Текст книги "Мир по Эйнштейну. От теории относительности до теории струн"

Автор книги: Тибо Дамур

сообщить о нарушении

Текущая страница: 7 (всего у книги 18 страниц) [доступный отрывок для чтения: 7 страниц]

Внезапно знаменитый

Встреча 6 ноября 1919 г. вызвала лавинообразный поток газетных статей по всему миру и неожиданно принесла Эйнштейну высокую популярность в средствах массовой информации, которая будет сопровождать Эйнштейна до конца жизни. На следующий день после совместного заседания Лондонского королевского общества и Королевского астрономического общества лондонская Times напечатала статью под заголовком: «Революция в науке. Новая теория Вселенной. Идеи Ньютона отвергнуты». Два дня спустя New York Times также подвела итог встречи в Лондоне и, немного приукрасив, процитировала заключительные слова сэра Дж. Томсона: «Это одно из наиболее важных – если не самое важное – достижение человеческой мысли». На следующий день опять же New York Times опубликовала серию статей, заголовки которых были выбраны таким образом, чтобы заинтриговать читателя: «Весь свет искажается в небе», «Ученые потрясены результатами наблюдений затмения», «Теория Эйнштейна торжествует» или «Теория, которую могут понять лишь 12 человек во всем мире».

Легенда о том, что лишь немногие люди в мире способны понять теорию Эйнштейна, стала, таким образом, распространяться в средствах массовой информации, как лесной пожар. Воспользуемся этим, чтобы прояснить два обстоятельства. Прежде всего отметим, что сегодня каждый студент технического вуза в конце второго курса способен за несколько часов выучить математический формализм общей теории относительности Эйнштейна. Технически это гораздо менее сложная теория, чем, скажем, квантовая теория поля или теория струн. В то же время она остается сравнительно трудной для понимания на концептуальном уровне. Каждый год появляются научные статьи, авторы которых демонстрируют ошибочное понимание основ теории. Более того, некоторые из самых актуальных вопросов в этой области (например, касающиеся изучения взаимодействия двух черных дыр и их гравитационного излучения) настолько сложны как с физической, так и с математической точки зрения, что во всем мире существует лишь небольшая группа специалистов, способных с ними разобраться. И, наконец, сочетание концептуальной тонкости и хитроумной математической формулировки приводит к тому, что даже сегодня (возможно, особенно сегодня) популяризация этой теории остается весьма непростой задачей, как только возникает желание выйти за рамки обычных упрощенных представлений и определенных приближений, которые между тем выхолащивают суть теории.

Как бы то ни было, уникальное сочетание обстоятельств и фактов, сложившихся вокруг теории Эйнштейна в 1919 г., гарантировало ей и ее автору прочную (и оправданную) международную известность. Напомним некоторые из них: свершившаяся широкомасштабная революция в области фундаментальных понятий реальности (пространства, времени, силы, материи); глубина и новизна теории Эйнштейна, благодаря которым большинство ученых было вынуждено признать неспособность в ней разобраться; яркая внешность и прекрасное чувство юмора автора; впечатляющее подтверждение английскими учеными теории, разработанной в Германии; и, наконец, первая возможность снова поднять голову к звездам после только что закончившейся страшной и кровопролитной войны.

«Самая счастливая мысль моей жизни»

Вернемся же к тому ключевому моменту, когда Эйнштейн осознал необходимость обобщения теории относительности, выдвинутой им в июньской статье 1905 г. (с тех пор называемой «специальной» теорией). Спустя два года после выхода статьи, специальная теория относительности привлекла интерес ряда известных (или ставших таковыми впоследствии) ученых. Выдающийся физик-экспериментатор Йоханнес Штарк предложил Эйнштейну написать обзорную статью с основным упором на идеи этой теории, которая прояснила бы ее основные принципы и следствия, а также выявила ее взаимоотношения с экспериментом. Именно в этой статье Эйнштейн прокомментировал полученные Кауфманом экспериментальные результаты в том духе, как было процитировано ранее. Эйнштейн потратил около двух месяцев на эту обзорную статью. Он по-прежнему зарабатывал на жизнь, выступая в качестве эксперта патентного бюро в Берне, и, таким образом, располагал весьма ограниченным свободным временем, которое мог посвятить этому занятию. Тем не менее он использовал все свободные моменты в течении рабочего дня, чтобы поразмышлять о физике. Именно так, в процессе глубокого размышления о значении принципа относительности, в один прекрасный день, проведенный в патентном бюро, в ноябре 1907 г. возникло то, что он назвал «самой счастливой мыслью своей жизни»:

«Я сидел в кресле в патентном бюро Берна, когда вдруг меня озарила следующая мысль: человек, находящийся в состоянии свободного падения, не может чувствовать своего веса. Я был просто поражен. Эта простая и настолько очевидная мысль произвела на меня огромное впечатление. Именно она привела меня к созданию новой теории гравитации».

