Текст книги "Фейнмановские лекции по физике. 6. Электродинамика"
Автор книги: Ричард Фейнман
сообщить о нарушении
Текущая страница: 4 (всего у книги 10 страниц) [доступный отрывок для чтения: 4 страниц]
Мы получим (отвлекаясь от знака)
Поскольку мы предположили, что r—величина постоянная, то Е пропорционально производной по времени от среднего поля:
(17.4)
Электрон будет чувствовать электрическую силу qE и будет ею ускоряться. Помня, что на основании точного релятивистского уравнения движения скорость изменения импульса пропорциональна силе, имеем
(17.5)
Для принятой нами круговой орбиты электрическая сила, действующая на электрон, всегда направлена по движению, поэтому полный импульс будет расти со скоростью, даваемой равенством (17.5). Комбинируя (17.5) и (17.4), можно связать скорость изменения импульса с изменением среднего магнитного поля:
(17.6)
Интегрируя по t, получаем следующее выражение для импульса электрона:
(17.7)
где р0 – импульс, с которым электрон начинает двигаться, a DBcp – последующее изменение Bср. Работа бетатрона – машины, ускоряющей электроны до больших энергий, основана именно на этой идее.
Чтобы понять, как работает бетатрон, необходимо представлять себе принцип движения электрона по окружности. В гл. 11 (вып. 1) мы уже обсуждали этот принцип. Если на орбите электрона создать магнитное поле В, возникнет поперечная сила qvXB, которая при соответствующем выборе В может заставить электрон двигаться по предположенной орбите. В бетатроне эта поперечная сила вызывает движение электрона по круговой орбите постоянного радиуса. Мы можем определить, каким должно быть магнитное поле на орбите, опять с помощью релятивистского уравнения движения, но на этот раз для поперечной компоненты силы. В бетатроне (см. фиг. 17.4) поле В перпендикулярно v, поэтому поперечная сила равна qvB. Таким образом, сила равна скорости изменения поперечной компоненты импульса pt:
(17.8)
Когда частица движется по окружности, Скорость изменения поперечного импульса равна величине полного импульса, умноженной на w – угловую скорость вращения (согласно аргументам, приведенным в гл. 11, вып. 1):
(17.9)
где, поскольку движение круговое,
(17.10)
Полагая магнитную силу равной поперечному ускорению, имеем
(17.11)
где Ворб – поле при радиусе, равном r.
В приведенном в действие бетатроне импульс электрона, согласно выражению (17.7), растет пропорционально Bср, и чтобы электрон продолжал двигаться по собственной окружности, равенство (17.11) должно по-прежнему выполняться вместе с ростом импульса электрона. Величина Bopб должна расти пропорционально импульсу р. Сравнивая (17.11) с (17.7), определяющим р, мы видим, что должно выполняться следующее соотношение между Вср – средним
магнитным полем внутри орбиты радиуса rи магнитным полем Вор6 на орбите:
(17.12)
Для правильной работы бетатрона нужно, чтобы среднее магнитное поле внутри орбиты росло в два раза быстрее магнитного поля на самой орбите. При этих условиях с ростом энергии частицы, увеличивающейся за счет индуцированного электрического поля, магнитное поле на орбите растет как раз со скоростью, нужной для удержания частицы на окружности.
Бетатрон используется для разгона электронов до энергий в десятки или даже в сотни миллионов электронвольт. Однако по ряду причин для ускорения электронов до энергий, много больших нескольких сот миллионов электронвольт, эта машина становится невыгодной. Одна из этих причин – трудность достижения на практике требуемой высокой величины среднего магнитного поля внутри орбиты, а вторая – несправедливость формулы (17.6) для очень больших энергий, так как в ней не учитывается потеря энергии частицей за счет излучения электромагнитной энергии (так называемое синхротронное излучение, см. гл. 34, вып. 3). По этим причинам ускорение электронов до самых больших энергий – до многих миллиардов электрон-вольт – совершается посредством машины другого рода, называемой синхротроном.
§ 4. Парадокс
Теперь мы хотели бы предложить вам некий кажущийся парадокс. Парадокс возникает тогда, когда при одном способе рассуждений получается один ответ, а при другом способе – совсем другой, так что мы остаемся в неведении, что же собственно должно быть на самом деле. Разумеется, в физике никогда не бывает настоящих парадоксов, потому что существует только один правильный ответ; по крайней мере мы верим, что природа поступает только единственным способом (и именно этот способ, конечно, правильный). Поэтому в физике парадокс – всего лишь путаница в нашем собственном понимании. Итак, вот наш : парадокс.
