Текст книги "Ньютон"

Автор книги: Владимир Карцев

сообщить о нарушении

Текущая страница: 5 (всего у книги 31 страниц)

«САД» В ЦВЕТУ

Теперь он, освобождённый наконец от томительного ожидания и насильственно навязанных предметов, смог осмотреться и выбрать себе по душе занятия из тех, что рассыпаны были вокруг. И находил для себя всё новые и новые интересы. Сколеры толпой рвались на городскую площадь, где удавливанием казнили разбойника с большой дороги: они жадно ловили предсмертные его хрипы, проклятия и признания в новых и новых ужасных преступлениях; во все глаза смотрели, как вешают женоубийцу; улюлюкали стоящему у позорного столба стряпчему, предавшему интересы клиента, и богохульнику, горланившему нечестивые куплеты на Стурбриджской ярмарке. Сколера Ньютона мы не смогли бы увидеть в этих хохочущих, гогочущих, веселящихся толпах.

Не было его и с иными, чинно сидящими в тиши келий и библиотек и бисерной латынью вышивающими на пергаменте бесконечные узоры учёных слов. В подавляющем большинстве их усердием рождались на свет всё новые и новые богословские или философские трактаты. Старательные искали новый смысл у Аристотеля, честолюбивые комментировали богословов древности, надеясь приобщиться к славе их; самые дерзкие давали новые интерпретации священного писания. Математикой и натуральной философией – сиречь физикой, не интересовалась в Кембридже, казалось, ни одна живая душа. Все учёные силы отданы были изучению классиков – Аристотеля и старых христианских богословов. В Кембридже всерьёз считали, что все сколько-нибудь стоящие идеи высказаны тысячи лет назад. В университете любили повторять высказывание монаха XIII века Бернарда Шартрского, уже тогда утверждавшего, что карлики видят далеко лишь потому, что стоят на плечах гигантов. Под гигантами имелись в виду классики. Авторитет мысли опирался на седую древность.

Были в Кембридже и несколько излюбленных исследовательских сюжетов, увлёкших не одного сколера и заполнивших собой не один громадный том in quarto. Одни пытались доказать, что все языки мира: и греческий, и латинский, и английский, и французский, и испанский, и итальянский, и все без исключения прочие – произошли от праязыка, на котором говорили Адам и Ева, то есть древнееврейского. Проблески случайного сходства между языками народов, живших в самых разных концах света, казались им поистине божественным указанием на глубинные связи, в реальности никогда не существовавшие.

Другие зачитывались трудом Джозефа Мида «Ключ к Апокалипсису», где он, основываясь на туманных намёках, сходстве имён королей, совпадениях в хронологии, пытался выявить в «Откровении Иоанна Богослова» связь исторических и библейских событий. Книга считалась вершиной теологической мысли и недостижимым идеалом подлинной учёности.

Мы говорим: не был Ньютон ни с теми, ни с другими, но это не совсем правда. И даже совсем неправда, ибо последующие многотрудные занятия Ньютона убеждают нас: нельзя было жить в Кембридже и не дышать кембриджским воздухом, не впитывать кембриджских обычаев и нравов, не принимать его научных идеалов.

Но было в Кембридже и иное. Тенденции догматизма противостояли философы-неоплатоники, и первый среди них – Генри Мур, тоже из Линкольншира, уроженец Грэнтэма, учитель доктора Кларка, брата аптекаря Кларка, у которого когда-то жил Ньютон. Мур одно время увлекался картезианством[12]12
  Картезианство – учение Декарта (от латинизированного написания его фамилии – Cartesius).


[Закрыть] и считал Декарта самым трезвым и правдивым философом в христианском мире. В книге «Бессмертие души», вышедшей в сайзерские годы Ньютона, Мур горячо поддерживал это учение. Несомненно, что Ньютон находился под сильным влиянием Мура. В его записную книжку, относящуюся к кембриджским годам, вписано несколько цитат «из книги «Бессмертие души» блестящего доктора Мура». На другой странице, под заголовком «Об атомах», говорится о том, что существование находящихся в движении маленьких неделимых частиц «доказано и вне любых контроверсий».

Через много-много лет Ньютон признался одному из своих друзей, что когда-то был картезианцем. В годы учения Ньютона это было проявлением самобытности и даже мужества. Декарту не было места в Кембридже. Он вызывал подозрения. Он не только не входил в программу, но был прямо запрещён. Считалось, что его религиозные взгляды «оскверняют Евангелие». Лишь фрондирующая часть университетской публики могла позволить себе щеголять знанием Декарта.