Поясним физическую подоплеку этой идеи. Для начала вернемся в 1638 г., когда Галилей написал свой главный научный труд «Беседы и математические доказательства двух новых наук». Посредством удивительного сочетания логических рассуждений, мысленных и реальных экспериментов, проведенных на наклонной плоскости{65}65
  Эксперимент с падающим телом, который якобы был проведен на Пизанской башне, является мифом, хотя и хорошо отражает суть инновации Галилея.


[Закрыть], Галилей смог первым осознать тот принцип, который сегодня известен как свойство «универсальности свободного падения», или «слабый принцип эквивалентности». Приведем вывод, к которому приходит Галилей в результате цепочки рассуждений, [мысленно] меняя соотношение между плотностью рассматриваемых свободно падающих тел и сопротивлением окружающей среды: «Тогда, изучая эти факты, я пришел к выводу, что в среде, полностью лишенной сопротивления, все тела будут падать с одинаковой скоростью»{66}66
  Для русского издания см., например: Галилео Галилей. Диалог о двух главнейших системах мира – птолемеевой и коперниковой. – М.: ГИТТЛ, 1948.


[Закрыть]. Вспомним, что этот факт был непосредственно проверен первыми космонавтами, ступившими на Луну. Используя отсутствие атмосферы (и, следовательно, отсутствие сопротивления, обусловленного наличием среды), они рассмотрели одновременное падение молотка и пера и констатировали, что два объекта падают абсолютно синхронно.

Конечно же, физики не ждали 1969 г., чтобы с большой экспериментальной точностью проверить предположение Галилея о том, что в отсутствии сопротивления среды все тела падают одинаково (т. е. с одинаковым ускорением) во внешнем гравитационном поле. Первые точные экспериментальные подтверждения были получены еще великим Ньютоном, который сравнивал колебания двух маятников одинаковой внешней формы, но разного состава и веса. Ньютон был также первым, кто понял, что это свойство универсальности свободного падения говорит нам нечто важное о природе гравитации. Действительно, фундаментальный закон динамики, предложенный Ньютоном в 1686 г., гласит, что сила F, действующая на тело с массой m и придающая ему ускорение a, определяется простой формулой F = ma. Эта формула говорит нам, что заданная внешняя сила F не будет придавать одинаковое ускорение различным телам. Скажем, если тело A имеет массу в два раза большую, чем тело B, то сила F придаст телу A ускорение в два раза более слабое, нежели телу B. Таким образом, можно сказать, что тело A в два раза более инертно, чем тело B. В итоге фундаментальный закон динамики Ньютона показывает, что масса тела m (мыслимая Ньютоном как количество материи) измеряет инерцию данного тела, т. е. его способность сопротивляться изменению характера движения.

Мы также видим, что любое ускорение, сообщаемое внешним взаимодействием, не обладает свойством универсальности. Например, электрическое поле будет сообщать разные ускорения различным телам. При этом ускорение каждого тела будет зависеть как от величины его массы, так и от величины его электрического заряда. Аналогичным образом ускорение, сообщенное магнитным полем, также не имеет универсальных свойств. С этой точки зрения примечательно, что гравитационное поле, такое как поле земного (или лунного) притяжения, придает одинаковое ускорение всем телам, расположенным в одной и той же точке пространства. В случае гравитационного поля приложенная к телу сила называется его весом. Таким образом, Ньютон понял, что среди всех сил только вес обладает свойством быть в точности пропорциональным массе. Другими словами, гравитационная сила пропорциональна инерции тела, на которое она действует.

Эта глубокая и таинственная связь между тяготением и инерцией была математически включена Ньютоном в его теорию гравитации. По сути, он заявил, что масса играет три разные роли, выступая в качестве меры инерции тела, меры отклика тела на внешнее гравитационное поле и, наконец, в качестве меры самого гравитационного поля, создаваемого телом. За два с лишним века, прошедших со времен работы Ньютона, ученые перестали удивляться тому замечательному факту, что масса имеет заведомо несколько различных значений.

