Текст книги "Большая Советская Энциклопедия (КВ)"

Автор книги: Большая Советская Энциклопедия

сообщить о нарушении

Текущая страница: 6 (всего у книги 18 страниц)

  Временное уравнение Шрёдингера. До сих пор рассматривались лишь возможные квантовые состояния системы и не рассматривалась эволюция системы во времени (её динамика), определяемая зависимостью волновой функции от времени. Полное решение задач К. м. должно давать волновую функцию y как функцию координат и времени t. Для одномерного движения она определяется уравнением

,     (9)

являющимся уравнением движения в К. м. Это уравнение называется временным уравнением Шрёдингера. Оно справедливо и в том случае, когда потенциальная энергия зависит от времени: V = V (x, t).

  Частными решениями уравнения (9) являются функции

.     (10)

  Здесь E — энергия частицы, а y(х) удовлетворяет стационарному уравнению Шрёдингера (7); для свободного движения y(х) является волной де Бройля e^ikx.

  Волновые функции (10) обладают тем важным свойством, что соответствующие распределения вероятностей не зависят от времени, т.к. |y(x, t)|² = |y(x)|². Поэтому состояния, описываемые такими волновыми функциями, называемые стационарными; они играют особую роль в приложениях К. м.

  Общее решение временного уравнения Шрёдингера представляет собой суперпозицию стационарных состояний. В этом общем (нестационарном) случае, когда вероятности существенно меняются со временем, энергия E не имеет определённого значения. Так, если

,

то E =  с вероятностью ½C₁½² и E =  с вероятностью ½C₂½². Для энергии и времени существует соотношение неопределенностей:

,     (11)

где DE – дисперсия энергии, а Dt – промежуток времени, в течение которого энергия может быть измерена.

  Трехмерное движение. Момент количества движения. До сих пор рассматривалось (ради простоты) одномерное движение. Обобщение на движение частицы в трех измерениях не содержит принципиально новых элементов. В этом случае волновая функция зависит от трех координат х, у, z (и времени): y = y (х, у, z, t), а волна де Бройля имеет вид

,     (12)

где p_x, p_y, p_z,– три проекции импульса на оси координат, а . Соответственно имеются при соотношения неопределенностей:

, , ,     (13)

  Временное уравнение Шредингера имеет вид:

.     (14)

  Это уравнение принято записывать в символической форме

,     (14, a)

  где

– дифференциальный оператор, называемый оператором Гамильтона, или гамильтонианом.

  Стационарным решением уравнения (14) является:

,     (15)

где y _{– решение уравнения Шредингера для стационарных состояний:}

= Ey     ₍₁₆₎

или

.       (16,а)

  При трёхмерном движении спектр энергии также может быть непрерывным и дискретным. Возможен и случай, когда несколько разных состояний имеют одинаковую энергию; такие состояния называются вырожденными. В случае непрерывного спектра частица уходит на бесконечно большое расстояние от центра сил. Но, в отличие от одномерного движения (когда были только две возможности – прохождение или отражение), при трёхмерном движении частица может удалиться от центра под произвольным углом к направлению первоначального движения, т. е. рассеяться. Волновая функция частицы теперь является суперпозицией не двух, а бесконечного числа волн де Бройля, распространяющихся по всевозможным направлениям. Рассеянные частицы удобно описывать в сферических координатах, т. е. определять их положение расстоянием от центра (радиусом) r и двумя углами – широтой q и азимутом j. Соответствующая волновая функция на больших расстояниях r от центра сил имеет вид:

.     (17)

  Первый член (пропорциональный волне де Бройля, распространяющейся вдоль оси z) описывает падающие частицы, а второй (пропорциональный «радиальной волне де Бройля») – рассеянные. Функция f (J, j) называется амплитудой рассеяния; она определяет так называемое дифференциальное сечение рассеяния ds, характеризующее вероятность рассеяния под данными углами:

ds = |f (J, j)|²dW,      (18)

где dW – элемент телесного угла, в который происходит рассеяние.