…Необычайно интересно листать кембриджский блокнот Ньютона, относящийся к началу 60-х годов. Это единственный источник, раскрывающий сложную внутреннюю жизнь автора, практически не получившую отражения в его письмах и научных трудах. Только здесь, на страницах блокнота, он позволяет себе высказать суждения о природе чувств, мечты, фантазии, памяти, воображения. Его волнует одно – как всё это способствует творчеству? Нет ли у человека чувств, ещё не изученных? И вот мелькнула в блокноте заметка об опытах по телепатии, которые демонстрировал коллегам студент из Оксфорда – его научили этому цыгане. Видимо, Ньютон серьёзно размышлял о телепатии как об одном из способов взаимодействия на расстоянии. Не мог ли бог внушить таким способом свои откровения пророкам? Не являются ли справедливыми сведения об излечении ран на расстоянии посредством прикладывания неких порошков к оружию, нанёсшему рану? Нет ли здесь связи с притяжением пылинок к янтарю и магнита – к железу? Нет ли связи с силой тяжести, приковывающей людей к Земле?

Записи такого рода соседствуют со всё более частыми обращениями к Декарту. То, что Декарта столь настойчиво изгоняли из колледжей, лишь прибавляло Ньютону охоты заняться им. Как только он открыл первую страницу «Начал философии», он понял, что это именно то, что он искал – и не находил – в Кембридже. Он без колебаний принял декартовские идеи. А Пуллейн, тьютор, был доволен, что Исаак Ньютон полностью перестал докучать ему своими бесконечными вопросами.

Механическая философия Декарта рисовала мир находящимся в вечном и непрерывном движении. Вихри материи создавали в пространстве живые и сильные клубящиеся потоки. Тяжесть тел объяснялась истечением маленьких невидимых частиц, ударяющихся во все тела и тянущих их вниз.

Но сразу же скажем, и это видно из примеров: записи Ньютона – это не конспект «Начал философии». Он преломляет идеи Декарта по-своему, пытается развить их и приходит к неосуществимому – вечному двигателю, столь естественному при вечном движении декартовских вихрей.

«Если бы лучи тяготения можно было остановить, отразить или повернуть, тогда можно было бы «одним или двумя способами, изображёнными здесь, создать вечное движение», – записывает в блокноте Ньютон. Такие же вечные двигатели предложены Ньютоном там, где он – по Декарту – размышляет о магнетизме.

В этих заметках – наброски, эскизы будущих теорий, принятие и отвержение Декарта. Он совершенно не удовлетворён декартовским объяснением природы света и сопровождает его описание своими возражениями. К записям о небесных телах и их орбитах он добавляет замечание, сводящееся к тому, что по картезианской теории света затмения Солнца и Луны, а также пасмурная погода должны были бы быть невозможными, ибо и Земля, и Луна, и облака могут передавать давление вихрей.

Вызывает протест Ньютона тезис Декарта о том, что различные цвета суть различные пропорции смешения света и тьмы. Если это так, считает Ньютон, то отпечатанный лист книги, представляющий собой чёрные буквы на белом листе, должен казаться на некотором расстоянии цветным. Не нравится Ньютону и объяснение Декартом морских приливов с помощью лунных вихрей, разгоняющих морскую гладь. Нельзя ли это проверить при помощи специальных приборов? Ньютон приходит к необходимости эксперимента – весьма необычная мысль в Кембридже 1664 года.

Сначала он проводит опыты в своём воображении. И это – не пассивное наблюдение природы. Ей задаются прямые, порой каверзные вопросы. «Да» или «нет»? Природу вопрошают в воображении, и из имеющегося жизненного опыта, опыта прошлого общения с природой, получают ответ.

Множество теорий и гипотез, выдвинутых до Ньютона, дразнят его воображение. Собственно, основных направлений мысли о строении природы и вещества было тогда три – «врождённые свойства» и дальнодействие Аристотеля, атомизм Эпикура и Гассенди и вихри Декарта. На примере страниц кембриджского блокнота, где говорится о движении, можно увидеть, как различные теории воспринимаются Ньютоном. Яростная атака на аристотелевское объяснение стремления тела продолжать движение по прямой линии после того, как причина движения устранена (стрела, выпущенная из лука, камень – из пращи), сменяется твёрдой уверенностью в том, что источник продолжающегося движения – «естественная тяжесть». Здесь явственно ощущается влияние Эпикура и Гассенди, с атомистическими идеями которых Ньютон познакомился из книги последователя Гассенди, члена Королевского общества Уолтера Чарлетона «Физиология». По Гассенди, каждый атом обладает специфическим видом движения – тяжестью. Это – и не средневековый «импетус», и не грядущая ньютоновская инерция. В атомах Гассенди – отрицание первого и предчувствие, ожидание второго.