Лифт Эйнштейна

Однако в ноябрьский день 1907 г. Эйнштейн вдруг понял, что связь между инерцией и гравитацией должна обладать важным скрытым значением, которое необходимо прояснить. Таким образом, он начал путь, который продлится восемь лет и на котором ему встретится огромное количество почти непреодолимых препятствий, прежде чем удастся подойти в ноябре 1915 г. к созданию новой теории пространства, времени и гравитации.

Первым этапом этого долгого пути к пониманию был любопытный мысленный эксперимент. Обобщая «подсознательную» интуитивную догадку о том, что человек в свободном падении не чувствует своего веса, Эйнштейн представил, что можно было бы наблюдать в свободно падающем лифте. Из-за универсальности свободного падения любые объекты внутри лифта будут «падать» с одинаковым ускорением во внешнем гравитационном поле. В частности, они будут падать с тем же ускорением, что и сам лифт. Таким образом, по отношению к стенкам лифта все эти объекты будут иметь нулевое относительное ускорение. Другими словами, они должны просто свободно плавать без ускорения, либо всегда оставаясь в покое (если изначально имели нулевую скорость по отношению к стенкам лифта), либо двигаясь прямолинейно с постоянной скоростью (если изначально им сообщалась определенная скорость). Такое поведение знакомо нам из образов, связанных с исследованием космического пространства. Это то, что называют невесомостью, царящей внутри космического корабля при свободном падении в гравитационном поле Земли. Выражаясь физическим языком, можно сказать, что внутренность лифта или космического корабля определяет некоторую систему координат или просто систему. Лифт, таким образом, определяет систему, находящуюся в свободном падении. Тогда можно резюмировать наблюдения, сделанные внутри такой свободно падающей системы, сказав, что внешнее гравитационное поле в ней исчезает.

Эйнштейн рассмотрел также другую ситуацию, когда внешнее гравитационное поле отсутствует. Скажем, вместо того чтобы находится вблизи поверхности Земли (там, где масса Земли создает сильное гравитационное поле), можно находится далеко от каких бы то ни было масс – далеко от Земли, от Солнца, от всей нашей галактики, а также от всех других галактик. [Имеется в виду мысленный эксперимент, в котором можно представить существование такой области.] Давайте снова рассмотрим «лифт», расположенный в области, где нет никакого «реального» гравитационного поля. Затем Эйнштейн представляет, что лифту придают ускорение, вытягивая его с некоторой силой в определенном направлении, которое мы будем называть направлением «вверх». Внутри такого лифта, получающего ускорение «вверх», будет происходить процесс, похожий на тот, что мы часто наблюдаем в различных транспортных средствах: например, в автомобиле, начинающем ускоряться вперед, пассажиров будет прижимать к сидениям, а любые незакрепленные предметы в результате этого ускорения будут перемещаться назад по отношению к корпусу автомобиля. Таким образом, внутри ускоряющегося «вверх» лифта все объекты будут ускоряться «вниз». Это ускорение является универсальным, т. е. одинаковым для всех тел независимо от их массы и состава. Иначе говоря, это ускорение в точности соответствует универсальному ускорению, которое придается лифту «истинным» внешним гравитационным полем. Эйнштейн заключает отсюда, что все происходит так, как если бы ускорение, сообщаемое лифту и воспринимаемое внутри этого лифта, создавалось кажущимся гравитационным полем. Эти мысленные эксперименты указали ему на глубокую связь, которая существует между гравитацией и инерцией: используя различные эффекты ускорения (и тем самым инерционные свойства тел), можно либо избавиться от реального гравитационного поля, либо создать кажущееся гравитационное поле.

В направлении обобщения теории относительности

Почему же Эйнштейн считал существенной эту возможность смены ролей инерции и гравитации в тот момент, когда он писал обзорную статью по специальной теории относительности в 1905 г.? Вспомним главное интуитивное утверждение принципа относительности в том виде, как его сформулировал Галилей: «движение неотличимо от покоя». Однако это утверждение относится только к движению по прямой и c постоянной скоростью. Все знали, что только на корабле, который плавно движется в неизменном направлении, невозможно обнаружить эффект этого движения. Когда корабль резко поворачивает или ускоряется, пассажиры в каюте могут это почувствовать. Таким образом, до Эйнштейна все думали, что принцип относительности применим лишь к прямолинейному и равномерному относительному движению. Между тем Эйнштейн понял, что он может распространить принцип относительности на случай ускоренного движения (как по прямой, так и на криволинейных участках в поворотах). Однако, чтобы разобраться с таким обобщением, необходимо было принять во внимание гравитацию. Он не мог более говорить, что «ускоренное движение неотличимо от покоя», но он мог сказать, что «ускоренное движение неотличимо от гравитационного поля». Другими словами, что существует эквивалентность между ускорением и гравитацией.