  Дискретный спектр энергии возникает, как и при одномерном движении, когда частица оказывается внутри потенциальной ямы. Энергетические уровни нумеруют квантовыми числами, причём, в отличие от одномерного движения, не одним, а тремя. Наибольшее значение имеет задача о движении в поле центральных сил притяжения. В этом случае также удобно пользоваться сферическими координатами.

  Момент количества движения. Угловая часть движения (вращение) определяется в К. м., как и в классической механике, заданием момента количества движения, который при движении в поле центральных сил сохраняется. Но, в отличие от классической механики, в К. м. момент имеет дискретный спектр, т. е. может принимать только вполне определённые значения. Это можно показать на примере азимутального движения – вращения вокруг заданной оси (примем её за ось z). Волновая функция в этом случае имеет вид «угловой волны де Бройля» e^imj, где j – азимут, а число m также связано с моментом M_z, как в плоской волне де Бройля волновое число k с импульсом р, т. е. m = M_z/h. Т. к. углы j и j + 2p описывают одно и то же положение, то и волновая функция при изменении j на 2p должна возвращаться к прежнему значению. Отсюда вытекает, что m может принимать только целочисленные значения: m = 0, ± 1, ± 2,..., т. е. момент может быть равен

M_z= mh = 0, ± h, ± 2h,...     (19)

  Вращение вокруг оси z есть только часть углового движения (это проекция движения на плоскость ху), а M_z – не полный момент, а только его проекция на ось z. Чтобы узнать полный момент, надо определить две остальные его проекции. Но в К. м. нельзя одновременно точно задать все три составляющие момента. Действительно, проекция момента содержит произведение проекции импульса на соответствующее плечо (координату, перпендикулярную импульсу), а все проекции импульса и все плечи, согласно соотношениям неопределённостей (13), одновременно не могут иметь точные значения. Оказывается, что, кроме проекции M_z момента количества движения на ось z (задаваемой числом m), можно одновременно точно задать величину момента М, определяемую целым числом l:

M² = h²l (l + 1), l = 0, 1, 2,...     (20)

  Т. о., угловое движение даёт два квантовых числа — l и m. Число l называют орбитальным квантовым числом, от него может зависеть значение энергии частицы (как в классической механике от вытянутости орбиты). Число m называют магнитным квантовым числом и при данном l может принимать значения m = 0, ± 1, ± 2,..., ± l – всего 2l + 1 значений; от m энергия не зависит, т.к. само значение m зависит от выбора оси z, а поле имеет сферическую симметрию. Поэтому уровень с квантовым числом l имеет (2l + 1)-кратное вырождение. Энергия уровня начинает зависеть от m лишь тогда, когда сферическая симметрия нарушается, например при помещении системы в магнитное поле (Зеемана эффект).

  При заданном моменте радиальное движение похоже на одномерное движение с тем отличием, что вращение вызывает центробежные силы. Их учитывают введением (кроме обычного потенциала) центробежного потенциала, который имеет вид М²/2mr², как и в классической механике (здесь m – масса частицы), При этом квадрат момента M² следует заменять на величину h²l (l + 1). Решение уравнения Шрёдингера для радиальной части волновой функции атома определяет его уровни энергии и вводит третье квантовое число – радиальное n_r или главное n, которые связаны соотношением n = n_r + l + 1, n_r = 0, 1, 2,..., n = 1, 2, 3,... В частности, для движения электрона в кулоновском поле ядра с зарядом Ze (водородоподобный атом) уровни энергии определяются формулой

E_n = ,     (21)

т. е. энергия зависит только от главного квантового числа n. Для многоэлектронных атомов в которых каждый электрон движется не только в поле ядра, но и в поле остальных электронов, уровни энергии зависят также и от l.