Многозначительной выглядит в записной книжке Ньютона краткая запись, явно сделанная под влиянием фразы из книги Чарлетона: «В философии не может быть государя, кроме истины… Мы должны поставить памятники из золота Кеплеру, Галилею, Декарту и на каждом написать: «Платон – друг, Аристотель – друг, но главный друг – истина».

Ньютон благодарен Декарту за своё введение во храм механистической философии. Но его смущает непременно вихревое движение декартовских частиц материи, он отделяет частицы от вихрей, оставляя частицы и отрицая вихри, и переходя тем самым к философии Эпикура, следовавшего путём Демокрита. Связь философий Эпикура и Ньютона ещё глубже: не Эпикур ли призывал к уединённой жизни, направленной на отсутствие страданий, здоровье тела, безмятежность духа, преодоление страха перед суевериями и смертью? Не он ли предлагал преодолевать эти страхи познанием природы?

В записных книжках можно найти явные следы знакомства Ньютона с трудами Кеплера, с его «вселенским кубком» и системой мира. Есть замечание о том, что материя, вызывающая падение тел, должна действовать так, как если бы она была сосредоточена не только на поверхности тела, но и в его толще.

Есть следы чтения «Левиафана» атеиста Гоббса, трудов главного естествоиспытателя Англии – Роберта Бойля, «Диалогов» Галилея. А в конце 1664 года в записной книжке появляются первые ньютоновские наблюдения и эксперименты. Они начинаются с описания знаменитой кометы 1664 года.

…Она была неожиданной. Поразительно яркая, она была видна чуть ли не год во всём свете – в Европе, Америке и Азии. Адриен Озу в Париже, Джованни Кассини в Риме, поляк Ян Гевелий приникли к окулярам телескопов: не могут ли орбиты комет быть эллипсом, параболой или гиперболой? Не могут ли они оказаться замкнутыми, а период обращения таким, что комета будет доступной для повторного наблюдения? У Пьера Пти в Париже были основательные подозрения, что он наблюдает ту же комету, которую видели в 1618 году. Теория Коперника, «пифагорейская гипотеза» тем самым распространялась на загадочный мир комет. А у Роберта Гука и Кристофера Рена в Лондоне возникла мысль, что между небесными телами могут существовать силы притяжения, зависящие, возможно, от квадрата расстояния.

В то время Ньютон усердно занимался оптикой, шлифовал стёкла, делал галилеевы телескопы. Он решил наблюдать за кометой, надеясь извлечь из её поведения суждение о правоте или неправоте Декартовой вихревой гипотезы.

Ньютон наблюдал комету больше месяца, ночами, с конца 1664 года. Комета довела его почти до бесчувствия. Бессонница, головные боли, слабость одолевали его, но он каждый раз упрямо распахивал окно, направляя в небо свой самодельный телескоп. Он потерял представление о времени, почти утратил способность заниматься и что-либо воспринимать. Но он смог извлечь пользу даже из этого. Борясь с бессонницей ранним вставанием, он сохранил эту полезную привычку на всю жизнь.

Комета оказалась яростной противницей Декарта. Вместо того, чтобы двигаться в том направлении, куда движутся планеты, куда гонят их декартовские вихри, она упрямо летела назад. Похоже было, что не вихри Декарта управляли её движением, а нечто иное. Какая-то другая сила действовала между телами Солнечной системы. Иные законы управляли движением планет.

