Текст книги "Большая Советская Энциклопедия (ЛО)"

Логарифм

Логари'фм числа N по основанию а, показатель степени m, в которую следует возвести число а (основание Л.), чтобы получить N; обозначается log_aN. Итак, m = log_aN, если а^м = N. Например, log₁₀ 100 = 2; log₂¹/₃₂ = – 5; log_a 1 = 0, т. к. 100 = 10², ¹/₃₂ = 2^-5, 1 = a^{. При отрицательных а бесконечно много положительных чисел не имело бы действительных логарифмов, поэтому берётся а > 0 и а ¹ 1. Из свойств логарифмической функции вытекает, что каждому положительному числу соответствует при данном основании единств. действительный Л. (логарифмы отрицательных чисел являются комплексными числами). Основные свойства Л.:}

  log_a(MN) = log_aM + log_aN;

  log_aM/N = log_aM – log_aN;

  log_aN^k = k log_aN;

  log_a

  позволяют сводить умножение и деление чисел к сложению и вычитанию их Л., а возведение в степень и извлечение корня – к умножению и делению Л. на показатель степени или корня, т. е. к более простым действиям.

  Когда основание а фиксировано, говорят об определённой системе Л. В соответствии с десятичным характером нашего счёта наиболее употребительны десятичные Л. (а = 10), обозначаемые lg N. Для рациональных чисел, отличных от 10^k с целым k, десятичные Л. суть трансцендентные числа, которые приближённо выражают в десятичных дробях. Целую часть десятичного Л. наз. характеристикой, дробную – мантиссой. Так как lg(10^kN) = k + lgN, то десятичные Л. чисел, отличающихся множителем 10^k, имеют одинаковые мантиссы и различаются лишь характеристиками. Это свойство лежит в основе построения таблиц Л., которые содержат лишь мантиссы Л. целых чисел (см. Логарифмические таблицы).

  Большое значение имеют также натуральные Л., основанием которых служит трансцендентное число e = 2,71828...; их обозначают lnN. Переход от одного основания Л. к другому совершается по формуле log_bN = log_aN/log_ab, множитель 1/log_ab называется модулем перехода (перевода) от основания а к основанию b. Для перехода от натуральных Л. к десятичным или обратно имеем

  lnN = IgN/lge, lgN = InN/ln10;

  1/lge = 2,30258; 1/ln10 = 0,43429....

  Историческая справка. Открытие Л. было связано в первую очередь с быстрым развитием астрономии в 16 в., уточнением астрономических наблюдений и усложнением астрономических выкладок. Авторы первых таблиц Л. исходили из зависимости между свойствами геометрической прогрессии и составленной из показателей степени её членов арифметической прогрессии. Эти зависимости, частично подмеченные ещё Архимедом (3 в. до н. э.), были хорошо известны Н. Шюке (1484) и немецкому математику М. Штифелю (1544). Первые логарифмические таблицы были составлены одновременно и независимо друг от друга Дж. Непером (1614, 1619) и швейцарским математиком И. Бюрги (1620). Важный шаг в теоретическом изучении Л. сделал бельгийский математик Григорий из Сен-Винцента (1647), обнаруживший связь Л. и площадей, ограниченных дугой гиперболы, осью абсцисс и соответствующими ординатами. Представление Л. бесконечным степенным рядом дано Н. Меркатором (1668), нашедшим, что

  In(1+x) = x

  Вскоре затем Дж. Грегори (1668) открыл разложение

  ln.

  Этот ряд очень быстро сходится, если М = N + 1 и N достаточно велико; поэтому он может быть использован для вычисления Л. В развитии теории Л. большое значение имели работы Л. Эйлера. Им установлено понятие о логарифмировании как действии, обратном возведению в степень.

  Термин «Л.» предложил Дж. Непер; он возник из сочетания греческих слов logos (здесь – отношение) и arithmos (число); в античной математике квадрат, куб и т. д. отношения а/b называются «двойным», «тройным» и т. д. отношением. Т. о., для Непера слова «lógu arithmós» означали «число (кратность) отношения», то есть Л. у Дж. Непера – вспомогательное число для измерения отношения двух чисел. Термин «натуральный логарифм» принадлежит Н. Меркатору, «характеристика» – английскому математику Г. Бригсу, «мантисса» в нашем смысле – Л. Эйлеру, «основание» Л. – ему же, понятие о модуле перехода ввёл Н. Меркатор. Современное определение Л. впервые дано английским математиком В. Гардинером (1742). Знак Л. – результат сокращения слова «Л.» – встречается в различных видах почти одновременно с появлением первых таблиц [напр., Log – у И. Кеплера (1624) и Г. Бригса (1631), log и 1. – Б. Кавальери (1632, 1643)].

  Лит.: Маркушевич А. И., Площади и логарифмы, М. – Л., 1952; История математики, т. 2, М., 1970.

Логарифмика

Логари'фмика, плоская кривая, являющаяся графиком логарифмической функции.

Логарифмирование

Логарифми'рование, действие, заключающееся в нахождении логарифмачислового, алгебраического или иного выражения. Л. – одно из двух действий, обратных возведению в степень: если a^b = с, то a =

 и b = log_ac. В вычислительной практике Л. употребляется для сведения действий умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня к действиям сложения, вычитания, умножения и деления. Например, для приближённого вычисления  пользуются соотношением lg = , а затем логарифмическими таблицами.

Логарифмическая бумага

Логарифми'ческая бума'га, специальным образом разграфленная бумага; обычно изготовляется типографским способом. Она строится следующим образом (рис. 1): на каждой из осей прямоугольной системы координат откладываются десятичные логарифмы чисел u (на оси абсцисс) и v (на оси ординат); затем через найденные точки (u, v) проводятся прямые, параллельные осям. Наряду с Л. б. применяется полулогарифмическая бумага (рис. 2): на одной из осей прямоугольной системы координат откладываются числа u а на другой – десятичные логарифмы чисел v. Л. б. и полулогарифмическая бумага служат для вычерчивания на них графиков функций, которые здесь могут принимать более простую и наглядную форму и в ряде случаев выпрямляются. На Л. б. прямыми линиями изображаются функции, заданные уравнениями вида v = au^b, где а и b – постоянные коэффициенты, т. к. такие уравнения после логарифмирования и перехода к системе координат х= lgu, у = lgv приводятся к виду:

  у = bx + lga.

  Аналогично на полулогарифмической бумаге прямыми линиями изображаются функции, заданные уравнениями вида v = ab^u. Это свойство Л. б. и полулогарифмической бумаги находит применение при отыскании аналитической формы эмпирических зависимостей. Если, например, ряд точек с координатами u_i, v_i, где u_i – значения аргумента и, при которых из опыта получены значения v_i функции v, нанесённых на Л. б., с достаточной точностью располагается на прямой, то прямую принимают за график функции v = f(u), которую, следовательно, можно записать в виде v = au^b. Для случая полулогарифмич. бумаги зависимость будет иметь вид v = ab^u. Коэффициенты а и b находятся по чертежу.

Рис. 2. Полулогарифмическая бумага.

Рис. 1. Логарифмическая бумага.

Назад к карточке книги "Большая Советская Энциклопедия (ЛО)"