  На рис. 3 в статье Атом приведены радиальные и угловые распределения электронной плотности (т. е. плотности вероятности или плотности заряда) вокруг ядра. Видно, что задание момента (т. е. чисел l и m) полностью определяет угловое распределение. В частности, при l = 0 (M² = 0) распределение электродной плотности сферически симметрично. Т. о., квантовое движение при малых l, совершенно непохоже на классическое. Так, сферически симметричное состояние со средним значением радиуса r ¹ 0 в некоторой степени, отвечает как бы классическому движению по круговой орбите (или по совокупности круговых орбит, наклоненных под разными углами), т. е. движению с ненулевым моментом (нулевой момент в классической механике соответствует нулевому плечу, а здесь плечо r ¹ 0). Это различие между квантовомеханическим и классическим движением является следствием соотношения неопределённостей и может быть истолковано на его основе. При больших квантовых числах (например, при l >> 1, n_r >> 1) длина волны де Бройля становится значительно меньше расстояний L, характерных для движения данной системы:

     (22)

  В этом случае квантовомеханические законы движения приближённо переходят в классические законы движения по определённым траекториям, подобно тому, как законы волновой оптики в аналогичных условиях переходят в законы геометрической оптики (описывающей распространение света с помощью лучей). Условие малости длины де-бройлевской волны (22) означает, что pL >> h, где pL по порядку величины равно классическому действию для системы. В этих условиях квант действия  можно считать очень малой величиной, т. е. формально переход квантовомеханических законов в классические осуществляется при  ® 0. В этом пределе исчезают все специфические квантовомеханические явления, например обращается в нуль вероятность туннельного эффекта.

  Спин. В К. м. частица (как сложная, например ядро, так и элементарная, например электрон) может иметь собственный момент количества движения, называемый спином частицы. Это означает, что частице можно приписать квантовое число (s), аналогичное орбитальному квантовому числу l. Квадрат собственного момента количества движения имеет величину ²s (s + 1), а проекция момента на определённое направление может принимать 2s + 1 значений от —s до +

s  с интервалом . Т. о., состояние частицы (2s + 1) кратно вырождено. Поэтому волна де Бройля частицы со спином аналогична волне с поляризацией: при данной частоте и длине волны она имеет 2s + 1 поляризаций. Число таких поляризаций может быть произвольным целым числом, т. е. спиновое квантовое число s может быть как целым (0, 1, 2,...), так и полуцелым (¹/₂, ³/₂, ⁵/₂,...) числом. Спин электрона, протона и нейтрона равен ¹/₂ (в единицах ). Спин ядер, состоящих из чётного числа нуклонов (протонов и нейтронов), – целый или нулевой, а из нечётного – полуцелый. Отметим, что для фотона соотношение между числом поляризаций и спином (который равен 1) другое: фотон не имеет массы покоя, а (как показывает релятивистская К. м.) для таких частиц число поляризаций равно двум (а не 2s + 1 = 3).

  Системы многих частиц. Тождественные частицы. Квантовомеханичское уравнение движения для системы N частиц получается соответствующим обобщением уравнения Шредингера для одной частицы. Оно содержит потенциальную энергию, зависящую от координат всех N частиц, и включает как воздействие на них внешнего поля, так и взаимодействие частиц между собой. Волновая функция также является функцией от координат всех частиц. Её можно рассматривать как волну в 3N-мерном пространстве; следовательно, наглядная аналогия с распространением волн в обычном пространстве утрачивается. Но это теперь несущественно, поскольку известен смысл волновой функции как амплитуды вероятности.

  Если квантовомеханические системы состоят из одинаковых частиц, то в них наблюдается специфическое явление, не имеющее аналогии в классической механике. В классической механике случай одинаковых частиц тоже имеет некоторую особенность. Пусть, например, столкнулись две одинаковые классические частицы (первая двигалась слева, а вторая – справа) и после столкновения разлетелись в разные стороны (например, первая – вверх, вторая – вниз). Для результата столкновения не имеет значения, какая из частиц пошла, например, вверх, поскольку частицы одинаковы, – практически надо учесть обе возможности (рис. 7, а и 7, б). Однако в принципе в классической механике можно различить эти два процесса, т.к. можно проследить за траекториями частиц во время столкновения. В К. м. траекторий, в строгом смысле этого слова, нет, и область столкновения обе частицы проходят с некоторой неопределённостью, с «размытыми траекториями» (рис. 7, в).

  В процессе столкновения области размытия перекрываются и невозможно даже в принципе различить эти два случая рассеяния. Следовательно, одинаковые частицы становятся полностью неразличимыми – тождественными. Не имеет смысла говорить о двух разных случаях рассеяния, есть только один случай – одна частица пошла вверх, другая – вниз, индивидуальности у частиц нет.