Видимо, и истинные законы оптики были отличны от тех, что предлагал Декарт. Оптические эксперименты Ньютона начинаются с исследования им зрения и зрительных ощущений. Иногда он, закрыв веко, сдавливал пальцами своё глазное яблоко, и перед ним возникали странные картины – новые краски, новые цвета, новые формы. Точки, палочки, зигзаги самых различных оттенков проплывали перед глазами. А иногда он закрывал один глаз и смотрел другим на Солнце до тех пор, пока все светлые предметы не оказывались красными, а тёмные – синими, пока ему не казалось, что он ослеп. А после того, как «движение духов» в глазу почти затухало, то есть после того как предметы приобретали свою естественную окраску, он закрывал глаза и вызывал в своём воображении образ Солнца. Когда он снова открывал глаза, светлые предметы вновь казались красными, а тёмные – синими. Из этого Исаак заключил, что воображение способно возбудить в оптическом нерве столь же сильное ощущение, что и само Солнце. Он едва не испортил себе глаза и в конце концов был вынужден запираться на несколько дней в тёмной комнате перед тем, как повторить свои эксперименты по «световым фантазиям». Он надеялся, что темнота даст ему возможность возродить и зафиксировать какие-то новые ощущения, невиданные фигуры, странные образы, проплывающие перед глазами.

Свои вопросы к природе Ньютон суммирует в «Вопроснике» – своеобразной исследовательской программе, выраженной в форме вопросов к природе. Он начал задавать их ещё в 1664 году, ещё до того, как стал охотиться за кометой. «Вопросник» набросан торопливым почерком, совсем непохожим на тот, который был свойствен его «сайзерским» годам. Новая программа исследований захватила его, и он торопливо, увлечённо записывает то, что с ней связано. Ясно видно: записи делались в период подъёма, творческой спешки.

Его вопросы к природе («Questiones quaedam philosophicae») собраны под сорока пятью заголовками… Здесь есть основные проблемы устройства мира, строения материи, определения времени, пространства, движения, различных качеств – таких, например, как текучесть, мягкость; рассуждения о природе света и цветов, зрения, чувств в целом. Есть заметки о склеивании тел, капиллярном действии, поверхностном натяжении. «Вопросник» содержит явные следы влияния Мура. Здесь есть главы «О Боге», «О творении», «О душе», «О сновидениях». Ньютон бесстрашно врывается в самые тёмные углы философии и естествознания. Мир Аристотеля покинут навсегда. Мир Декарта находится под сильнейшим подозрением.

Благодаря записным книжкам, которые Ньютон заполнял в Кембридже своими заметками о прочитанном и продуманном, но в основном – записями о расходах, мы можем получить некоторое представление о подробностях его кембриджской жизни.

Самым большим пожирателем денег Исаака был тьютор Пуллейн, которому Ньютон должен был уплатить пять фунтов за подготовку к званию бакалавра и ещё пять – за подготовку к званию магистра искусств. Раз в квартал он должен был платить также и Агате – горничной. Если он и позволял себе иногда купить немного вишен, мармелада, кекса, шербета, сладкого крема и даже вина, он обязательно заносил подобные расходы в рубрику «пустых трат», а не в рубрику «трат праведных», куда собирались сведения о купленной одежде, книгах и всяких академических расходах. Туда же, впрочем, попало и пиво.

Сначала в его расходных тетрадях безраздельно господствуют мармелад, пирожки и апельсины, но с 1664 года среди расходов мало-помалу начинают значиться инструменты и книги.

(Он стал тратить деньги на книги, хотя книги стоили очень дорого, иной раз фунт и больше. А холщовый кафтан стоил пять шиллингов, пара тёплых чулок – три шиллинга. Три шиллинга шесть пенсов платили за кожаные башмаки.)

Начинает расти его впоследствии столь обширная библиотека. Он купил «Хронику» Кохолла, «Историю английских династий» и «Четыре царства» Слейдена – путаную книгу, в которой в основу понимания истории положена книга пророка Даниила. В идею четырёх царств Ньютон свято верил до конца своей жизни. Она связывала для Ньютона бога и историю. История становилась божественной, а бог – историческим.

Мир Ньютона полон вопросов, полон смысла, полон мыслей, идей и увлечений.

…В его комнате, в его келье стыли на столе овсяная каша-размазня, молоко, варёные яйца. То, что должно было быть горячим обедом, становилось холодным завтраком. Ньютону было не до еды и не до сна. Год 1664-й стал началом научного творчества Ньютона, в этот год впервые зацвёл его «Сад».

ЛЮБОВЬ К МАТЕМАТИКЕ

В марте 1664 года в устоявшейся кембриджской жизни случилось важное, хотя и не привлёкшее особого внимания школяров событие: Исаак Барроу в присутствии университетских старейшин в парадных мантиях прочёл в Тринити-колледже первую лекцию в качестве лукасианского профессора математики. Кафедра была создана всего год назад, и расходы на её содержание, расходы немалые, взял на себя некий Генри Лукас, поставивший одно лишь непременное условие – первая кафедра математики в Кембридже должна называться его именем.

