Текст книги "Естествознание. Базовый уровень. 10 класс"

Автор книги: Владислав Сивоглазов

§ 19 Закон всемирного тяготения

 
Когда однажды, в думу погружён,
Увидел Ньютон яблока паденье,
Он вывел притяжения закон
Из этого простого наблюденья.
Впервые от Адамовых времён
О яблоке разумное сужденье
С паденьем и с законом тайных сил
Ум смертного логично согласил.
 

Дж. Байрон. Дон Жуан

Один Ньютон – это сила, с которой одно яблоко падает на одну голову с высоты одного метра.

Студенческий анекдот

Открытие математических законов движения принесло Ньютону неслыханную славу и восхищение, которых при жизни не удостаивался ни один учёный. Особенно велика была его популярность у него на родине, в Англии, где Ньютона провозгласили «новым Моисеем», которому Бог открыл свои сокровенные законы. Его современник, английский поэт А. Поуп, писал:

 
Кромешной тьмой был мир окутан,
И в тайны естества наш взор не проникал,
Но Бог сказал: «Да будет Ньютон!»
И свет над миром воссиял.
 

Самое сильное впечатление на современников произвела третья книга ньютоновских «Начал», где был сформулирован закон всемирного тяготения. Этот закон называли «величайшим обобщением, достигнутым человеческим разумом». По распространённой легенде, идея этого закона пришла к Ньютону в тот момент, когда он увидел падающее с дерева яблоко. Родственники и друзья Ньютона уверяли, что слышали эту историю от него самого.

«Плод яблони со древа упадает: Закон небес постигнул человек», – писал русский поэт Е. А. Баратынский. Но даже если это действительно было так, вряд ли одного яблока было достаточно для открытия великого закона природы. Мысль о существовании тяготения высказывалась ещё в Древней Греции. Её обсуждали в Европе в эпоху Возрождения. Многие считали, что приливы и отливы связаны с притяжением Луны и Солнца, и проводили аналогию с притяжением магнита и электрических зарядов. Особенно окрепло это мнение после открытия Коперника. Однако точную формулировку для описания этого явления удалось найти только Ньютону.

Гравитация

Ньютон исходил из открытых немецким математиком и астрономом Иоганном Кеплером (1571–1630) закономерностей движения планет по орбитам, о которых вы узнаете позже. Перед современниками Ньютона стоял вопрос: что заставляет планеты двигаться вокруг Солнца? Некоторые люди считали, что позади планет стоят ангелы, машут крыльями и толкают их по орбитам. Нобелевский лауреат Р. Фейнман утверждал, что этот ответ не так уж неверен. «С той только разницей, что «ангелы» сидят в другом месте и толкают планету к Солнцу».

Ньютону оставалось объединить результаты, полученные Галилеем и Кеплером. Он рассуждал так: если на тело не действует сила, оно, согласно принципу инерции, должно двигаться по прямой, а поскольку планеты вращаются по замкнутым орбитам, имеющим форму эллипса, т. е. искривляют свою траекторию, то, следовательно, на них действует какая-то сила. И, скорее всего, эта сила исходит от Солнца. Ньютону удалось доказать, что законы Кеплера вытекают из того предположения, что все изменения в скорости объясняются тем, что действующая на планеты сила направлена прямо к Солнцу. Зная, как период обращения разных планет зависит от расстояния до Солнца, можно определить, как эта сила меняется в зависимости от этого расстояния. И Ньютон нашёл, что она обратно пропорциональна квадрату расстояния.

Теперь требовалось придать этим выводам общий характер. Известно, что Луна вращается вокруг Земли приблизительно таким же образом, как и Земля вокруг Солнца. Значит, логично предположить, что Земля притягивает Луну так же, как Солнце притягивает планеты. Известно также, что Земля вообще притягивает все предметы, находящиеся на ней, и Ньютон предположил, что Луну на орбите удерживает та же сила, которая притягивает предметы, например яблоки, к Земле. Это предположение надо было подтвердить точными расчётами, и Ньютон сделал это, сравнив скорость движения Луны по околоземной орбите с ускорением падающих у поверхности Земли предметов, которое было известно ещё Галилею. Оказалось, что сила, с которой Земля притягивает Луну и яблоки, в точности обратно пропорциональна квадрату расстояния от Луны или от яблока до центра Земли. Эта сила называется гравитационной силой.

