Текст книги "Большое, малое и человеческий разум"

Автор книги: Стивен Уильям Хокинг

Соавторы: Роджер Пенроуз,Нэнси Картрайт,Абнер Шимони
сообщить о нарушении

Текущая страница: 7 (всего у книги 12 страниц)

т.е. 0 действительно можно представить в виде суммы трех квадратов. Перейдем затем к единице и выпишем все возможные комбинации чисел, равных или меньше 1, в результате чего получим

1 = 0² + 0² + 1².

В табл. 3.2 я выписал результаты всех этих скучных и утомительных операций до числа 7, которое (как легко видеть из таблицы, где просто перечислены все комбинации) нельзя записать в виде суммы трех квадратов. Таким образом, число 7 является ответом для нашей задачи – оно представляет собой наименьшее число, которое нельзя представить в виде суммы трех квадратов. Этот пример довольно типичен для вычислительного метода решения простой по формулировке задачи.

Таблица 3.2

Мы можем считать, что нам несколько повезло с задачей, поскольку вычисления привели к ответу довольно быстро, однако ясно, что в других задачах расчет может занимать очень много времени или даже продолжаться до бесконечности. Например, предположим, что я несколько изменил условия и нам необходимо:

• Найти число, не являющееся суммой четырех квадратных чисел.

Еще в XVIII веке знаменитый математик Лагранж доказал теорему о том, что каждое число может быть записано в виде суммы квадратов четырех чисел. Поэтому если вы начнете поиск нужного числа по предложенному выше методу, то ваш компьютер будет бестолково «тарахтеть» целую вечность, но так и не найдет ответа. Это пример задачи, решение которой простым вычислением может продолжаться бесконечно.

Доказательство теоремы Лагранжа довольно сложно, поэтому я приведу гораздо более доступный и легкий пример. Предположим, что мы хотим:

• Найти нечетное число, представимое в виде суммы двух четных чисел.

Компьютер может искать такое число вечность, хотя мы с вами прекрасно знаем, что сумма двух четных чисел всегда дает четное число. Но вот вам пример гораздо более сложной задачи:

• Найти четное число больше 2, не являющееся суммой двух простых чисел.

Как вы считаете, справится ли когда-нибудь компьютер с этим расчетом? Вообще-то считается, что эта задача (называемая проблемой Гольдбаха) не имеет решения, но она столь сложна, что у математиков нет единого мнения об ее истинности. Я нарочно подобрал три задачи разной степени сложности (очень простую, достаточно сложную и настолько сложную, что никто не знает ее ответа), чтобы сформулировать следующий вопрос:

• Пользуются ли математики некоторым алгоритмом вычислений (давайте обозначим его через А), который позволяет им убедиться, что некий вариант вычислений будет продолжаться бесконечно долго?

Например, подумайте, сработало ли в мозгу Лагранжа нечто похожее на компьютерную программу, прежде чем он пришел в конечном счете к заключению о возможности представления каждого числа суммой квадратов четырех чисел? Для ответа на этот вопрос вовсе не надо представлять себя Лагранжем, достаточно просто проследить за ходом его рассуждений. Заметьте, что меня совершенно не интересует проблема оригинальности мысли, я хочу лишь рассмотреть проблему самого процесса познания, вследствие чего и использовал в формулировке вопроса слово «убедиться» (подразумевая возникновение или создание какого-то понимания).

В науке вообще (а в логике, в частности) утверждения о том, что некоторые вычисления являются бесконечными, носят название П1-высказываний. Давайте рассмотрим такие высказывания несколько подробнее, так как я собираюсь доказать, что указанного выше алгоритма А не существует.

Я начну доказательство с некоторого обобщения рассмотренных выше задач, а именно попытаюсь выявить зависимость связанных с их решением вычислений от чисел п натурального ряда. Пусть, например, нам необходимо:

• Найти натуральное число, не являющееся суммой п квадратных чисел.

Нам уже известно, что для п = 3 ответ может быть получен очень быстро, а для чисел п > 4 вычислительные операции никогда не закончатся (в соответствии с теоремой Лагранжа). Попробуем далее решить следующую задачу:

• Найти нечетное число, являющееся суммой п четных чисел.