Исаак Ньютон – в числе немногих (очень немногих!) слушателей. Он ловит каждое слово. Ведь лекции Барроу в точности отвечают сегодняшним увлечениям Ньютона, подстёгивают его интерес к математике – к математике как средству постижения природы.

Курс, прочитанный профессором Барроу, был довольно элементарен. Но так или иначе, именно с началом лекций Барроу совпадает – и вряд ли это случайно – возникновение у Ньютона страсти к математике.

…Незадолго до смерти Ньютон, беседуя с английским математиком Абрахамом де Муавром, сказал, что начало его математических увлечений связано с покупкой им на Стурбриджской ярмарке 1663 года книги по индуистской астрологии. Книга была дорога, покупка её была событием. Причина покупки: Ньютон хотел узнать, что произойдёт с ним в будущем, какие события ждут его завтра, какие беды и несчастья подстерегают за углом? Но книга, оказалось, требовала от желающего узнать своё будущее изрядных математических познаний – там нужно было, например, рассчитывать площади и объёмы облаков, что было невозможно без знания элементарной тригонометрии, которую Ньютон не изучал. Пришлось купить книгу и по тригонометрии. Но и она оказалась непонятной! Автор всё время взывал к Евклиду. Ньютону пришлось снова разориться и обратиться к истокам. Тут он обнаружил, что многие теоремы, которые он раньше считал очевидными, даже «пустяковыми», имели глубокий смысл. Он с удовольствием дочитал книгу до конца и стал большим специалистом по евклидовой геометрии, что было особенно приятно Барроу – ведь именно он был издателем трудов Евклида в Кембридже.

Читал Ньютон и «Геометрию» Декарта. В ранних биографиях Ньютона рассказывается о том, как, прочтя две или три страницы, он понял, что это выше его разумения. Начал сначала и продвинулся странички на две дальше. Повторяя приём, он прочёл книгу до конца. Эта история, конечно, поражает воображение, но совсем не соответствует истине, да и реальному ходу научения любого человека – даже Ньютона, который всегда начинал с простого и лишь затем переходил к сложному. Правда, делал он это необычайно быстро, быстрее всех других своих знакомых и незнакомых коллег.

Совсем недавно обнаружили выразительные следы тщательнейшего изучения Евклида молодым Ньютоном. Этот небольшой штрих позволил понять, как пришёл Ньютон и к декартовской геометрии.

Ньютон рассказывал друзьям своей старости:

– Проглядев список своих кембриджских расходов за 1663–1664 годы, я увидел, что в 1664 году, будучи старшим софистером, я приобрёл сборник Схоутена и «Геометрию» Карта – уже зная эту «Геометрию» и «Ключ» Утреда по крайней мере за полгода до этого. Тогда же я взял почитать работы Валлиса. Делая зимой 1664/65 года выписки из Схоутена и Валлиса, я открыл метод бесконечных рядов. А летом 1665 года, будучи вынужден уехать из Кембриджа из-за чумы, я вычислил площадь гиперболы с точностью до пятьдесят второго знака… Это было в Будби, в Линкольншире…

Что же за книги взял себе в математические поводыри Ньютон?

Первая – это учебник Вильяма Утреда. Утред умер всего 3–4 года назад, оставив себе памятником труд по арифметике и правило умножения чисел столбиком. Ван Схоутен был попроще – обычным учителем, перелагавшим на немудрёный школярский язык сложные геометрические эссе Виета и Декарта.

А вот Франсуа Виет был, возможно, первым, кто понял, как алгебра нужна геометрии. Отринув путы общепринятого в те поры словесного объяснения математических операций, он ввёл изящнейшее выражение известных и неизвестных величин посредством букв и использовал специальные обозначения для указания степеней. Создав элементарную алгебру («анализ»), он сам вписал в неё первые главы, дав известную формулу связи между корнями и коэффициентами уравнений. (Франсуа Виет знал и иную, тайную славу: его математический талант помог разгадать сложнейший шифр, которым пользовались для переписки испанский король Филипп II и его наместник в Нидерландах Фарнезе, и тем оказал большую услугу своей стране и её королю – Генриху IV французскому.)