Представим, что мы конструируем прибор (фиг. 17.5), в котором имеется тонкий круглый пластмассовый диск, укрепленный концентрически на оси с хорошими подшипниками, так что он совершенно свободно вращается. На диске имеется катушка из проволоки – короткий соленоид, концентричный по отношению к оси вращения. Через этот соленоид проходит постоянный ток / от маленькой батареи, также укрепленной на диске. Вблизи края диска по окружности на равном расстоянии размещены маленькие металлические шарики, изолированные друг от друга и от соленоида пластмассовым материалом диска. Каждый из этих проводящих шариков заряжен одинаковым зарядом Q. Вся картина стационарна, и диск неподвижен. Предположим, что случайно, а может и намеренно, ток в соленоиде прекратился, но, разумеется, без какого-либо вмешательства извне. Пока через соленоид шел ток, более или менее параллельно оси диска проходил магнитный поток.
Фиг. 17.5. Повернется ли диск, если ток I прекратится?
После того как ток прервался, поток этот должен уменьшиться до нуля. Поэтому должно возникать индуцированное электрическое поле, которое будет циркулировать по окружностям с центром на оси диска. Заряженные шарики на периферии диска будут все испытывать действие электрического поля, касательного к внешней окружности диска. Эта электрическая сила направлена для всех зарядов одинаково и, следовательно, вызовет у диска вращающий момент. Из этих соображений можно ожидать, что, когда ток в соленоиде исчезнет, диск начнет вращаться. Если нам известны момент инерции диска, ток в соленоиде и заряд шариков, то можно вычислить результирующую угловую
скорость.
Но можно рассуждать и по-другому. Используя закон сохранения момента количества движения, мы могли бы сказать, что момент диска со всеми его пристройками вначале равен нулю, поэтому момент всей системы должен оставаться нулевым. Никакого вращения при остановке тока быть не должно. Какое из доказательств правильно? Повернется ли диск или нет? Мы предлагаем вам подумать над этим вопросом.
Хотелось бы предостеречь вас, что правильный ответ не зависит от всяких несущественных факторов, таких, как несимметричное положение батареи, например. В самом деле, вы можете представить себе, скажем, такой идеальный случай: соленоид сделан из сверхпроводящей проволоки, через которую проходит ток. После того как диск тщательно установлен неподвижным, температуру соленоида медленно начинают повышать. Когда температура проволоки достигнет переходного значения между сверхпроводимостью и нормальной проводимостью, ток в соленоиде обратится в нуль вследствие сопротивления проволоки. Поток, как и раньше, упадет до нуля и вокруг оси возникнет электрическое поле. Мы хотели бы также предостеречь вас, что решение не простое, но это и не обман. Когда вы разберетесь в этом, вы обнаружите важный закон электромагнетизма.
§ 5. Генератор переменного тока
В оставшейся части этой главы мы применим принципы, изложенные в § 1 для анализа ряда явлений, обсуждавшихся в гл. 16. Сначала мы рассмотрим подробно генератор переменного тока. Такой генератор в основном состоит из проволочной катушки, вращающейся в однородном магнитном поле. Тот же самый результат может быть достигнут с помощью неподвижной катушки в магнитном поле, направление которого вращается по способу, описанному в предыдущей главе. Мы рассмотрим лишь первый случай. Пусть имеется круглая катушка из проволоки, которая может вращаться вокруг оси, проходящей вдоль одного из ее диаметров. И пусть эта катушка помещена в магнитное поле, перпендикулярное оси вращения (фиг. 17.6). Представим себе, что оба конца катушки выведены на внешнюю цепь с помощью каких-нибудь скользящих контактов.
Благодаря вращению катушки магнитный поток через нее будет меняться. Поэтому в цепи катушки появится э. д. с. Пусть S – площадь катушки, а q – угол между магнитным полем и нормалью к плоскости катушки. Тогда поток через катушку равен
BScosq. (17.13)
Если катушка вращается с постоянной угловой скоростью w, то q меняется со временем как wt. Тогда э. д. с. о в катушке равна
или
(17.14)
Если мы выведем провода из генератора на некоторое расстояние от вращающейся катушки, в место, где магнитное поле равно нулю или хотя бы не меняется со временем, то ротор от Е в этой области будет равен нулю, и мы сможем определить электрический потенциал. В самом деле, если ток не уходит из генератора, то разность потенциалов V между двумя проводами будет равна э. д. с. вращающейся катушки, т. е.