В этом случае нам нет даже необходимости говорить о зависимости от п, поскольку для любых п вычисления никогда не закончатся. Наконец, в качестве обобщения проблемы Гольдбаха я предлагаю задачу следующего вида:

• Найти четное число больше 2, не являющееся суммой п простых чисел.

Если утверждение Гольдбаха верно, то вычисления будут длиться бесконечно для всех п (кроме 0 и 1). В некотором смысле доказательство даже упрощается с ростом п. Я действительно верю, что существует достаточно большое число п, для которого вычисления «продолжаются вечно».

Важнейшей характеристикой вычислений такого типа является их зависимость от чисел натурального ряда п, и именно это обстоятельство стало центральным моментом для так называемой теоремы Гёделя о неполноте (в Англии ее иногда называют догадкой или конъектурой Гёделя). Я буду рассматривать ее в формулировке, предложенной Аланом Тьюрингом, однако незначительно изменю ход его рассуждений. Если вы не любите математические выкладки, то можете просто пропустить этот кусок текста. Получаемый результат очень важен, но особенно интересно то, что доказательство вовсе не является сложным – оно всего лишь поразительно и даже вызывает недоумение!

Вычисления, связанные с конкретным числом п, совершенно стандартны и привычны для большинства компьютерных программ. Вы можете, например, просто взять набор программ, пронумеровать их в соответствии с текущим номером (обозначив его через р), а затем запустить компьютер, заложив в него этот порядковый номер. Компьютер начнет добросовестно «тарахтеть», последовательно осуществляя вычисления с числом п в соответствии с р-й программой. Вам необходимо лишь записать порядковый номер р в виде нижнего индекса справа, и тогда набор программ (или вычислений), связанных с числом п, примет простой и ясный вид

С_{(n), С1(n), С2(n), С3(n), ..., Сp(n), ...} .

Предположим, что этот набор содержит все возможные вычисления С_p(n) и что мы можем найти какой-то эффективный метод упорядочения этих компьютерных программ, так что индекс р означает р-ю по порядку программу вычислений в соответствии с некоторым правилом, вследствие чего С_p(n) будет означать р-ю программу, примененную к числу п.

Предположим далее, что мы имеем какую-то вычислительную (т. е. алгоритмическую) процедуру А, относящуюся к паре чисел (р, п), осуществление которой дает очевидное и убедительное доказательство того, что работа программы С_p(n) еще не закончена. При этом вовсе не требуется, чтобы алгоритм А(р, п) работал постоянно, т. е. если вычисление С_p(n) является бесконечным, то это не значит, что характеризующий его алгоритм А(р, п) тоже будет выполняться за бесконечное время. Но я подчеркиваю, что алгоритм А (в соответствии с уже отмеченными свойствами компьютера) срабатывает без ошибок, т. е. если операция А(р, п) не завершена, то это также означает, что вычисление С_p(n) не закончено. А теперь представим себе, что какие-то математики, исходя из соображений типа описанного алгоритма А, сформулировали (или просто повторили) в строгом математическом виде некоторое утверждение (например, П1-утверждение). Предположим также, что они знают о существовании операции А и уверены в ее надежности и обоснованности. Представим себе далее, что процедура А включает в себя все операции, доступные математикам для того, чтобы убедить последних в бесконечном характере вычислений. Процедура А начинается с отбора программы, имеющей индекс р, а затем натурального числа п, к которому относится данная программа. Далее, если вычислительная операция А(р, п) закончена, то это означает, что вычисление С_p(n) не завершено, т.е.

Если операция А(р, п) завершена, то вычисление С_p(n) не закончено. (1)

Собственно говоря, в этом и заключается роль процедуры А – она должна давать неопровержимые доказательства того, что определенные вычисления не окончены.

Предположим далее, что р = п, в результате чего возникает хорошо известная и довольно забавная ситуация, известная под названием диагонализации Кантора (кстати, ее использование математически совершенно обоснованно), после которой мы вдруг приходим к следующему выводу:

Если операция А(п, п) завершена, то вычисление С_n(n) не закончено.

Но в данном случае A(п, п) зависит лишь от одного параметра п и, следовательно, принадлежит к набору вычислительных программ С_p(n) (поскольку этот список по определению включал в себя все вычисления, связанные с единственной переменной п). Предположим, что вычислительная программа, идентичная A(п, п), имела индекс k, т.е.

А(n, n) = С_k(n).