Как мы уже говорили, научная методология Эйнштейна состоит, по возможности, в принятии в качестве отправной точки некоторых общих принципов, позволяющих связывать законы физики. Таким образом, в 1907 г. он предложил новый физический принцип: принцип эквивалентности гравитации и ускорения (или гравитации и инерции, поскольку кажущиеся эффекты внешнего ускорения называются «силами инерции»). В руках Эйнштейна этот принцип стал уникальным инструментом для построения в 1907–1915 гг. обобщения теории относительности 1905 г. Эта теория получила название обобщенной теории относительности, или, проще говоря, общей теории относительности.

Теория Эйнштейна одной фразой и одним образом

Общую теорию относительности, или теорию гравитации, Эйнштейна можно резюмировать одной фразой: пространство-время имеет эластичную структуру, которая деформируется из-за присутствия внутри нее массы-энергии.

Мы постараемся помочь читателю понять смысл этой фразы шаг за шагом без использования уравнений или каких-либо математических формул. Возможно, вначале будет полезно предложить определенный образ эластичной структуры, деформированной наличием в ней материи. Этот образ будет, конечно, неполным и в некотором смысле вводящим в заблуждение, но мы постараемся сделать его как можно ближе к тому образу пространства-времени, который создает теория Эйнштейна.

Образ, который мы хотим предложить читателю, – это не упрощенный образ, нередко возникающий в статьях и популярной литературе, где массивный шар помещается на резиновый лист, деформирующийся под его весом. Хотя этот образ действительно содержит аспекты, аналогичные тем, что существуют в теории Эйнштейна, но он создает серьезное неудобство, поскольку содержит некоторые весьма обманчивые черты. Например, он предполагает, что деформация листа может рассматриваться только как искривление во внешнем по отношению к листу пространстве, а также что эта деформация возможна только благодаря внешнему гравитационному полю, действующему на шар. Что действительно отражает суть теории Эйнштейна, так это то, что деформация пространства-времени есть чисто внутреннее свойство, присущее пространству-времени, и нет необходимости в дополнительных измерениях, для того чтобы его представить.

Отметим также, что мы будем стараться, насколько это возможно, избегать использования слова «кривизна» применительно к пространству-времени или выражения «искривленное пространство-время». В самом деле, для большинства людей слово «искривленный» сразу вызывает образ линии или поверхности, которые имеют кривую форму в некотором большем внешнем пространстве, как, например, поверхность сферы в обычном (трехмерном) евклидовом пространстве. Кривизна, о которой говорится в теории Эйнштейна, не есть кривизна такого типа (даже если сфера действительно искривлена в том смысле, который использует Эйнштейн), а представляет собой внутреннюю деформацию, не нуждающуюся в дополнительных измерениях, чтобы существовать. Вот почему мы должны везде заменить слово «кривизна» на слово «деформация», а прилагательное «искривленный» – на «деформированный». Мы надеемся таким образом избежать сковывания воображения читателя вводящими в заблуждение ассоциациями.

Образ, который мы предлагаем в качестве аналога пространственно-временной структуры общей теории относительности Эйнштейна, является кулинарным – блюдо под названием телятина заливная! Более конкретно: представим желе, содержащее длинные волокнистые куски телятины и другие ингредиенты (например, кусочки овощей). Желе символизирует здесь пространственно-временную структуру. Читатель может представить, что если это желе не содержит ни мяса, ни овощей, то оно будет иметь однородную и изотропную структуру, т. е. будет иметь одни и те же свойства повсюду и в любом направлении. Это единообразное состояние желе является аналогом хроногеометрической структуры пространства-времени Минковского в том виде, как она была представлена на рис. 3, т. е. в виде регулярной и единообразной сетки пространственно-временных «песочных» часов. Мы будем называть это состояние «недеформированным» состоянием желе (или пространства-времени).

