Гастев, В. К. Финн.

Логические диаграммы

Логи'ческие диагра'ммы, графический (геометрический, точнее – топологический) аппарат математической логики. Идея Л. д. была известна ещё в средние века, развивалась затем Г. В. Лейбницем, но впервые достаточно подробно и обоснованно была изложена Л. Эйлером в «Письмах... к немецкой принцессе» (1768) – т. н. круги Эйлера. Отношения между классами (объёмами понятий) с тех пор принято изображать с помощью систем взаимно пересекающихся кругов (или любых других односвязных областей); объединению классов соответствует при этом объединение (теоретико-множественное, см. Множеств теория) изображающих их областей, пересечению – пересечение, дополнению (до универсального класса) – дополнение до некоторой «стандартной» объемлющей области (например, прямоугольника). Отношению включения между изображаемыми классами при этом соответствует одноимённое отношение между их изображениями (причём случаи, когда объемлющий класс совпадает с объемлемым и когда он существенно шире последнего, здесь не различаются). В дальнейшем идея Л. д. была развита и усовершенствована; особенно отчётливый вид она приобрела в работах Дж. Венна. (Оригинальный метод построения Л. д. был предложен также английским математиком Ч. Доджсоном, известным как детский писатель под псевдонимом Л. Кэрролл). Аппарат диаграмм Венна основан на центральной для алгебры логикиидее разложения логических функций на «конституэнты»; он позволяет решать единообразным методом ряд задач логики высказываний и логики одноместных предикатов (см. Логика предикатов), обзор следствий из данных посылок, решение логических уравнений (при любом конечном числе переменных) и др., вплоть до простого и изящного решения разрешения проблемы. Аппарат Л. д. распространён и на классическое исчисление многоместных предикатов, а также оказывается весьма удобным средством для решения ряда задач из приложений математической логики к теории автоматов.

  Лит.: Кутюра Л.,: Алгебра логики, пер. с франц., Одесса, 1909; Кузич ев А. С., Диаграммы Венна. История и применения. М., 1968 (см. лит.); Venn J., Symbolic logic, 2 ed., L. – N. Y., 1894.

  Ю. А. Гастев.

Логические операции

Логи'ческие опера'ции, логические связки, логические операторы, функции, преобразующие высказывания или пропозициональные формы (т. е. выражения логики предикатов, содержащие переменные и обращающиеся в высказывания при замене последних какими-либо конкретными их значениями) в высказывания или пропозициональные формы. Л. о. можно разделить на две основные группы: кванторыи пропозициональные (сентенциональные) связки. Кванторы играют для формализованных языков математической логики ту же роль, которую играют для естественного языка т. н. «количественные» («кванторные») слова: «все», «любой», «некоторый», «существует», «единственный», «не более (менее) чем», количественные числительные и т. п. Характерной особенностью кванторов является – в случае нефиктивного их применения – понижение числа свободных переменных в преобразуемом выражении: применение квантора к выражению, содержащему n свободных переменных, приводит, вообще говоря, к выражению, содержащему n – 1 свободную переменную, в частности, пропозициональную форму с одной свободной переменной применение квантора (по этой переменной) преобразует в высказывание.

  Пропозициональные связки (в отличие от кванторов, введение которых знаменует переход к логике предикатов) употребляются уже в самой элементарной части логики – в логике высказываний. В формализованных логических и логико-математических языках они выполняют функции, вполне аналогичные функциям союзов и союзных слов, употребляемых для образования сложных предложений в естественных языках. Так, отрицание ù истолковывается как частица «не», конъюнкция & истолковывается как союз «и», дизъюнкция  – как (неразделительное) «или», импликация É – как оборот «если..., то...», эквиваленция ~ – как оборот «тогда и только тогда, когда» и т. п. При этом, однако, соответствие между Л. о. и средствами естественного языка отнюдь не взаимно однозначно. Во-первых, потому, что высказывания, по определению, могут принимать лишь два «истинностных значения»: «истину» («и») и «ложь» («л»), так что пропозициональные Л. о. можно рассматривать как различные функции, отображающие некоторую область из двух элементов в себя; поэтому число различных n-местных (т. е. от n аргументов) Л. о. определяется из чисто комбинаторных соображений – оно равно 2ⁿ. Во-вторых, в формализованных языках математической логики игнорируются любые смысловые (и тем более стилистические) оттенки значений союзов, кроме тех, что непосредственно определяют истинностное значение получающегося сложного предложения. В свою очередь, в качестве Л. о. рассматриваются подчас и такие связки, содержательные аналоги которых в обычном языке, как правило, не имеют специальных наименований; таков, например, «штрих Шеффера» ½ в нижеследующей таблице, где приведён полный перечень всех  двуместных пропозициональных Л. о. (в первых двух столбцах помещены истинностные значения некоторых «исходных» высказываний р и q, в остальных – значения высказываний, образуемых из них посредством указанных сверху Л. о.).

Тождественная истина

Тождественная ложь

P

Отррицание p

q

Отрицание q

Конъюнкция

Антиконъюнкция (штрих Шеффера)

Дизъюнкция

Антидизъюнкция

Эквиваленция

Антиэквиваленция

Импликация

Антиимпликация

Обратная импликация

Обратная антиимпликация

p

q

и

л

p

ù p

q

ù q

p&q

P÷q

pÚq

pq

p~q

pq

pÉq

pq

pÌq

pËq

и

и

и

л

и

л

и

л

и

л

и

л

и

л

и

л

и

л

и

л

и

л

и

л

л

и

л

и

и

л

л

и

л

и

и

л

л

и

и

л

л

и

и

л

л

и

и

л

л

и

и

л

л

и

л

л

и

л

л

и

л

и

л

и

л

и

и

л

и

л

и

л

  Поскольку в таблице сведены все мыслимые двуместные Л. о., соответствующие всевозможным «четырехбуквенным словам» из «и» и «л», записанным по вертикали в её столбцах, то естественно, что среди этих 17 Л. о. есть и «вырожденные» случаи: первые две «связки» вообще не зависят ни от каких «аргументов» – это константы «и» и «л» (понятно, что таких «нульместных» связок имеется ровно ), далее идут  «одноместных связок» (каждая из которых зависит лишь от одного из аргументов р или q) и только затем уже 16—2—4 = 10 собственно двуместных Л. о. Можно далее рассматривать  трёхместных Л. о. и т. д.; оказывается, однако, что уже небольшой части приведённых Л. о. достаточно для того, чтобы посредством их суперпозиций (т. е. последовательного применения) выразить любые n-местные Л. о. для любого натурального n. Такими функционально полными наборами связок являются, например, ù и &, ù и , ù и É и даже одна-единственная связка ½. Поскольку логика высказываний может быть изоморфно (см. Изоморфизм) интерпретирована в терминах логики классов, для каждой Л. о. имеется аналогичная теоретико-множественная операция; совокупность таких операций над множествами (классами) образует т. н. алгебру множеств. См. Алгебра логики.

  Лит.: Чёрч А., Введение в математическую логику, пер. с англ., т. 1, М., 1960, §§ 05, 06 и 15.

  Ю. А. Гастев.

Назад к карточке книги "Большая Советская Энциклопедия (ЛО)"