Положив n = k, мы тут же получаем

А(k, k) = С_k(k),

что в сочетании с условием (1) сразу приводит к заключению:

Если операция А(k, k) завершена, то вычисление С_k(k) не закончено.

Вспомнив, что А(k, k) совпадает с С_k(k), мы попадаем в логическую ловушку. Раз вычисление С_k(k) заканчивается, то оно не заканчивается (следовательно, оно заканчивается и т. д.). Ловушка заключается в том, что если мы доверяемся проверочной процедуре А, то должны верить и в то, что вычисление С_k(k) не закончено. Однако при этом процедура А тоже никак не может закончиться, т. е. «понять» наконец, что вычисление С_k(k) не кончается. Поэтому вычислительная процедура никак не может замкнуть цепочку математических рассуждений и решить, что заданное вычисление не заканчивается, т. е. установить истину П1-утверждения. В этом суть доводов Гёделя-Тьюринга в той форме, которая нужна мне для дальнейших рассуждений.

Вы можете подумать об общем смысле этого доказательства. Оно ясно демонстрирует, что математическое понимание и/или интуиция не могут быть закодированы в виде какого-то вычислительного процесса, в справедливости которого мы можем быть абсолютно уверены. Мне кажется, что приведенная формулировка наиболее ясным образом определяет сущность подхода Гёделя-Тьюринга, хотя некоторые придерживаются другой точки зрения. В этой связи интересно вспомнить, что писали сами эти авторы о полученном ими результате. Предлагаю вам одну из оценок Тьюринга:

«Другими словами, абсолютно безупречно работающая машина не может обладать интеллектом. Об этом свидетельствует ряд теорем, которые, однако, ничего не говорят о том, каким уровнем интеллекта может обладать машина, не претендующая на безошибочность и безупречность работы».

Таким образом, согласно Тьюрингу утверждения теоремы Гёделя-Тьюринга совместимы с идеей о том, что математиков можно действительно рассматривать в качестве компьютеров, если алгоритмические операции, выполняемые ими при выводе математических истин, не являются принципиально здравыми, обоснованными и разумными. Мы можем ограничиться рассмотрением лишь арифметических утверждений, например, лишь П1-высказываниями, которые представляют собой интересный, но весьма ограниченный тип утверждений. Мне кажется, что на самом деле Тьюринг верил в то, что человеческий мозг использует алгоритмы, но эти алгоритмы являются совершенно нерегулярными (именно в этом смысле они неразумны). Такая ситуация представляется неправдоподобной, поскольку она не только обескураживает, но и просто не позволяет понять, каким образом можно обсуждать что-то и приходить к каким-то выводам вообще. В любом случае точка зрения Тьюринга не внушает мне доверия, а в предложенной выше схеме (см. табл. 3.1) его рассуждения следует отнести к A-подходу.

Рассмотрим далее точку зрения Гёделя, которая в моей схеме относится к D-подходу. Обращаю ваше внимание на то, что при рассмотрении одних и тех же проблем Тьюринг и Гёдель приходят к совершенно противоположным выводам. И хотя Гёдель не верит, что математическое вдохновение можно свести к каким-то вычислительным операциям, он не отказывается от этой возможности достаточно четко и определенно. Он говорит:

«С другой стороны, на основе всего доказанного сохраняется возможность существования (и, может быть, даже эмпирического создания) машины, способной доказывать теоремы. В реальной жизни такая машина стала бы эквивалентом математической интуиции, однако это невозможно доказать аналогично тому, как в теории конечных чисел нельзя выводить только правильные теоремы».

Это высказывание явно намекает на существование «лазейки», позволяющей непосредственно использовать теорему Гёделя-Тьюринга для опровержения идей вычислимости (или функционализма). Лазейка заключается в том, что математик может пользоваться некоторым здравым и логичным алгоритмом, не будучи полностью уверен в его разумности. Таким образом, Гёдель видел лазейку в познавательной части алгоритмов, в то время как Тьюринг выделяет в алгоритмах именно их разумность.