Гравитационная постоянная.

Ньютон также установил, что сила притяжения зависит от масс взаимодействующих между собой тел, а именно пропорциональна их произведению. Таким образом, сформулированный Ньютоном закон имел такое математическое выражение:

F ~M m / R ²

где M и m – массы взаимодействующих тел, а R – расстояние между ними. Что именно представляет собой эта пропорциональность и каким коэффициентом она выражается, удалось выяснить позже. Найденный коэффициент назвали гравитационной постоянной и обозначили буквой G. Таким образом, современная формула закона всемирного тяготения имеет вид:

F = G • M m / R ²

Установить численное значение гравитационной постоянной удалось благодаря опытам Генри Кавендиша, проведённым в 1798 г. с помощью прибора (рис. 49). Он подвесил на очень тонкой кварцевой нити стержень с двумя шарами, а затем поднёс к ним сбоку два больших свинцовых шара. Притяжение этих шаров чуть-чуть перекрутило нить, и по степени закручивания можно было измерить силу этого притяжения. Затем, зная эту силу, а также массу шаров и расстояние между ними, можно было вычислить гравитационную постоянную, а зная эту величину, можно было вычислить массу Земли. Поэтому Кавендиш назвал свой эксперимент «взвешиванием Земли», хотя, зная значение гравитационной постоянной, можно «взвесить», т. е. определить, также массу Солнца, Луны, планет и всего остального.

Ускорение свободного падения.

А теперь обратим внимание на одно интересное обстоятельство. Определим, с какой силой притягивается к Земле тело, находящееся вблизи её поверхности. Будем считать, что в уравнении закона всемирного тяготения M – масса Земли, m – масса притягиваемого тела, а R – расстояние от этого тела до центра Земли[7]7
  Мы уже знаем, что в физике реальные тела с их размерами заменяются материальными точками, которые «представляют их в физических формулах». В данном случае «представителем земного шара» служит его центр. Правильность расчётов и выводов от этого не меняется.


[Закрыть]. Так как расстояние от центра Земли до её поверхности составляет 6,3 тыс. км, высотой предмета над поверхностью Земли в десятки или сотни метров можно пренебречь. Масса Земли, естественно, для всех предметов одинакова, значит, сила притяжения пропорциональна массе самого тела.

Рис. 49. Крутильные весы Генри Кавендиша

Но одним из главных открытий Галилея считается доказательство того, что ускорение падающих предметов, которое называют ускорением свободного падения, всегда одинаково и не зависит от их массы. Как же это может быть? Вычислим ускорение свободного падения, используя второй закон Ньютона и закон всемирного тяготения. Первый утверждает, что ускорение равно действующей силе, делённой на массу тела, а из последнего следует, что эта сила прямо пропорциональна его массе. Таким образом, масса оказывается и в числителе, и в знаменателе уравнения. Сократив её, мы получаем: a = GM/R ²,т. е. масса предмета в эту формулу уже не входит, а значит, и не влияет на ускорение, которое зависит только от массы Земли и расстояния до её центра. Масса Земли всегда одинакова, а расстояние в разных частях планеты немного различается, так как Земля, как известно, сплющена с полюсов. Поэтому вблизи экватора притяжение Земли, а следовательно, ускорение свободного падения, а вместе с ним и вес тела немного меньше, чем вблизи полюса. Так что, если купить золото, скажем, в Эквадоре, а продать по той же цене в Исландии, то можно немного заработать. В среднем ускорение свободного падения равно приблизительно 9,8 м/с², а для неточных практических расчётов можно принять его за 10 м/с².

Масса: гравитационная и инертная.

Итак, мы сократили массы в уравнении закона тяготения и получили, что ускорение не зависит от массы притягиваемого предмета. Вроде бы всё правильно, но давайте подумаем, что же именно мы сократили. Та масса, которая была в числителе, определяет силу притяжения между телами, она называется гравитационной массой. Та же масса, что была в знаменателе, измеряет сопротивление действующей силе и называется, как нам уже известно, инертной массой. Что между ними общего? Долгое время считали, что единственное, что их объединяет, – это их неизменное совпадение. Одна масса всегда равна другой. Поэтому, говоря о массе, обычно не поясняли, какая именно имеется в виду. Масса всегда оставалась массой. Причину этого странного совпадения объяснил только в прошлом веке Альберт Эйнштейн в своей общей теории относительности.