  Этот квантовомеханический принцип неразличимости одинаковых частиц можно сформулировать математически на языке волновых функций. Обнаружение частицы в данном месте пространства определяется квадратом модуля волновой функции, зависящей от координат обеих частиц, |y(1, 2)|² где 1 и 2 означают совокупность координат (включая и спин) соответственно первой и второй частицы. Тождественность частиц требует, чтобы при перемене местами частиц 1 и 2 вероятности были одинаковыми, т. е.

|y(1, 2)|² = |y(2, 1)|²     (23)

  Отсюда следует, что может быть два случая:

y(1, 2) = y(2, 1)       (24, а)

y(1, 2) = – y(2, 1)     (24, б)

  Если при перемене частиц местами волновая функция не меняет знака, то она называется симметричной [случай (24, а)], а если меняет, – антисимметричной [случай (24, б)]. Т. к. все взаимодействия одинаковых частиц симметричны относительно переменных 1, 2, то свойства симметрии или антисимметрии волновой функции сохраняются во времени.

  В системе из произвольного числа тождественных частиц должна иметь место симметрия или антисимметрия относительно перестановки любой пары частиц. Поэтому свойство симметрии или антисимметрии является характерным признаком данного сорта частиц. Соответственно, все частицы делятся на два класса: частицы с симметричными волновыми функциями называемыми бозонами, с антисимметричными – фермионами. Существует связь между значением спина частиц и симметрией их волновых функций: частицы с целым спином являются бозонами, с полуцелым – фермионами (так называемая связь спина и статистики; см. ниже). Это правило сначала было установлено эмпирически, а затем доказано В. Паули теоретически (оно является одной из основных теорем релятивистской К. м.). В частности, электроны, протоны и нейтроны являются фермионами, а фотоны, пи-мезоны,К-мезоны – бозонами. Сложные частицы, состоящие из фермионов, являются фермионами, если состоят из нечётного числа частиц, и бозонами, если состоят из чётного числа частиц; этими свойствами обладают, например, атомные ядра.

  Свойства симметрии волновой функции существенно определяют статистические свойства системы. Пусть, например, невзаимодействующие тождественные частицы находятся в одинаковых внешних условиях (например, во внешнем поле). Состояние такой системы можно определить, задав числа заполнения — числа частиц, находящихся в каждом данном (индивидуальном) состоянии, т. е. имеющих одинаковые наборы квантовых чисел. Но если тождественные частицы имеют одинаковые квантовые числа, то их волновая функция симметрична относительно перестановки частиц. Отсюда следует, что два одинаковых фермиона, входящих в одну систему, не могут находиться в одинаковых состояниях, т.к. для фермионов волновая функция должна быть антисимметричной. Это свойство называется принципом запрета Паули. Т. о., числа заполнения для фермионов могут принимать лишь значения 0 или 1. Т. к. электроны являются фермионами, то принцип Паули существенно влияет на поведение электронов в атомах, в металлах и т.д. Для бозонов (имеющих симметричную волновую функцию) числа заполнения могут принимать произвольные целые значения. Поэтому с учётом квантовомеханических свойств тождественных частиц существует два типа статистик частиц: Ферми – Дирака статистика для фермионов и Бозе – Эйнштейна статистика для бозонов. Примером системы, состоящей из фермионов (ферми-системы), является электронный газ в металле, примером бозе-системы – газ фотонов (т. е. равновесное электромагнитное излучение), жидкий ⁴Не и др.

  Принцип Паули является определяющим для понимания структуры периодической системы элементов Менделеева. В сложном атоме на каждом уровне энергии может находиться число электронов, равное кратности вырождения этого уровня (числу разных состояний с одинаковой энергией). Кратность вырождения зависит от орбитального квантового числа и от спина электрона; она равна

(2l + 1) (2s + 1) = 2(2l + 1).

  Так возникает представление об электронных оболочках атома, отвечающих периодам в таблице элементов Менделеева (см. Атом).