Фиг. 17.6. Катушка из проволоки, вращающаяся в однородном магнитном поле,– основная идея генератора переменного тока.
Разность потенциалов в проводах меняется как sinwt. Такая меняющаяся разность потенциалов называется переменным напряжением.
Поскольку между проводами имеется электрическое поле, они должны быть электрически заряжены. Ясно, что э. д. с. генератора выталкивает лишние заряды в провода, пока их электрическое поле не становится достаточно сильным, чтобы в точности уравновесить силу индукции. Если посмотреть на генератор со стороны, то покажется, будто два провода электростатически заряжены до разности потенциалов V, а заряды как бы меняются со временем, создавая переменную разность потенциалов. Есть и еще одно отличие от того, что наблюдается в случае электростатики. Если присоединить генератор к внешней цепи, по которой может проходить ток, мы обнаружим, что э. д. с. не позволяет проводам разряжаться, а продолжает подпитывать их зарядами, когда из них уходит ток, стремясь сохранить на проводах одну и ту же разность потенциалов. Если генератор подключен к цепи, полное сопротивление которой равно R, ток в цепи будет пропорционален э. д. с. генератора и обратно пропорционален R. Поскольку э. д. с. синусоидально изменяется со временем,
то и ток делает то же самое. Возникает переменный ток
Схема такой цепи приведена на фиг. 17.7.
Мы можем также заметить, что э. д. с. определяет количество энергии, поставляемое генератором. Каждый заряд в проводе получает в единицу времени энергию, равную F·v, где F – сила, действующая на заряд, a v – его скорость. Пусть теперь количество движущихся зарядов на единице длины провода равно n; тогда мощность, выделяющаяся в элементе ds провода, равна
Фиг. 17.7. Цепь с генератором переменного тока и сопротивлением.
В проводе скорость v всегда направлена вдоль ds, так что мощность можно переписать в виде
Полная мощность, выделяемая во всей цепи, есть интеграл от этого выражения по всей петле:
(17.15)
Вспомним теперь, что qnv – это ток I и что э. д. с. определяется как интеграл от F/q по всей цепи. Мы получаем
(17.16)
Когда в катушке генератора имеется ток, на нее непременно действуют механические силы. В самом деле, мы знаем, что вращающий момент, действующий на катушку, пропорционален ее магнитному моменту, напряженности магнитного поля В и синусу угла между ними. Магнитный момент есть ток катушки, умноженный на ее площадь. Поэтому вращающий момент равен
(17.17)
Скорость, с которой должна совершаться механическая работа, чтобы поддерживать вращение катушки, есть угловая скорость w, умноженная на вращающий момент силы:
(17.18)
Сравнивая это выражение с (17.14), мы видим, что затраты механической работы в единицу времени, требуемые для вращения катушки против магнитных сил, в точности равны eI – электрической энергии, поставляемой
э. д. с. генератора в единицу времени. Вся механическая энергия, расходуемая в генераторе, появляется в виде электрической энергии в цепи.
В качестве другого примера токов и сил, обусловленных индуцированной э. д. с., проанализируем, что же происходит в установке, показанной на фиг. 17.1. Имеются U-образная проволока и скользящая перемычка, расположенные в однородном магнитном поле, перпендикулярном плоскости параллельных проволок. Теперь предположим, что «дно» U (левая часть фиг. 17.1) сделано из проволоки с большим сопротивлением, тогда как две боковые проволоки сделаны из хорошего проводника вроде меди – в этом случае нам не надо беспокоиться об изменении сопротивления цепи при движении перекладины. Как и раньше,
э. д. с. цепи равна
(17.19)
Ток в цепи пропорционален этой э. д. с. и обратно пропорционален сопротивлению цепи:
(17.20)
Благодаря этому току на перемычку будет действовать магнитная сила, пропорциональная длине перемычки, току в ней и магнитному полю:
(17.21)
Подставляя I из (17.20), получаем для силы
(17.22)
Мы видим, что сила пропорциональна скорости перемещения перемычки. Направление силы, как легко понять, противоположно скорости. Такая «пропорциональная скорости» сила, похожая на силу вязкости, получается всякий раз, когда движущиеся проводники создают индуцированные токи в магнитном поле. Вихревые токи, о которых мы говорили в предыдущей главе, приводят также к силам, действующим на проводники и пропорциональным скорости проводника, хотя такие случаи в общем дают более сложные распределения токов, которые трудно анализировать.