Сила притяжения между телами, зависящая от их массы, очень слаба по сравнению с другими существующими в природе силами, например с электромагнитными. Однако, она присуща всем без исключения телам и распространяется на бесконечные расстояния (на очень больших расстояниях её значение практически можно считать равным нулю), и её роль во Вселенной весьма велика. Но какова природа гравитации? Откуда она берётся? Ответ на этот вопрос содержится в той же общей теории относительности. А в классической физике просто утверждается, что вокруг любого объекта, обладающего массой, существует поле притяжения, или гравитационное поле, сила которого убывает пропорционально квадрату расстояния. Это поле обладает свойством притягивать другие объекты, имеющие массу. В дальнейшем мы расскажем об этом подробнее.

Проверьте свои знания

1. Как изменяется ускорение свободного падения в зависимости от географической широты?

2. От чего зависит сила гравитационного поля?

3. Как изменится сила гравитационного притяжения, если обе взаимодействующие массы возрастут в три раза?

4. Чем различаются инерционная и гравитационная массы?

Задания

Известно, что приливы и отливы связаны с притяжением воды Луной и Солнцем. Попробуйте на основании возможных взаимных расположений этих светил определить, почему приливы сменяются отливами.

§ 20 Третий закон Ньютона. Импульс и его сохранение

 
[Святогор хочет поднять «суму перемётную», но не может её оторвать от земли].
Он берёт сумочку да одной рукой —
Эта сумочка да не сшевелится,
Как берёт он обема рукам,
Принатужился он силой богатырской,
По колен ушёл да в мать сыру землю…
[Оказывается, в сумочке – «тягость матушки сырой земли». Вот с чем пробовал состязаться богатырь – с земной мощью великой!]
 

Из былины о богатыре Святогоре (рис. 50)

Мы знаем, что основой механики Ньютона является представление о силе. С помощью этой физической величины можно в принципе рассчитывать любые виды движения.

Рис. 50. Святогор – богатырь русского былинного эпоса, великан «выше леса стоячего», которого с трудом носит мать сыра земля. Однажды, чувствуя в себе колоссальные силы, он похвалился, что если б было кольцо в небе, а другое в земле, то он перевернул бы небо и землю

Говоря о силах, Ньютон определил главным образом две вещи. Он сформулировал закон для сил тяготения и нашёл общее свойство всех сил, которое сформулировано в его третьем законе. Этот закон гласит:

«Сила действия равна силе противодействия».

Это значит, что если тело А действует на тело В с какой-либо силой, то и тело В действует на тело А с силой, которая равна ей по модулю, но противоположна по направлению. Если один предмет притягивает или толкает другой с какой-то силой, то второй с такой же силой притягивает или толкает его в обратном направлении. Любой предмет, находящийся на поверхности Земли, давит на неё с той же силой, с какой она давит на него.

Третий закон часто встречает непонимание. Неужели, если я беру в руку лист бумаги и легко его поднимаю, то он действует на меня с такой же силой, с какой я на него? Как может Земля притягивать к себе яблоко с той же силой, с которой яблоко притягивает земной шар? Сила действия и сила противодействия приложены к разным телам, и каждое из них реагирует на эти силы в соответствии со своей массой. Поскольку масса бумажного листа несоизмеримо меньше массы нашего тела, мы практически не получаем при таком контакте ускорения и не замечаем усилия, необходимого для того, чтобы поднять бумагу, так же как «не замечает» его Земля, когда на неё падает яблоко. А для листа бумаги или яблока такая сила весьма существенна, так как в силу своей малой массы они начинают двигаться с большим ускорением.