Но именно Декартова геометрия стала для Ньютона главным откровением. В «Аналитической геометрии» алгебра шла рука об руку с геометрией, извлекая из этого альянса неведомые ранее преимущества. Система прямоугольных координат с осями «x» и «y», алгебраическое толкование различных геометрических понятий открывали перед математиками новые горизонты, а может быть, и просто новый мир.

Декарт ввёл в математику существующий до сих пор алгебраический стиль обозначений. Первые буквы алфавита он отдал заданным, известным величинам, а последние – неизвестным. Многие ворчали, не признавая Декартовых новаций. Паскаль смеялся над ними, а Чирнгауз ругательски ругал. Но, заменив цифровые обозначения буквенными, Декарт дал математикам необычайную свободу и лёгкость. Буквы позволяли подмечать то, что раньше тонуло в цифрах, в громоздких арифметических выкладках. В математику вошла диалектика. Рано или поздно должно было появиться дифференциальное и интегральное исчисление.

Это неизбежно должно было случиться и потому, что на математику наступала практика. Морские капитаны, чиновники адмиралтейства, астрономы, оптики, механики, торговцы требовали от математики решения заботящих их задач: найти точные размеры тел сложной формы. Вычислить объём винной бочки! Найти центр тяжести некоторой фигуры! Определить форму орбиты планеты! Определить площадь замысловатого участка земли! Нарисовать точную карту новой территории! И ещё великое множество задач и проблем требовало от математики односложного и прямого ответа.

Многие из этих задач известны с древности, но лишь математики XVII столетия разработали эффективные приёмы, связанные с использованием бесконечно малых величин, завершившиеся величайшим открытием Ньютона – дифференциальным и интегральным исчислением.

Ньютон подошёл к этому своему открытию лишь после того, как уже вдоволь наигрался на декартовой плоскости с кривыми второго порядка, любимыми Пьером Ферма. Здесь был Олимп знаний времени, но Ньютон даже не остановился на нём, без усилия и передышки перейдя к кривым третьего порядка. Он быстро оснастил эти кривые, как Пьер Ферма, осями, вершинами, центрами, диаметрами и асимптотами, произвёл классификацию этих кривых и проработал их теорию.

Невозможно представить себе другой пример столь быстрого расцвета математического гения. За год-два провинциал, неофит, ничем пока себя не проявивший школяр смог не только вписать новые главы в самые сложные страницы анализа, но и превратиться в основоположника современной математики.

На рождество 1664 года, в свой день рождения, Исаак решил сделать самому себе подарок: составить список задач, которые он ещё не решил. Сначала их было двенадцать, затем число их росло, одни заменялись другими (о чём свидетельствуют чернила разной плотности в кембриджском блокноте), пока их не стало двадцать две. Задачи были такого типа: найти оси, диаметры, центры, асимптоты различных кривых, сравнить кривизну их с кривизной круга, найти наибольшую и наименьшую кривизну, построить касательную к кривой…

А уже через несколько дней после рождества он получил подарок и от Кембриджа – его произвели в бакалавры. Без всяких экзаменов, без унизительного стояния на «квадрагезиме» – арене позора. Если бы он не миновал этой неизбежной ступеньки, он должен был бы в конце концов избрать для себя один из двух путей – или вернуться в Вулсторп и стать помимо своей воли полновластным хозяином поместья, или же принять священный сан и получить в лучшем случае – приход Северного Уитэма, приход его отчима – Барнабы Смита, а в худшем – место домашнего священника у какого-нибудь аристократа или разбогатевшего торговца, по существу, место мальчика на побегушках, подходящая партия для горничной, конечно, в том случае, если на неё не польстится дворецкий.

А экзаменов не было потому, что комета 1664 года сказала правду. Пронёсся слух о том, что из Лондона наступает чума. Сколеров подходящего стажа произвели в бакалавры без излишних формальностей.

…А может быть, это было и неплохо – то, что он с опозданием узнал классическую геометрию. Для него уравнения были не просто иллюстрацией геометрических построений, но имели собственный смысл, отражая собой саму Природу…

Внимание его сосредоточивалось не столько на кривых, сколько на уравнениях. Он изучал уравнения, описывающие всевозможные кривые, всячески упрощал их, используя самые неожиданные оси координат. Он свободно обращался с декартовой плоскостью, легко передвигал по ней прямые и кривые, видя за этим изменения соответствующих уравнений и их корней, без устали сталкивал на плоскости различные фигуры, с любопытством наблюдая за их взаимодействием. Уже в мае 1665 года он нашёл теорему, переоткрытую в 1720 году его последователем Колином Маклореном: о числе точек пересечения двух кривых разных порядков.