При конструировании механических систем часто бывает удобно располагать тормозящими силами, пропорциональными скорости. Вихревые токи дают один из наиболее удобных способов получения таких зависящих от скорости сил.
Пример применения подобных сил можно найти в обычном домашнем счетчике – ваттметре. Там имеется тонкий алюминиевый диск, вращающийся между полюсами постоянного магнита. Этот диск приводится в движение маленьким электромотором, вращающий момент которого пропорционален мощности, потребляемой в электросети квартиры. Вихревые токи в диске вызывают силу сопротивления, пропорциональную скорости. Следовательно, скорость диска устанавливается пропорциональной скорости потребления электроэнергии. С помощью счетчика, присоединенного к вращающемуся диску, подсчитывается число оборотов диска. Так определяется полная потребленная энергия, т. е. число использованных ватт-часов.
Согласно формуле (17.22), сила от индуцированных токов, т. е. всякая сила от вихревых токов, обратно пропорциональна сопротивлению. Сила тем больше, чем лучше электропроводность материала. Причина, разумеется, заключается в том, что при малом сопротивлении э. д. с. создает больший ток, а большие токи дают большие механические силы.
Из наших формул мы можем увидеть, как механическая энергия превращается в электрическую энергию. Как и раньше, электрическая энергия, выделяемая в сопротивлении цепи, есть произведение eI, Работа в единицу времени, совершаемая при движении перекладины, есть произведение силы, действующей на перекладину, на ее скорость. Используя для силы выражение (17.21), получаем работу в единицу времени:
Мы видим, что она действительно равна произведению $I, которое мы получаем из (17.19) и (17.20). Снова механическая работа появляется в виде электрической энергии.
§ 6. Взаимная индукция
Теперь нам нужно рассмотреть случай, когда проволочные катушки неподвижны, а меняются магнитные поля. Описывая образование магнитного поля токами, мы рассматривали только случай постоянных токов. Но если токи меняются медленно, магнитное поле в каждый момент будет примерно такое же, как магнитное поле постоянного тока. Мы будем считать в этом параграфе, что токи всегда меняются достаточно медленно, и можно сказать, что это утверждение справедливо.
На фиг. 17.8 показано устройство из двух катушек, с помощью которого можно продемонстрировать основные эффекты, ответственные за работу трансформатора. Катушка 1состоит из проводящей проволоки, свитой в виде длинного соленоида. Вокруг этой катушки и изолированно от нее навита катушка 2, состоящая из нескольких витков проволоки. Если теперь по катушке 1 пропустить ток, то, как мы знаем, внутри нее появится магнитное поле. Это магнитное поле проходит также сквозь катушку 2. Когда ток в катушке 1 меняется, магнитный поток тоже будет меняться, и в катушке 2 появится индуцированная э.д.с. Эту индуцированную э.д.с. мы сейчас и вычислим.
В гл. 13, § 5 (вып. 5) мы видели, что магнитное поле внутри длинного соленоида однородно и равно
(17.23)
где N1 – число витков в катушке 1, I1 – ток в ней, а l – её длина. Пусть поперечное сечение катушки 1 равно S, тогда поток поля В равен его величине, умноженной на S. Если в катушке 2 имеется N2 витков, то поток проходит по катушке N2 раз. Поэтому э. д. с. в катушке 2 дается выражением
.(17.24)
Единственная меняющаяся со временем величина в (17.23) есть I1. Поэтому э. д. с. дается выражением
(17.25)
Мы видим, что э. д. с. в катушке 2 пропорциональна скорости изменения тока в катушке 1. Константа пропорциональности – по существу геометрический фактор двух катушек, называется коэффициентом взаимной индукции и обозначается обычно m21. Тогда (17.25) записывается уже в виде
(17.26)
Предположим теперь, что нам нужно было бы пропустить ток через катушку 2 и нас интересует, чему равна э. д. с. в катушке 1. Мы вычислили бы магнитное поле, которое повсюду пропорционально току I2. Поток сквозь катушку Iзависел бы от геометрии, но был бы пропорционален току I2. Поэтому
Фиг. 17.8. Ток в катушке 1 создает магнитное поле, проходящее через катушку 2.