Импульс

Познакомимся ещё с одной физической величиной, имеющей большое значение для изучения движения. Эта величина называется импульсом и представляет собой произведение массы тела на его скорость. Иначе его называют количеством движения, так как если два предмета движутся с одной и той же скоростью, то движение более тяжёлого представляется более «существенным». Нетрудно догадаться, что изменение импульса за единицу времени будет равно силе, действующей на тело, потому что сила – это произведение массы на ускорение, а ускорение – это изменение скорости за единицу времени. Если обозначить импульс буквой р, его изменение – величиной ∆р, а изменение скорости как ∆υ, то мы получим:

∆р/t = m ∆v/t = ma = F.

Отсюда следует, что изменение импульса можно выразить так же, как произведение силы на время, в течение которого она действует: чем дольше действует сила, тем больше становится скорость, а следовательно, и импульс. Если мы учтём, что масса при этом не меняется, то ∆p = Ft. А это значит, что ∆p/t = F, т. е. изменение импульса тела за единицу времени равно действующей на это тело силе.

Закон сохранения импульса.

Теперь посмотрим, какие выводы можно сделать из третьего закона. Допустим, что у нас взаимодействуют два тела, масса которых может быть различна. Мы знаем, что силы, с которыми они действуют друг на друга, одинаковы по абсолютной величине и противоположны по направлению. Следовательно, изменения их импульсов также будут равны по величине и противоположны по направлению. Но тогда, если мы сложим эти изменения импульсов, взяв их с противоположными знаками, то их сумма будет равна нулю. Значит, если на наши тела не действуют никакие внешние силы, то изменение суммы их импульсов всегда будет равно нулю, т. е. суммарный импульс не будет изменяться. Это важное положение называют законом сохранения импульса.

Если рассмотреть систему, которая состоит не из двух, а из большего числа частиц, то этот закон не потеряет своего значения. Если на систему не действуют внешние силы, то суммарный импульс всех частиц остаётся постоянным, поскольку увеличение импульса одной частицы под воздействием другой частицы в точности компенсируется уменьшением импульса этой второй частицы под воздействием первой. Таким образом, если нет сил, действующих на систему извне (внешних сил), то импульс измениться не может, он всегда остаётся постоянным. Закон сохранения импульса справедлив для всех, даже самых сложных, систем.

Зная закон сохранения импульса, легко рассчитывать последствия всякого рода взаимодействий и столкновений тел. Предположим, навстречу друг другу катятся два шара, один с массой M, а другой – с массой m, причём первая больше второй. Пусть первый имеет скорость v, а второй – скорость v₂. Предположим, что тело с большей массой движется на восток, а тело с меньшей – на запад. Условимся считать, что скорость, направленная на восток, имеет знак «+», а скорость, направленная на запад, – знак «-». Тогда скорость первого тела будет записываться как «+v₁», а скорость второго – как «-v₂». В какой-то момент они столкнулись и слиплись. В результате этого образовалось одно тело с массой M + m. Куда и с какой скоростью оно будет двигаться дальше? Импульс р₁ первого тела равен Mv₁, а импульс р₂ второго равен (-mv₂), а их суммарный импульс:

Mv₁ – mv₂.

Значит, скорость, с которой будет двигаться объединённое тело, будет равна:

Mv₁ – mv₂/ М + m.

Направление этой скорости будет зависеть от того, импульс какого тела был больше до столкновения. Поясним это на таком фантастическом примере.

Идёт война. Одно войско осадило крепость, второе – в ней обороняется. Осаждающие вооружены мобильными пушками с ядрами, имеющими массу 10 кг и вылетающими со скоростью 300 м/с. В крепости установлены более массивные, но менее мощные орудия, выпускающие тяжёлые 15-килограммовые ядра со скоростью всего 100 м/с. И вот два ядра сталкиваются в полёте в тот момент, когда они строго по прямой линии летели навстречу друг другу. Вычислим, что произойдёт после столкновения. Импульс ядра осаждавших составлял 3000 кг м/с, а импульс ядра защитников крепости с учётом того, что его скорость направлена в обратную сторону, – 1500 кг • м/с. Представим чисто гипотетически, что ядра после столкновения по каким-либо причинам слиплись, их общий импульс стал 1500 кг • м/с, а масса – 25 кг. Скорость, с которой после столкновения полетит объединённое ядро, будет равна 1500 кг • м/с / 25 кг, что составляет 60 м/с. Эта скорость имеет знак «+», а это означает, что объединённое ядро будет продолжать лететь в сторону крепости, хотя и с гораздо меньшей скоростью, чем первоначальное ядро осаждавших.