  Обменное взаимодействие. Молекула. Молекула представляет собой систему ядер и электронов, между которыми действуют электрические (кулоновские) силы (притяжения и отталкивания). Т. к. ядра значительно тяжелее электронов, электроны движутся гораздо быстрее и образуют некоторое распределение отрицательного заряда, в поле которого находятся ядра. В классической механике и электростатике доказывается, что такого типа система не имеет устойчивого равновесия. Поэтому, даже если принять устойчивость атомов (которую, как говорилось выше, нельзя объяснить на основе законов классической физики), невозможно без специфически квантовомеханических закономерностей объяснять устойчивость молекул. Особенно непонятным с точки зрения классических представлений является существование молекул из одинаковых атомов, т. е. с так называемой ковалентной химической связью (например, простейшей молекулы – H₂). Оказалось, что свойство антисимметрии электронной волновой функции так изменяет характер взаимодействия электронов, находящихся у разных ядер, что возникновение такой связи становится возможным.

  Рассмотрим для примера молекулу водорода H₂, состоящую из двух протонов и двух электронов. Волновая функция такой системы представляет собой произведение двух функций, одна из которых зависит только от координат, а другая – только от спиновых переменных обоих электронов. Если суммарный спин двух электронов равен нулю (спины антипараллельны), спиновая функция антисимметрична относительно перестановки спиновых переменных электронов. Следовательно, для того чтобы полная волновая функция в соответствии с принципом Паули была антисимметричной, координатная функция должна быть симметричной относительно перестановки координат обоих электронов. Это означает, что координатная часть волновой функции имеет вид:

,     (25)

где y_a (i), y_b (i) – волновые функции i-го электрона (i = 1, 2) соответственно у ядра а и b.

  Кулоновское взаимодействие пропорционально плотности электрического заряда r = e|y|² = ey*y). При учёте свойств симметрии координатной волновой функции (25), помимо плотности обычного вида

,              ,

соответствующих движению отдельных электронов у разных ядер, появляется плотность вида

,

.

Она называется обменной плотностью, потому что возникает как бы за счёт обмена электронами между двумя атомами. Именно эта обменная плотность, приводящая к увеличению плотности отрицательного заряда между двумя положительно заряженными ядрами, и обеспечивает устойчивость молекулы в случае ковалентной химической связи.

  Очевидно, что при суммарном спине двух электронов, равном 1, координатная часть волновой функции антисимметрична, т. е. в (25) перед вторым слагаемым стоит знак минус, и обменная плотность имеет отрицательный знак; это означает, что обменная плотность будет уменьшать плотность отрицательного электрического заряда между ядрами, т. е. приводить как бы к дополнительному отталкиванию ядер.

  Т. о., симметрия волновой функции приводит к «дополнительному» обменному взаимодействию. Характерна зависимость обменного взаимодействия от спинов электронов. Непосредственно спины не участвуют во взаимодействии – источником взаимодействия являются электрические силы, зависящие только от расстояния между зарядами. Но в зависимости от ориентации спинов волновая функция, антисимметричная относительно полной перестановки двух электронов (вместе с их спинами), может быть симметричной или антисимметричной относительно перестановки только положения электронов (их координат). А от типа симметрии координатной части волновой функции зависит знак обменной плотности и, соответственно, эффективное притяжение или отталкивание частиц в результате обменного взаимодействия. Так, не участвуя непосредственно динамически во взаимодействии, спины электронов благодаря квантовомеханической специфике свойств тождественных частиц фактически определяют химическую связь.

  Обменное взаимодействие играет существенную роль во многих явлениях. Оно объясняет, например, ферромагнетизм: благодаря обменному взаимодействию спиновые, а следовательно, и магнитные моменты атомов ферромагнетика выстраиваются параллельно друг другу. Огромное число явлений в конденсированных телах (жидкости, твёрдом теле) тесно связано со статистикой образующих их частиц и с обменным взаимодействием. Условие антисимметрии волновой функции для фермионов приводит к тому, что фермионы при большой плотности как бы эффективно отталкиваются друг от друга (даже если между ними не действуют никакие силы). В то же время между бозонами, которые описываются симметричными волновыми функциями, возникают как бы силы притяжения: чем больше бозонов находится в каком-либо состоянии, тем больше вероятность перехода др. бозонов системы в это состояние (подобного рода эффекты лежат, например, в основе явлений сверхтекучести и сверхпроводимости, принципа работы квантовых генераторов и квантовых усилителей).