Фиг. 17.9. Любые две катушки обладают взаимной индукцией m, пропорциональной интегралу от ds 1 ·ds 2 · (1/r 12 ).
э. д. с. в катушке 1 снова была бы пропорциональна dI2/dt. Мы можем записать
(17.27)
Вычисление m 12 было бы труднее, чем те вычисления, которые мы проделали для m 21. Мы не будем сейчас им заниматься, потому что дальше в этой главе мы покажем, что m 12 обязательно равно m 21.
Поскольку поле любой катушки пропорционально текущему в ней току, такой же результат получился бы и для любых двух катушек из проволоки. Выражения (17.26) и (17.27) приобрели бы одинаковую форму, и только постоянные m 12 и m 21 были бы другие. Их значения будут зависеть от формы катушек и их относительного положения.
Предположим, нам нужно найти коэффициент взаимной индукции между двумя произвольными катушками, например показанными на фиг. 17.9. Мы знаем, что общее выражение для э. д. с. в катушке 1 можно записать так:
где В – магнитное поле, а интеграл берется по поверхности, ограниченной контуром 1. В гл. 14, § 1 (вып. 5) мы видели, что поверхностный интеграл от В можно свести к контурному интегралу от векторного потенциала. В нашем случае
как контурный интеграл по контуру цепи 2:
(17.29)
где I2 – ток в цепи 2, а r12 – расстояние от элемента цепи ds2 к точке на контуре 1, в которой мы вычисляем векторный потенциал (см. фиг. 17.9). Комбинируя (17.28) и (17.29), можно выразить э. д. с. в цепи 1 как двойной контурный интеграл:
В этом выражении все интегралы берутся по неподвижным контурам. Единственной переменной величиной является ток I2, который не зависит от переменных интегрирования. Поэтому его можно вынести за знак интеграла. Тогда э. д. с. можно записать как
где коэффициент m 12 равен
(17.30)
Из этого интеграла очевидно, что m 12 зависит только от геометрии цепей; он зависит от некоторого среднего расстояния между двумя цепями, причем в среднее с наибольшим весом входят параллельные отрезки проводников двух катушек. Нашу формулу можно использовать для вычисления коэффициента взаимной индукции любых двух цепей произвольной формы. Кроме того, она показывает, что интеграл для m 12 тождествен с интегралом для m 21. Таким образом, мы показали, что оба коэффициента одинаковы. Для системы только с двумя катушками коэффициенты m 12 и m 21 часто обозначают символом mбез значков и называют просто коэффициентом взаимной индукции:
m 12= m 21 = m.
§ 7. Самоиндукция
При обсуждении индуцированных э. д. с. в двух катушках на фиг. 17.8 и 17.9 мы рассмотрели лишь случай, когда ток проходит либо в одной катушке, либо в другой. Если токи имеются одновременно в обеих катушках, то магнитный поток, пронизывающий каждую катушку, будет представлять сумму двух потоков, существующих и по отдельности, поскольку к магнитным полям применим принцип суперпозиции. Поэтому э. д. с. в каждой катушке будет пропорциональна не только изменению тока в другой катушке, но и изменению тока в ней самой.
Фиг. 17.10. Цепь с источником напряжения и индуктивностью (а) и аналогичная ей механическая система (б).
Таким образом, полную э. д. с. в катушке 2 следует записать в виде
(17.31)
""Аналогично, э. д. с. в катушке 1 будет зависеть не только от изменяющегося тока в катушке 2, но и от изменяющегося тока в ней самой:
(17.32)
Коэффициенты m 22 и m 11 всегда отрицательны. Обычно пишут
(17.33)
где ж1 и ж 2называют коэффициентами самоиндукции двух катушек (или индуктивностями).
Конечно, э. д. с. самоиндукции будет существовать даже для одной катушки. Любая катушка сама по себе обладает коэффициентом самоиндукции ж и ее
э. д. с. будет пропорциональна скорости изменения тока в катушке. Обычно считают, Что э. д. с. и ток одной катушки положительны, если они направлены одинаково. При этом условии для отдельной катушки
можно написать
(17.34)
Знак минус указывает на то, что э. д. с. противодействует изменению тока, ее часто называют «обратной э. д. с.».