Ни один из этих подходов не кажется мне убедительным. Теорема Гёделя-Тьюринга всего лишь утверждает, что если доказана разумность какой-то алгоритмической процедуры (для доказательства П1-утверждений), то можно немедленно получить некий результат, выходящий за рамки данной процедуры. Мы можем сделать это и сами, используя какую-либо другую алгоритмическую процедуру (о разумности которой мы ничего не знаем). Кроме этого возможно существование некой обучающейся машины, которая поможет нам в этом поиске. Эта проблема (и целая куча связанных с нею задач) довольно подробно рассматривается в моей книге «Тени разума», и поэтому я не буду повторять все доводы и рассуждения, а отмечу только два из них.

Главный вопрос заключается в том, каким образом возникает этот предполагаемый алгоритм? Можно предположить, что в мозгу человека при этом происходит нечто подобное естественному отбору, в то время как в случае робота новый алгоритм создается какой-то специальной структурой, которую можно смело назвать AI (Artificial Intelligence, искусственный интеллект). Я не буду вдаваться в сложные рассуждения по этому поводу, а лишь приведу вам две простые карикатуры из упомянутой книги.

Первая из них (рис. 3.7) относится к связи понимания с естественным отбором. Любой первобытный математик с точки зрения естественного отбора и дарвиновской межвидовой борьбы за существование находится в весьма невыгодном положении (по сравнению, например, с показанным на рисунке саблезубым тигром). Однако на заднем фоне картинки можно видеть сородичей математика, которые успешно охотятся на мамонтов, строят дома, выращивают какие-то злаки и т. п. Все эти операции требуют от первобытных людей развития «понимания», но заметьте, что сам математик в этих действиях непосредственно не участвует. Таким образом, качество и уровень «понимания» могут существенно влиять на процессы естественного отбора видов, хотя сами математические алгоритмы не имеют к этим процессам никакого прямого отношения.

Рис. 3.7.

Едва ли способность к сложным математическим построениям давала нашим далеким предкам какие-то особые преимущества в процессах естественного отбора, однако общая способность к пониманию, безусловно, способствовала их выживанию.

На другой карикатуре (рис. 3.8), связанной с одним из сюжетов книги «Тени разума», показан созданный по некоторому проекту робот с искусственным интеллектом. Сюжет относится к дискуссии между роботом и специалистом по АI, которая достаточно сложна и занимает в книге много места, вследствие чего я не буду ее пересказывать. В свое время моя точка зрения на доводы Гёделя-Тьюринга была подвергнута жестокой критике самыми различными людьми, с самых разных позиций и по самым разным причинам. Дискуссия в книге «Тени разума» между AI-экспертом и роботом представляет собой мою попытку обобщения всех новых доводов и возражений.

Рис. 3.8. Император Альберт в книге «Тени разума» спорит с Математически Обоснованной Киберсистемой.

Первые 200 страниц книги посвящены анализу и критическому рассмотрению различных идей, связанных с использованием доводов Гёделя-Тьюринга. Этому обсуждению придана форма диалога между AI-экспертом и роботом.

Давайте вернемся к началу обсуждения. Доводы самого Гёделя относятся к конкретным утверждениям относительно чисел, но заметьте, что Гёдель говорит лишь о том, что не существует вычислительных процедур, которые позволяют описывать свойства натуральных чисел. Однако, несмотря на отсутствие вычислительных методов их описания, любой ребенок прекрасно понимает, что представляют собой такие числа. Для объяснения их сущности достаточно всего лишь показать ребенку разное число разных объектов (см., например, рис. 3.9), глядя на которые любой ребенок довольно легко и быстро приходит к абстрактному пониманию сущности натуральных чисел. При этом никто не излагает детям теорию и набор вычислительных правил, связанных с натуральными числами, – дети сразу прекрасно «понимают» сущность идеи натуральных чисел. Я хочу подчеркнуть, что они способны каким-то образом входить «в контакт» с платоновским миром математических понятий и идей. Хотя многим людям такой подход к проблеме математического восприятия не очень нравится, мне лично представляется, что нечто подобное происходит на самом деле. В любом случае натуральные числа, существующие где-то в мире платоновских идей, одновременно присутствуют где-то «здесь», в результате чего наша способность «понимать» мир делает окружающую нас действительность более доступной. Мы не обладали бы этой способностью, если бы были просто неразмышляющими компьютерами. Теорема Гёделя свидетельствует как раз о том, что постижение сущности и природы натуральных чисел осуществляется не при помощи каких-то правил, а за счет их взаимодействия или контакта с платоновским миром, удачным примером чего может служить процесс понимания того, чем являются натуральные числа.