Затем мы можем рассмотреть несколько различных способов деформации этого единообразного состояния. Если периодично трясти один из краев желе, оно начнет колебаться, или, другими словами, в нем будут распространяться колебательные волны. Эти упругие колебания в желе имеют непосредственный аналог в пространстве-времени, которое также допускает возможность распространения деформационных волн своей структуры, имеющих название «гравитационные волны». Можно также ограничиться статическим сжатием желе, надавливая в противоположных направлениях с двух сторон. Это действие, конечно, деформирует внутреннюю часть желе и притом анизотропным образом: одни направления будут сжиматься, а другие – растягиваться. Наконец, длинные волокна мяса внутри желе являются аналогами мировых линий материальных частиц в пространстве-времени (см. рис. 3). Можно представить, что желе в непосредственной близости от волокон мяса более насыщенное или, проще говоря, содержит большее количество питательных веществ, нежели обычное желе. Это аналогично тому, что пространство-время становится тем больше деформированным, чем ближе оно находится к распределенной массе-энергии.

Деформированное пространство-время

Вернемся к общей теории относительности и определим понятие «деформированного» пространства-времени. Напомним сначала хроногеометрическую структуру «недеформированного» пространства-времени: ту, что имеет место в специальной теории относительности, в том виде, как она определена Пуанкаре и Минковским. Эта структура задается с помощью квадрата интервала между двумя точками пространства-времени, т. е. между двумя событиями. Квадрат интервала между любыми двумя точками получается как алгебраическая сумма четырех квадратов путем обобщения теоремы Пифагора: три из этих квадратов (разностей по длине, ширине и высоте между двумя событиями) входят в сумму со знаком плюс, а четвертый квадрат (разности временных показаний, умноженной на скорость света) – со знаком минус. Исходя из этого геометрическое место точек, удаленных от заданной точки на квадрат интервала, равный +1, формирует в пространстве-времени не (гипер)сферу, а (гипер)поверхность, которая напоминает песочные часы, т. е. два конуса, соединенных узкой горловиной{67}67
  Приставка «гипер» добавляется к слову поверхность для подчеркивания, что соответствующая совокупность точек обладает размерностью, меньшей на одно измерение, чем «окружающее пространство», в которое она вложена. Так как данная поверхность вложена в четырехмерное пространство-время, это означает, что она имеет три внутренних измерения (в то время как в обычном трехмерном пространстве поверхность имеет только два измерения). Для обозначения того, что мы называем здесь песочными часами, в математике используется термин «гиперболоид».


[Закрыть]. Структура такого «недеформированного» пространства-времени является однородной, т. е. одной и той же повсюду в пространстве-времени. Какое бы событие мы ни выбрали для локального изучения пространства-времени, вокруг него мы увидим одинаковую структуру. Кроме того, эта структура является изотропной в том смысле, что в пространстве-времени не существует направления, которое играло бы выделенную роль. Здесь читатель, который смотрит на образ шахматной доски с набором песочных часов, представляющим эту структуру (см. рис. 3), возможно, подумает, что она имеет привилегированное направление в каждой точке пространства-времени. Действительно, каждые песочные часы, казалось бы, обладают осью симметрии: вертикальной осью, проходящей через центр песочных часов, вокруг которой можно вращать данные песочные часы, визуально не меняя их положения. Однако в действительности это кажущееся существование привилегированного направления является артефактом визуализации пространства-времени в трехмерном пространстве, которое зрительное восприятие человека интуитивно интерпретирует как евклидово пространство. В самом деле, вертикальная ось в этой визуализации представляет собой мировую линию наблюдателя, который находится «в состоянии покоя» в пространстве, но имеет непрерывное существование во времени. С другой стороны, принцип относительности говорит нам, что такой наблюдатель не определяет привилегированную систему отсчета. Любые другие наблюдатели, движущиеся с постоянной скоростью по отношению к данному, будут видеть идентичную структуру пространства-времени. Мировые линии этих наблюдателей «в движении» (но движущихся медленнее, чем свет) будут прямыми, наклоненными под углом менее 45° по отношению к «вертикали». Как следствие, если рассматривать конкретные песочные часы, все прямые, проходящие через их центр и остающиеся «внутри» этих песочных часов (т. е. не пересекающие их поверхность), будут осями симметрии для них, и, таким образом, ни одна из них не будет играть выделенную роль. Такова однородная и изотропная структура недеформированного «желе» пространства-времени.