  Математическая схема квантовой механики. Нерелятивистская К. м. может быть построена на основе немногих формальных принципов. Математический аппарат К. м. обладает логической безупречностью и изяществом. Чёткие правила устанавливают соотношение между элементами математической схемы и физическими величинами.

  Первым основным понятием К. м. является квантовое состояние. Выбор математического аппарата К. м. диктуется физическим принципом суперпозиции квантовых состояний, вытекающим из волновых свойств частиц. Согласно этому принципу, суперпозиция любых возможных состояний системы, взятых с произвольными (комплексными) коэффициентами, является также возможным состоянием системы. Объекты, для которых определены понятия сложения и умножения на комплексное число, называется векторами. Т. о., принцип суперпозиции требует, чтобы состояние системы описывалось некоторым вектором – вектором состояния (с которым тесно связано понятие амплитуды вероятности, или волновой функции), являющимся элементом линейного «пространства состояний». Это позволяет использовать математический аппарат, развитый для линейных (векторных) пространств. Вектор состояния обозначается по П. Дираку .

  Кроме сложения и умножения на комплексное число, вектор  может подвергаться ещё двум операциям. Во-первых, его можно проектировать на др. вектор, т. е. составить скалярное произведение  с любым др. вектором состояния ; оно обозначается как  и является комплексным числом, причём

= *.     (26)

Скалярное произведение вектора  с самим собой, , – положительное число; оно определяет длину (норму) вектора. Длину вектора состояния удобно выбрать равной единице; его общий фазовый множитель произволен. Различные состояния отличаются друг от друга направлением вектора состояния в пространстве состояний.

  Во-вторых, можно рассмотреть операцию перехода от вектора  к др. вектору  (или произвести преобразование ). Символически эту операцию можно записать как результат действия на вектор  некоторого линейного оператора

:

     (27)

При этом вектор  может отличаться от  «длиной» и «направлением». Линейные операторы, в силу принципа суперпозиции состояний, имеют в К. м. особое значение; в результате воздействия линейного оператора на суперпозицию произвольных векторов  и  получается суперпозиция преобразованных векторов:

.     (28)

  Важную роль для оператора  играют такие векторы , для которых  совпадает по направлению с , т. е.

     (29)

Векторы  называют собственными векторами оператора , а числа l – его собственными значениями. Собственные векторы  принято обозначать просто , т. е. . Собственные значения l образуют либо дискретный ряд чисел (тогда говорят, что оператор  имеет дискретный спектр), либо непрерывный набор (непрерывный спектр), либо частично дискретный, частично непрерывный.

  Очень важный для К. м. класс операторов составляют линейные эрмитовы операторы. Собственные значения l эрмитового оператора  вещественны. Собственные векторы эрмитового оператора, принадлежащие различным собственным значениям, ортогональны друг к другу, т. е.

 = 0.     (30)

Из них можно построить ортогональный базис («декартовы оси координат») в пространстве состояний. Удобно нормировать эти базисные векторы на 1, =1. Произвольный вектор  можно разложить по этому базису:

;   .     (31)

  При этом:

,     (32)

  что эквивалентно теореме Пифагора; если  нормирован на 1, то

.     (33)

  Принципиальное значение для построения математического аппарата К. м. имеет тот факт, что для каждой физической величины существуют некоторые выделенные состояния системы, в которых эта величина принимает вполне определённое (единственное) значение. По существу это свойство является определением измеримой (физической) величины, а состояния, в которых физическая величина имеет определённое значение, называются собственными состояниями этой величины.