Поскольку любая катушка обладает самоиндукцией, противодействующей изменению тока, ток в катушке обладает своего рода инерцией. Действительно, если мы хотим изменить ток в катушке, мы должны преодолеть эту инерцию, присоединяя катушку к какому-то внешнему источнику, например батарее или генератору (фиг. 17.10, а). В такой цепи ток / связан с напряжением Vсоотношением
(17.35)
Это соотношение имеет форму уравнения движения Ньютона для частицы в одном измерении. Поэтому мы можем исследовать его по принципу «одинаковые уравнения имеют одинаковые решения». Таким образом, если поставить в соответствие напряжение Vот внешнего источника приложенной внешней силе F, а ток I в катушке скорости v частицы, то коэффициент индукции катушки жбудет соответствовать массе т частицы (фиг. 17,10, б).
Таблица 17.1 · СОПОСТАВЛЕННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
§ 8. Индуктивность и магнитная энергия
Продолжая аналогию предыдущего параграфа, мы отметили в таблице, что в соответствии с механическим импульсом p=mv (скорость изменения которого равна приложенной силе) должна существовать аналогичная величина, равная
ж I, скорость изменения которой V. Разумеется, мы не имеем права говорить, что ж I – это настоящий импульс цепи; на самом деле это вовсе не так. Вся цепь может быть неподвижна и вообще не иметь импульса. Просто ж Iаналогично импульсу mv в смысле удовлетворения аналогичным уравнениям.
Точно так же кинетической энергии 1/2mv2 здесь соответствует аналогичная величина 1/2ж 2. Но здесь нас ждет сюрприз. Величина 1/2aж I2 – действительно есть энергия и в электрическом случае. Так получается потому, что работа, совершаемая в единицу времени над индуктивностью, равна VI, а в механической системе она равна Fv – соответствующей величине. Поэтому в случае энергии величины не только соответствуют друг другу в математическом смысле, но имеют еще и одинаковое физическое значение.
Мы можем проследить это более подробно. В (17.16) мы нашли, что электрическая работа в единицу времени за счет сил индукции есть произведение э. д. с. и тока:
Подставляя вместо e ее выражение через токи из (17.34), имеем
(17.38)
Интегрируя это уравнение, находим, что энергия, которая требуется от внешнего источника, чтобы преодолеть э. д. с. самоиндукции и создать ток (что должно равняться накопленной энергии U), равна
(17.37)
Поэтому энергия, накопленная в индуктивности, равна 1/2ж I2.Применяя те же рассуждения к паре катушек, изображенных на фиг. 17.8 или 17.9, мы можем показать, что полная электрическая энергия системы дается выражением
(17.38)
В самом деле, начиная с тока I=0 в обеих катушках, можно вначале включить ток I1 в катушке 1, оставляя I2=0. Совершенная работа как раз равна l/2ж 1l12. Но теперь, включая I2, мы совершаем не только работу 1/2ж 2I22 против э. д. с. в цепи 2, но еще и добавочное количество работы —m I1I2, которая есть интеграл
от э. д. с. m(dIz/dt) в цепи 1, умноженный на теперь уже постоянный ток I1 в этой цепи.
Пусть теперь нам нужно найти силу между любыми двумя катушками, по которым идут токи I1 и I2. Прежде всего мы могли бы использовать принцип виртуальной работы, взяв вариацию от энергии (17.38). Мы должны помнить, конечно, что при изменении относительного положения катушек единственной меняющейся величиной является коэффициент взаимной индукции m. Тогда мы могли бы записать уравнение виртуальной работы в виде
Это уравнение ошибочно, потому что, как мы видели раньше, в него включено только изменение энергии двух катушек и не включена энергия источников, которые поддерживают постоянными значения токов I1и I2. Мы понимаем теперь, что эти источники должны поставлять энергию для компенсации индуцированных э. д. с. в катушках во время их движения. Если мы хотим правильно применить принцип виртуальной работы, то должны включить и эти энергии. Но мы видели, что можно сделать и короче – использовать принцип виртуальной работы, помня, что полная энергия – это взятая с обратным знаком энергия Uмех (то что мы называем «механической энергией»). Поэтому силу можно записать в виде
(17.39)
Тогда сила между катушками дается выражением
Воспользуемся выражением (17.38) для энергии системы из двух катушек, чтобы показать, какое интересное неравенство существует между взаимной индукцией m и коэффициентами самоиндукции ж 1 и ж 2двух катушек. Ясно, что энергия двух катушек должна быть положительной. Если мы начинаем с нулевых токов в обеих катушках и увеличиваем эти токи до некоторых значений, то тем самым мы увеличиваем энергию всей системы. В противном случае токи самопроизвольно возрастут и будут отдавать энергию остальному миру – вещь невероятная! Далее, наше выражение для энергии (17.38) можно с