Что же такое хроногеометрическая структура «деформированного» пространства-времени (которое обычно называют «искривленным»)? Это структура, в которой «расстояние-время» между двумя событиями по-прежнему дается определенным «квадратом интервала», но в которой, в отличие от случая пространства-времени Минковского, этот квадрат интервала имеет очень сложное математическое выражение для двух далеких событий. Зато, если рассмотреть очень близкие друг к другу события (как в пространстве, так и во времени), квадрат интервала будет определяться достаточно простой математической формулой, хотя и более сложной по сравнению с соответствующей формулой для пространства-времени Минковского. Как понял Эйнштейн в 1912 г., квадрат интервала между двумя событиями в деформированном пространстве-времени весьма напоминает квадрат расстояния между двумя точками искривленной поверхности, вложенной в обычное евклидово пространство.

В качестве примера искривленной поверхности возьмем поверхность Земли. Если рассмотреть небольшой участок земной поверхности, например участок в один квадратный метр, то, в принципе, его можно отождествить с небольшой частью плоскости (достаточно рассмотреть касательную плоскость к точке, расположенной недалеко от центра рассматриваемого участка). Таким образом, квадрат расстояния (т. е. расстояние, возведенное в квадрат) между двумя точками на этой небольшой поверхности будет в очень хорошем приближении равен квадрату расстояния между двумя точками на плоскости, который в свою очередь может быть получен с помощью теоремы Пифагора. Единственная сложность заключается в невозможности покрыть всю поверхность Земли с ее горами и долинами абсолютно регулярной сеткой координат (таких как длина и ширина).

На плоской поверхности, например на лежащем на столе листе бумаги, можно легко определить местоположение точки с помощью обычной прямоугольной сетки, какая используется в школьных тетрадках или на миллиметровой бумаге. Такую регулярную сетку уже невозможно реализовать на поверхности, имеющей всевозможные выпуклости и впадины. Чтобы зафиксировать любую точку на искривленной поверхности, мы, таким образом, используем два параметра, скажем x и y, которые больше не имеют простого смысла длины и ширины. Например, на поверхности Земли в качестве «первой координаты» x можно использовать долготу, а в качестве «второй координаты» y – широту. Следует отметить, что такие координаты можно использовать, даже когда земную поверхность невозможно аппроксимировать сферой: например, на возвышенности или в низине. При этом нет необходимости вводить третью координату (скажем, высоту над уровнем моря), поскольку двух первых координат (долготы и широты) будет достаточно, чтобы определить положение на Земле, а высота будет определяться некоторой функцией долготы и широты. Отсюда легко видеть, что если использовать сетку, определяемую долготой и широтой, на небольшой части поверхности Земли на склоне горы или ущелья, то эта сетка будет представлять собой деформацию привычной сетки из школьной тетрадки в клетку: поверхность по-прежнему будет разбиваться на ячейки двумя семействами линий, но каждая ячейка будет не квадратом, а чем-то вроде параллелограмма, точнее, ее стороны просто не будут равны друг другу и перестанут пересекаться под прямым углом.

Итак, локально можно сопоставить каждый небольшой фрагмент получившегося разбиения на ячейки с обычным разбиением на параллелограммы, сделанном на касательной плоскости. Обобщение теоремы Пифагора применительно к непрямоугольным треугольникам говорит нам, что квадрат расстояния между двумя узлами такой (плоской) сетки дается суммой квадратов разностей координат между двумя узлами и их удвоенным произведением. Чтобы определить квадрат расстояния между близкими точками вообще любой искривленной поверхности, точки которой фиксируются двумя координатами x и y, необходимо, таким образом, задать в каждой точке три величины: коэффициент перед квадратом dx² разности dx между первыми координатами двух точек, коэффициент перед квадратом dy² разности dy между вторыми координатами и коэффициент перед удвоенным произведением 2dxdy. [Мы рассматриваем математический предел, в котором точки бесконечно близки, отсюда символ d, обозначающий бесконечно малую разность.] Эти три коэффициента определяют геометрию (geometry) рассматриваемой поверхности и по этой причине обозначаются соответственно как g_xx, g_yy и g_xy, где буква g напоминает нам, что речь идет о геометрии.