Такое столкновение, при котором происходит слипание взаимодействующих тел, называется неупругим. Часто встречается и упругое столкновение, после которого столкнувшиеся предметы разлетаются в обратных направлениях. Типичным примером упругого столкновения служит поведение биллиардных шаров. При таком столкновении закон сохранения импульса не нарушается, так как изменение импульсов противоположно по знаку и равно по абсолютной величине, а следовательно, суммарное их изменение равно нулю.

Реактивное движение.

Сохранение импульса лежит в основе реактивного движения, примером которого является всё та же стрельба из пушек. Когда ядро весом 10 кг находилось в пушке осаждавших, общий импульс ядра и пушки был равен нулю. Таким же он и остался после выстрела. Но ядро вылетело со скоростью 300 м/с и приобрело импульс, равный, как мы уже знаем, 3000 кг м/с. Для того чтобы суммарный импульс остался равным нулю, пушка должна приобрести точно такой же импульс, только с противоположным знаком.

Рис. 51. Реактивное движение в технике и живой природе

Если масса пушки равна, допустим, 300 кг, она при выстреле откатится назад со скоростью 10 м/с. Это явление по отношению к пушкам называют откатом, а в случае более лёгкого ручного оружия – отдачей.

Реактивное движение в настоящее время используется во множестве технических устройств: от приспособлений для поливки газонов до космических ракет. Мы уже говорили об описанном Героном эолипиле, который вращался под действием реактивной силы пара, вырывающегося из трубок. В 1750 г. венгерский учёный Я. А. Сегнер изобрёл колесо, которое до сих пор так и называется «сегнеровым колесом» (рис. 51). Оно состоит из вертикальной трубы, по которой вода поступает в горизонтальную трубу, концы которой загнуты в разные стороны. Вытекающая из отогнутых трубок вода вызывает реактивное вращение горизонтальной трубы. Несмотря на то, что само по себе это устройство большого практического значения не имеет, оно послужило прообразом для создания гидравлических турбин, которые в настоящее время работают на гидроэлектростанциях.

Хотя реактивное движение известно людям с древности, его широкое практическое применение началось в XX в., когда появились ракеты. Ракета представляет собой сосуд, в задней части которого расположено отверстие, называемое соплом. Внутри ракеты находится топливо – вещество, способное сгорать с выделением большого количества газов. При сгорании газы с большой скоростью вырываются из сопла, а так как общий импульс при этом измениться не может, ракета движется вперёд со скоростью, которую можно рассчитать с помощью закона сохранения импульса.

В начале XX в. русский учёный Константин Эдуардович Циолковский (1875–1935) предложил использовать реактивное движение для полётов в космическом пространстве. Существовавшие в то время летательные аппараты, такие как дирижабли и самолёты, для этой цели не годились, так как их движение основано на давлении воздуха и неосуществимо в безвоздушном пространстве. В дальнейшем идеи Циолковского были использованы для конструирования сначала реактивных самолётов, а затем и ракет, выводящих на орбиту искусственные спутники и космические станции и даже совершающих полёты на Луну и планеты Солнечной системы.

Проверьте свои знания

1. Сформулируйте третий закон Ньютона.

2. Что такое упругое и неупругое столкновения?

3. Как выразить изменение импульса через действующую силу и время её действия?

4. Объясните принцип работы реактивных двигателей. Почему в безвоздушном пространстве нельзя использовать такие летательные аппараты, как самолёты и дирижабли?

5. Где в растительном и животном мире встречается реактивный способ движения?

Задания

1. Прочитайте эпиграф к § 20. Почему Святогор, пытаясь поднять суму, содержащую «тягу земную», увяз по колена в землю?

2. Два вагона движутся навстречу друг другу. Масса одного вагона – 50 т, а его скорость – 40 км/ч. У другого вагона масса – 30 т, а скорость – 80 км/ч. Происходит неупругое столкновение, и вагоны продолжают совместное движение. В каком направлении и с какой скоростью они движутся?