  Согласно принципу суперпозиции, любое состояние системы может быть представлено в виде суперпозиции собственных состояний какой-либо физической величины. Возможность такого представления математически аналогична возможности разложения произвольного вектора по собственным векторам линейного эрмитового оператора. В соответствии с этим в К. м. каждой физической величине, или наблюдаемой, L (координате, импульсу, моменту количества движения, энергии и т.д.) ставится в соответствие линейный эрмитов оператор . Собственное значение l оператора  интерпретируются как возможные значения физической величины L, проявляющиеся при измерениях. Если вектор состояния  – собственный вектор оператора , то физическая величина L имеет определённое значение. В противном случае L принимает различные значения l с вероятностью |c_l|², где c_l – коэффициент разложения  по :

.     (34)

Коэффициент c_l= разложения  в базисе  называется также волновой функцией в l-представлении. В частности, волновая функция y(х) представляет собой коэффициент разложения  по собственным векторам оператора координаты .

  Среднее значение  наблюдаемой L в данном состоянии определяется коэффициентами с_l, согласно общему соотношению между вероятностью и средним значением

.

  Значение  можно найти непосредственно через оператор  и вектор состояния  (без определения коэффициентов с_l) по формуле:

.     (35)

  Вид линейных эрмитовых операторов, соответствующих таким физическим величинам, как импульс, момент количества движения, энергия, постулируется на основе общих принципов определения этих величин и соответствия принципа, требующего, чтобы в пределе 0 рассматриваемые физические величины принимали «классические» значения. Вместе с тем в К. м. вводятся некоторые линейные эрмитовы операторы (например, отвечающие преобразованию векторов состояния при отражении осей координат, перестановке одинаковых частиц и т.д.), которым соответствуют измеримые физические величины, не имеющие классических аналогов (например, чётность).

  С операторами можно производить алгебраические действия сложения и умножения. Но, в отличие от обыкновенных чисел (которые в К. м. называют с-числами), операторы являются такими «числами» (q-числами), для которых операция умножения некоммутативна. Если  и

 — два оператора, то в общем случае их действие на произвольный вектор  в различном порядке даёт разные векторы: , т. е. . Величина  обозначается как  и называется коммутатором. Только если два оператора переставимы (коммутируют), т. е. , у них могут быть общие собственные векторы и, следовательно, наблюдаемые L и М могут одновременно иметь определённые (точные) значения l и m. В остальных случаях эти величины не имеют одновременно определённых значений, и тогда они связаны соотношением неопределённостей. Можно показать, что, если , то DLDM ³ |c|/2, где DL и DМ – среднеквадратичные отклонения от средних для соответствующих величин.

  Возможна такая математическая формулировка, в которой формальный переход от классической механики к К. м. осуществляется заменой с-чисел соответствующими q-числами. Сохраняются и уравнения движения, но теперь это уравнения для операторов. Из этой формальной аналогии между К. м. и классической механикой можно найти основные коммутационные (перестановочные) соотношения. Так, для координаты и импульса . Отсюда следует соотношение неопределённостей Гейзенберга . Из перестановочных соотношений можно получить, в частности, явный вид оператора импульса, в координатном (х–) представлении. Тогда волновая функция есть y(х), а оператор импульса – дифференциальный оператор

, т. е. .

  Можно показать, что спектр его собственных значений непрерывен, а амплитуда вероятности  есть де-бройлевская волна ( – собственный вектор оператора импульса ). Если задана энергия системы как функция координат и импульсов частиц, Н (р, х), то знание коммутатора  достаточно для нахождения , а также уровней энергии как собственных значений оператора полной энергии .

  На основании определения момента количества движения M_z = хр_у – ур_х,... можно получить, что . Эти коммутационные соотношения справедливы и при учёте спинов частиц; их оказывается достаточно для определения собственного значения квадрата полного момента: , где квантовое число j – целое или полуцелое число, и его проекции , m = -j, -j + 1, …, + j.

  Уравнения движения квантовомеханической системы могут быть записаны в двух формах: в виде уравнения для вектора состояния

     (36)

– шрёдингеровская форма уравнения движения, и в виде уравнения для операторов (q-чисел)

     (37)

– гейзенберговская форма уравнений движения, наиболее близкая классической механике. Из гейзенберговской формы уравнений движения, в частности, следует, что средние значения физических величин изменяются по законам классической механики; это положение называется теоремой Эренфеста.