Во времена обучения в Цюрихском политехническом Эйнштейн высоко ценил курс Карла Фридриха Гёйзера, посвященный «инфинитезимальной геометрии» поверхностей. Гёйзер читал лекции по теории, разработанной знаменитым математиком Карлом Фридрихом Гауссом и фактически изучающей тот самый квадрат расстояния между бесконечно близкими точками, про который мы только что говорили. В связи с этим в 1912 г. Эйнштейн вспомнил, что геометрия «деформированной» (или неплоской) поверхности определяется с помощью трех величин g_xx, g_yy, g_xy, заданных в каждой точке поверхности. Этот набор данных, определяющий для каждой точки поверхности значения трех величин g_xx, g_yy, g_xy, называется «геометрическим тензором», а точнее, «метрическим тензором» g. Эйнштейн понял, что ему требуется обобщение этого понятия на случай, когда (двумерная) поверхность заменяется на (четырехмерное) пространство-время. Математик Бернхард Риман, студент Гаусса, уже обобщил теорию Гаусса для деформированных пространств произвольных размерностей. Однако Риман рассматривал исключительно случай пространств, которые локально, т. е. в окрестности каждой точки, напоминают обычное евклидово пространство. Другими словами, он изучал пространства, в которых геометрическое место точек, разделенных с данной центральной точкой малым значением квадрата расстояния ε², имеет форму деформированной (гипер)сферы, т. е. представляет своего рода «мяч для регби»{68}68
  Здесь подразумевается то, что в математике называется обобщенным «эллипсоидом».


[Закрыть]. Эйнштейн понял, что ему требуется обобщить теорию Римана на случай, когда геометрическое место точек, разделенных с данной центральной точкой малым (положительным) значением квадрата интервала ε², имеет форму деформированных песочных часов{69}69
  Используя точный математический термин, речь идет об обобщенном «гиперболоиде».


[Закрыть].

Деформированное пространство-время, таким образом, определяется заданием для каждой точки такого рода деформированных песочных часов. На рис. 8 можно увидеть графическое представление этой идеи, а также сравнить ее с недеформированным случаем пространства-времени специальной теории относительности (см. рис. 3). Затем Эйнштейн понял, что такое деформированное пространство не может быть покрыто обычной квадратной сеткой, подобной той, что мы видим в школьных тетрадях, т. е. с помощью четырех обычных координат (длины, ширины, высоты и времени), использованных им в специальной теории относительности. Как и в случае поверхности Земли, нужно было использовать более общие координаты (аналогичные долготе и широте для деформированной сферы, см. рис. 7). Поскольку пространство-время является четырехмерным, необходимо иметь четыре координаты, чтобы точно определить какое-либо событие. Можно обозначить эти координаты различными способами, из которых наиболее распространенные: (x, y, z, t), (x₁, x₂, x₃, x₄) или (x₀, x₁, x₂, x₃).

Эйнштейн обнаружил (хотя и после долгих лет блужданий, колебаний и сомнений), что в выборе этих четырех координат имеется полная математическая свобода или, другими словами, что никакой конкретный способ фиксации точек пространства-времени не является заведомо предпочтительным. Исходя из этого он пришел к следующему выводу: законы физики должны иметь одинаковый вид в любой системе координат. Эйнштейн назвал этот постулат принципом общей относительности, так как изначально думал, что он является обобщением принципа относительности 1905 г., который ограничивался рассмотрением систем координат, используемых наблюдателями при равномерном относительном движении{70}70
  На самом деле, впоследствии было выяснено, что «принцип общей теории относительности» не имеет физического смысла обобщения «принципа специальной теории относительности». Принцип специальной теории относительности – это принцип симметрии структуры пространства-времени, который гласит, что физика для определенного класса систем отсчета одна и та же, и, таким образом, определенные «соответствующие» явления происходят одинаковым образом в разных системах отсчета (связанных «активными» преобразованиями). В то же время принцип общей теории относительности является принципом безразличия: явления не разворачиваются (в общем случае) одинаковым образом в различных системах координат, но ни одна из (глобальных) систем координат не имеет привилегированного статуса по отношению к другим.


[Закрыть]. Введение этого постулата позволило очень сильно ограничить допустимую форму законов «релятивистской гравитации» и, таким образом, приблизило Эйнштейна к его самому замечательному открытию, которое Дж. Томсон, Дирак и многие другие физики считали «величайшим достижением в истории человеческой мысли», а именно к созданию общей теории относительности или теории гравитации Эйнштейна.