Рис. 3.9. Ребенок вполне способен воспринимать мир абстрактных платоновских идей, рассматривая простые рисунки.

Я утверждаю, что математическое понимание вообще сводится вовсе не к вычислительной работе мозга, а к чему-то совершенно иному, связанному с нашей способностью осознавать или понимать окружающий мир. Разумеется, вы можете возразить мне, что «невычислимый» характер математического восприятия вовсе не означает, что и другие формы сознания являются «невычислимыми». Однако мне кажется, что предложенная идея достаточно обоснованна хотя бы потому, что не очень умно проводить разграничение между математическими и всеми остальными видами «понимания». Именно эту идею я пытался внушить, демонстрируя вам рис. 3.7. Понимание вовсе не следует считать характерной или даже профессиональной характеристикой математиков, оно является весьма общей чертой, присущей всем человеческим существам, и эта способность принципиально не является вычислительной по своей природе, вне всякой зависимости от математики. Нельзя также провести границу между пониманием и человеческим сознанием вообще, поэтому (несмотря на мои более ранние утверждения, что я ничего не знаю о человеческом сознании) мне кажется, что понимание является просто примером сознания (или хотя бы чем-то похожим на него). Впрочем, я также не могу провести четкую границу между сознанием человека и животного. Я прекрасно пониманию, что эта фраза может многим не понравиться, но я на самом деле думаю, что люди очень похожи на многих животных, и (хотя мы соображаем чуть лучше, чем некоторые наши биологические родственники) они также способны к пониманию и обладают основами сознания.

Поэтому «невычислимость» каких-то аспектов сознания (в частности, связанных с математическим пониманием) может служить, на мой взгляд, достаточно убедительным доказательством невычислимой природы всех процессов познания.

Что, в сущности, я подразумеваю под термином «невычислимость»? Я уже много говорил об этом, и мне хочется привести еще один конкретный пример, демонстрирующий невычислимость в моем понимании. Для этого я опишу некоторую игрушечную модель вселенной типа тех, которые изобретают физики, когда не могут найти себе лучшего занятия (вообще говоря, это не худшее занятие, которое можно придумать). Эта модель отражает некоторые особенности Вселенной, однако ее не следует, естественно, соотносить с реальной Вселенной. Роль этой скромной модели сводится лишь к иллюстрации некоторых, совершенно определенных характеристик.

В такой модели рассматриваются лишь дискретные моменты времени (мы можем обозначить их просто 0, 1, 2, 3, 4, ...), каждому из которых соответствует некоторое состояние Вселенной, описываемое некоторым набором так называемых полиомино. Вы, естественно, вправе спросить меня, что означает этот новый термин? Полиомино представляет собой просто некий набор квадратиков, способных заполнять плоскость, объединяясь друг с другом (рис. 3.10). Меня сейчас интересуют наборы таких полиомино. Состояние вселенной в предлагаемой игрушечной модели задается только двумя реальными и конечными наборами полиомино. На рис. 3.10 приведены все возможные конечные множества полиомино, перечисленные в соответствии с некоторой вычислительной процедурой S_{, S1, S2, ...} Как выглядит динамика или эволюция этой забавной игрушечной вселенной? Ее развитие начинается в некоторый начальный момент времени с набора полиомино (S_{, S)}, а затем продолжается в виде все новых пар множеств полиомино, отбираемых по некоторому заданному правилу. В соответствии с правилом отбора учитываются только такие наборы плиток полиомино, которые позволяют заполнить плоскость целиком. Отбор, следовательно, сводится лишь к решению следующей задачи: можно ли заполнить плоскость плитками заданного набора таким образом, чтобы на плоскости не было «зазоров» или «накладок»? Предположим далее, что в некоторый момент времени наша игрушечная вселенная свелась к двум конкретным наборам полиомино (S_q, S_r), определяющим всю дальнейшую эволюцию данной модели. Если вы можете покрыть всю плоскость набором полиомино S_q, то вы переходите к следующему полиомино (S_q+1, т.е. получаете для следующего момента времени пару множеств (S_q+1, S_r). Если же вам это не удается, вы должны поменять наборы местами, что дает вам новую пару (S_r, S_q+1). Чем нам может быть интересна эта очень простая и даже несколько примитивная модель? Суть рассматриваемой модели в том, что хотя ее эволюция носит совершенно детерминистический характер (ведь выше я задал абсолютно ясную и полностью определенную процедуру развития), она не является вычислимой. Дело в том, что Робертом Бергером была доказана теорема, в соответствии с которой не существуют компьютерные операции, позволяющие моделировать развитие этой вселенной, поскольку можно строго показать, что не существуют алгоритмы, позволяющие решить задачу о заполнении плоскости набором полиомино.