«А вот теперь, – вспоминал Ньютон, – я расскажу ещё о том, каким образом я впервые получил ряды… В начале моих занятий математикой, когда я натолкнулся на работу знаменитого Валлиса, я рассматривал те ряды, путём интерполяции которых Валлис получал площадь круга и гиперболы…»

Из последней фразы видно, что Ньютон шёл к своему открытию вполне традиционным путём – через квадратуры. Упрощённое вычисление сложных площадей всегда было одной из центральных задач математики. Исстари известны способы точного вычисления площадей квадрата, прямоугольника, треугольника. И всё. Но исстари же известно, что площади, ограниченные кривыми линиями, вычислять чрезвычайно сложно. И даже не из-за бесконечного разнообразия кривых линий. А из-за того, что различные кривые линии трудно наложить одна на другую. Как определить, например, что один эллипс именно вдвое больше по площади, чем другой?

Во времена Ньютона математики делать этого не умели.

Но как мог Архимед делить шар на две части, объёмы которых находились бы в заданном отношении?

– Немыслимо, чтобы Архимед решил эту задачу случайно, – рассказывал на лекциях Барроу, большой знаток древних геометров, – решить её можно только угадыванием, месяцами чёрной и неблагодарной вычислительной работы. Он, несомненно, пользовался каким-то аналитическим методом, который скрывал…

Ньютон пока изучал, как проводится вычисление площади различных фигур. Площадь круга, например, можно очень грубо оценить, вычисляя площадь вписанного в него квадрата. Эта «площадь круга» будет, конечно, меньше площади круга. Зато отпала необходимость вычислять площадь, ограниченную кривой линией. Площадь вписанного восьмиугольника уже ближе к площади круга, вычислить её тоже можно. Площадь 128-угольника практически точно соответствует площади круга. Площадь круга можно вычислить, и вполне точно, если поставить задачу найти предел – площадь вписанного в круг бесконечно-угольника, сторона которого бесконечно мала. Точно так же можно вычислить площадь, ограниченную любой кривой линией, – если заменить её множеством прямоугольников или других легко вычисляемых фигур с бесконечно малой стороной.

Именно этой тропой шёл профессор геометрии Оксфордского университета Джон Валлис, один из основателей Королевского общества, автор книги «Арифметика бесконечного», работ по теории удара, приливов и отливов, звука и тяготения; а кроме того – сотрудник кромвелевской разведки, отгадчик секретных шифров роялистов (нужды практики не оставляли математику в покое).

Валлис шёл от Кавальери – он превращал сложные кривые в ступенчатые пирамиды. Иногда ему удавалось подобрать законы, управляющие высотой ступенек, и выразить их с помощью бесконечных рядов. (Он и не подозревал тогда, что занимается примитивным интегрированием.)

Валлис широко использовал метод интерполяции – поиск неизвестных членов математического ряда, лежащих между известными. Изучая один из валлисовских примеров – частный случай бинома (1–x)², – Ньютон сообразил, что между прямоугольными «ступеньками» можно расположить промежуточные прямоугольники, площади которых образуют с первыми геометрическую прогрессию. Это был, по существу, путь к «биному Ньютона».

Разработка в 1664–1665 годах биномиального разложения для какого угодно целого положительного показателя была крупнейшим научным достижением Ньютона, сравнимым по своему значению с открытием дифференциального и интегрального исчисления. Он сразу же находит для своего открытия выразительные применения. Записывает ряды для выражения сегмента и сектора круга, синуса, арксинуса, логарифмической функции. С помощью рядов Ньютон мог теперь изучать свойства функций, делать приближённые вычисления. В алгебре ряды были не менее важны, чем десятичные дроби в арифметике. Сам Ньютон говорил:

«Как десятичные дроби обладают тем преимуществом, что выраженные в них обыкновенные дроби и корни приобретают в некоторой степени свойства целых чисел, так что с ними можно обращаться как с последними, так и буквенные бесконечные ряды приносят ту пользу, что всякие сложные выражения можно с их помощью привести к бесконечному ряду дробей, при этом с небольшой затратой сил удаётся преодолеть трудности, в другом виде представляющиеся почти непреодолимыми».