таким же успехом записать в следующей форме:
(17.40)
Это просто алгебраическое преобразование. Эта величина должна быть всегда положительна при любых значениях I1 и I2. В частности, она должна быть положительна, когда I2 вдруг примет особое значение:
(17.41)
Но при таком значении I2 первое слагаемое в (17.40) равно нулю. Если энергия положительна, то последнее слагаемое в (17.40) должно быть больше нуля. Мы получаем требование, что
Таким образом, мы доказали общее соотношение, что величина взаимной индукции m любых двух катушек обязательно меньше или равна геометрическому среднему двух коэффициентов самоиндукции (сам m может быть положителен или отрицателен в зависимости от выбора знаков для токов It и I2):
(17.42)
Соотношение между mи коэффициентами самоиндукции обычно записывают в виде
(17.43)
Постоянную k называют коэффициентом связи. Если большая часть потока от одной катушки проходит через другую катушку, то коэффициент связи близок к единице; мы говорим, что катушки «сильно связаны». Если катушки значительно удалены друг от друга или же все устроено так, что взаимное проникновение их потоков очень мало, коэффициент связи становится близок к нулю, а коэффициент взаимной индукции очень мал.
Для вычисления взаимной индукции двух катушек мы дали формулу (17.30), которая представляет собой двойной контурный интеграл по обеим цепям. Мы могли бы подумать, что та же формула применима и для вывода коэффициента самоиндукции одной катушки, если оба контурных интегрирования проводить по одной и той же катушке. Однако это не так, потому что при интегрировании по двум катушкам знаменатель r12 под знаком интеграла стремится к нулю, когда два элемента длины находятся в одной точке. Коэффициент самоиндукции, получаемый из этой формулы, оказывается бесконечным. Происходит это потому, что формула наша – приближенная, и справедлива она только для поперечных сечений проводов в обеих цепях, малых по сравнению с расстоянием от одной цепи до другой. Ясно, что это приближение для отдельной катушки не годится. На самом деле оказывается, что индуктивность отдельной катушки стремится логарифмически к бесконечности, когда диаметр ее проволоки становится все меньше и меньше.
Значит, мы должны поискать другой способ вычисления коэффициента самоиндукции одной катушки. При этом надо учесть распределение токов внутри проводника, потому что его размеры – важный параметр. Но мы не будем считать полную индуктивность, а сосчитаем лишь ту ее часть, которая связана с расположением проводников, и не будем учитывать часть, связанную с распределением токов. Пожалуй, самый простой способ найти такую индуктивность – это использовать магнитную энергию. Ранее, в гл. 15, § 3, мы нашли выражение для магнитной энергии распределения стационарных токов:
(17.44)
Если известно распределение плотности тока j, то можно вычислить векторный потенциал А, а затем, оценив интеграл (17.44), получить энергию. Эта энергия равна магнитной энергии самоиндукции, l/2ж I2. Приравнивая их, получаем формулу для индуктивности:
(17.45)
Мы, конечно, ожидаем, что индуктивность есть число, зависящее только от геометрии цепи, а не от тока / в цепи. Формула (17.45) действительно приводит к такому результату, потому что интеграл в ней пропорционален квадрату тока – ток входит один раз от j и еще раз от векторного потенциала А. Интеграл, деленный на I2, зависит от геометрии цепи, но не от тока I.
Выражению (17.44) для энергии распределения токов можно придать совсем другую форму, иногда более удобную для вычислений. Кроме того, как мы увидим позже, именно эта форма важна, потому что она справедлива в более общем случае. В формуле (17.44) и А и j можно связать с В, поэтому можно надеяться, что энергия выразится через магнитное поле – точно так же, как нам удалось связать электростатическую энергию с электрическим полем. Начнем с подстановки e0c2СXВ вместо j. Заменить А мы не можем с той же легкостью, потому что нельзя обратить B=СXA, чтобы выразить А через В. Можно только
записать
(17.46)
Любопытно, что при некоторых ограничениях этот интеграл можно превратить в
(17.47)
Чтобы увидеть это, выпишем подробно типичный множитель. Предположим, что мы взяли множитель (СXB)zAz, входящий в интеграл (17.46). Выписывая полностью компоненты, получаем