Рис. 3.10. Невычисляемая, но детерминистическая игрушечная модель вселенной, различные состояния которой задаются парой конечных наборов полиомино.

Если первый заполняет плоскость целиком, то временная эволюция осуществляется следующим образом: численный номер первого набора возрастает на единицу, а второй набор используется для «обозначения времени». Если же первый набор не покрывает плоскость целиком, наборы следует поменять местами и продолжить операцию. Эволюция системы, описываемая парой таких наборов полиомино, должна выглядеть следующим образом:

(S_{, S), (S, S1), (S1, S1), (S2, S1), (S3, S1), (S4, S1), ..., (S278, S251), (S251, S279), (S252, S279), ...}

Рассмотренная модель наглядно демонстрирует различие между вычислимостью и детерминизмом. На рис. 3.11 приведены некоторые примеры заполнения плоскости плитками полиомино различных размеров и форм. Легко видеть, что в случаях а и б полное заполнение плоскости осуществляется без труда. В случае в два типа плиток по отдельности не могут заполнить плоскость целиком (на рисунке указаны неизбежно возникающие «зазоры», или «дырки», в покрытии, однако вместе они легко заполняют плоскость). В случае г плоскость можно заполнить плитками одного типа, однако это достигается только за счет достаточно сложной «подгонки».

Рис. 3.11.

Покрытие бесконечной евклидовой плоскости различными наборами плиток полиомино (разрешено также использование зеркальных «отражений» этих плиток). Ни один из двух типов плиток набора в не может заполнить плоскость целиком.

Задача значительно осложняется при попытке заполнения плоскости плитками полиомино более сложной формы, показанными на рис. 3.12 (именно к этой ситуации относится теорема Роберта Бергера). Дело в том, что три типа показанных на рисунке плиток покрывают плоскость целиком, однако эту операцию нельзя осуществить таким образом, чтобы узор повторялся! На каждом этапе процесс заполнения определяется вашим выбором продолжения, в результате чего очень трудно установить порядок действий. Тем не менее операция, безусловно, выполнима, и именно существование таких вариантов заполнения плоскости привело Бергера к формулировке теоремы, из которой следует, что для моделирования развития даже этой игрушечной вселенной невозможно выработать вычислительную программу.

Рис. 3.12. Набор из трех типов плиток полиомино может заполнить плоскость целиком, но заполняющий узор не обладает периодичностью.

А как обстоят дела с описанием настоящей, большой Вселенной? В гл. 2 я уже немало говорил о фундаментальных недостатках существующей физической картины мира. Подумайте, нет ли в физической теории каких-то проблем, заставляющих вспомнить о невычислимости некоторых операций? У меня есть основания считать, что квантовая теория гравитации в своем правильном виде должна быть именно невычислимой. Я говорю об этом вполне серьезно и продемонстрирую вам, что проблема невычислимости возникает, по крайней мере, в двух независимых направлениях развития квантовой гравитации, причем именно тогда, когда мы рассматриваем квантовые суперпозиции четырехмерных пространств-времен (в большинстве существующих теорий используется лишь суперпозиция трехмерных пространственных состояний).

Рассмотрим сначала так называемую схему Героха-Хартля для квантовой гравитации, которая с самого начала содержит элемент невычислимости, поскольку одним из используемых в ней математических положений является доказанная Марковым невозможность вычислительной классификации четырехмерных топологических складок. Я не буду вдаваться в сложные технические детали, но хочу еще раз подчеркнуть, что невычислимость возникает естественным образом при объединении общей теории относительности и квантовой механики.

В качестве второго примера появления невычислимости в теориях квантовой гравитации можно сослаться на результаты, содержащиеся в препринте одной из работ Дэвида Дейча. К моему глубокому удивлению, в полном тексте статьи, опубликованной позднее, я не обнаружил этих данных! Я специально беседовал с автором на эту тему, и он заверил меня, что опустил эти результаты не из-за их ошибочности, а лишь потому, что они были не очень важны для статьи в целом. Он считает, что забавные суперпозиции пространства-времени (которые мы должны рассматривать хотя бы в качестве гипотетически возможных) возникают вследствие того, что некоторые из потенциально возможных вселенных могут образовывать замкнутые пространственно-временные линии (рис. 3.13). В таких ситуациях всякие каузальные (причинно-следственные) связи полностью теряют смысл, причины и следствия «бегут по замкнутому кругу», а прошлое и будущее просто перемешиваются друг с другом. Хотя все это выглядит совершенно нереальным и противофактическим, оно (как и в задаче гл. 2, связанной с испытанием бомб) может влиять на действительные события. Я не считаю эти рассуждения достаточно серьезными и убедительными, однако они показывают, что какие-то невычислимые операции могут легко обнаружиться и в совершенно правильных теоретических построениях.

Рис. 3.13. При достаточно строгом заполнении пространства-времени световыми конусами могут возникать замкнутые времениподобные мировые линии.

Далее мне хотелось бы обсудить еще один достаточно сложный вопрос. Выше я подчеркивал, что детерминизм и вычислимость представляют собой разные понятия, и это подводит нас к проблеме свободы воли. В классической философии свобода воли всегда рассматривалась в теснейшей связи с детерминизмом. Вы и сами, наверняка, сталкивались с этой проблемой и размышляли о том, насколько наше будущее определяется нашим прошлым и т. п. Мне кажется, что есть масса других более интересных и важных вопросов, например: «Определяется ли наше будущее нашим прошлым вычислимым образом?».

Такие рассуждения связаны со столь многими и разнообразными проблемами, что я могу только упомянуть некоторые из них, не пытаясь даже как-то отвечать. Например, существует вечный спор о том, насколько наши поступки определяются 7нашей наследственностью, а насколько – нашим окружением. Интересно и странно, что в этой связи очень редко рассматривается роль случайных факторов. Ведь мы не можем контролировать все обстоятельства нашего окружения, поэтому, возможно, нам следовало бы задать себе простой вопрос: «Существует ли нечто (возможно, это именно то, что мы именуем Я), которое отличается от окружения и не зависит от посторонних воздействий?». Такая постановка вопроса, кстати, часто используется в обычной юридической практике. Например, проблема прав и обязанностей, безусловно, связана с действиями некоторого независимого субъекта, действительно именуемого «Я». Конечно, эта проблема очень сложна и деликатна. Прежде всего нам следовало бы, конечно, ввести ясные определения понятий детерминизм и недетерминизм. Обычно недетерминизм подразумевает именно наличие случайных факторов или элементов, однако этого явно недостаточно для решения проблемы, поскольку некоторые случайные элементы вполне могут контролироваться. Возможно, в таких случаях следует говорить о невычислимости или даже о невычислимости более высокого уровня. Удивительно, но доводы типа гёделевских оказываются реально применимыми на разных уровнях (даже на том уровне, который Тьюринг называл машиной предсказаний), т. е. они обладают значительно более общим смысловым содержанием, чем это было представлено мною выше. Поэтому следует считать что вопрос о наличии более высоких уровней невычислимости может быть связан с поведением реальной Вселенной или, возможно, с тем понятием, которое мы воспринимаем в качестве нашей свободы воли.

Следующий вопрос относится к уже упомянутому мной «контакту» с миром платоновских идей. В чем, собственно говоря, состоит этот контакт и каков его характер? В сущности, можно указать огромное количество так называемых «миров» с участием невычислимых элементов – судебное дело, здравый смысл, озарение, эстетическое чувство, сострадание, мораль... Мне представляется, что все эти области жизни и сознания характеризуются наличием элементов невычислимости. До сих пор я говорил о мире платоновских идей главным образом в математическом смысле, однако в идеях Платона есть и другая сторона, которую нельзя игнорировать. Абсолютные платоновские идеи ассоциировались не только с истиной, их другими характеристиками выступали добро и красота. Поэтому любой контакт с платоновскими идеями, доступный человеческому разуму и не сводящийся к вычислительным операциям (или вычисляемому поведению), представляется мне чрезвычайно важным.